Lý thuyết ổn định và ứng dụng

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một lý thuyết toán học có rất nhiều ứng dụng trong
khoa học, đặc biệt về kỹ thuật cơ học. Đã có nhiều nhà Toán học nghiên cứu
lý thuyết ổn định, tuy nhiên vẫn chỉ bó hẹp trong việc giải quyết bài toán xác
định sự ổn định cũng như không ổn định. A.M.Liapunov đã thiết lập hàng loạt
điều kiện đủ tổng quát cho sự ổn định và không ổn định của chuyển động
không có nhiễu, mô tả bởi hệ phương trình vi phân thông thường. Để đưa vấn
đề ổn định của chuyển động không có nhiễu về vấn đề ổn định của vị trí cân
bằng. Vận dụng hàm Liapunov đối với những hệ thống điều chỉnh cho phép
đánh giá: Sự thay đổi của các đại lượng điều chỉnh, thời gian điều chỉnh,chất
lượng điều chỉnh ảnh hưởng của những nhiễu loạn tác dụng thường xuyên.
Ngoài ra hàm Liapunov cho phép giải quyết vấn đề: ổn định “trong
toàn cục” tức là đánh giá miền nhiễu ban đầu, theo thời gian không vượt ra
ngoài giới hạn của một miền cho trước.
Chính vì những lý do trên, tôi chọn đề tài “lý thuyết ổn định và ứng
dụng” với mong muốn được tìm hiểu một cách rõ ràng và sâu rộng hơn về lý
thuyết ổn định, đặc biệt là vận dụng hàm liapunov trong các hệ phương trình
tuyến tính và hệ phi tuyến có dạng đặc biệt.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov và ứng dụng vào hệ
phương trình tuyến tính, hệ phi tuyến có dạng đặc biệt.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov, các định lý về ổn định và
không ổn định của liapunov.
- Đánh giá sự ổn định nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính.


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov (tức
ổn định với những nhiễu ban đầu). Đánh giá nghiệm các hệ phương trình
tuyến tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp định tính đánh giá hệ phương trình vi phân.
6. Những đóng góp của luận văn
Vận dụng hàm liapunov xét sự ổn định của các hệ phương trình tuyến
tính.


CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1. Không gian véctơ
1.1.1. Định nghĩa không gian
véctơ

 

Cho tập hợp V mà các phần tử được kí hiệu là α ;
trường K

β ;γ ;....và

mà các phần tử được kí hiệu là: x, y, z,... giả sử trên V có 2 phép toán:
Phép toán trong, kí hiệu:

Phép toán ngoài, kí hiệu :

+: V ×V → V

 
 
(α , β )
α + β
. : K ×V → V


(x, α )  x.α

Thỏa mãn các tính chất sau (cũng nói thỏa mãn các tiên đề sau):
 
và với mọi x, y, z∈K :
với mọi α ,
β , γ ∈V
 
 
 
1) α + = α + ( β + γ )

(

β )+ γ

)


    
2) Có 0
sao cho 0 + α = α + 0 = α
∈V

    



,
3) α ' ∈V sao cho
kí hiệu α = −α
α '+ α =
α + α '= 0

 

4) α + β = β + α



5) (x + y).α = x.α + y.α

 

6) x.(α + β ) = x.α + x.β


7) x.( y.α ) = (x.y).α


8) 1.α = α trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K .


Khi đó V (cùng với 2 phép toán xác định như trên) gọi là một không

gian véctơ trên trường K , hay K - không gian véctơ, hay vắn tắt là không
gian véctơ.
Khi K = □ , V được gọi là không gian véctơ
thực. Khi K = □ , V được gọi là không gian
véctơ phức.
Các phần tử của V gọi là các véctơ, các phần tử của K gọi là vô
hướng.
Phép toán “+” gọi là phép cộng véctơ, phép toán “. ” gọi là phép nhân
véctơ với vô hướng.
Để cho gọn dấu “. ” nhiều khi lược bỏ, thay x.α ta viết xα .
Bốn tiên đề đầu tiên chứng tỏ V là một nhóm giao hoán đối với phép
cộng véctơ. Các tiên đề 5, 6 và 7 theo thứ tự nói lên rằng phép nhân véctơ với
vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng vô hướng, phân phối đối
với phép cộng véctơ và có tính chất kết hợp.
1.1.2. Ví dụ về không gian véctơ
2

3

a) Tập hợp các véctơ (“tự do”) trong không gian □ , □ , □ với các phép toán
cộng và nhân véctơ với một số thực là một không gian véctơ thực.
b) Tập

K [x ]các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường K với phép

cộng đa thức và nhân đa thức với một phần tử thuộc trường K là một K không gian véctơ.
c) Tập số phức □ với phép cộng số phức và nhân số phức là một □ - không
gian véctơ. Trong khi đó □ cùng với phép cộng số phức và nhân số phức
với một số thực là □ - không gian véctơ.
d) Tập □ các số thực với phép cộng số thực và nhân số thực với số hữu tỷ là một

□ - không gian véctơ.
e) Trong nhóm cộng các ma trận cỡ (m × n)
phép nhân với vô hướng sau, với:

trên trường K ta đưa vào


A = (a i ) i = 1, m; j thì kA = (kaij )
j
= 1, n
Dễ thử thấy đó là một K - không gian véctơ.
1.2. Dạng toàn phương
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử

η :V ×V
→ □
 
 
( α , β )  η( α , β )
là dạng song tuyến tính đối xứng trên □ - không gian véctơ V .
Ánh xạ (tức hàm số)
H :V → □
→

 
α  H (α ) = η (α ,α )
gọi là dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η .
Chú ý: Nếu cho trước dạng toàn phương H trên □ - không gian
véctơ V thì dạng song tuyến tính đối xứng η trên V nhận H làm

dạng toàn phương tương ứng là hoàn toàn xác định:
→
  1
 


η (α + β ) = H (α + β ) − H (α )
2 
− H (β )


η được gọi là dạng cực của dạng toàn phương H .
1.2.2. Biểu thức tọa độ
Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương H ứng với η có
dạng:
n

H (α ) =
i , j =1

∑

aij.xi .x j


với mọi α = (x , x ,..., x ) ∈V .
1

2

n

Ma trận A=(aij ) cũng được gọi là ma trận của dạng toàn phương H .


1.2.3. Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương
 

Nếu trong □ - không gian véctơ V có cơ sở ( µ 1 , 2µ ,..., µ ), trong
đó
 
η (i µ ,
µ )= 0
A
= (aij )
,

thì trong cơ
với mọi i ≠
j
 
aij = η( µi , µ j ) , có dạng chéo.

sở

đó

ma

trận

Dạng toàn phương H ứng với dạng song tuyến tính đối xứng
η trên V

∑
n

trong cơ sở đó có biểu thức tọa độ dạng:

ax
i
= ;
1

2

i

ii

ij

a= a.

Cơ sở đó gọi là η - trực giao của V hay gọi tắt là cơ sở trực giao của
V
khi η đã rõ. Biểu thức đó gọi là biểu thức tọa độ dạng chính tắc của H .
1.3. Phương trình vi phân
1.3.1. Định nghĩa phương trình vi phân cấp một
Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát :

F (x, y, y′) = 0
trong đó hàm F xác định trong miền

(1.1)
D⊂
3
□ .

Nếu trong miền D , từ phương trình (1.1) ta có thể giải thích được y′ :
y′ = f (x,
y)

( 1.2)

thì ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm.
Hàm

y=
xác định và khả vi trên khoảng I =
(a,b)
ϕ(x)

nghiệm của phương trình (1.1) nếu:
a)
(x, ϕ (x),ϕ′(x))
∈ D

với mọi x ∈ I .

b) F

trên I .
(x, ϕ(x), ϕ′(x)) ≡
0

được gọi là


Ví dụ 1: Phương trình:
dy
=
2 y dx
có nghiệm là hàm y =
2x
ce
tùy ý).

xác định trên khoảng
(−∞; +∞)

(với c là hằng số


Ví dụ 2: Phương

(1.3)

trình: y′ = 1
+ y

2

có nghiệm là hàm

xác định trên khoảng (−

y= t
anx

π π
;

) . Có thể

kiểm tra
2 2

trực tiếp hàm

y = tan ( x

với mỗi hằng số c cố định cũng là nghiệm của

+ c)

phương trình (1.3) trên khoảng xác định tương ứng.
1.3.2. Định nghĩa phương trình vi phân cấp cao
Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát:
F (x, y, y′,..., y

(n)

(1.4)

)= 0

Hàm F xác định trong một miền G nào đấy của không gian

n+2

□ .
Trong phương trình (1.4) có thể vắng mặt một số trong các biến:
x, y, y′,..., y

(

nhưng y( n nhất thiết phải có mặt.

n−1)

)

Nếu từ (1.4) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình
(1.4) có dạng:
y = F (x, y, y′,...,
( n−1)
y
)
(n)

(1.5)

thì ta được gọi phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao
nhất.
Nghiệm của phương trình (1.4) là hàm y =
ϕ(x)

khả vi n lần trên

khoảng (a,b) sao cho:
a) (x,

ϕ

,...,ϕ
) với mọi x ∈(a,b).
ϕ∈ G
′
(n)

,
(x)

(x)

(x)

b) Nó là nghiệm đúng của phương trình (1.4) trên (a,b).
Ví dụ 1: Phương trình:

y′′ − 4 y
có nghiệm tổng quát là = 0

ϕ

trong đó c1 ,c2 là các hằng số bất

= c .e
−2 x
+ c .e
2x

kỳ.

(x)

1

2


Ví dụ 2: Phương trình:
xyy′′ + xy′ − yy′ = 0
2

có nghiệm tổng quát là:
y = c1. x2 + c2 , trong đó
c1 ,c2

là hai hằng số bất kỳ.

1.3.3. Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát là:
a0 (x) y

(n)

+ .... + an (x) y = g(x) .
+ a (x)

(1.6)

y( n−1)
1

Như vậy ở đây hàm F trong định nghĩa dạng tổng quát của phương
trình vi phân cấp cao phụ thuộc một cách tuyến tính theo

( n)

y, y′,..., y . Ta giả

thiết các hàm a (x); a (x); ...; a (x), g(x) liên tục trên khoảng (a,b) và
0

1

n

a0 (x) ≠ 0 trên (a,b) .

Khi đó chia hai vế của phương trình (1.1) cho
+ ... + pn
(x).y =

y( n ) + 1 p
trong đó :

(x).y ( n−1)
p (x) =
(x)
i
;

ai

f (x)
=

a0 (x)

g(x)

a0 (x) ta được phương trình:

f (x)

(1.7)

; (i = 1, 2,..., n)

a0 (x)

là những hàm số liên tục trên khoảng (a,b) .
Nếu trong phương trình (1.7) hàm f (x)
≡0
y( n ) +1 p (x) + ... + pn
(x) y = 0
y( n−1)

tức là ta có phương trình:
(1.8)

thì nó được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n bấy giờ phương
trình (1.7) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n .
1.4. Hệ phương trình vi phân
1.4.1. Định nghĩa


Hệ n phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là hệ phương trình
sau:


 dy1
f (x, y , y ,..., y )
 dx= 1
1
2
n

 dy2 = f 2 (x, y1 , y2 ,..., y )

 dx
n


 dyn
 dx = fn (x, y1 , y2 ,..., yn )
Ở đây x là biến số độc lập

hàm phải tìm. Các hàm
gian n + 1 chiều □
.

n+1

Hệ n hàm khả vi

khoảng (a,b)

y1 = y1
(x);

fi (i = 1,
2,..., n)

(1.9)

y2 = y2 (x); ... ; yn
= yn (x)

là các

xác định trong miền G của không

y1 = ϕ1 (x); y2 = ϕ2 (x);
...; yn = ϕn (x)

xác định trên

được gọi là nghiệm của hệ (1.9) nếu với mọi x
điểm
∈(a,
b)

(x,ϕ
(x),
ϕ (x),...,ϕ
1
2
(x)) ∈ G

và khi thay chúng vào hệ (1.9) thì ta được n

đồng nhất thức theo x trên (a,b)
. Tập hợp điểm:
Γ =

{(x,ϕ

1

(x),ϕ2 (x),...,ϕn (x)), x ∈(a,b) }

được gọi là đường cong tích phân ứng với nghiệm
ϕ2 (x),ϕ
1
(x);...,ϕ (x)
nhiên Γ ⊂ □

n+1

hiển

.

Bây giờ ta coi ( y1, y2 ,..., yn
như tọa độ của mỗi điểm trong không gian
)
n chiều □
n

mà ta gọi là không gian pha. Khi đó tập hợp điểm:

γ = {(ϕ1 (x),ϕ2
(x),...,ϕn (x)),

x ∈(a,b)}

được gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha. Hiển nhiên đường cong pha

chứa trong không gian pha. Không gian □ n+
1

thường được gọi là không gian

pha suy rộng. Đường cong tích phân chứa trong không gian pha suy rộng.
1.4.2. Ý nghĩa cơ học
Ta coi t là biến độc lập,

n

x1 , x2 ,...,
xn

là tọa độ của một điểm trong không

gian pha □ . Khi đó hệ phương trình vi phân cấp một:


 dx1
= F (t, x , x ,..., x )
 dt
1
1
2
n

 dx2 = F (t, x , x ,..., x )

2

1
2
n
dt



 dxn
 dt = nF (t,1n x2, x ,..., x )
là hệ phương trình chuyển động của một điểm trong không gian pha □
dx 
 dx1 dx2
;
;.....; n

dt dt
dt



(1.10)

n

mà:

là véctơ vận tốc của điểm đó. Tại mỗi điểm M của không gian pha véctơ vận
tốc thay đổi theo thời gian nên ta nói hệ (1.10) xác định một trường vận tốc
không dừng. Nếu kí hiệu X là véctơ (x1 , x2 ,..., xn ) , F là véctơ ( F1 , F2 ,...,
Fn )

dX
thì hệ (1.10) được viết dưới dạng
= F (t, X ) .
dt
Ta xét trường hợp đặc biệt của hệ (1.10) khi các vế phải không phụ
 dx1
= F (x , x ,..., x )
 dt
1
1
2
n
 dx

2
= F (x , x ,..., x )

2
1
2
thuộc vào t
(1.11)
n

:
dt


 dxn
 dt = nF 1(x 2, x ,..., x )

Đối với hệ (1.11) véctơ vận tốc tại mỗi điểm M không thay đổi theo
thời gian. Ta nói rằng hệ (1.11) xác định một trường vận tốc dừng và gọi nó là
hệ ô- tô-nôm hay hệ dừng.
1.5. Tiêu chuẩn Hurwitz
1.5.1. Một số khái niệm cần thiết Xét
đa thức:


f (z) = a0 + a1.z
+ .... + an .z
Trong đó

z= x
+ i.y

(với n ≥ 1)

n

(1.12)

là số phức và a , a ,....a có thể là các hệ số thực hoặc
0

1

n

phức.
Định nghĩa: Đa thức f (z)

bậc n ≥ 1 được gọi là đa thức Hurwitz.
Nếu

tất cả các nghiệm (không điểm) z , z
1
2
,....zn

của nó đều có các phần thực âm:

R Z < 0( j = 1,

(1.13)

e

2,..., n )

tức là tất cả các nghiệm z đều nằm ở nửa mặt phẳng phức bên trái. Sau đây
j
chúng ta giả thiết rằng các hệ số a ,
0
a
,....an
1
và :

của đa thức (1.12) f (z) là thực

a0 > 0; an ≠ 0 .

(1.14)

Một đa thức như vậy rõ ràng không có nghiệm không và để ngắn gọn ta
gọi đa thức đó là đa thức bậc chuẩn bậc

n (n ≥ 1) .

Định lí: Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz thì tất cả các hệ số của
nó đều dương.
1.5.2. Tiêu chuẩn Hurwitz
n

Ta xét đa thức chuẩn:

trong đó

a0
> 0;
an

f (z) = a0 + a1.z
+ .... + an .z

(1.15)

≠ 0 (n ≥ 1) .

Lập (n × n)- ma trận Hurwitz:

a1

 a3

a0
a2

0

0

0

a0

0





a1
.........................................




(1.16)

a2 n−1 a2 n−2 a2n−3 a2n−4  an 
trong đó qui ước as
=0

với s
<
0

và s > n .


Định lí Hurwitz: Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn (1.15) là đa thức
Hurwitz là tất cả các định thức chéo chính của ma trận Hurwitz của nó đều
dương, tức là:
∆1 = a1 > 0
 
∆ = a1 a0 > 0
 2
a3 a2




∆ n = an .∆n−1 > 0
(Các điều kiện 1.17 còn gọi là điều kiện Hurwitz).

(1.17)


CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ LIAPUNOV
2.1. Định nghĩa ổn định theo nghĩa
liapunov Ta xét hệ phương trình vi
(2.1)

phân:
dy
= Y(
y,t) dt
Ta lấy ra một chuyển động

y = f nào đó của hệ (2.1) và gọi nó là
chuyển động không có nhiễu loạn. (t)
Chuyển động y = f gọi là ổn định theo nghĩa liapunov nếu đối với
(t)
mọi ε
>
0
y(t0 )
−

có thể chỉ ra được

σ

sao cho từ bất đẳng thức

>
0

f (t0 )
<σ

suy ra bất đẳng thức y(t) f (t)
−
< ε

với t ≥ to . Ở đây
qua

y(t) ta đã kí hiệu một nghiệm bất kỳ khác của hệ (2.1), xác định bởi điều kiện
ban đầu y(t ) . Chuyển
0
động

y= f
(t)

gọi là ổn định tiệm cận theo nghĩa

Liapunov nếu nó ổn định theo nghĩa Liapunov và nếu có tồn tại một số dương
h sao cho khi y(t0 )
−

f (t0 < h ta sẽ có
)

lim y(t) f (t) =
−

0

t →∞

Nếu như nghiệm y(t) tiến tới f (t) khi t → ∞
đều đối với to

(2.2)
thì sự ổn

định tiệm cận gọi là đều đối to . Nếu như sự qua giới hạn đối với điều kiện ban
đầu

y(t0 ) là đều thì ta nói rằng nghiệm y = f ổn định tiệm cận đều đối với
(t)


điều kiện ban đầu. Nếu như hệ (2.1) là ô-tô-nôm tức vế phải không phụ thuộc
vào t thì sự ổn định tiệm cận sẽ luôn luôn đều đối với điều kiện ban đầu đã
cho.
Nếu chuyển động y = f (t) ổn định theo liapunov và hệ thức (2.2) đúng
đối
với nghiệm y(t) được xác định bởi điều kiện ban đầu cho trước bất kỳ thì ta


nói rằng chuyển động y = f ổn định tiệm cận với bất kỳ điều kiện ban đầu
(t)
cho trước( hay là ổn định tiệm cận trong toàn cục).
Trong hệ (2.1) thực hiện phép biến đổi x
dx

dạng:

= y−
f (t)

hệ mới sẽ có

= Y

(x +
dt

f (t),t) − Y ( f (t),t)

bằng cách đưa ra kí hiệu:
X (x,t) = Y f (t),t) −Y ( f (t),t)
(x +
ta nhận được hệ :
(2.3)

dx
= X
(x,t) dt
trong đó

X (0,t)
=0

với t ≥t 0 .

Hệ (2.3) xác định phương trình vi phân của chuyển động có nhiễu loạn.
Chuyển động

x
=
0

y = f (t) , qua phép biến đổi đang xét, trở thành vị trí cân
bằng

của hệ mới. Như vậy, bài toán ổn định của chuyển động y = f trở
(t)

thành bài toán ổn định của nghiệm không x của hệ (2.3).
=0
Nghiệm

x
=
0

của hệ (2.3) gọi là ổn định theo nghĩa liapunov nếu đối

với số dương ε bất kỳ luôn luôn có thể chỉ ra số dương
bất
đẳng thức

x(t0 < σ
suy ra

x(t)
< ε

σ sao cho từ

với t > t0 . Còn nếu như mọi
nghiệm

x(t) mà điều kiện ban đầu đã cho của nó được xác định bởi x(t ) < h
0
thỏa


mãn tính chất lim x(t) = thì nghiệm không gọi là ổn định tiệm cận theo
t →∞
0
nghĩa Liapunov.
2.2. Hàm số 2 Liapunov
Ta xét hàm số

v(x1 , x2
xác định trong không gian pha các biến
…., x n

)
x1 , x 2
liên tục trong một miền D nào đó, chứa gốc tọa độ. Ta cũng
,….,
xn

giả v ( x 1 , x 2 …., xn ) có trong miền D các đạo hàm
sử rằng hàm riêng liên tục.


Hàm số v x , x
gọi là xác định dương trong miền D nếu như
( 1 2
…., x n

)
trong miền D trừ điểm O

(0,

ta có bất đẳng thức v > 0 . Còn nếu
như

…..
, 0)
có bất đẳng thức v
<
0

thì hàm v gọi là xác định âm trong cả hai trường hợp

đó hàm số đều được gọi là có dấu xác định.
Nếu như khắp nơi trong miền D ta có bất đẳng thức v
≥
0

hoặc v ≤
0

thì hàm số v được gọi là có dấu không đổi , hơn nữa trong trường hợp đầu
tiên hàm v còn gọi là có dấu dương và trường hợp thứ hai gọi là hàm có dấu
âm.
Nếu hàm số v lấy giá trị trong miền D , lúc thì dấu dương, lúc thì dấu
âm thì khi ấy v gọi là hàm đổi dấu. Chẳng hạn hàm v
=

x + x – sẽ là
2
x
2

1

hàm đổi dấu trong không gian các biến x , x , còn hàm số v
1
2
=
x3

2

2

3

2

2

2

1

2

3

x +x +x là

hàm xác định dương trong không gian này. Tuy nhiên hàm số x2 +x2 sẽ
v=
1

2

có dấu không đổi trong không gian các biến x , x , x ( bởi vì nó triệt tiêu trên
1
2
3
cả trục Ox3

) và có dấu xác định trong không gian các biến x1 , x2 .

Thông thường chúng ta chỉ sử dụng tới các dạng toàn phương của các
biến x1 , x2 ,…, x n . Rõ ràng, một dạng toàn phương bất kỳ đều có
thể viết dưới

dạng:
n

v=

∑a

ik

.xi .xk

i ,k =1


trong đó aik = aki .
Ma trận hệ số của dạng này:
a11  a
1n
A = 
an1  ann
và xét các định thức:


a11  a
1k
∆k =
với k = 1, 2,..., n .

ak1  akk
Nếu như có ∆

> 0 với k
k
= 1, 2,..., n

thì dạng v sẽ là xác định dương.

Định lí đảo cũng đúng tức là điều kiện ∆k >0 là điều kiện cần và đủ để dạng
v xác định dương. Từ tiêu chuẩn Sylvester dễ dàng đưa ra điều kiện cần và
đủ để dạng v xác định âm. Điều kiện này được viết dưới dạng bất đẳng
thức:
∆
< 20; ∆3 > 0; ∆ < 0;...
1
tức là các định thức lập thành một dãy tuần tự đổi dấu, đồng thời ∆ <
∆k
0 1.
Hàm số v ( x 1 , x 2 ,…., x n )có các tính chất đã nói ở trên
gọi là hàm
Liapunov.
2.3. Định lý về sự ổn định và không ổn định của Liapunov
2.3.1. Định lý của Liapunov về sự ổn định Xét
hệ phương trình vi phân:
dxi
= X (x ,..., x ); i = 1, .
2,..., n
dt
Vế phải

i

1

(2.4)

n

Xi ( x 1 ,…., x n )của nó liên tục và thỏa mãn điều kiện
lipschitz

trong một miền D nào đó của không gian pha, bao gồm điểm O

(0,0,

…,0 )
cùng với một lân cận nào đó của nó. Giả sử điều kiện X
i

(0,….,
0) = 0

được


thỏa mãn, khi đó điểm O sẽ là điểm kỳ dị của hệ (2.4) hay nói cách khác là vị
trí cân bằng của hệ này. Ta giả sử rằng vế phải của hệ (2.4) trong trường hợp
đang xét không phụ thuộc vào t , tức ta xem hệ là ô-tô-nôm.
Định lí 2.3.1 (Định lý Liapunov về sự ổn định):
Nếu đối với hệ (2.4) có tồn tại trong miền D một hàm xác định dấu v ,
đạo hàm của nó theo thời gian v , lấy theo hệ (2.4) là một hàm có dấu không
đổi, trái dấu với hàm v thì vị trí cân bằng ổn định theo nghĩa Liapunov.