Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và rời rạc

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc thnc hiên và hoàn thành dưói sn hưóng dan
cna TS Nguyen Quỳnh Nga. Tôi xin bày tó sn kính trong và lòng
biet ơn sâu sac đoi vói cô, ngưòi đã giao đe tài và hưóng dan t¾n
tình đe tôi có đưoc lu¾n văn này. .
Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u Trưòng ĐHSP Hà
N®i 2, Khoa Toán, Phòng Sau đai hoc cũng như các thay cô giáo đã
trang b% kien thúc, phương pháp nghiên cúu và tao moi đieu ki¾n
cho tôi ket thúc tot đep chương trình hoc cao hoc và hoàn thành
lu¾n văn tot nghi¾p.
Tôi xin cám ơn Ban lãnh đao Trưòng Đai hoc Sao Đó, nơi tôi
đang công tác, đã tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi hoàn thành chương
trình hoc cao hoc.
Và cuoi cùng tôi xin cám ơn nhung ngưòi thân trong gia đình
cna tôi đã giúp đõ, đ®ng viên tôi rat nhieu trong suot thòi gian
gian hoc t¾p.
Hà N®i, tháng năm 2011
Tác giá


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình cna nghiên cúu cna
riêng tôi dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Quỳnh Nga.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa
hoc cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet
ơn.

Hà N®i,

tháng năm 2011
Tác giá

Vũ Duy Tien


Lài nói đau

L%ch sú cna sóng nhó đưoc bat đau vào khoáng năm 1982.
Lý thuyet sóng nhó là ket quá cna sn no lnc cna nhieu ngành và
góp phan đem các nhà toán hoc, v¾t lý và ky sư lai vói nhau. Có rat
nhieu lý do cho sn thành công cna lý thuyet này. M®t trong so đó
là khá năng úng dung r®ng rãi cna nó. Nhung úng dung cna sóng
nhó có m¾t trong giái tích tín hi¾u, ky thu¾t nâng cao chat lưong
ánh, nén dau vân tay, nh¾n dang đoi tưong, ky thu¾t giám tieng on
âm thanh, ...
Phép bien đoi Fourier fˆ(ω) =

¸∞e

−iωx

f (x)dx không chí là

−∞

công cu toán hoc manh me mà còn có ý nghĩa v¾t lý rat lón trong
các úng dung. Ví du, neu hàm f ∈ L2(R) đưoc xét như m®t tín
hi¾u tương tn vói năng lưong huu han, xác đ%nh bói chuan cna nó
"f"2 thì bien đoi Fourier cna f mô tá pho cna tin hi¾u. Trong phân

tích tín hi¾u, các tín hi¾u tương tn đưoc xác đ%nh trong mien thòi
gian và thông tin ve pho cna các tín hi¾u này đưoc cho trong mien
tan so. Công thúc cna bien đoi Fourier là không đay đn cho hau het
các úng dung. Đe lay thông tin pho fˆ(ω) tù tín hi¾u tương tn f
(t), tù công thúc này ta can dùng m®t lưong thòi gian vô han,
dùng cá thông tin quá khú và tương lai cna tín hi¾u, chí đe xác đ
%nh pho duy nhat tai tan so ω. Bên canh đó, công thúc trên th¾m
chí không phán ánh đưoc các tan so thay đoi theo thòi gian
Năm 1946, Dennis Gabor, m®t nhà v¾t lý ngưòi Hungary đã
đưoc nh¾n giái Nobel v¾t lý, đưa ra phép bien đoi Gabor nham khac
phuc yeu điem trên bang cách dùng m®t hàm cúa so đ%a phương hóa
thòi gian g(t - b) đe lay nhung thông tin đ%a phương cna phép bien
đoi Fourier cna tín hi¾u, trong đó tham so b đưoc dùng đe d%ch


4

chuyen cúa so trên toàn b® truc thòi gian. Tuy nhiên, phép bien
đoi Gabor có nhưoc điem là chieu r®ng cna cúa so thòi gian-tan so
không thay đoi đoi vói moi giá tr% tan so.
Năm 1982, Jean Morlet, m®t nhà ky sư đ%a v¾t lý ngưòi Pháp,
đã đưa ra khái ni¾m sóng nhó và phép bien đoi sóng nhó như là m®t
phương ti¾n mói đe phân tích tín hi¾u đ%a chan. Phép bien đoi sóng
nhó là m®t công cu cat các hàm, các toán tú thành nhung thành
phan tan so khác nhau và sau đó nghiên cúu moi thành phan vói
đ® phân giái tương úng đoi vói các thang b¾c cna nó. Phép bien đoi
sóng nhó có ưu điem hơn phép bien đoi Gabor ó cho cúa so cna nó
có khá năng phóng to hay thu nhó, túc là cúa so thòi gian tan so
se tn đ®ng thu nhó vói nhung thành phan có tan so cao và mó r®ng
vói nhung thành phan có tan so thap. Đó là tính chat đưoc mong

chò nhat trong giái tích thòi gian-tan so.
Trong nhieu úng dung, đ¾c bi¾t trong giái tích tín hi¾u, du li¾u
đưoc bieu dien bói m®t so huu han các giá tr%, do đó vi¾c nghiên
cúu mô hình ròi rac cna phép bien đoi sóng nhó liên tuc là rat quan
trong và huu ích. Năm 1986, I. Daubechies, A. Grossmann và Y.
Meyer đã đưa ra m®t nen táng toán hoc cho mô hình ròi rac, đưoc
xây dnng đ¾c bi¾t cho không gian L2(R) và dna trên khái ni¾m
khung trong không gian Hilbert, m®t ý tưóng đưoc đưa vào đau
tiên do R.J.Duffin và A.C. Schaeffer năm 1952.
Đưoc thu hút bói tính thòi sn và tính úng dung cao cna sóng
nhó cũng như phép bien đoi sóng nhó, tôi quyet đ%nh chon “ Phép
bien đoi sóng nhó liên tic và rài rac” làm đe tài lu¾n văn tot
nghi¾p.
Do sn phát trien cna lý thuyet sóng nhó rat nhanh và do thòi
gian han che nên chúng tôi chí trình bày m®t so nét chính ve sóng
nhó, các phép bien đoi sóng nhó liên tuc và ròi rac.
Lu¾n văn đưoc chia thành 3 chương cùng vói phan mó đau, ket


5

lu¾n chung và danh muc tài li¾u tham kháo.
Trong chương 1, chúng tôi nhac lai nhung ket quá cơ bán cna
lý thuyet không gian Lp, và phép bien đoi Fourier mà không chúng
minh các ket quá đó. Bên canh đó chúng tôi giói thi¾u qua ve khái
ni¾m sóng nhó và các ví du.
é chương 2 đe c¾p đen các tính chat cna phép bien đoi sóng
nhó liên tuc cũng như các úng dung cna nó trong giái tích thòi gian
tan so kèm theo các chúng minh đay đn, chi tiet.
Chương 3 trình bày phép bien đoi sóng nhó ròi rac, lý thuyet

khung trong không gian Hilbert tong quát, khung sóng nhó và đ%a
phương hoá thòi gian tan so.


Mnc lnc

Má đau

3

Chương 1. M®t so khái ni¾m và ket quá ban đau
7
p
1.1. Không gian L (R), 1 ≤ p ≤ ∞...........................................7
1.2. Phép bien đoi Fourier........................................................... 9
1.2.1. Phép bien đoi Fourier trong không gian L1(R)

9

1.2.2. Phép bien đoi Fourier trong không gian L2(R)

11

1.3. Sóng nhó cơ só........................................................................12
Chương 2. Phép bien đoi sóng nhó liên tnc

15

2.1. Phép bien đoi sóng nhó liên tuc và giái tích thòi gian
– tan so.............................................................................15

2.2. Tính chat cơ bán cna phép bien đoi sóng nhó..................20
2.3. Toc đ® tri¾t tiêu cna bien đoi sóng nhó...........................23
Chương 3. Phép bien đoi sóng nhó rài rac

32

3.1. Ròi rac hoá phép bien đoi sóng nhó..................................32
3.2. Khung trong không gian Hilbert.....................................35
3.3. Khung sóng nhó..................................................................45
3.3.1. Đieu ki¾n can cna khung sóng nhó.......................45
3.3.2. Đieu ki¾n đn và các đánh giá c¾n khung
3.3.3. Khung đoi ngau

. . . 49
52

3.3.4. Ví du.......................................................................54
3.3.5. Đ%a phương hoá thòi gian - tan so...........................55


Chương 1
M®t so khái ni¾m và ket quá ban
đau
1.1.

Không gian Lp(R), 1 ≤ p ≤ ∞

Đ%nh nghĩa 1.1.
Cho p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞. Ta đ%nh nghĩa không gian Lp(R), 1 ≤
p ≤ ∞ như sau

p

Lp(R) = {f : R → R (hay C): f đo đưoc và |f | khá tích }
Lp(R) = {f : R → R (hay C): f đo đưoc và ∃C, |f (x)| ≤ C
h.k.n}
Ký hi¾u "f"p
=

.¸

1

p

C h.k.n}.

và "f"∞ = inf{C : |f (x)| ≤

.
p

|f (x)| dx
R

Chú ý:
- Lp(R)(1 ≤ p ≤ ∞) là không gian Banach vói " · "p là m®t
chuan
- Neu f ∈ L∞(R) thì |f (x)| ≤ "f"∞ h.k.n
Đ%nh lý 1.1. (Bat đang thúc Holder)
1 1

p
q
Cho f ∈ L (R); g ∈ L (R)
+ = 1; 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó
p q
vói
f.g ∈ L1(R) và
¸
|f.g| ≤ "f"p · "g"q .

(1.1)

Đ¾c bi¾t, khi p = q = 2 ta có bat đang thúc Schwarz - Buniakowski
¸
|f · g| ≤ "f"2 · "g"2.
(1.2)


8

Ngoài ra, vói p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞ ta có bat đang thúc Minkowski
"f + g"p ≤ "f"p + "g"p .

(1.3)

Đ%nh lý 1.2. (H®i tn b% ch¾n cúa Lebesgue)
Cho {fn} là dãy các hàm (thnc ho¾c phúc) khá tích trên R.
Giá sú:
i) fn(x) → f (x) h.k.n trên R
ii) Ton tai hàm g khá tích sao cho vói moi n, |fn(x)| ≤ g(x)

h.k.n trên R
Khi đó f khá tích và
"fn − f1"1 ¸
|fn(x) − f (x)| dx → 0 khi n → ∞
=

(1.4)

R

H¾ quá 1.1.
Cho f là m®t hàm đo đưoc và g là hàm khá tích trên R.
i) Neu |f (x)| ≤ g(x) h.k.n trên R thì f khá tích trên R.
ii) |f | khá tích khi và chí khi f khá tích trên R.
Giá sú F : Rn1 × Rn2 → R (hay C) là hàm đo đưoc.
Đ%nh lý 1.3. (Tonelli)
¸
Giá
n1
và
n2 |F (x, y)| dy < ∞ h.k.n trên R
R
sú
¸
¸
dx
Rn1

Rn2

|F (x, y)| dy < ∞. Khi đó F khá tích trên Rn1 × Rn2 .

Đ%nh lý 1.4. (Fubini)
Cho F khá tích trên Rn1 × Rn2 . Khi đó vói¸hau het x ∈ Rn1 ,
F (x, ·) ≡ y ›→ F (x, y) khá tích trên Rn2 và x Rn2 F (x, y)dy khá
›→
tích trên Rn1 .
Ket lu¾n tương tn khi đoi vai trò x cho y và Rn1 cho Rn2 . Hơn nua,
ta có
¸

¸

F y)dy
(x, =

dx
Rn1

Rn2

¸
Rn2


¸

9

dy

F (x, y)dx
F (x, y)dxdy .

Rn1

¸
=

(1.5)

Rn1 ×Rn2

1.2.
1.2.1.

Phép bien đoi Fourier
Phép bien đoi Fourier trong không gian L1 (R)

Đ%nh nghĩa 1.2.
Phép bien đoi Fourier cna m®t hàm f ∈ L1(R) cho bói công
thúc
fˆ(ω) = (Ff )(ω) :=

−iωx

¸∞e

f (x)dx

(1.6)

−∞

M®t so tính chat cơ bán cna fˆ(ω) vói f ∈ L1 (R) đưoc cho
trong hai đ%nh lý sau:
Đ%nh lý 1.5.
Cho f ∈ L1(R). Khi đó phép bien đoi Fourier cúa f thoá
mãn:
ˆ ≤ "f"1
i) fˆ ∈ L∞ (R); "f
"∞
ii) fˆ liên tnc đeu trên R
iii) Neu đao hàm f
thì

(k)

ton tai và thu®c L1(R)

fˆ(k)
=

(iω)(k) fˆ(ω)
iv) fˆ(ω) → 0 khi ω → ±∞
Đ%nh lý 1.6.
Neu f (t), g(t) ∈ L1(R) và α, β là các hang so bat kỳ thì
i) F{αf (t) + βg(t)} = αF{f (t)} + βF{g(t)}
ii) F{Ta f (t)} = M−a fˆ(ω)
iii) F{D 1 f (t)} = Da fˆ(ω)

a
iv) F{D−1 f (t)} = fˆ(ω)
v) F{Ma f (t)} = Ta fˆ(ω)
trong đó Ta là phép t%nh tien cho bói Taf (t) = f (t − a). Da là
phép


10

giãn cho bói Daf (t)
=
bói Maf (t) = eiatf
(t).

t
1
f
,(
), a ƒ= 0, Ma là phép bien đi¾u
|a| a
cho

Đ%nh nghĩa 1.3.
Cho fˆ ∈ L1 (R) là phép bien đoi Fourier cna f ∈ L1 (R). Khi
đó phép bien đoi Fourier ngưoc cna fˆ đưoc đ%nh nghĩa là
1 ¸ ∞ ixω
(F−1 fˆ)(x) :=
e fˆ(ω)dω
(1.7)
2π −∞

Đ%nh lý 1.7.
Cho f ∈ L1 (R) có phép bien đoi Fourier fˆ ∈ L1 (R). Khi đó
f (x) = (F−1 fˆ)(x)

(1.8)

tai moi điem x mà ó đó f liên tnc.
1

Đ%nh nghĩa 1.4.

−x2

√ e
2 πα

Hàm có dang gα(x)
:=

4α

, α > 0 đưoc goi là hàm Gauss.

Ví dn 1.1.
. Cho a > 0. Khi đó phép bien đoi Fourier cna hàm Gauss e−ax2
π − ω2
là
e 4a , túc là
.
a

π
ω2
¸ ∞
− 4a
e
.
(1.9)
2
−iωx −ax
a
e
e
dx
=
−∞

Chúng minh.
Xét hàm

¸
f (y) :
=

¸

∞

e−ax +xydx; y ∈ R
2

−∞
∞

y

y2

e−a(x− 2a )+ 4a
−∞
¸
1 y2 ∞ − x2
e dx
= √ e 4a
a
−∞
.
π y2
=
e 4a

=


.

a
π

y

11

2

e 4a . Do f (y) và g(y) có the thác trien thành các hàm
Đ¾t g(y)
a
=
giái tích và chúng bang nhau trên R nên chúng phái bang nhau trên
toàn b® m¾t phang¸phúc C . Đ¾c bi¾t,.thay y 2bói −iω, ta có
π −ω
∞
2
−iωx −ax
e 4a .
✷
e
e
dx
a
=
−∞

Chú ý:
−x

√

2

- Phép bien đoi Fourier cna hàm Gauss e 2 là πe−ω4 .
1
- Thay α
.Khi đó phép bien đoi Fourier cna hàm Gauss
4a
=
1
−x2
αω2
gα(x)
=

√ e 4α là gˆα (ω) = e− .
2 πα

1.2.2.

Phép bien đoi Fourier trong không gian L2 (R)

Đ%nh lý 1.8.
Cho f ∈ L1(R) ∩ L2(R). Khi đó phép bien đoi Fourier cúa f
ˆ ∈làL2 (R) và fˆ thoá mãn đong nhat thúc Parseval "f" =
f2π"f"
2
2.
2

2

Tù đ%nh lý (1.8) ta thay phép bien đoi Fourier F : L1(R) ∩

L2(R) → L2(R), là toán tú tuyen tính b% ch¾n vói chuan "F" =
√2π.
Do L1(R) ∩ L2(R) là trù m¾t trong L2(R), F có the thác trien
lên toàn b® L2(R) mà van báo toàn chuan. Cu the hơn neu f ∈
L2(R) thì

.

f (x) neu |x| ≤ N
(1.10)
0
neu |x| > N
nam trong L1 (R) ∩ L2 (R). Do đó fˆN ∈ L2 (R).
Có the kiem tra đưoc rang {fˆN } là dãy Cauchy trong
fN (x) =

L2 (R).
Do tính đay đn cna L2(R) ta có the tìm
đưoc

2
fˆ ∈ L (R) sao cho
∞


lim
N →∞

12

"fˆN − fˆ∞ " = 0.

Đ%nh nghĩa 1.5.
Phép bien đoi
Fourier là giói han fˆ∞
cna fˆN .

fˆ cna hàm f ∈ L2 (R) đưoc đ%nh nghĩa


Chú ý:
Đ%nh
fˆ cna hàm f ∈ L2 (R) là đ®c l¾p vói sn lna
nghĩa
chon
1
cna fN ∈ L (R) ∩ L2(R). Nói cách khác, bat kỳ dãy Cauchy nào
khác trong L1(R) ∩ L2(R) mà xap xí f trong L2(R) có the sú dung
đe đ%nh nghĩa fˆ.
Đ%nh lý 1.9.
Cho f, g ∈ L2(R). Khi

1

. ˆ .

đó.
(f, g) =
Đ¾c
bi¾t

f,
gˆ

.

(1.11)

2π
1

"f"2 = (2π)

−

Đ%nh nghĩa 1.6.

2

"f"ˆ

(1.12)

2

Đoi vói hàm f xác đ%nh trên R, ta đ%nh nghĩa f − (x) := f
(−x)
và goi là phán xa cna f (tương úng vói goc toa đ®)
Bo đe 1.1.
Cho f ∈ L2 (R). Khi đó fˆ(x) =

ˆ
(f

−)(x)

và (fˆ− )(x) = (fˆ)− (x).

Đ%nh lý 1.10.
Phép bien đoi Fourier F là ánh xa 1 - 1 cúa L2(R) lên chính
nó. Nói cách khác, cho bat kỳ g ∈ L2(R) có tương úng m®t và
chí m®t hàm f ∈ L2 (R) sao cho fˆ = g, túc là f (x) := (F−1 g)
(x) =: g˘(x) là phép bien đoi Fourier ngưoc cúa g.

1.3.

Sóng nhó cơ sá
Khái ni¾m “sóng nhó” chí đưoc nhac đen thưòng xuyên tù

nhung năm 80 cna the ký XX. Khái ni¾m mói này đưoc xem như
là m®t sn tong hop cna nhieu ý tưóng xuat phát tù nhung lĩnh vnc


khác nhau bao gom toán hoc (toán tú Calderon - Zygmund và lý
thuyet Littlewood Paley), v¾t lý và công ngh¾. Do đó, sóng nhó


đưoc quan tâm bói các nhà khoa hoc và ky sư trong nhieu lĩnh vnc
khác nhau.
Jean Morlet, m®t nhà đ%a v¾t lý ngưòi Phápđau tiên đưa ra ý
tưóng sóng nhó như m®t ho các hàm đưoc xây dnng tù các phép

t%nh tien và giãn nó m®t hàm đưoc goi là “sóng nhó cơ só” (hay
cũng đưoc goi là sóng nhó me) ψ(t)
1
x−b
ψb,a(x) : , ψ(
); a, b ∈ R, a ƒ= 0
|a|
=
a

(1.13)

trong đó a đưoc goi là tham so giãn nó, còn b đưoc goi là tham so
d%ch chuyen, xác đ%nh thòi gian cna sóng nhó. Neu |a| < 1, sóng nhó
(1.1) là mô hình nén cna sóng nhó cơ só (có giá nhó hơn trong truc
thòi gian) và tương úng vói các tan so cao. M¾t khác, khi |a| > 1,
ψb,a(t) có đ® r®ng thòi gian lón hơn ψ(t) và tương úng vói các tan
so thap. Do đó, sóng nhó có đ® r®ng thòi gian tương thích vói tan
so. Đây chính là nguyên nhân chính dan đen sn thành công cna
sóng nhó Morlet trong xú lý tín hi¾u .
Đ%nh nghĩa 1.7.
Sóng nhó cơ só là m®t hàm ψ ∈ L2(R) thoá mãn đieu ki¾n chap
nh¾n đưoc

¸
Cψ ≡

∞

. . ˆ .2.

ψ (ω)
.
.
|ω|

−∞

dω < ∞

(1.14)

Ví dn 1.2. (Sóng nhó Haar)
Cho hàm Haar



neu 0 ≤ t <

1

fN (x) =  −1 neu


1

2

≤<

1

2

1
neu t < 0; t ≥ 1

0

Khi đó ψ(t) là m®t sóng nhó cơ só.
Th¾t v¾y,
¸

∞
−∞

2

¸

1
2

|ψ(t)| dt = 0 +
0

dt
+

¸

1

1
2

dt + 0 = 1 < ∞

(1.15)


suy ra ψ(t) ∈ L2(R). Phép bien đoi Fourier cna ψ(t) là
1
2

ψˆ(ω) = 0 + ¸

¸
e

0

−iωb

dt

1
1
2

− .2

dt + 0

iωt

1
.
.1
i ,. e
,
ω −
0
1
− e−iωt 2
.
.
sin2 ω4
2i (π−ω)
]
=
. . [
ω
. .
4
2 ω
iω sin
−2
4
= ie
. .
ω
.4

=

Do
v¾y

¸
ˆ

∞

..
..2
.ψ(ω).

¸

4

ω
−3
|ω| ..sin . dω < ∞.

dω =
16

.

|ω|

−∞

∞

.

4

−∞

.

V¾y ta đã chúng minh đưoc ψ(t) là m®t sóng nhó cơ só.
Ví dn 1.3. (Sóng nhó cơ só mũ Mexico)
Sóng nhó cơ só mũ Mexico đưoc đinh nghĩa bói đao hàm cap
hai cna hàm Gauss ϕ(t) = −e

−

t2
2

.

2

2

.
2

t

−

ψ(t) := d ϕ(t) = 1 − t e
dt

2

2

1

Ta se chúng minh ψ(t) là sóng nhó cơ só.

Sú dung ý iii) trong đ%nh lý 1.5 và ví du 1.1 vói a 2
=
ψˆ(ω) =
F
.

.
2
2 −
ϕ(t) (ω) = (iω) ϕˆ(ω) = 2πω e ω
√

d2 2
dt
Khi đó

¸

∞

, ta có

.
.. ˆ
2
.
.ψ(ω).

¸

2
2

∞
2

−∞


3
|ω| dω
2π |ω| e−ω dω < ∞.
−∞
=
V¾y ψ(t) là m®t sóng nhó cơ só.

Chương 2
Phép bien đoi sóng nhó liên tnc
2.1.

Phép bien đoi sóng nhó liên tnc và giái tích
thài gian – tan so

Bien đoi Fourier
fˆ(ω) =

−iωx

¸∞e

f (x)dx

(2.1)

−∞

không chí là công cu toán hoc manh me mà còn có ý nghĩa v¾t lý
rat lón trong các úng dung. Ví du neu hàm f ∈ L2(R) đưoc xét
như m®t tín hi¾u tương tn vói năng lưong huu han, xác đ%nh bói
chuan cna nó "f"2 , thì bien đoi Fourier cna f mô tá pho cna tín
hi¾u. Trong phân tích tín hi¾u, các tín hi¾u tương tn đưoc xác đ
%nh trong mien thòi gian, và thông tin ve pho cna các tín hi¾u này
đưoc cho trong mien tan so. Đe ti¾n cho vi¾c trình bày chúng ta
se thùa nh¾n các tan so âm và như v¾y cá mien tan so và mien

thòi gian đeu là các đưòng thang thnc R. Tương tn như đang
thúc Parseval cho chuoi Fourier, đang thúc Parseval mô tá h¾
thúc liên h¾ giua các hàm trong L2(R) và bien đoi Fourier đưoc
cho bói
(f, g) =

1

. ˆ .
f, , f, g, ∈ 2(R).
gˆ L

(2.2)

2π
Bien đoi Fourier F bien L2(R) thành chính nó. Như m®t h¾ quá
cna (2.2), chúng ta quan sát rang năng lưong cna tín hi¾u tương tn
tí l¾ thu¾n vói dung lưong pho; m®t cách chính xác hơn
1
2
ˆ
(R).
"f"2 = √
"f"2 , f ∈
2π
L

(2.3)

Tuy nhiên, công thúc cna bien đoi Fourier là chưa đay đn cho

hau het các úng dung. Đe lay thông tin pho fˆ(ω) tù tín hi¾u


tương tn f (t) tù công thúc này, ta can dùng m®t lưong thòi gian
vô han,


16

dùng cá thông tin quá khú và tương lai cna tín hi¾u, chí đe xác đ%nh
pho tai duy nhat tan so ω. Bên canh đó, công thúc trên không phán
ánh đưoc các tan so thay đoi theo thòi gian. Đieu thnc sn can thiet
là chúng ta có the xác đ%nh đưoc các khoáng thòi gian mà tai đó
thông tin pho nam trong mien tan so mong muon (ho¾c dái tan so
mong muon). Hơn nua vì tan so cna m®t tín hi¾u tí l¾ ngh%ch vói
đ® dài cna chu kỳ cna nó, nên vói thông tin pho có tan so cao,
khoáng thòi gian can phái nhó đe cho đ® chính xác tot hơn, và
vói thông tin pho có tan so thap, khoáng thòi gian se đưoc xác đ%nh
r®ng hơn đe cho đay đn thông tin hơn. Nói cách khác, đieu quan
trong là có cúa so thòi gian – tan so linh hoat, nó tn đ®ng thu
hep tai tan so trung tâm cao, và mó r®ng tai tan so trung tâm
thap.
M®t cách khac phuc nhưoc điem trên cna phép bien đoi
Fourier
là dùng m®t hàm cúa so đ%a phương hoá thòi gian g(t − b) đe
lay nhung thông tin đ%a phương cna phép bien đoi Fourier cna tín
hi¾u trong đó tham so b đưoc dùng đe d%ch chuyen cúa so trên
toàn b® truc thòi gian. Cu the, Dennis Gabor, m®t nhà v¾t lý ngưòi
Hungary đã đưa ra đ%nh nghĩa phép bien đoi Fourier cúa so
¸ ∞

f (s)g(s − t)e−iωsds.
Wgf (ω, t)
−∞
=
Đ¾t gω,t(s) := eiωsg(s − t). Khi đó ta có the viet lai
.
.
ω,t
Wψf (ω, t) = f, g
.

(2.4)

(2.5)

Ta nh¾n xét rang tat cá các gω,t đeu có cùng đ® r®ng vói
bat kỳ giá tr% nào cna ω. Đieu này làm cho phép bien đoi Fourier
cúa so luôn có đ® r®ng cna so không thay đoi vói bat kỳ tan so
nào, dù là rat cao hay rat thap. Đây là han che cơ bán cna phép
bien đoi Fourier cúa so.
Năm 1982, Jean Morlet đã đưa ra khái ni¾m phép bien đoi sóng
nhó như là m®t phương ti¾n mói cho phân tích tín hi¾u đ%a chan.


17

Đ%nh nghĩa 2.1.
Phép bien đoi tuyen tính Wψ đưoc cho bói
−

(Wψf ) (b, a) := |a|

.

1¸ ∞
2

f
−∞ (x)ψ

x .− dx, f ∈ L2(R)
b
a

(2.6)

trong đó a, b ∈ R, a ƒ= 0 đưoc goi là phép bien đoi sóng nhó úng vói
sóng nhó cơ só ψ.
Sú dung ký hi¾u (1.13) ta có the viet lai
(Wψf ) (b, a) = (f, ψb,a)

(2.7)

Khi tham so a đưoc co đ%nh lai, (Wψf ) (b, a) như là m®t
hàm cna b se cho nhung thông tin chi tiet cna tín hi¾u f ó thang
b¾c a. Do sóng nhó |ψb,a| có đ® r®ng thòi gian tương thích vói
tan so, phép bien đoi sóng nhó có cúa so thòi gian - tan so linh
hoat,tn đ®ng thu hep tai tan so trung tâm cao và mó r®ng tai tan
so trung tâm thap. Do đó phép bien đoi sóng nhó tot hơn phép
bien đoi Fourier cúa so trong khi nghiên cúu các tín hi¾u có tan so

cao hay thap m®t cách không bình thưòng.
Đ%nh nghĩa 2.2.
M®t hàm không tam thưòng ω(x) ∈ L2(R) đưoc goi là hàm cúa
so neu xω(x) cũng thu®c L2(R). Tâm t∗ và bán kính 6ω cna hàm
cna so ω đưoc đ%nh nghĩa là
t∗ :=

1

¸

∞

"ω"

(2.8)

−∞

và
1

dx

2

"ω"2
6ω :=

x |ω(x)|

2

.¸

1

∞
−∞

.2
2
∗ 2
(x − t ) |ω| dx

(2.9)

2

và đ® r®ng cna hàm cúa so ω đưoc xác đ%nh bang 26ω.
Neu ψ là m®t hàm cúa so, túc là ψ(x) và xψ(x) ∈ L2(R),


1

thì|x| 2 ψ(x) ∈ L2(R). Th¾t v¾y
¸ ∞
¸ ∞
2
|x| |ψ(x)| dx =

|x| |ψ(x)| |ψ(x)| dx
−∞

−∞

.¸

∞

≤

2

2

|x| |ψ(x)| dx

.21 .¸

−∞

∞
−∞

2

|ψ(x)| dx

.21

< ∞
do bat đang thúc Schwarz. Do đó ¸
∈ L2(R).

∞

1

2

|x| |ψ(x)| dx < ∞ nên |x| 2 ψ(x)
−∞

1

Do xψ(x) và |x| 2 ψ(x) cùng thu®c vào L2(R) nên tâm và bán
kính cna hàm cúa so là huu han.
Áp dung bat đang thúc Schwarz m®t lan nua cho tích cna
−1

(1 + |x|) và (1 + |x|) ψ(x), ta có
¸ ∞
¸ ∞
−1
(1 + |x|) {(1 + |x|) |ψ(x)|} dx
|ψ(x)| dx
−∞
=
1
−∞

.¸

≤

∞
−∞

−2

(1 + |x|)

.2 .¸
dx

∞
−∞

1

1

.2
(1 + |x|) |ψ(x)| dx < ∞
2

2

Do đó ψ(x) ∈ L (R).
Theo đ%nh lý 1.5, ψˆ là hàm liên tuc trên R. Neu ψ là sóng

nhó cơ só thì tù đieu ki¾n chap nh¾n đưoc ta có ψˆ(0) = 0, túc là
¸

∞

ψ(x)dx = 0

(2.10)

−∞

vì the đo th% cna sóng nhó cơ só ψ là m®t sóng nhó.
Tù đang thúc Parseval,

ψˆ cũng thu®c L2 (R)
nhưng

ψˆ không

nhat thiet là m®t hàm cúa so. Giá sú rang ψ là sóng nhó cơ só bat
kỳ thóa mãn cá ψ và bien đoi Fourier

ψˆ cna nó là các hàm cúa so

vói tâm và bán kính cho bói t∗ , ω ∗ , 6ψ , 6ψˆ, theo thú tn thì
hàm ψb,a cũng là hàm cúa so vói tâm là b + at∗ và bán kính là
a6ψ. Khi đó bien đoi sóng nhó (Wψf ) (b, a) = (f, ψb,a) cna m®t tín
hi¾u tương tn f , se đ%a phương hóa tín hi¾u vói m®t cúa so thòi
gian
[b + at∗ − a6ψ, b + at∗ + a6ψ] .

Do đ® r®ng cúa so là 2a6ψ, cúa so này se b% hep lai vói nhung
giá tr% |a| nhó và mó r®ng ra vói |a| đn lón. Đieu này đưoc goi là
đ%a phương hóa thòi gian trong giái tích tín hi¾u.
Ta đ¾t
η(ω) := ψˆ(ω + ω ∗ )

(2.11)

khi đó η cũng là hàm cúa so vói tâm tai 0 và bán kính cho bói
6ψˆ; và do đang thúc Parseval bien đoi sóng nhó tró thành
1

(Wψf ) (b, a)
=

a |a|

−

2

−∞

2π

. .
Rõ ràng hàm η a ω −

. .
a ω
−

dω
.
∗

(2.12)

ω
.
a

ω
a∗

=
1
a

ibω

¸ ∞ fˆ(ω)e
η

6ψˆ.

..

= η (aω − ω∗) ψˆ(aω) có bán
kính

−1/2

a |a|
Do đó, neu bó đi phép nhân vói
2π

và m®t phép chuyen

pha tuyen tính cna eibω, thì đai lưong (Wψf ) (b, a) cũng cho thông
tin đ%a phương cna pho fˆ(ω) cna tín hi¾u f (t), vói m®t cúa so
.
1
ω∗ 1
− 6ψˆ, a + 6ψˆ
a
a
∗
26
ˆ
ω
ψ
có tâm
. Đieu này đưoc goi là “ đ%a phương hóa
và đ®
a r®ng
a
tan so”.Do đó chúng ta có ngay cúa so thòi gian – tan so:

. ∗
.
ω
1
ω∗ 1
. (2.13)
[b + at∗ − a6ψ, b + at∗ + a6ψ]
−
a +
a
×
6 ˆ,
6ψˆ
a ψ
tan so

.

ω∗

neu chúng ta dùng bien đoi sóng nhó tương úng vói sóng nhó cơ só
ψ, vói các đieu ki¾n cúa so đưoc mô tá ó trên.
Chú ý
- Do muc đích cuoi cùng là xem xét các tan so dương, nên chon
sóng nhó cơ só ψ sao cho tâm ω ∗ cna ψˆ là m®t so dương. Trong


thnc hành, so dương này đưoc chon cùng vói tham so giãn nó a
dương sao
1

.
ω
∗
là tan so trung tâm cna dái tan so
ω∗
cho
ω
a
∗ − 6 ,
ˆ
a ψ
a
a

+

1
a

.
6ψˆ


làm ta quan tâm. Khi đó tí so cna tan so trung tâm vói đ® r®ng cna
dái tan so là

ω∗/a = ω∗
26
26ψˆ/a

(2.14)

ψˆ

Tí so này đ®c l¾p vói v% trí cna tan so trung tâm.
- Cúa so thòi gian - tan so se tró nên hep đoi vói tan so trung
∗
tâm ω lón và r®ng hơn vói tan so trung tâm nhó m¾c dù di¾n tích
a
cna cúa so là hang so 46ψ 6ψˆ. Đây là tính chat đưoc mong chò
nhat
trong giái tích thòi gian tan so.

2.2.

Tính chat cơ bán cúa phép bien đoi sóng
nhó
M®t so tính chat cơ bán cna phép bien đoi sóng nhó đưoc

cho trong đ%nh lý sau:
Đ%nh lý 2.1.
Neu ψ, φ là các sóng nhó cơ só và các hàm f, g ∈ L2(R) thì
i) (Tuyen tính)
Wψ(αf + βg)(b, a) = α (Wψf ) (b, a) + β (Wψg) (b, a) (2.15)
ii) (T%nh tien)
(Wψ (Tcf )) (b, a) = (Wψf ) (b − c, a)
iii) (Giãn)

.

1

b a

(2.17)

, a ƒ= 0

(2.18)

c
.

ψ)
v)

.
,c>0

(Wψ (Dcf )) (b, a) √ (W f )
,
ψ
=
c
c
iv) (Đoi xúng)

(2.16)

(Wψf ) (b, a) = (Wf

−b 1
a a

.