Một số vấn đề về đa thức nội suy

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
———————————–

NGUYEN QUANG
NH¾T

M®T SO VAN ĐE VE ĐA THÚC N®I
SUY

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
———————————–

NGUYEN QUANG
NH¾T

M®T SO VAN ĐE VE ĐA THÚC N®I
SUY
Chuyên ngành: Toán giái
tích Mã so: 60.46.01

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Ngưòi hưóng dan khoa hoc: TS. NGUYEN VĂN KHÁI


Lài cám ơn

Tác giá trân trong cám ơn Ban Giám hi¾u và Phòng Sau đai hoc
Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Ban Giám hi¾u và các thay cô
giáo Trưòng Cao đang Kinh te Ky thu¾t Vĩnh Phúc đã tao đieu ki¾n,
giúp đõ trong thòi gian vùa qua. Đ¾c bi¾t, tác giá xin bày tó lòng biet
ơn sâu sac đen TS. Nguyen Văn Khái, ngưòi đã t¾n tình chí báo,
hưóng dan và giúp đõ trong suot quá trình làm lu¾n văn. Cám ơn ban
bè và gia đình đã luôn bên canh, quan tâm và đ®ng viên trong vi¾c
hoc t¾p và nghiên cúu.
Hà N®i, tháng 9 năm 2009


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan trnc tiep cna TS. Nguyen Văn Khái.
Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.


Mnc lnc
Má đau

1

1 M®t so kien thNc chuan b%
3
1.1 M®t so khái ni¾m ve giái tích hàm.............................................. 3
1.1.1 Không gian mêtric............................................................... 3
1.1.2 Không gian tuyen tính........................................................ 5
1.1.3 Phiem hàm tuyen tính và không gian liên hop đai so 7
1.1.4 Không gian Banach.......................................................... 10

1.1.5 Không gian Hilbert............................................................ 13
1.2 Phân loai hàm................................................................................17
1.2.1 Đa thúc...............................................................................17
1.2.2 Hàm thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz................................ 19
1.2.3 Hàm khá vi......................................................................... 19
1.2.4 Hàm khá vi vô han............................................................21
1.2.5 Hàm chính hình trên đưòng thang.................................21
1.2.6 Hàm chính hình trên mien............................................... 24
2 Lý thuyet n®i suy
28
2.1 Lý thuyet n®i suy co đien.............................................................28
2.1.1 Bài toán n®i suy co đien..................................................28
2.1.2 Các công thúc bieu dien..................................................30
2.1.3 Sai so, van đe chon moc n®i suy, sn h®i tu cna quá
trình n®i suy.......................................................................37
2.2 M®t so mó r®ng bài toán n®i suy..............................................47
2.2.1 N®i suy phiem hàm tuyen tính....................................... 47
2.2.2 Đa thúc n®i suy Hermite..................................................52
3 M®t so Nng dnng cúa lý thuyet n®i suy trong toán sơ cap 55
Ket lu¾n

66

Tài li¾u tham kháo

67


6

Má đau
1. Lý do chon đe tài
Sn ra đòi bài toán n®i suy và quá trình nghiên cúu phát trien không
ngùng cna lý thuyet đa thúc n®i suy có ý nghĩa quan trong trong toán
hoc theo cá hai hưóng: Lý thuyet và úng dung.
Đoi vói lý thuyet đa thúc n®i suy, ngưòi ta quan tâm đen hau khap
các khía canh cna van đe: Sn ton tai, các bieu dien ó dang thúc khác
nhau, sai so, chon moc n®i suy cũng như sn h®i tu cna quá trình n®i
suy.
Đong thòi vói lý thuyet đa thúc n®i suy truyen thong, ngưòi ta còn
quan tâm đen bài toán đa thúc n®i suy Hermite và bài toán n®i suy
phiem hàm tuyen tính.
Lý thuyet đa thúc n®i suy có nhieu úng dung trong toán hoc như giái
gan đúng phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng,. . .
Trong toán sơ cap nó cũng có nhung úng dung khác nhau thú v%.
Vói muc tiêu muon tìm hieu m®t cách sâu sac có h¾ thong ve các
đa thúc n®i suy, tôi đã chon đe tài:
“M®t so van đe ve đa thúc n®i suy”.
2. Mnc đích nghiên cNu
Lu¾n văn nghiên cúu m®t so van đe cna lý thuyet n®i suy và m®t
vài úng dung trong toán sơ cap.
3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Lu¾n văn tìm hieu lý thuyet n®i suy co đien (Bài toán, công thúc
bieu dien, sai so, sn h®i tu cna quá trình n®i suy) cũng như m®t vài
phát trien sâu hơn cna bài toán n®i suy (n®i suy Hermite và bài toán
n®i suy phiem hàm tuyen tính).


4. Phương pháp nghiên cNu
Sú dung các phương pháp cna giái tích hàm và hàm so bien so

phúc.
5. NhÑng đóng góp mái ve khoa hoc, thNc tien cúa đe tài
Trình bày h¾ thong hoá lai nhung van đe cơ bán cna lý thuyet n®i
suy. M®t so úng dung đa thúc n®i suy trong toán sơ cap.
6. N®i dung
Lu¾n văn gom ba chương:
Chương 1 : M®t so kien thúc chuan b%.
Chương 2 : Trình bày các van đe cơ bán ve đa thúc n®i suy co
đien, các công thúc bieu dien, sn h®i tu cna quá trình n®i suy, đa thúc
n®i suy Hermite và bài toán n®i suy phiem hàm tuyen tính.
Chương 3 : M®t so úng dung trong vi¾c giái toán sơ cap.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
1.1

M®t so khái ni¾m ve giái tích hàm

Ta ký hi¾u R là t¾p các so thnc, Q là t¾p các so huu tí, Z là t¾p các
so nguyên và N là t¾p các so tn nhiên.
1.1.1

Không gian mêtric

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Xét m®t t¾p X ƒ= ∅ cùng vói ánh xa d : X × X
−→ R
thóa mãn các đieu ki¾n:
a) d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X, đong thòi d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;
b) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X;

c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó ánh xa d đưoc goi là hàm khoáng cách và t¾p hop X cùng vói d
là m®t không gian mêtric.
Neu M là m®t t¾p con khác rong cúa X thì M cùng vói d han che trên
M là m®t không gian mêtric con cúa không gian mêtric X.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Cho dãy các phan tú xn ∈ X, ∀n ∈ N và phan tú
x∗ X. Neu lim d(xn, x∗) = 0 thì x∗ đưoc goi là giói han cúa dãy
∈
n→∞
(xn)
và ký hi¾u lim xn = x∗ .
n→∞

Đ%nh nghĩa 1.1.3. Dãy (xn) ⊂ X đưoc goi là dãy Cauchy neu ∀s > 0,
∃N0
sao cho ∀n, m ≥ N0 thì d(xn, xm) < s.
Đ%nh nghĩa 1.1.4. Không gian mêtric X thóa mãn đieu ki¾n moi dãy
Cauchy đeu h®i tn tói m®t điem cúa X đưoc goi là không gian mêtric đú.


Đ%nh
lí 1.1.5
ánhmãn
xa co).
đú và ánh
xa T (Nguyên
: X −→ Xlýthóa
đieu Giá
ki¾nsú X là không gian mêtric
d(T x, T y) ≤ αd(x, y)

(1.1)
vói hang
so 0 ≤ α < 1 và ∀x, y ∈ X. Khi đó ton tai duy nhat phan
tú x∗ ∈ X sao cho x∗ = T x∗ . Hơn nua, vói x0 ∗∈ X thì dãy (xn) xác đ
%nh
lưongbói xk+1 = T xk , ∀k ∈ N, h®i tn đen x , đong thòi ta có ưóc
∗

Chúng minh. Ta
có

d(xn, x )
≤

αn d(x1, x0).
1−α

(1.2)

k
d(xk+1, xk) = d(T xk , T xk−1 ) ≤ αd(xk, xk−1) ≤ · · · d(x1, x0), ∀k ∈ N.

≤α
Do đó ∀n ∈ N, ∀p ∈ N ta có
d(xn+p, xn) ≤ d(xn+p, xn+p−1)+· · ·+d(xn+1,
xn) ≤ (α
Suy ra

n+p− +· ·
1

n

·+α

)d(x1,
x0).

d(xn+p, xn)
≤

αn d(x1, x0).
(1.3)
1−
α
Vì 0 α < 1 nên lim αn = 0, do đó tù (1.3) suy ra dãy (xn) là dãy
≤
n→∞
Cauchy, bói v¾y ton tai x∗ ∈X sao cho lim xn = x∗ .
n→∞

Trong (1.3) ta cho p −→ ∞ ta đưoc (1.2) can chúng minh.Vì xn+1 =
T xn nên cho n −→ ∞ ta đưoc x∗ = T x∗ . V¾y x∗ là điem mà x∗ = T x∗ .
Giá sú còn có x¯ cũng có tính chat x¯ = T x¯. Khi đó
d(x∗ , x¯) = d(T x∗ , T x¯) ≤ αd(x∗ ,
x¯).
∗
Mà α < 1 nên suy ra d(x , x¯) = 0 hay x∗ = x¯. V¾y x∗ là duy nhat.
Ví dn 1. Xét X = R vói khoáng cách thông thưòng d(x, y) = |x −
y|. Khi đó X là m®t không gian mêtric, hơn nua nó còn là m®t không
gian mêtric đn.

Ví dn 2. Xét X = Q vói khoáng cách d(x, y) = |x − y|. Khi đó X là m®t
không gian mêtric không đn.
Ví dn 3. Xét X = C[0, 1] gom các hàm liên tuc trên [0, 1] vói
khoáng cách d(x, y)| = −max x(t) y(t) . Khi đó X là m®t không
|
gian mêtric.
Th¾t v¾y,

0≤t≤1


a) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
b) d(x, y) = max |x(t) − y(t)| = max |y(t) − x(t)| = d(y, x).
0≤t≤1

0≤t≤1

c) ∀t ∈ [0, 1] : |x(t) − y(t)| = |x(t) − z(t) + z(t) − y(t)| ≤ |x(t)
− z(t)| +
|z(t) − y(t)|.
V¾y max |x(t) − y(t)| ≤ max |x(t) − z(t)| + max |z(t) −
y(t)|, túc là
0≤t≤1

0≤t≤1

0≤t≤1

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, x), ∀x, y, z ∈ X.
Hơn nua, ta có the chúng minh C[0, 1] là m®t không gian mêtric đn.

1.1.2

Không gian tuyen tính

Đ%nh nghĩa 1.1.6. T¾p X cùng vói phép c®ng và phép nhân vô
hưóng đưoc goi là m®t không gian tuyen tính thnc (nói ngan gon là
không gian tuyen tính) neu các đieu ki¾n sau đưoc thóa mãn:
a) x + y = y + x;
b) (x + y) + z = x + (y + z);
c) Ton tai phan tú trung hoà θ ∈ X sao cho x + θ = x;
d) Ton tai −x ∈ X sao cho x + (−x) = θ;
e) (s + t)x = sx + tx;
f) t(x + y) = tx + ty;
g) s(tx) = (st)x;
h) 1.x = x
vói moi x, y, z ∈ X và moi s, t ∈ R.
Moi phan tú x ∈ X đưoc goi là m®t vectơ, các đieu ki¾n trên đưoc goi
là các tiên đe ve không gian tuyen tính thnc.
Đ%nh nghĩa 1.1.7. Giá sú X là m®t không gian tuyen tính thnc. T¾p con
X1 cúa X đưoc goi là m®t không gian tuyen tính con cúa không gian
X neu X1 cùng vói hai phép toán cám sinh cúa X trên X1 tao thành
m®t không gian tuyen tính.
De thay rang vói m®t không gian tuyen tính X thì các khang đ%nh
sau là đúng:


a)
b)
c)
d)

e)

Phan tú trung hoà θ là duy nhat.
Phan tú đoi (−x) cna phan tú x ∈ X là duy nhat.
∀x ∈ X thì 0.x = θ.
∀x ∈ X thì (−1).x = −x.
∀k ∈ R thì k.θ = θ.

f) Neu k.x = θ thì k = 0 ho¾c x = θ.
Đ%nh nghĩa 1.1.8. Cho X là m®t không gian tuyen tính. M®t bieu thúc
dang
α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn; αi ∈ R, xi ∈ X
đưoc goi là m®t to hop tuyen tính cúa h¾ vectơ {x1, x2, . . . , xn}.
Đ%nh nghĩa 1.1.9. Cho h¾ n vectơ x1, . . . , xn trong không gian tuyen
tính
X. Xét đang thúc vectơ
α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn = θ.
Neu đang thúc trên chs xáy ra vói α1 = α2 = · · · = αn = 0 thì
ta nói rang h¾ n vectơ đó đ®c l¾p tuyen tính. Neu ton tai m®t b® so
α 1, . . . , α n
n
.
vó
α2 > 0 sao cho đang thúc trên đưoc thoá mãn thì ta nói rang
i h¾ ni
i=1

vectơ trên là phn thu®c tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.1.10. H¾ vô han các phan tú {xi}i∈I thu®c không gian
tuyen tính X đưoc goi là đ®c l¾p tuyen tính neu như moi h¾ con huu han

cúa nó là đ®c l¾p tuyen tính.
Đ%nh
nghĩa 1.1.11. Cho n là m®t so nguyên dương và X là m®t không
gian
tuyentuyen tính. Neu ta tìm đưoc n vectơ x1, x2, . . . , xn ∈ X đ®c l¾p
tính và moi h¾ n + 1 vectơ trong X đeu phn thu®c tuyen tính thì ta
nói không gian X có so chieu là n và kí hi¾u là dim X = n. Neu không
ton tai n như v¾y ta nói không gian X là vô han chieu.
Đ%nh
nghĩa
X là
m®t
không
tuyen
tính.
M®t
t¾p
các
phan
tú xx1.1.12.
, x2,bieu
· Cho
· ·dien
∈
X
đưoc
goidang
làgian
m®t
cơ

só cúa
X tính
neu hop
vói
1
moi
x
∈
X,
luôn
đưoc
dưói
m®t
to
hop
tuyen
cúa
xi và
bieu dien này là duy nhat.


Đ%nh lí 1.1.13. Không gian tuyen tính X có so chieu là n khi và chs khi
cơ só cúa X gom n phan tú. Neu X có so chieu là n thì moi h¾ vectơ
đ®c l¾p tuyen tính gom n phan tú đeu là cơ só cúa nó.
Đ%nh
nghĩa 1.1.14. Giá sú X và Y là hai không gian tuyen tính trên R.
Khi
đieu đó ánh xa T : X → Y đưoc goi là tuyen tính neu T thoá mãn hai
ki¾n:
a) T (x1 + x2) = T (x1) + T (x2), ∀x1, x2 ∈ X;

b) T (kx) = kT (x), ∀k ∈ R, ∀x ∈ X.
1.1.3

Phiem hàm tuyen tính và không gian liên hap đai so

Đ%nh
X m®t
không gian tuyen tính trên R. M®t
ánh xa Lnghĩa
: X →1.1.15.
R thoáGiá
mãnsúđieu
ki¾n:
a) L(x1 + x2) = L(x1) + L(x2) ∀x1, x2 ∈ X;
b) L(kx) = kL(x) ∀k ∈ R, ∀x ∈ X
đưoc goi là m®t phiem hàm tuyen tính.
Ví dn 4. Xét X = C[a, b] và ánh xa L : X → R xác đ%nh bói
¸ b
L(f ) =
f (x)dx.
a

Khi đó L là phiem hàm tuyen tính. Th¾t v¾y, ∀f (x), g(x) ∈ C[a, b] ∀k,
l∈
R:
¸ b
L(kf + lg)
[kf (x) + lg(x)]dx
a
=

¸
¸
b

=
+

b

kf (x)dx

lg(x)dx

a
a

¸

=k

b

¸
b

f (x)dx + l
a

g(x)dx

a

= kL(f ) + lL(g).
Sú dung đ%nh nghĩa, de dàng chúng minh các phiem hàm trong
các ví du dưói đây là tuyen tính.


Ví dn 5. X = C1[a, b] và phiem hàm L : X → R xác đ%nh bói
a+b
t

t

L(f ) = f (a) + f (b) − f (

).
2
Ví dn 6. X = C[a, b] và phiem hàm L : X → R xác đ%nh bói
¸ b
n
.
L(f ) =

f (x)dx −

a

xif (xi)

i=1

vói các xi phân bi¾t thoá mãn a ≤ xi ≤ b.
Ví
dn so
7. co
X=
Rn, ánh
x = xa
(x1L
, x:2X
, .→
..R
, xnxác
). Cho
a1,bói
a2, . . . , an là nhung
hang
đ%nh,
đ%nh
n
.
L(x) =
a i xi .
i=1

Có the c®ng hai phiem hàm ho¾c nhân phiem hàm vói m®t so thnc.
Chang han neu f ∈ C1[a; b] và
¸
L1(f ) = b
f (x)dx, L2(f )

a+
b
2

= f t(

)

a

thì có the đong nhat phiem hàm
¸ b f (x)dx +
t
L(f ) = α βf (
a

a+
b
2

)

vói bieu thúc αL1 + βL2, khi đó L là m®t phiem hàm tuyen tính. Đieu
này làm cơ só cho đ%nh nghĩa sau.
Đ%nh nghĩa 1.1.16. Cho X là m®t không gian tuyen tính và L1, L2 là
hai phiem hàm tuyen tính xác đ%nh trên X. Tong cúa L1 và L2, tích
cúa L1 vói so thnc α đưoc xác đ%nh như sau
(a)

(L1 + L2)(x) = L1(x) + L2(x) ∀x ∈ X;

(b)

(αL1)(x) = αL1(x) ∀x ∈ X.

(1.4)

Có the chúng minh đưoc t¾p hop tat cá các phiem hàm tuyen tính
xác đ%nh trên X cùng vói hai phép toán trên cũng là m®t không gian
tuyen
tính và ta kí hi¾u là X∗ , X∗ là không gian liên hop đai so cna X.


Ví dn 8. Xét X = C[a, b] và x1, x2, . . . , xn là n điem phân bi¾t trên
[a, b]. L1, L2, . . . , Ln là n phiem hàm tuyen tính trên X và đưoc xác
đ%nh bói
Lk(f ) = f (xk) vói f ∈ X. Khi đó L1, L2, . . . , Ln đ®c l¾p tuyen tính
trên
X∗ .
Th¾t v¾y, giá sú có các hang so a1, a2, . . . , an không đong thòi
bang 0 sao cho
a1L1 + a2L2 + · · · + anLn = 0.
Suy ra a1f (x1) + a2f (x2) + · · · + anf (xn) = 0 vói moi f ∈ C[a,
b]. Vô lí vì neu ak ƒ= 0 thì có the tìm đưoc m®t hàm liên tuc mà f
(xk) = 1, f (xi) = 0, i ƒ= k, v¾y ak = 0. Ta đưoc đieu phái chúng
minh.
Bo đe 1.1.17. Cho X là m®t không gian n chieu. Neu x1, x2,∗. . . , xn
đ®c l¾p tuyen tính trong X và L1, L2, . . . , Ln đ®c l¾p trong X thì
|Li(xj )| =ƒ

0.

(1.5)

Ngưoc lai, neu x1, x2, . . . , xn ho¾c L1, L2, . . . , Ln đ®c l¾p và (1.5)
đưoc thóa mãn thì t¾p còn lai cũng v¾y.
Đ%nh lí 1.1.18. Neu dim X = n thì dim X ∗ = n.
Chúng minh. Lay x1, x2, . . . , xn là m®t cơ só (n phan tú đ®c l¾p). Vói
moi
x ∈ X, x = a1x1 + a2x2 + · · · + anxn là bieu dien duy nhat.
Vói moi x ∈ X, đ¾t
L1(x) = a1, L2(x) = a2, . . . , Ln(x) = an.
Các
Li là nhung
hàm tuyen
đ%nh
đ®c
l¾p
tính vìphiem
neu không,
β1L1 tính
+ β2xác
L2 +
· · · trên
+ βnX.
LnChúng
= 0 vói
βj
ƒ= 0tuyen

nào đó,
ta đưoc
β1L1(xj ) + β2L2(xj ) + · · · + βnLn(xj ) = 0(xj ) = 0.
.

Nhưng
Li(xj ) = δij
=

1
0

neu i = j
neu i ƒ= j

nên 1 = 0, vô
lí.
Như v¾y so chieu cna X ∗ nhó nhat bang n. Giá sú có n + 1 phiem
hàm
L1, L2, , . . . , Ln+1. Xét n + 1 b®
[Li(x1), Li(x2), . . . , Li(xn)], i = 1, 2, . . . , n + 1.


Vì Rn (ho¾c Cn) có n chieu nên các b® trên không the đ®c l¾p tuyen tính.
Do đó có α1, α2, . . . , αn+1 không đong thòi bang 0 sao cho
α1[L1(x1), . . . , L1(xn)]+· · ·+αn+1[Ln+1(x1), . . . , Ln+1(xn)] = 0 =
[0, 0, . . . , 0].
Vì v¾y (α1L1 + · · · + αn+1Ln+1)(xi) = 0, i = 1, 2, . . . , n. Bang
cách lay to hop tuyen tính ta đưoc
(α1L1 + · · · + αn+1Ln+1)(x) = 0,

x ∈ X.
Do đó L1, L2, , . . . , Ln+1 phu thu®c tuyen tính và vì v¾y so chieu cna X ∗
bang n.
Đ%nh lí trên cho ta thay rang trên m®t không gian n chieu X, moi
phiem hàm tuyen tính đeu có the đưoc bieu dien như m®t to hop tuyen
tính cna n phiem hàm tuyen tính đ®c l¾p co đ%nh.
1.1.4

Không gian Banach

Đ%nh
nghĩa 1.1.19. Giá sú X là m®t không gian tuyen tính trên R. Ánh
xa
các"·" : X → R xác đ%nh trên X lay giá tr% trên t¾p so thnc, thoá mãn
đieu ki¾n sau:
a) "x" ≥ 0, ∀x ∈ X đong thòi "x" = 0 ⇔ x
= θ; b) "αx" = |α| "x" ∀x ∈ X, ∀α ∈ R;
c) "x + y" ≤ "x" + "y" ∀x, y ∈ X,
đưoc goi là m®t chuan trên X.
Đ%nh nghĩa 1.1.20. Không gian tuyen tính X cùng vói chuan "·" đưoc
goi là m®t không gian tuyen tính đ%nh chuan.
Đ%nh lí 1.1.21. Cho không gian tuyen tính đ%nh chuan X. Vói x, y ∈ X
đ¾t
d(x, y) = "x − y" .
(1.6)
Khi đó d là m®t mêtric trên X.
Chúng minh cna đ%nh lí trên de dàng suy ra tù các đieu ki¾n cna
chuan. Nhò đ%nh lí 1.1.21, moi không gian tuyen tính đ%nh chuan đeu
là không gian mêtric vói mêtric (1.6).

Đ%nh nghĩa 1.1.22. Không gian tuyen tính đ%nh chuan X đưoc goi là
không gian Banach neu moi dãy Cauchy trong X đeu h®i tn tói m®t phan
tú trong X.
Đ%nh
nghĩa 1.1.23. Cho X, Y là hai không gian Banach, toán tú tuyen
tính
bat T : X → Y đưoc goi là liên tnc tai x0 ∈ X neu vói moi dãy điem
kì (xn) X sao cho lim
xn = x0 thì T xn = T x0 .
⊂
lim
n→∞
n→∞

Đ%nh
Giátoán
sú X,túYtuyen
là haitính.
không
chuan
và T : Xnghĩa
−→ 1.1.24.
Y là m®t
Neugian
ton tuyen
tai giátính
tr%đ%nh
huu han
"T " = sup "T x < +∞

"
∅ƒ=x∈X
"x"
thì toán tú T đưoc goi là b% ch¾n (hay giói n®i) và so "T " đưoc goi là
chuan cúa toán tú T .
Ta cũng thay rang các khang đ%nh sau là đúng.
Đ%nh lí 1.1.25. Toán tú tuyen tính T : X −→ Y là giói n®i khi và chs
khi T là m®t toán tú liên tnc.
Đ%nh lí 1.1.26.
"T " = sup "T x" =
"x"≤1 sup

"T x" .

"x"=
1

Ví dn 9. Xét C[0, 1] là t¾p các hàm liên tuc trên đoan [0, 1]. Vói x(t),
y(t) ∈
C[0, 1], k ∈ R ta đ%nh nghĩa
(x + y)(t) = x(t) + y(t) ∀t ∈
[0, 1],
(kx)(t) = kx(t) ∀t ∈ [0, 1].
Khi
đó C[0, 1] cùng vói hai phép toán
trên|x(t)|
là m®t
trên
max
thìkhông

có thegian
thaytuyen
"·" làtính
m®t R. Vói x ∈ C[0, 1], đ¾t "x" =
t∈[0,1]
chuan trên C[0, 1] và C[0, 1] cùng vói chuan nêu trên là m®t không
gian Banach.
Đ%nh
1.1.27. Cho không gian tuyen tính đ%nh chuan X và dãy
điem (xnghĩa
n) ⊂ X. Ta goi là chuoi là bieu thúc có dang
x1 + x2 + · · · + xn + · · ·


và đưoc viet
là

.∞
n=
1

xn. Bieu thúc
k

sk =

.

x n , k ∈ N∗

n=1

đưoc goi là tong riêng thú k cúa chuoi.
Neu ton tai lim s = s trong không gian X thì chuoi goi là h®i tn và s
k
k→∞

goi là tong cúa chuoi.
Đ%nh nghĩa 1.1.28. Chuoi
x1 + x2 + · · · + xn + · · ·
đưoc goi là h®i tn tuy¾t đoi neu chuoi so sau h®i tn
"x1" + "x2" + · · · "xn" + · · ·
Đ%nh lí 1.1.29 (Tiêu chuan Cauchy ve sn h®i tu cna chuoi). Cho X là
.∞
n=
không gian Banach. Chuoi
xn h®i tn khi và chs khi
1

∀s > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n ≥ n0, ∀p ∈ N∗ : "xn+1 + xn+2 + · · · +
xn+p" < s.
Đ%nh lí 1.1.30. Không gian tuyen tính đ%nh chuan X là không gian Banach khi và chs khi trong không gian X moi chuoi h®i tn tuy¾t đoi đeu
h®i tn.
∞
Chúng minh. Giá sú X là không gian Banach và chuoi . "xn" h®i tu.
n=
1

Khi đó
p

∗

∗

∀s > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n ≥ n0, ∀p ∈ N :

.

"xn+j" < s.

j=
1

Suy
ra
p

.
∀s > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N : xn+j
∗

∗

j=1

Theo tiêu chuan Cauchy,
chuoi

.∞

n=1

p

.
j=
1

"xn+j " < s.


xn h®i tu trong không gian X.


Ngưoc lai, giá sú trong không gian tuyen tính đ%nh chuan X moi
chuoi h®i tu tuy¾t đoi đeu h®i tu và (xn) là dãy Cauchy tùy ý trong
không gian X. Ta có
∀s > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n, m ≥ n0 : "xn − xm " < s.
.
.
Nhò đó vói so s là phan tú cna dãy so 1 ta tìm đưoc so nk sao
2k cho
1
xnk+1 − xnk
(k ∈ N∗) vói nk < nk+1. Tù đó suy ra chuoi
k
<
2
"xn1 " + "xn2 − xn1 " + · · · +

xnk+1 − xnk

+···

h®i tu. Theo giá thiet, chuoi
xn1 + (xn2 − xn1 ) + · · · + (xnk+1 − xnk ) + · · ·
h®i tu trong không gian X, kí hi¾u tong cna chuoi này là s. Hien nhiên
s = lim [xn1 + (xn2 − xn1 ) + · · · + (xnk+1 − xnk xnk+1 .
)] = lim
k→∞

k→∞

Tù chúng minh trên và tù h¾
thúc
"xn − s" ≤ xn − xnk+1 + xnk+1 − s → 0 (k, n → ∞)
suy ra s = lim x trong không gian tuyen tính đ%nh chuan X. Do đó X
n
n→∞
là không gian Banach. Đ%nh lí đưoc chúng minh.
1.1.5

Không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.1.31. Cho X là m®t không gian tuyen tính. Ánh xa ϕ :
X × X −→ R thóa mãn ba đieu ki¾n sau đưoc goi là m®t tích vô
hưóng
trên X:
a) ϕ(x, x) ≥ 0 ∀x ∈ X đong thòi ϕ(x, x) = 0 ⇐⇒ x = θ;
b) ϕ(x, y) = ϕ(y, x) ∀x, y ∈ X;

c) ϕ(αx1 + βx2, y) = αϕ(x1, y) + βϕ(x2, y) ∀x1, x2 ∈ X và ∀α, β
∈ R.
ϕ(x, y) đưoc goi là tích vô hưóng cúa hai phan tú x, y và thưòng đưoc
kí hi¾u là (x, y).


Nh¾n
Theo X(·).
là m®t
không
tuyen
trên
đ%nh
m®t
tích xét:
vô hưóng
Khi đó
ánhgian
xa "·"
: Xtính
−→
R đó
xácxác
đ%nh
bói
"x" =
,(x, x) là m®t chuan trên X và X cùng vói chuan đó là m®t không
gian
tuyen
tính bói

đ%nh
chuan.
ChuanTùxác
đưoc
goi là
chuan
cám
sinh
tích=
vô"xhưóng.
đóđ%nh
ánhy, xxnhư
a−d y)
:trên
X
×
X −→
Rkhoáng
xác đ
%nh
bói
d(x,
y)
−
y"
=
,(x
−
là
m®t

hàm
cách trên X và
(X, d) là m®t không gian mêtric.
Đ%nh
nghĩa
1.1.32.
Cho không
tuyen
tínhtích
X cùng
vói tích(·)vômà
hưóng
(·).
Neuthành
cùngm®t
vói khoáng
cáchmêtric
dgian
cámđú
sinh
bói
vô hưóng
(X,
d)
tró
không
gian
thì
X
cùng

vói
tích
vô
hương
(·)
đưoc
goi là m®t không gian Hilbert.
Đ%nh nghĩa 1.1.33. Cho X là m®t không gian Hilbert. Hai phan tú x, y ∈
X goi là trnc giao, kí hi¾u x ⊥ y neu (x, y) = 0.
Đ%nh nghĩa 1.1.34. Cho X là m®t không gian Hilbert. H¾ các phan tú
(ei)i∈I cúa X đưoc goi là trnc chuan. neu
1 neu i = j
(ei, ej ) = δij
0 neu i ƒ= j.
=
Đ%nh
lí 1.1.35.
GiáX.súKhi
{xiđó
}i∈N
là m®t
đ®c
l¾pm®t
tuyen
không gian
Hilbert
có the
xây h¾
dnng
đưoc

h¾tính
{eitrong
}i∈N trnc
chuan.
y2 .
x1 , y2 = x2 − (x2, e1)e1 và
Chúng minh. Đ¾t e1
=
"y2
"x1 e2 =
k−1
"
"
yk
.
.
Giá sú đã có e1, e2, . . . , ek−1. Ta đ¾t yk = xk − (xk , ei)ei
"yk "
và ek =
i=1

Khi đó h¾ {ei}i∈N hoàn toàn xác đ%nh (vì neu ton tai m®t chí so k sao
cho
"yk" = 0 ⇔ yk = θ thì dan đen h¾ {x1, x2, . . . , xk−1} là phu thu®c
tuyen
tính, trái vói giá thiet). De thay (e1, e1) = 1.
Xét
(e2, e1) = .

=

2

.

y , e1
"y2
"
1

"y2
"
1
=

"y2"
= 1
"y2"


(y2, e1)

(x2 − (x2, e1)e1,
e1) [(x2, e1) −
(x2, e1)].


V¾y có (e2, e1) = 0, de thay (e2, e2) = 1.
Bang quy nap toán hoc ta thay vói k > h:
.

. k
y , eh
(ek, eh) =
"yk
"

.
.
k−1
1
.
=
"yk xk − (xk, ei)ei, eh
i=1
"
1
=
[(xk, eh) − (xk, eh)].
"yk "
Tù đó (ek, eh) = 0, vói k > h, ngoài ra rõ ràng (ek, ek) = 1. Như v¾y
h¾
{ei}i∈N là h¾ trnc chuan.
Quá trình xây dnng h¾ {ei}i∈N tù h¾ {xi}i∈N đ®c l¾p tuyen tính như
trên đưoc goi là quá trình trnc chuan hoá Hilbert-Schmidt.
Ví dn 10. Xét X = Rn. Vói x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, .
n

. . , yn ) ∈

.

Rn ta đ%nh nghĩa tích vô hưóng (x, y)
xiyi thì X cùng vói tích vô
i=1
=
hưóng trên xác đ%nh m®t không gian Hilbert.
.∞ |x |2
n
Ví dn 11. Xét X = l2 là t¾p các dãy so thnc sao cho chuoi
n=
so h®i tu. Vói x = (xn) ∈ l2, y = (yn) ∈ l2 ta đ¾t
1
∞

(x, y) =

.
xny n.

i=
1

Có the thay rang quy tac trên là m®t tích vô hưóng và l2 cùng vói tích
vô hưóng đó là m®t không gian Hilbert.
Ví dn 12. Xét X = L2[a, b] là không gian các hàm bình phương khá
tích trên đoan [a, b] bao gom các hàm thnc x(t) xác đ%nh, bình
phương khá tích trên đoan [a, b] sao cho
¸

b
a

p(t)x2(t)dt < +∞

trong
đó khá
p(t) tích
là hàm
( p(t)
thoá
các=đieu
ki¾n:
đ
%nh và
trêntrong
[a, b],
p(t)đưoc
≥ 0 chon
trên [a,
b] mãn
và p(t)
0 chí
trênxác
m®t


t¾p có đ® đo 0). Ta trang b% trên L2[a, b] m®t tích vô hưóng bang cách
đ¾t:


¸

vói x(t), y(t) ∈ L2[a, b] thì

b

p(t)x(t)y(t)dt
a

(x, y) =

(có the thay tích phân này ton tai huu han ∀x(t), y(t) ∈ L2[a, b] do
bat
đang thúc Bunhiacopski dang tích phân).
Có the chúng minh rang không gian L2[a, b] vói tích vô hưóng vùa
xác đ%nh là m®t không gian Hilbert.
Ví dn 13. Xét trưòng hop cu the cna L2[a, b] ó ví du 12 vói a = −1, b
=
1, p(t) = 1, và xét h¾ đa thúc x1(t) = 1, x2(t) = t, . . . , xk(t) =
k−1
ttrnc
,chuan
k ≥ 2.hoá
Hãy trnc chuan hoá h¾ {xk(t)} nói trên tương tn quá trình
Hilbert-Schmidt.
1
x1
. De thay
, thay so ta đưoc e1
Nh¾n thay "x1" = 2, e1
2

"x1 =
=
"
¸1
(x2, e1) = tdt = 0 nên y2 = x2 = t, ∀t ∈ [−1, 1].
−1

1

.¸ 1
.2
t.tdt

V¾y "y2"

−1

=

có e2 =

.
=

1
3

1

.2 1

t3. .−1

.
=
=

2
3

. Vì e2

y2 , thay so ta
"y2
"

2

.t, ∀t ∈ [−1, 1].
¸1
1 3 .1
2
Ta có (x3, e1) = t2dt
t. = .
−1 =
3 −1 3
. 3

¸1

. tdt
t . 3=
−1
2

(x3, e2) =

2

.

3

1

t3dt = 0.

¸
.2
−1

y3 = x3 − [(x3, e1)e1 + (x3, e2)e2], thay so ta đưoc
y3

1
= t −
3
2

.

⇒ "y3 " =3

1

¸ .
−1

t2 −

.
1 2


1

.2

2 .
2 , tù đó e3
.
=
3

dt
3 .
5
.
2

.

t2 −

1

, rút gon ta đưoc "y3" =

.
.

3
2
Quá trình cú tiep tuc như v¾y, ta se đưoc m®t h¾ trnc chuan {ei}.
Tuy
nhiên do ta chí quan tâm đen tính trnc giao cna h¾ nên có the nhân moi
ei
vói m®t hang so thích hop đe đưoc m®t vectơ mói, van kí hi¾u là ei
nhưng

3