Một số vấn đề về lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, bậc của xấp xỉ và ứng dụng trong toán sơ cấp

1

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS. Nguyễn Văn Khải đã tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
Phòng sau đại học, Khoa Toán đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Phú Thọ, Trường THPT
Yên Lập, THPT Minh Hoà đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi yên tâm học tập và
hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp.
Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập
và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 10 năm 2009
Tác giả


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Văn Khải. Tôi đã đọc, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp,
vận dụng kiến thức để viết nên luận văn này.
Hà Nội, tháng 10 năm 2009
Tác giả


MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn………………………………………………………………...

1

Lời cam đoan………………………………………………………………

2

Mục lục……………………………………………………………………

3

Mở đầu…………………………………………………………………….

5

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………..

7

1.1. Không gian metric…………………………………………………….

7

1.2. Không gian Banach…………………………………………………...

8

1.3. Không gian Hilbert……………………………………………............

9

1.4. Hàm giải tích………………………………………………………….

13

Chương 2: XẤP XỈ TỐT NHẤT………………………………………......

15

2.1. Bài toán cơ bản của xấp xỉ tuyến tính………………………………...

15

2.2. Tính duy nhất của xấp xỉ tốt nhất……………………………………..

18

2.3. Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian các hàm liên tục
2

n

nhờ hệ đơn thức 1, x, x ..., x ………………………………………….

20

2.4. Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian các hàm liên tục
nhờ họ phi tuyến………………………………………………………

27

Kết luận chương 2…………………………………………………............

29

Chuơng 3: BẬC CỦA XẤP XỈ……………………………………………

30

3.1. Phép đo các xấp xỉ tốt nhất…………………………………………...

30

3.2. Bậc của xấp xỉ trong không gian Hilbert……………………………..

36

3.3. Bậc của xấp xỉ trong không gian các hàm liên tục……………............

39

Kết luận chương 3…………………………………………………………

47

Chương 4: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT XẤP XỈ
ĐỀU TỐT NHẤT TRONG TOÁN SƠ CẤP……………

48

4.1. Xấp xỉ đều tốt nhất bằng đa thức bậc không………………….............

48

4.2. Xấp xỉ đều tốt nhất bằng đa thức bậc nhất……………………………

48


4.3. Một vài ứng dụng trong toán sơ cấp………………………….............

51

Kết luận chương 4………………………………………………………....

62

Kết luận của luận văn………………………………………………….......

63

Tài liệu tham khảo…………………………………………………………

64


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Một trong những vấn đề cổ xưa nhất của toán học và liên tục phát triển cùng
với quá trình phát triển của toán học là lý thuyết xấp xỉ hàm. Đây là lĩnh vực vừa

có ý nghĩa khoa học có tính lý thuyết sâu sắc vừa có tính ứng dụng thực tiễn cao.
Các kết quả đạt được thuộc lĩnh vực này vừa thúc đẩy sự phát triển của toán học lý
thuyết, vừa làm tiền đề cho các ngành của toán học ứng dụng cũng như các ngành
khoa học kỹ thuật, kinh tế…
Một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết xấp xỉ hàm là: Cho X là không
gian tuyến tính định chuẩn,

y
là một phần tử bất kỳ và A là không gian con
X

hữu hạn chiều của X. Hãy tìm x A để
0
" y x0 " d ( y, A) inf " y x " .
xA
Phần tử x0 (nếu có) sẽ được gọi là xấp xỉ tốt nhất của y trong A.
Vấn đề này có những kết quả đặc trưng trong những không gian hàm khác
nhau như không gian các hàm liên tục

C[a,b] hay không gian Hilbert: Sự tồn tại

nghiệm, đặc trưng nghiệm, sai số của nghiệm (bậc của xấp xỉ).
Là một giáo viên phổ thông, trong quá trình học tập tôi luôn có ý thức tìm
kiếm các ứng dụng khác nhau của toán học cao cấp trong toán sơ cấp. Lý thuyết
xấp xỉ đều tốt nhất có nhiều ứng dụng soi sáng cho phép sáng tạo một lớp các bài
toán sơ cấp dành cho học sinh khá giỏi.
Do vậy tôi đã quyết định chọn đề tài ‘‘ Một số vấn đề về lý thuyết xấp xỉ tốt
nhất, bậc của xấp xỉ và ứng dụng trong toán sơ cấp’’ để thực hiện luận văn của
mình.
2. Mục đích nghiên cứu

Làm rõ, trình bày hệ thống một số vấn đề về xấp xỉ tốt nhất và nêu một số
ứng dụng trong toán sơ cấp.


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Lý thuyết xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn và trong
không gian các hàm liên tục C[a,b] .
Lý thuyết bậc xấp xỉ và các trường hợp cụ thể trong không gian các hàm liên
tục C[a,b] , trong không gian Hilbert.
Một số ứng dụng của nó trong toán sơ cấp.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Không gian tuyến tính định chuẩn, không gian các hàm liên tục

C[a,b] và

không gian Hilbert.
Bài toán xấp xỉ tốt nhất, bậc của xấp xỉ trong những không gian đó.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc và nghiên cứu tài liệu, tổng hợp vận dụng.
6. Đóng góp của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống và rõ ràng một số vấn đề của lý thuyết xấp xỉ
tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn.
Ứng dụng của lý thuyết xấp xỉ đều tốt nhất để giải và sáng tạo một lớp bài
toán sơ cấp.


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng.
Hàm d: X
X

, được gọi là một khoảng cách (hay metric) nếu các tiên

đề sau được thoả mãn:
1) d (x, y) 0 x, y
X

đồng thời d (x, y) 0 x y;

2) d (x, y) d ( y, x) x, y X ;
3) d (x, z) d (x, y) d ( y, z) x, y, z  X.
Cặp (X, d

trong đó d là một khoảng cách được gọi là một không gian

) metric.
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M (X,d ) . Dãy điểm (xn ) X gọi
là dãy cơ bản trong M nếu
 0 , n Æ , m, n
n
*

0

d

(x
0
n

m

,x )


hay lim d
(x
n,m

, x ) 0 .
m

n

Định nghĩa 1.1.3. Không gian metric M (X,d ) gọi là không gian đủ nếu mọi
dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
Ví dụ 1.1.1. Ta kí hiệu C
là tập các hàm số thực liên tục trên đoạn [a,b],
[a,b]
với hai hàm số bất kì x(t), y(t) C đặt:
[a,b]
d (x, y) max | x(t) y(t)|.
atb

(1.1.1)

Dễ thấy (1.1.1) thoả mãn các tiên đề về metric. Có thể chứng minh rằng C[a,b]
là không gian metric đủ .


L

Ví dụ 1.1.2. Ta kí hiệu C [a,b] là tập các hàm số liên tục trên đoạn [a,b], với hai


hàm bất kì x(t), y(t) C L đặt:
[a,b]
b

d (x, y) ∫| x(t) y(t)| dt .

(1.1.2)

a

Dễ thấy (1.1.2) thoả mãn các tiên đề về metric. Khi đó có thể chứng minh
rằng

L
[a,b]

là không gian metric và không là không gian metric đủ.

1.2. Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.1. Không gian tuyến tính X trên được gọi là không gian
tuyến tính định chuẩn nếu ứng với mỗi phần tử x  X, ta có một số thực ký hiệu

" x " thoả mãn các tiên đề:
1) " x " 0 (xác định dương) đồng thời " x " 0 khi và chỉ
khi

x 0 ;

2) " x "  " x X  (thuần nhất dương);
x"
3) " x y " " x " " y " x, y (bất đẳng thức tam giác);
X
Khi đó " x " được gọi là chuẩn của x .
Định nghĩa 1.2.2. Dãy điểm (xn )
tới điểm

x
X

của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ

nếu lim " xn x " 0 . Ký hiệu
n

lim xn x hay x x (n ).
n
n
Định nghĩa 1.2.3. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy
cơ bản nếu
lim " x x " 0 .
n
m

m,n

Định nghĩa 1.2.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.2.1. Không gian tuyến tính C[a,b] với chuẩn được định nghĩa
là không gian Banach .


"f"

= max f (x) 
axb


L
Ví dụ 1.2.2. Không gian tuyến tính Ø[a,b]
với chuẩn được định nghĩa

"f"

b

= ∫ f (x) dx
a

là một không gian tuyến tính định chuẩn và không phải là không gian Banach.
Ví dụ 1.2.3. Với p 1 xét không
gian

p

L [a,b] gồm tất cả các hàm
số

x(t) đo

b

được theo độ đo Lebesgue trên đoạn [a,b] sao cho

∫| x(t)|
a

p

dt .

1

Với x x(t)
p
L [a,b]

b
p
p
đặt " x "  ∫| x(t)|
. Khi đó ". " là một chuẩn
dt 

a


trên Lp [a,b] và cùng với chuẩn nêu trên, Lp [a,b] là không gian Banach.
1.3. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian tuyến tính X trên

.

Ánh xạ ψ: X  X thoả mãn các điều kiện:
1) ψ(x, x) 0 x X ;
2) ψ(x, x) 0 x 0 ;
3) ψ(x, y) ψ(y, x) x, y X ;
4) ψ(x1 x2 , y) ψ(x1, y) ψ(x2 , y) x1, x2 , y và ,   .
X
được gọi là một tích vô hướng trên X, còn ψ(x, y)

được gọi là tích vô hướng của

hai phần tử x, y và thường được kí hiệu là (x, y) .
Định lý 1.3.1 ( Bất đẳng thức Schwarz). Đối với mỗi x
X
(x, x)
Khi đó x, y X

ta đặt


"x"

ta có

.

|(x, y)|  " x "" y " .
Nhận xét. Công thức (1.3.1) xác định một chuẩn trên không gian X.

(1.3.1)
(1.3.2)


10
Định nghĩa 1.3.2. Không gian tuyến tính X trên

cùng với một tích vô

hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.3.3. Ta gọi một tập H là không gian Hilbert thực nếu tập
H thoả mãn các điều kiện:
1)

H là không gian tuyến tính trên trường số thực

2)

H được trang bị tích vô hướng ;



H là không gian Banach với chuẩn " x "



;

(x, x), x H .

Tương tự ta có thể định nghĩa cho không gian Hilbert phức.
Ví dụ 1.3.1. Không gian

là không gian Hillbert với tích vô hướng

k

k

(x, y) ∑ xi yi
i1

là không gian Hillbert.
Ví dụ 1.3.2. Kí hiệu Lp [a,b] là không gian các hàm số bình phương khả tích
trên đoạn [a,b], x Lp [a,b] thì
b

∫ p(t)x

2

a

(t)dt 

trong đó p(t) là hàm trọng ( p(t) được chọn thoả mãn các điều kiện: Xác định khả
tích trên đoạn [a,b], p(t) 0 trên [a,b]
và
Ta trang bị trên Lp
[a,b]
thì

p(t) 0 chỉ trên một tập có độ đo 0).

một tích vô hướng bằng cách đặt với x(t), y(t) Lp [a,b]
b

(x, y) ∫ p(t)x(t) y(t)dt .
a

Không gian Lp [a,b] với tích vô hướng trên là một không gian Hillbert.
Định nghĩa 1.3.4. Cho không gian Hilbert H. Hai phần tử x, y
H

gọi là trực


11
giao và ký hiệu x
y

nếu (x, y) 0 .

11
Định nghĩa 1.3.5. Cho không gian Hilbert H và tập con A H, A .
Phần
tử x H gọi là trực giao với tập A
nếu

x y y
A

và ký hiệu x A .

Định lý 1.3.2 (định lý Pythagore). Nếu x, y
H
2

2

và x
y

thì

2

" x y " " x " " y " .

(1.3.3)

Định nghĩa 1.3.6. Một hệ en các phần tử của không gian Hilbert H gọi là
hệ trực chuẩn nếu

(ei ,e j ) ij
là ký hiệu Kronecker ( tức ij 1 với i


trong đó

ij

j và ij
0

với i  j ).

Như vậy một hệ trực chuẩn là một hệ trực giao ( các phần tử của nó trực giao
từng đôi một ) và chuẩn hoá: " ei " 1 với mọi i .
Nhận xét. Cho một hệ thống các véc tơ độc lập tuyến tính

gồm hữu

xnH

hạn hay đếm được các phần tử, bao giờ cũng có thể biến hệ thống này thành một
hệ trực chuẩn nhờ quá trình trực giao hoá Hilbert-Schmidt như sau:
k
x1
,e
xk 1 ∑ (x k 1,ei )ei
x2 (x2 ,e1 ) ,….,

i1

.

Đặt e 
e
e1
1

"x"

2

x

"
2

(x ,e )e
"
2

1

1

Khi đó ei là hệ trực chuẩn.

k 1

∑
k

"x

k 1



k 1

(
x

i

i

,e )e "

i1

Định lý 1.3.3 (Bất đẳng thức Bessel). Nếu enn1 là một hệ trực chuẩn nào
đó trong không gian Hilbert H thì với mọi

x
ta có bất đẳng thức
H


∑

12
n

2
2
|(x,e )| " x " .

(1.3.4)

n1

Định nghĩa 1.3.7. Một hệ trực chuẩn enn1 gọi là đầy đủ trong không gian
Hilbert H khi chỉ duy nhất véc tơ không trực giao với tất cả các phần tử của hệ,
nghĩa là:

x
en

( n 1, 2...) ⇒ x 0 .


12
Định lý 1.3.4. Cho

là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H.

enn1

Các mệnh đề sau đây tương đương:
1)

enn1

là hệ trực chuẩn đầy đủ;


2) (x X) x ∑ (x, en )en ;
n1

∑


3) (x
H)

" x"


2

n

|(x, e )| (phương trình đóng);
2

n1


4) (x, y H) (x, y) ∑ (x,e n )(en , y) (đẳng thức Parseval);
n1

5)

các
en

Hệ enn1 tuyến tính trù mật trong H, nghĩa là họ các tổ hợp tuyến tính của
( bao tuyến tính của hệ

) trù mật trong H.

enn1

Định lý 1.3.5. Nếu e ,e ,... là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H
1 2
,
và với y tuỳ ý thì
N

N

" y ∑ ( y,ei )ei " " y ∑ ai ei "
i1

với a , a ,...,
1
2
aN

(1.3.5)

i1

là các hằng số bất kì.

N

N

Chứng minh. " y ∑ ( y,ei ) "  y ∑ ( y,ei )ei , y
i1
i1

ei



N

N

N



∑ ( y, e )e 

2

i

i1

N

( y, y) ∑ ai (ei , y) ∑ ai ( y,ei ) ∑ ai a j (ei , e j )
i1

( y, y) 
N

∑
N

i1

i

∑
N

i

a (e , y)
i1

N

i, j1

i

i

a ( y,e )
i1


∑
N

i1

i

2

|a |

i




13
 ∑ (ei , y)( y, ei ) ∑ (ei , y)( y, ei )
i1

( y, y) 

∑
N

i1

i

i1 |( y,e )|


∑
N

2

i1

i

i

| ( y, e )|2 .
a


( y, y) 

∑
N

i1

∑
N

i

|( y, e )| "
y

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
N

Hệ quả 1.3.1. mi " y
n 
i

i i

∑a
e

i1

i

ai ( y, ei ) ( i 1, 2,..., N ) . Từ đó suy
ra

(1.3.5) . Định lý được chứng minh.

a

i

( y,e ) "2 .
i1
e

2

∑
N

2

" " y "


2

i

(1.3.6)

2

i1 |( y, e )|
.

Chứng minh. Lấy ai ( y, ei ) ( i 1, 2,..., N ) , theo định lý 1.3.5 ta có điều

phải chứng minh.
1.4. Hàm giải tích
1.4.1. Chuỗi luỹ thừa


Chuỗi hàm có dạng

∑a
n0

n

n

(x x0 ) , x   , an  gọi là chuỗi luỹ thừa tại

x0   .
Đặt X x
x0

thì chuỗi hàm trên có dạng



∑anX

n

là chuỗi luỹ thừa tại

n0

0   , vì vậy ta chỉ nghiên cứu
chuỗi



∑a x
n

n

.

n0



Bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

∑

n
an x là R 

n0

1
lim sup n | an |

.

n

1.4.2. Chuỗi Taylor
Giả sử

f : (a,b)  khả vi vô hạn x0 (a,b). Khi đó chuỗi hàm
tại
(n)
( )
'
( )
f
n
f (x0 )  f (x x ) ...
(x x0 ) ...
0
x 
x
0

1!
gọi là chuỗi Taylor của

0

n!

f (x)

tại

x0 .
Nếu 0 (a,b) và


x0 0 thì chuỗi có dạng
f (x0 ) 

'
f x ...
(0) 

1!
gọi là chuỗi Maclaurin của f .

f

(n)
n

...

(0)

n!

x

1.4.3. Hàm giải tích thực
Hàm f : (a,b)  gọi là giải tích nếu với
mọi
cho (x0 , x0 )
(a,b)

x0 (a,b) tồn tại   sao
0

và đẳng thức sau đây đúng


f (x) ∑ a n (x x0 ) x (x 0 , x0 ) .
n

n0

Mọi hàm giải tích trên khoảng (a,b) thì khả vi vô hạn trên khoảng đó.
Nếu 0
(a,b)

thì ta có

lim sup |

f

n

( n)

(0)

1

|  lim sup n | an | 
n

n!

1

.

R

n

1.4.4. Hàm giải tích phức
Cho G là một miền trong mặt phẳng phức và
trên G. Với

z0 G
,

f (z) là hàm một biến xác định

f (z) được gọi là giải tích ( hoặc chỉnh hình ) tại z0 nếu



f (z) ∑ a n (z z0 )

Hàm

n

z
:

| z z0 |  p(z0 ) .

n0

f (z) được gọi là giải tích trên G nếu giải tích tại mọi điểm
1
Bán kính hội tụ R 

lim sup n | an |
n

.

1

lim sup |
n

f

( n)

(0)

n!

1

|

n

.

z0  G .


Chương 2
XẤP XỈ TỐT NHẤT

2.1. Bài toán cơ bản của xấp xỉ tuyến tính
Bài toán tổng quát: Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn, A X là
không gian con hữu hạn chiều và

y
là phần tử cố định. Tìm x0 A sao cho
X

" y x0 " d ( y, A) inf " y x " .

xA

Nếu phần tử x0 tồn tại thì được gọi là xấp xỉ tốt nhất của y trong A.
Nhận xét. Cho x1,x2 ,..., xn

là cơ sở trong A . Tập hợp các tổ hợp tuyến

X

tính của a1 x1 a2 x2 ...an tạo thành một không gian con hữu hạn chiều A của
xn
không gian tuyến tính định chuẩn X, vì vậy bài toán xấp xỉ tuyến tính có thể diễn
đạt lại như sau:
Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn, x1, x2 ,..., xn

là n phần tử độc

X

lập tuyến tính và y
X

là phần tử cố định. Xấp xỉ tốt nhất của y bởi tổ hợp tuyến

tính của x1, x2 ,..., xn là phần tử a1 x1 a2 x2
...an xn
" y (a1x1 a2 x2 ...an xn )
"

xác định bởi bởi

inf " y (b1 x1 b2 x2 ...bn xn ) " .
(b1 ;...;bn
)

Định lý 2.1.1. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn, A X là không
gian con hữu hạn chiều và

y
là phần tử cố định. Bài toán tìm x0
X
A

" y x0 " inf " y x " có nghiệm.
xA

sao cho


Chứng minh. Đặt x
 A:

" x " 2 " y ", y X  . Dễ thấy
nếu

x  A\ thì

" x y " " x " " y " " y " " y 0 " , do đó x không xấp xỉ y tốt bằng
phần tử 0 . Như vậy ta có thể giới hạn việc tìm xấp xỉ tốt nhất trong . Do
 là tập đóng, bị chặn trong không gian hữu hạn chiều A nên  compact.

Xét hàm (x) " y x " , ta có