Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
2

BÙI THẾ NAM

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

Hà Nội-2009


Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn các giáo sư, tiến sĩ giảng dạy chun
ngành Tốn Giải tích; các thầy, cơ Phịng Sau Đại học Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực
hiện đề tài.
Tơi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Hùng đã
trực tiếp hướng dẫn tơi trong suốt q trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề
tài.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tơi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành
quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả


Mục
Mở đầu...................................................................................................... 6
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

8

1.1. Lý thuyết không gian mêtric................................................................. 8
1.1.1. Các định nghĩa............................................................................8
1.1.2. Các tính chất đơn giản..............................................................8
1.1.3. Ví dụ.......................................................................................9
1.1.4. Sự hội tụ trong không gian mêtric........................................11
1.1.5. Ánh xạ liên tục.........................................................................13
1.1.6. Không gian mêtric đầy............................................................14
1.1.7.

Tập compact và không gian compact....................................17

1.2. Không gian định chuẩn, khơng gian Banach.....................................17
1.2.1. Các định nghĩa..........................................................................17
1.2.2. Ví dụ.....................................................................................19

1.2.3. Định nghĩa tốn tử tuyến tính bị chặn.................................20
1.3. Khơng gian tơpơ....................................................................................21
1.4. Tập lồi, hàm lồi.................................................................................... 22
1.4.1.

Tổ hợp lồi.................................................................................22

1.4.2. Định nghĩa hàm lồi và các ví dụ............................................24
1.5. Định nghĩa nửa liên tục dưới............................................................. 25
Chương 2. LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG

26

2.1. Điểm bất động của ánh xạ co........................................................... 26
2.1.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach..................................................26
2.1.2. Ánh xạ co đa trị.......................................................................27
2.1.3. Mở rộng nguyên lý ánh xạ co................................................28


5

2.1.4. Ánh xạ co yếu..........................................................................29
2.1.5. Định lý điểm bất động Caristi..........................................30
2.1.6. Nguyên lý biến phân Ekeland................................................32
2.2. Điểm bất động của ánh xạ khơng giãn............................................33
2.2.1. Về cấu trúc hình học của không gian Banach.................33
2.2.2. Định lý cơ bản về điểm bất động cho ánh xạ không giãn
36
2.2.3. Ánh xạ không giãn đa trị........................................................38
2.3. Điểm bất động của ánh xạ liên tục..................................................40

2.3.1. Nguyên lý điểm bất động Brouwer.......................................40
2.3.2. Các định lý điểm bất động.....................................................42
Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG

45

3.1. Ứng dụng của lý thuyết điểm bất động cho bài tốn phổ thơng 45
3.2. Ứng dụng của định lý điểm bất động cho một số bài toán cao
cấp..........................................................................................................53
Kết luận...............................................................................................66
Tài liệu tham khảo.........................................................................67


Mở
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của ngành giải
tích. Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ
XX, trong đó phải kể đến Nguyên lý điểm bất động của Brouwer (1912)
và Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922). Các kết quả kinh điển này đã
được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, đã được ứng
dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và được tập hợp lại dưới một cái
tên chung: Lý thuyết điểm bất động. Lý thuyết này gắn liền với tên tuổi
của nhiều nhà toán học lớn như: Brouwer, Banach, Schauder, Kakutani,
Tikhonov, Browder, Kyfan,. . . Trong lý thuyết này, ngoài các định lý tồn
tại điểm bất động, người ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp
điểm bất động, các phương pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng
của chúng. Chính vì vậy mà lý thuyết điểm bất động được nhiều nhà
toán học trên thế giới quan tâm. Việc nghiên cứu một số ứng dụng của
lý thuyết điểm bất động giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết

điểm bất động, đồng thời sử dụng các kết quả đó để giải quyết một số
vấn đề của lý thuyết toán học và đây cũng là kiến thức cơ sở để giải
quyết một số bài toán thực tiễn khác. Chẳng hạn, Lomonosov (1973) đã
sử dụng nguyên lý Schauder để chứng minh sự tồn tại không gian con bất
biến khơng tầm thường của một tốn tử tuyến tính liên tục trong một
khơng gian Banach nếu nó giao hốn với một tốn tử hồn tồn liên tục
trong khơng gian đó. Hơn nữa, tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động có
thể giúp chúng ta chỉ ra ngồi sự tồn tại, nó cịn cho ta tính duy nhất
phương pháp tìm điểm bất động và đánh giá được độ chính xác tại mỗi
bước lặp. Bởi vậy tôi đã chọn đề tài: “Một số ứng dụng của lý
thuyết điểm bất động” để thực
hiện luận văn tốt nghiệp.


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của lý thuyết điểm bất động, sau đó
nêu ra các ứng dụng của nó trong một số bài tốn sơ cấp và một số bài
toán cao cấp.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm sáng
tỏ nội dung của lý thuyết điểm bất động và ứng dụng cho một số bài
toán sơ cấp, một số bài toán cao cấp.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các kết quả về lý thuyết điểm bất động, một số ứng dụng của nó
cho một số bài toán sơ cấp và một số bài toán cao cấp. Cụ thể, luận văn
gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ.
Chương 2: Lý thuyết điểm bất động.

Chương 3: Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động.

5. Phương pháp nghiên cứu
* Nghiên cứu lý luận, đọc tài liệu chuyên khảo.
* Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài.


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1.

Lý thuyết không gian mêtric

1.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Ta gọi là không gian mêtric một tập hợp X ƒ= ∅ cùng
với một ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa
mãn các tiên đề sau đây:
1) (∀x, y ∈ X) d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y (tiên đề đồng
nhất);
2) (x, y ∈ X) d (x, y) = d (y, x) (tiên đề đối xứng);
3) (∀x, y ∈ X) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) (tiên đề tam giác).
Ánh xạ d gọi là mêtric trên X, số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa hai
phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1, 2, 3
gọi là hệ tiên đề mêtric.
Không gian mêtric được ký hiệu là M = (X, d) .
Định nghĩa 1.2. Cho không gian mêtric M = (X, d) . Một tập con
bất kỳ X0 ƒ= ∅ của tập X cùng với mêtric d trên X lập thành một không
gian mêtric. Không gian mêtric M0 = (X0, d) gọi là không gian mêtric
con của không gian mêtric đã cho.
1.1.2. Các tính chất đơn giản

Dựa vào định nghĩa, dễ dàng chứng minh các tính chất đơn giản sau đây:
n−1
.
∗
d (xj, xj+1);
1) (∀xj ∈ X, j = 1, 2, ..., n, n ∈ N ) d (x1,
j=1
xn ) ≤
2) (∀x, y, u, v ∈ X) |d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u) + d (y, v) (Bất
đẳng thức tứ giác);
3) (∀x, y, u ∈ X) |d (x, y) − d (y, u)| ≤ d (x, u)(Bất đẳng thức tam
giác);


9

1.1.3. Ví dụ
Ví dụ 1.1. Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R ta đặt:
(1.1)

d (x, y) = |x − y| .

Dựa vào các tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập số thực R dễ dàng
kiểm tra hệ thức (1.1) xác định một mêtric trên R. Không gian tương ứng
được ký hiệu là R1. Ta sẽ gọi (1.1) là mêtric tự nhiên trên R.
Ví dụ 1.2. Với hai vectơ bất kỳ x = (x1, x2, ...xk) ; y = (y1, y2, ...yk)
thuộc không gian vectơ thực k chiều Rk (k là số nguyên dương nào đó)
ta đặt:
‚
. .

k .
,
(1.2)
d (x, y) =
(xj .
− yj )2
j=1

Dễ dàng thấy hệ thức (1.2) thoả mãn các tiên đề 1 và 2 về mêtric. Để
kiểm tra hệ thức (1.2) thoả mãn tiên đề 3 về mêtric, trước hết ta chứng
minh bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski, với 2k số thực ajbj (j = 1, 2,
..., k) ta có:

‚
.
. ‚.
k
k
.. . .k .
.
.
.
a
b
≤
.
ajj j .
j.
2 b2
.

. ,
,
.
.

(1.3)

j=1

j=1

j=1

Thật vậy:
.
k
.
k
0≤.
2 (aibj −
ajbi)
i=1

.

k

k

.

=.
+

j=
1

.
.
i j

i=1
j=1

k

k

a2
b2 − 2
2 2
a b .

k

j=1

2
j=1

j

j=1

k

.

k

aib iajbj

i= j=
1
1

. . k .
. k
.
2
.
= 2 . aj
b −2
.

.

j i

i=1
j=1

.2
aj b j


10

Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.3) với 3 vectơ bất kỳ:
x = (x1, x2, ...xk) , y = (y1, y2, ...yk) , z = (z1, z2, ...zk)
thuộc Rk ta có:
2

k.

d (x, y) =

k
2

(xj − yj ) =

2

)]

j=1

j=1

.

[(xj − zj ) − (zj − yj


=

k
.

k
2

(xj − zj ) + 2

(zj − yj )

k

.

(xj − zj ) (zj − yj ) +

.

2

j=1

j=1

j=1

‚
‚
..
..
.
.
k
k
2
2
2
≤ d (x, z) + 2
(xj − zj )
(zj − yj ) + d2
(z, y)
,
,
j=1

j=1

= d2 (x, z) + 2d (x, z) d (z, y) + d2 (z, y) = [d (x, z) + d (z, y)]

2

⇒ d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) .
Do đó hệ thức (1.2) thoả mãn tiên đề 3 về mêtric. Vì vậy hệ thức (1.2) xác
định một mêtric trên không gian Rk.

Không gian mêtric tương ứng vẫn ký hiệu là Rk và thường gọi là khơng
gian Euclid, cịn mêtric (1.2) gọi là mêtric Euclid.
Ví dụ 1.3. Ta kí hiệu l2 là tập tất cả các dãy số thực hoặc số phức
∞

x = (xn)n= ,
2

sao cho chuỗi số
dương

.∞ |x |
n
hội tụ. Với hai dãy số bất kỳ:
n=
1
∞

∞

x = (xn)n= , y = (yn)n= ,
thuộc l2 ta đặt:

‚
. .∞.
,
d (x, y) =

2

(1.4)

(xn − yn) .

n=1

Hệ thức (1.4) xác định một ánh xạ từ tích Descartes l2 × l2 vào tập số thực
R. Thật vậy ∀n = 1, 2, .... ta có,
.
.
|x
ynn| −
=
x
−
2x
y
+
y
n n
n
n ≤ | + 2 |xn| |yn| + |yn|
2 xn| 2
2
2
2
.
.
≤ 2 . xn|2 + |yn| ..
2

|
Do đó ∀p > 0 đều có:
p

.

2

p
.
n=1

p
2

∞

2

.

∞
2

2 y |
|xn −
n


≤2

n=1

|xn|

+ 2 . |yn| ≤ 2
n=
1

n=
1

|xn| + 2 . |yn|
n=
1


11

suy
ra

2

|xn| + ∞
. |x − y |2
. |y |2.
.
n
n
n

2
≤2
p

∞

n=
1

n=
1

n=1

Nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức (1.4) hội tụ. Dễ dàng thấy hệ
thức (1.4) thoả mãn các tiên đề 1 và 2 về mêtric với ba dãy bất kỳ:
∞

∞

∞

x = (xn)n= , y = (yn)n= , z = (znn=
) ,
thuộc l2 và với số p nguyên dương tuỳ ý ta có:
1
1
..
.
.

.
.
.
2 2
p
p
2 2
2
≤
|xn −
|xn −
+ |zn − yn|.
n=1
yn |
z n|
n=1
.

p
.

≤

1

1

1

1

. p
. ∞
. ∞
.
.
.
.
.
2
2
2
2
+
.
+
.
2
2
2
≤
|xn − zn|
|zn − yn|
|xn − zn|
|zn − yn| 2.

n=
1

n=

1

Cho p → ∞ta được:
.

p

.

d (x, y)
=

1
.2

.

∞

|xn − yn|
n=1

n=
1

1
. 2 .

.

≤

n=
1

|xn − zn|

+

n=1

1
. 2

∞
.

|zn − yn|
n=1

= d (x, z) + d (z,
y) .
Do đó hệ thức (1.4) thoả mãn tiên đề 3 của mêtric. Vì vậy hệ thức (1.4)
xác định một mêtric trên l2 . Không gian mêtric tương ứng vẫn ký hiệu là
l2. Không gian l2 đơi khi cịn gọi là khơng gian Euclid vơ hạn chiều.
1.1.4. Sự hội tụ trong không gian mêtric
Định nghĩa 1.3. Cho không gian mêtric M = (X, d) , dãy điểm (xn)
∈ X, điểm x0 ∈ X. Dãy điểm (xn) gọi là hội tụ tới điểm x0 trong
không gian M khi n → ∞, nếu
(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n ≥ n0) d (xn, x0) < ε.

Ký
hiệu:

li
m

xn = x0 hay

12

xn → x0 (n → ∞) .

n→∞

Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy (xn) trong không gian M.


Ví dụ 1.4. Sự hội tụ của một dãy điểm (xn) trong không gian R1 là sự
hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích tốn học.
Ví dụ 1.5. Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Euclid Rk
tương đương với sự hội tụ theo toạ độ.
(n)
(n)
(n)
Thật vậy, giả sử dãy điểm x(n) = .x , x , ...., x .
...) hội
1
k

2

(n = 1, 2,

k

tụ tới điểm x = (x1, x2, ..., xk) trong R . Theo định nghĩa:
(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n ≥ n0)
‚
..........................................................................2
k

d
Suy
ra

x

(n)

.. (n
x) −
=,
xj
j
j=1

,

x

< ε.

.
.
(n)
.
.
−
x
.xj
j . < ε ∀n ≥ n0 ∀j = 1, 2, ..., k
Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ với ∀j = 1, 2, ..., k dãy số thực .xj

(1.5)
(n)

. hội

tụ tới số thực xj khi n → ∞ sự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo toạ độ.
(n)
(n)
(n)
Ngược lại, giả sử dãy điểm x(n) = .x , x , ..., x . (n = 1, 2, ...)
hội
1

2

k

tụ theo toạ độ tới điểm x = (x1, x2, ..., xk) theo định nghĩa (∀ε > 0)
(với mỗi j = 1, 2, ..., k ),
. (n
..
ε
(. n
)
(
n
n
)
)
∗
− xj. < √
∃ j∈N ∀ ≥
j
x
k
.
j

Đặt n0 = max {n1, n2, ..., nk} , thì (∀n ≥ n0) ta có:
.
.
. (n)
.
ε
(j = 1, 2, ...k)

.xj − xj . < √
k
.
(n)
.2 ε2
<
(j = 1, 2, ...k)
⇒ xj −
k
xj
.

k

2

.
j

⇒

j=1


x

(n)

t − xj .

< ε2
. k
‚
..
⇒,
j=1

.
j

(n)

x

−

∀n ≥ n0

.2
<ε

∀n ≥ n0.

xj

Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo mêtric Euclid của không gian Rk.


1.1.5. Ánh xạ liên tục
Cho hai không gian mêtric M1 = (X, d1) , M2 = (Y, d2) ánh xạ f

từ không gian M1 đến không gian M2 .
Định nghĩa 1.4. Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu:
(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ X : d1 (x, x0) < δ) d2 (f (x) , f (x0))
< ε.
Hay nói cách khác : Ánh xạ f gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với lân cận
cho trước tuỳ ý Uy0 = S (y0, ε) ⊂ Y của điểm y0 = f (x0) trong M2 ắt
tìm được lân cận Vx0 = S (x0, δ) ⊂ X của điểm x0 trong M1 sao cho f
(Vx0 ) ⊂ Uy0 .
Định nghĩa 1.4 tương đương với định nghĩa sau đây:
Định nghĩa 1.5. Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X, nếu với mọi
dãy điểm (xn) ⊂ X hội tụ tới điểm x0 trong M1, dãy điểm (f (xn))
hội tụ tới f (x0) trong M2.
Chứng minh sự tương đương của Định nghĩa 1.4 và Định nghĩa 1.5 như
sau:
Hiển nhiên, nếu ánh xạ f liên tục tại x0 theo Định nghĩa 1.4 thì ánh
xạ
f liên tục tại x0 theo Định nghĩa 1.5.
Giả sử ánh xạ f liên tục tại điểm x0 theo Định nghĩa 1.5 nhưng ánh
xạ f
không liên tục tại x0 theo Định nghĩa 1.4 nghĩa là:
(∃ε0 > 0) (∀n ∈
N∗ )

.
.
∃xn ∈ X : d1 (xn, x0) <

1

d2 (f (xn) , f (xo)) ≥

ε0

n

Ta nhận được dãy điểm (xn) ⊂ X hội tụ tới điểm x0 trong M1, nhưng
dãy điểm (f (xn)) không hội tụ tới f (x0) trong M2, điều này mâu
thuẫn với giả thiết. Mâu thuẫn đó chứng tỏ, nếu ánh xạ f liên tục tại


x0 ∈ X theo Định nghĩa 1.5 thì ánh xạ f liên tục tại x0 theo Định nghĩa
1.4.
Định nghĩa 1.6. Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A ⊂ X nếu ánh xạ
f
liên tục tại mọi điểm x ∈ A. Khi A = X thì ánh xạ f gọi là liên tục.


Định nghĩa 1.7. Ánh xạ f gọi là liên tục đều trên tập A ⊂ X nếu
(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x, x, ∈ A : d1 (x, x,) < δ) : d2 (f (x) , f (x,) < ε)
.
Dễ dàng thấy, nếu ánh xạ f liên tục đều trên tập A ⊂ X thì ánh xạ f
liên tục trên tập A.
1.1.6. Không gian mêtric đầy
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.8. Cho không gian mêtric M = (X, d) . Dãy điểm (xn)
⊂X
gọi là dãy cơ bản trong M nếu :
(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀m, n ≥ n0) , d (xn, xm) < ε
hay

lim d (xn, xm) = 0.

n,m→∞

Dễ thấy mọi dãy điểm (xn) ⊂ X hội tụ trong M đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.9. Không gian mêtric M = (X, d) gọi là không gian đầy,
nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1.6. Khơng gian mêtric R1 là khơng gian đầy, điều đó suy ra từ
tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích tốn
học.
Ví dụ 1.7. Khơng gian Rk là không gian đầy.
Thật vậy, giả sử x(n) =

. (n
1

x
)

(n
)
2

, ...,
x

(n
. (n
)
k

= 1, 2, ...) là dãy cơ bản

tuỳ
,
x
ý trong không gian Euclid Rk. Theo định nghĩa dãy cơ bản:
(m)
(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀m, n ≥ n0) ,xd(n. , x . < ε
)

hay

.
.

‚
.2
. k.
..
(n)
(m)
x
,
<ε
j − xj
j=
. 1
(m) .

(n)

.xj
xj

−

.<ε

∀m, n ≥ n0; ∀j = 1, 2, ..., k

(1.6)


Các bất đẳng thức (1.6) chứng tỏ, với mỗi j = 1, 2, ..., k dãy
số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn lim

(n)
n→∞ x j

.

. (n . là

xj

dãy

)

= xj (j = 1, 2, ..., k)


.
.
Đặt x = (x1, x2, ..., xk) ta nhận được dãy x(n) ⊂ Rk đã cho hội tụ
theo
toạ độ tới x. Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclid Rk tương đương với
.
.
sự hội tụ theo toạ độ, nếu dãy cơ bản x(n) đã cho hội tụ tới x trong
không
gian Rk. Vậy khơng gian Euclid Rk là khơng gian đầy.
Ví dụ 1.8. Không gian C[a,b] là không gian đầy. Thật vậy, giả sử (xn (t))
là dãy cơ bản tuỳ ý trong không gian C[a,b]. Theo định nghĩa dãy cơ bản
(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀m, n ≥ n0)
x(n), x(m) . = max |xn (t) − xm (t)| < ε
d.
a≤t≤b

⇒ |xn (t) − xm (t)| < ε ∀m, n ≥ n0; ∀t ∈ [a, b] .

(1.7)

Các bất đẳng thức (1.7) chứng tỏ, với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc đoạn [a, b]
dãy {xn (t)} là dãy số thực cơ bản nên phải tồn tại giới hạn:
lim xn (t) = x (t) , t ∈ [a, b] .
n→∞

Ta nhận được hàm số x (t) xác định trên [a, b] . Vì các bất đẳng thức

(1.7) khơng phụ thuộc t, nên cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức
này khi n → ∞ ta được:
|xn (t) − x (t)| ≤ ε, ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b]

(1.8)

Các bất đẳng thức (1.8) chứng tỏ dãy hàm số {xn (t)} ⊂ C[a,b] hội tụ
đều tới hàm số x (t) trên đoạn [a, b] , nên x (t) ∈ C[a,b]. Nhưng sự hội tụ
trong không gian C[a,b] tương tự với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục
trên đoạn [a, b] nên dãy cơ bản {xn (t)} đã cho hội tụ tới x (t) trong
không gian C[a,b]. Vậy C[a,b] là không gian đầy.
Ví dụ 1.9. Khơng gian l2 là khơng gian đầy.
(n)
(n)
(n)
Thật vậy, giả sử x(n) = .x , x , ..., x . (n = 1, 2, ...) là dãy cơ
bản
1

2

k

tuỳ ý trong không gian l2, theo định nghĩa dãy cơ bản:
‚
.

∞

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀m, n ≥ n0) ,(n)
d
x ,
x

(m)

.=.
. . .x

,
k=1

.

.
k

(n)

x (m)
.2 < ε
.
−
k .


suy ra

‚

.
.(m).2 < ε
.. p .. (n
. ) −x
,
xk
k .
k=1

.. (n)
.xk −
xk

.
.<ε

(m).

(1.9)

(∀n, m ≥ n0; ∀p = 1, 2, ...)

(1.10)

(∀n, m ≥ n0 ∀k = 1, 2, ...)

Các bất đẳng thức (1.10) chứng tỏ, với mỗi k cố định tuỳ ý dãy

.

(n . là

xk
)

dãy cơ bản nên phải tồn tại giới hạn lim

(n)
n→∞ x k

= xk (k = 1, 2, ...) .
Đặt x = (x1, x2, ..., xk, ...) = (xk) . Vì các bất đẳng thức (1.9) khơng
phụ
thuộc p nên có thể cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức này khi m → ∞
ta được:
‚
.
. (n) − x .2
.. p .x
. ≤ ε ∀n ≥ n0; p = 1, 2, ...
(1.11)
k.
.k
,
k=1

tiếp tục cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức (1.11) khi p → ∞ ta được:
‚
.
. ∞

.
(n)
−
x
∀n ≥ n0.
(1.12)
k.2 ≤ ε,
.. .x
k
.
.
,
k=1

Mặt
khác:

2
.2
.
.(n).
...
.
(n)
.
|xk| = ... xk − (n
≤ (n − xk + .. .
+x
)
x )

x
x
.
.
.
. k .
k
k .
.
.2
. k
.2
(n)
.
.
.(n)
.+ 2 xk −
≤ 2 xk
, ∀k, n = 1, 2, ...
x
k
.
.
.
.
2

Từ các bất đẳng thức (1.12) và(1.13) suy ra:
p
p

.
p
.
.
.
.
(n1)
2.
2
.
.
|xk| ≤ 2
. k
+
xk
x
2
.
.
.
∞

≤ 2 . .x.
.

(n1).2

k

k=1

∞.

. +2 .
.x
. k=1

k=1
(n1
)

− xk

.2

<2
.x
. k

k=1
∞.
(n1.)2

.

(n1 )

(1.13)

.2

.
− xk
.

2
(n1 > n0, ∀p = 1, 2,
. +2ε
...)


.

k=1
∞

⇒
2

..

k=1

.
2

|xk| <

∞
.

k=1

.

1 .2

(n

.
)x
. k .

k=1

k

.

+ 2ε2 (n1 > n0).
.

(n)

Do đó dãy x = (xk) ∈ l2. Các bất đẳng thức (1.12) chứng tỏ dãy cơ bản x
đã cho hội tụ tới x ∈ l2 trong khơng gian l2. Vì vậy không gian l2 là
không gian đầy.

.

1.1.7. Tập compact và không gian compact
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.10. Cho không gian mêtric M = (X, d) tập K ⊂ X
gọi là tập compact trong không gian M nếu mọi dãy vô hạn các phần tử
thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K. Tập K gọi là
tập compact tương đối trong không gian M nếu mọi dãy vô hạn các
phần tử đều chứa dãy con hội tụ (tới phần tử thuộc X).
Định nghĩa 1.11. Cho không gian mêtric M = (X, d) . Không gian M
gọi là không gian compact nếu tập X là tập compact trong M.
2. Ví dụ
Ví dụ 1.10. Trong không gian mêtric R1 (tập số thực R với mêtric tự
nhiên) đoạn bất kỳ là tập compact, khoảng bất kỳ là tập compact tương
đối. Các khẳng định trên suy ra từ bổ đề Bolzano – Weierstrass. Nhờ đó
dễ dàng chứng minh trong không gian Eucled Rn một tập bất kỳ đóng và
bị chặn là tập compact tương đối.
Ví dụ 1.11. Không gian mêtric C[a,b] không là không gian compact vì
dãy hàm số xn (t) = n trên đoạn [a, b] (n = 1, 2, ...) không chứa dãy
con nào hội tụ.

1.2.

Không gian định chuẩn, không gian Banach

1.2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.12. Ta gọi là không gian định chuẩn(hay khơng gian
tuyến tính định chuẩn) là khơng gian tuyến tính X trên trường P (P =
R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R ký hiệu là "
. " và đọc là chuẩn, thoả mãn các điều kiện sau đây:
1. (∀x ∈ X) "x" ≥ 0; "x" = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không
là θ); 2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) "αx" = |α| " x " ;

3. (∀x, y ∈ X) " x + y " ≤ " x" + "y" .