Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Khuất
Văn Ninh, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình
tác giả hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học
nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt
quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách
nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các
thầy
giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu,
Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ
kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học
tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả chân
thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học
sư phạm kỹ thuật Nam Định đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác
giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2010
Tác giả


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của T.S Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.

Hà Nội, tháng 11 năm 2010
Tác giả


Mục lục

Mở đầu

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

4

1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Đạo hàm Fréchet...........................................................................10
1.4. Kết luận..........................................................................................13
Chương 2. Phương pháp Newton - Kantorovich

14

2.1. Phương pháp làm trội.................................................................. 14
2.1.1.

Toán tử khả vi..................................................................14

2.1.2.

Toán tử không khả vi......................................................19

2.2. Phương pháp Newton - Kantorovich.......................................... 21
2.2.1. Phương pháp Newton - Kantorovich..............................21
2.2.2. Một số định lý cơ bản của phương pháp Newton Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Chương 3. Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich


iii

giải phương trình vi phân thường

32

3.1. Pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân
thường cấp một.............................................................................32
3.1.1.

Xét bài toán Cauchy.........................................................32

3.1.2. Thuật toán giải phương trình vi phân thường cấp
một theo phương pháp Newton - Kantorovich . .

34

3.2. Pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân
thường cấp hai..............................................................................40
3.3. Giải gần đúng phương trình vi phân thường bằng lập trình
Maple 12 theo phương pháp Newton - Kantorovich cải biên 44
3.3.1. Giải gần đúng phương trình vi phân thường cấp
một.....................................................................................44
3.3.2. Giải gần đúng phương trình vi phân thường cấp
hai.......................................................................................54
3.4. Kết luận..........................................................................................64
Kết luận

66

Tài liệu tham khảo

67


BẢNG KÝ HIỆU

C

Tập số phức

C[a;b]

Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]

D[a;b]

Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục
đến cấp k trên [a, b]

l2
cho

Tập tất cả những dãy số thực (hoặc phức) x = (xn) sao
chuỗi

∞
.

xn |
n=1

|

2

hội tụ

L(X, Y ) Tập tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào Y
N

Tập số tự nhiên

N∗

Tập số tự nhiên khác không

R

Tập số thực

Rk

Không gian thực k chiều

Ø

Tập hợp rỗng

∞

Dương vô cùng (tương ứng với +∞)

−∞

Âm vô cùng

θ

Phần tử không

"."

Chuẩn

Q

Kết thúc chứng minh


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Rất nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kinh tế, kỹ
thuật dẫn đến việc nghiên cứu giải phương trình có dạng:
Ax = y

(1)

trong đó A là một toán tử từ tập X đến tập Y , x ∈ X, y ∈ Y .
Phương trình có dạng (1) được gọi là "phương trình toán tử ".
Đã có nhiều nhà khoa học nổi tiếng đề cập đến phương trình toán
tử dưới dạng tổng quát như phương trình (1) hoặc những dạng đặc
biệt, cụ thể khi A là toán tử vi phân thường, toán tử đạo hàm riêng,
toán tử tích phân, . . . Toán tử A có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến
tính, đơn trị hoặc đa trị. Chính vì vậy, phạm vi ứng dụng của lý
thuyết phương trình toán tử là rất rộng lớn. Phạm vi ứng dụng này
càng có hiệu lực với sự phát triển mạnh mẽ của máy tính điện tử và
các công trình nghiên cứu giải gần đúng các phương trình dạng (1).
Khởi đầu ta có thể nói đến các công trình của Newton về phương
pháp tiếp tuyến giải gần đúng phương trình f (x) = 0. Tiếp theo, ta

có thể kể đến các công trình của Kantorovich trong việc xây dựng
phương pháp Newton - Kantorovich. Mỗi phương pháp có cách tính
toán riêng để tìm nghiệm gần đúng của phương trình (1), trong đó
việc xây dựng dãy các xấp xỉ liên tiếp với tốc độ hội tụ cao được
nhiều tác giả quan tâm.
Phương pháp Newton - Kantorovich nhằm giải phương trình (1) khi
A


7

là toán tử phi tuyến, khả vi. Bản chất của phương pháp này là thay
thế phương trình (1) bởi một phương trình tuyến tính, từ đó xây
dựng dãy các xấp xỉ liên tiếp với tốc độ hội tụ cao đến nghiệm của
phương trình (1). Trên cở sở lý thuyết của phương pháp Newton Kantorovich, chúng tôi đi sâu vào nghiên cứu ứng dụng của nó trong
việc giải phương trình vi phân thường. Tính hữu dụng của phương
pháp Newton - Kantorovich không chỉ ở tốc độ hội tụ cao mà còn
thiết lập được thuật toán, từ đó chúng tôi quan tâm đến việc lập
trình trên máy tính điện tử giải phương trình vi phân thường.
Với những lý do trên, cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS.
Khuất Văn Ninh, tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài:
"Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich
giải phương trình vi phân thường"

2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày lý thuyết của phương pháp Newton – Kantorovich sau
đó ứng dụng để giải phương trình vi phân thường, đồng thời nghiên
cứu giải phương trình vi phân thường trên máy tính điện tử.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn
là:
- Phương pháp Newton – Kantorovich.


- Ứng dụng phương pháp Newton – Kantorovich giải phương trình vi
phân thường.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình
vi phân thường.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức.

6. Đóng góp mới của luận văn
- Giải phương trình vi phân thường trên máy tính điện tử.


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị

1.1.

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. (Không gian định chuẩn) Một không gian định
chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không
gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng

với một ánh xạ X → R, được gọi
là chuẩn và ký hiệu là "." thỏa mãn các tiên đề sau:
1) (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = 0 ⇔ x = θ;
2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) "αx" = |α| "x";
3) (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y".
Số "x" gọi là chuẩn của véc tơ x. Ta cũng ký hiệu không
gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên
đề chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy
điểm
{xn} của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới
điểm x ∈ X
nếu
lim
n→∞

"xn − x" = 0. Ký hiệu xn = x hay xn → x (n → ∞).
lim
n →∞

Định nghĩa 1.1.3. (Dãy cơ bản) Dãy điểm {xn} trong không
gian định
chuẩn X được gọi là dãy cơ bản
"xn − xm " = 0.
nếu
lim
n,m→∞


Định nghĩa 1.1.4. (Không gian Banach) Không gian định

chuẩn X


1
1

được gọi là gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1.1. Xét không gian véc tơ k - chiều Rk , với mỗi x ∈ Rk
,
. .
k
|x
x = (x1, x2, ..., xk) trong đó xi ∈ R, i = 1, 2, .., k. Đặt "x"
|i
2
.
=
i=1

k

Khi đó R là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.2. Không gian l2 bao gồm tất cả những dãy số thực
(hoặc
.
∞
.
.∞
2

phức) x = (xn) sao cho
| hội tụ với chuẩn "x"
|xn|
2
xn |
=
chuỗi là không gian
n=1

n=1

Banach.
Ví dụ 1.1.3. Cho không gian véc tơ C[a,b]. Đối với hàm số bất kỳ
x(t) ∈ C[a,b] ta đặt "x " = max |x(t) .| Khi đó C[a,b] là không gian Ba[a,b]
nach.

1.2.

Toán tử tuyến tính

Cho X, Y là hai không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử tuyến tính) Một toán tử A : X → Y
gọi là một toán tử tuyến tính nếu thỏa mãn các điều
kiện sau:
1) (∀x, y ∈ X) A (x + y) = A (x) + A (y) ;
2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) A (αx) = αA (x) .
Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x). Nếu X ≡ Y ta nói A
là toán tử trong X.
Ta ký hiệu :

ImA = { y ∈ Y | y = Ax, ∀x ∈ X} là miền giá trị của toán tử
A; KerA = { x ∈ X| Ax = 0} là hạch (hạt nhân) của toán tử A.
Ví dụ 1.2.1. Cho A : Rn → Rm xác định bởi:

n

A (x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., ym) với yi =

.
aij x j,

i=

(1.1)

1, m
j=1

trong đó aij là những hằng số. Ma trận (aij)m×n gọi là ma trận của
toán tử A. Dễ thấy (1.1) là dạng tổng quát của mọi toán tử tuyến
tính từ
R n → R m.
Ví dụ 1.2.2. X ≡ Y ≡ Dk

[a;b]

(Không gian các hàm số có đạo hàm liên

tục đến cấp k trên [a; b])

Ax (t) = a0x (t) + a1xt (t) + ... + akx(k) (t)
trong đó a0, a1, ..., ak là những hằng số (hoặc những hàm số cho trước
của t thuộc Dk

[a;b] )

là toán tử tuyến tính. A gọi là toán tử vi phân.
¸b
K (t, s) x (s) ds, trong đó
Ví dụ 1.2.3. X ≡ Y ≡ C[a;b], Ax (t)
a
=
K (t, s) là hàm liên tục theo 2 biến t, s trong hình vuông a ≤ t, s ≤ b.
A là toán tử tuyến tính và được gọi là toán tử tích phân.
Định nghĩa 1.2.2. (Toán tử liên tục) Giả sử X, Y là hai không
gian định chuẩn. Toán tử A : X → Y gọi là liên tục tại x0 ∈
X nếu:
∀ {xn} ⊂ X, xn → x0 (n → ∞) thì Axn → Ax0 (n → ∞)
Toán tử A gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc X.
Định nghĩa 1.2.3. (Toán tử bị chặn) Toán tử A : X → Y gọi là
bị chặn nếu tồn tại một hằng số K > 0 sao cho:
"Ax" ≤ K "x" , (∀x ∈ X)


Định nghĩa 1.2.4. (Toán tử ngược) Toán tử A gọi là có toán tử
ngược khi và chỉ khi KerA = {θ} tức là phương trình Ax = 0
chỉ có một nghiệm duy nhất x = θ. Ký hiệu A−1.
Nhận xét 1.1. A−1 là toán tử tuyến tính từ ImA lên X và
1) (∀x ∈ X) A−1Ax = x;

2) (∀y ∈ ImA) AA−1y = y.
Định nghĩa 1.2.5. (Chuẩn của toán tử) Số K nhỏ nhất trong
định nghĩa 1.2.3 gọi là chuẩn của toán tử A. Ký hiệu là
"A". Như vậy:
1) (∀x ∈ X) "Ax" ≤ "A" "x";
2) (∀x ∈ X) "Ax" ≤ K "x" thì "A" ≤ K.
Định lý 1.2.1. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán
tử tuyến tính A : X → Y . Khi đó các mệnh đề sau tương
đương:
1) A liên tục;
2) A liên tục tại x0 ∈ X;
3) A bị chặn.
Chứng minh. 1) ⇒ 2) Giả sử toán tử A liên tục. Theo định nghĩa,
toán tử A liên tục tại mỗi điểm x ∈ X, do đó A liên tục tại điểm x0
∈ X.
2) ⇒ 3) Giả sử toán tử A liên tục tại điểm x0 ∈ X, nhưng toán tử
A không bị chặn. Khi đó (∀n ∈ N∗) (∃xn ∈ X) "Axn" > n "xn".
Hiển
nhiên x = θ, đặt y = xn
→ 0 (n → ∞), nghĩa là
n"xn" , thì "yn" =
n ƒ
1

n

yn → θ khi n → ∞ suy ra yn + x0 → x0 (n → ∞). Theo giả thiết, ta có
"A (yn + x0) − Ax0" → 0 (n → ∞) ⇒ "Ayn" → 0 (n → ∞)

Nhưng "Ayn" = A

.

xn

.

n"xn" 1

"Axn" > 1. Điều này mâu thuẫn

=

n"xn"

với chứng minh trên. Vì vậy toán tử A liên tục tại x0 thì A bị chặn.
3) ⇒ 1) Giả sử toán tử A bị chặn. Theo định nghĩa ∃ K > 0 sao cho
"Ax" ≤ K "x" , ∀x ∈ X. Lấy một điểm bất kỳ x ∈ X và dãy
điểm tùy ý {xn} ⊂ X hội tụ tới x. Ta có "Axn − Ax" = "A (xn
− x)" ≤ K "xn − x" → 0 (n → ∞). Do đó A liên tục tại điểm x.
Do tính chất bất kỳ của x ∈ X nên A liên tục trên X.
Định lý 1.2.2. Cho A : X → Y là toán tử tuyến tính. Nếu
toán tử A
bị chặn, thì
"A" = sup "Ax"

(1.2)

"x"≤1

ha
y

"A" = sup "Ax"

(1.3)

"x"=1

Chứng minh. Đặt α = "Ax". Với mọi x ∈ X mà "x" ≤ 1 ta
sup có
"x"≤1

"Ax" ≤ "A" "x" ≤ "A", do đó α = sup "Ax" ≤ "A". Lấy
"x"≤1
một
điểm x
X mà x = θ, đặt y = x ⇒ "y" = 1 ⇒ "Ay" ≤ α ⇒
∈
"x"
"Ax" ≤ α "x". Hiển nhiên, bất đẳng thức trên đúng với cả x = θ.
Suy ra "Ax" ≤ α "x" , (∀x ∈ X) ⇒ "A" ≤ α. Vì vậy, α = "A".
Vậy công thức (1.2) được chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh công thức (1.3). Đặt β = sup "Ax" ≤
"x"=1
"A".
Với mọi x ∈ X mà "x" = 1 ta có "Ax" ≤ "A" "x" = "A", do
đó
β = sup

"x"=
1

"Ax" ≤ "A". Lấy một điểm x ∈ X mà x ƒ= θ, đặt y = x
⇒


"x
"

"y" = 1 ⇒ "Ay" ≤ β ⇒ "Ax" ≤ β "x". Rõ ràng, bất đẳng thức
trên


đúng với cả x = θ. Suy ra "Ax" ≤ β "x" , (∀x ∈ X) ⇒ "A" ≤ β. Vì
vậy,
β = "A".
Định lý 1.2.3. Toán tử tuyến tính A : X → Y có toán tử
ngược A−1
liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số α > 0 sao cho:
(1.4)

"Ax" ≥ α "x" , (∀x ∈ X) .
Khi đó
≤ 1

A−1
α

Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh toán tử ngược A−1 của

toán tử tuyến tính A là toán tử tuyến tính. Thật vậy, lấy hai phần tử
y1, y2 ∈ Y và hai số tùy ý a, b. Khi đó ∃ x1, x2 ∈ X sao cho y1 =
Ax1, y2 = Ax2. Do đó
A (ax1 + bx2) = aAx1 + bAx2 = ay1 + by2
Suy ra

A−1 (ay1 + by2) = ax1 + bx2 = aA−1y1 + bA−1y2

Điều kiện cần
Giả sử toán tử tuyến tính A có toán tử ngược A−1 liên tục. Theo
chứng minh trên, A−1 là toán tử tuyến tính. Do đó theo định lý 1.2.1,
A−1 bị chặn. Suy ra tồn tại hằng số C > 0 sao cho
A−1y

≤ C "y" , (∀y ∈ Y )

nên C "Ax" ≥ A−1 (Ax) = "x" ⇒ "Ax" ≥
C

Đặt α =
1

C

ta nhận được (1.4)

Điều kiện đủ

1

"x" , (∀x ∈ X) .


17

Giả sử toán tử tuyến tính A thỏa mãn điều kiện (1.4). Khi đó ∀x1, x2 ∈
X; x1 ƒ= x2 ta có:
α "x1 − x2" ≤ "A (x1 − x2)" = "Ax1 − Ax2" ⇒ Ax1 ƒ=
Ax2.
Do đó A có toán tử ngược A−1. Theo chứng minh trên, toán tử A−1
tuyến tính nên (∀y ∈ Y ) ta có:
. −1 .
1
"y" = A A y ≥ α A−1y ⇒ A−1y ≤ "y" .
α
Suy ra, A−1 là toán tử tuyến tính bị chặn. Vậy A−1 liên tục
và
A−1

1

≤

1.3.

α

Đạo hàm Fréchet

Cho X, Y là hai không gian Banach. Toán tử f : X → Y (không

nhất thiết tuyến tính).
Định nghĩa 1.3.1. Cho x là một điểm cố định trong không
gian Banach X. Toán tử f : X → Y gọi là khả vi (theo
nghĩa Fréchet ) tại x nếu tồn tại một toán tử tuyến
tính liên tục A : X → Y sao cho :
f (x + h) − f (x) = A (h) + Φ (x, h) , (∀h ∈ X)
và lim
"h"→
0

"Φ(x,h)
"
"h"

= 0 (hay tương đương
lim

"f (x+h)−f (x)
−A(h)"
"h"

= 0 ).

"h"→0

A(h) gọi là vi phân cấp một của toán tử f tại x. Ký kiệu
là df (x, h).
Toán tử A gọi là đạo hàm cấp một (theo nghĩa Fréchet
) của f tại x. Ký hiệu là: f t (x). Vậy df (x, h) = f t (x) .h
(chú ý rằng f t (x) là một toán tử nên ký hiệu ở vế phải

có nghĩa là trị của toán tử f t (x) tại h, đôi khi để tránh
nhầm lẫn ta viết [f t (x)] (h)).


Định lý 1.3.1. Một toán tử được định nghĩa trên một tập
con mở của một không gian Banach là khả vi Fréchet
tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
Chứng minh. Cho Ω là một tập mở trong không gian Banach X.
Toán tử f : Ω → Y . Lấy x ∈ Ω và ε > 0 thỏa mãn x + h ∈ Ω, ở đó
"h" < ε thì "f (x + h) − f (x)" = "A (h) + Φ (x, h)" → 0 khi "h" →
0. Điều này chứng tỏ rằng f liên tục tại x.
Định lý 1.3.2. (Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet) Nếu một
toán tử có đạo hàm thì đạo hàm đó là duy nhất.
Chứng minh. Cho X, Y là hai không gian Banach. Với mỗi x ∈ X,
giả sử A, B là hai toán tử tuyến tính liên tục cùng là đạo hàm của
toán tử f : X → Y tại x. Khi đó (∀h ∈ X) ta có:
f (x + h) − f (x) = A (h) + ΦA (x, h)
f (x + h) − f (x) = B (h) + ΦB (x, h)
Suy ra
A (h) − B
(h)
"h"

=

ΦA (x, h) − ΦB (x,
h)
→

"h"

Nhưng ( k
X), ( ε > 0) ta có:
∀ ∈
∀

θ khi h

0

" "→

A(k)−B(k)
"k"

=

A(εk)−B(εk)
.
"εk"

Khi ε → 0

thì εk → θ nên vế phải dần tới θ do đó A (k) = B (k) , ∀k ∈ X hay
A≡B
Định lý 1.3.3. Cho X, Y, Z là những không gian Banach
thực. Nếu
g : X → Y là khả vi Fréchet tại x ∈ X và f : Y → Z khả vi
Fréchet

tại y = g (x) ∈ Y thì φ = f ◦ g cũng khả vi Fréchet tại x và
φt (x) =
f t (g (x)) gt (x).
Chứng minh. Với x, h ∈ X, ta có: φ (x + h) − φ (x) = f (g (x +
h)) − f (g (x)) = f (g (x + h) − g (x) + g (x)) − f (g (x)) = f (d +
y) − f (y), trong đó d = g (x + h) − g (x). Do đó "φ (x + h) − φ
(x) − f t (y) d" = o ("d"), trong biểu diễn của "d − gt (x) h" = o
("h"). Suy ra
"φ (x + h) − φ (x) − f t (y) gt (x) h" = o ("h") + o ("d")
Khi đó g liên tục tại x, bởi định lý 1.3.1 ta có "d" = o ("h") và vì
vậy
φt (x) .h = f t (g (x)) gt (x) .h
Ví dụ 1.3.1. Nếu f : R → R thì đạo hàm, vi phân Fréchet trùng
với khái niệm đạo hàm và vi phân theo nghĩa thông thường.
Ví dụ 1.3.2. Xét f : Rn → R, với x = (x1, x2, ..., xn), h = (h1, h2, ...,
hn)
n.
n
∈ R . Vi phân Fréchet của f tại x là: df (x, h) = ∂xi hi và đạo hàm
∂f (x)

của f tại x là: f t (x) =

.

∂f

,

∂f

, ...,

i=1

∂f

..
∂x1 ∂x2

∂xn

Ví dụ 1.3.3. Nếu mỗi toán tử fi (x1, x2, ..., xn) : Rn → R, i = 1, m
khả vi tại x = (x1, x2, ..., xn) thì toán tử f = (f1, f2, ..., fm) : Rn →
Rm khả
vi tại x và df (x, h) = (df1 (x, h) , df2 (x, h) , ..., dfm (x, h)).
Đạo hàm của f trong trường hợp này là một ma trận cỡ m × n
với dòng thứ i bằng fit (x), nghĩa là: f t (x)∂ = .
của f )

x

j

∂fi

. (ma trận Jacobi

Định nghĩa 1.3.2. Giả sử toán tử f : X → Y khả vi tại mọi
điểm thuộc tập mở Ω ⊂ X. Đạo hàm này như đã định
nghĩa ở trên là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào
Y , tức là f t : Ω → L (X, Y ). Ta nói


toán tử f hai lần khả vi tại x nếu f t khả vi tại x nghĩa là
tồn tại một
toán tử tuyến tính liên tục Q : Ω → L (X, Y ) sao cho với x, k
∈ Ω có
f t (x + k) f t (x) = Q (k) + Φ (x, k) với
→ 0 khi "k" → 0.
"Φ(x,k)"
−
"k"

Với mọi h ∈ X ta có: f t (x + k) .h − f t (x) .h = Q (k) .h + Φ
(x, k) .h
hay df (x + k, h) − df (x, h) = Q (k) .h + Φ (x, k) .h
Đặt Q (k, h) = Q (k) .h, ta thấy Q (k, h) là toán tử song
tuyến tính liên tục từ X × X → Y .
Toán tử Q gọi là đạo hàm cấp hai của f tại x, ký hiệu
là f tt (x).
Q (k, h) gọi là vi phân Fréchet cấp hai của toán tử f tại
x, ký hiệu là
d2f (x; k, h). Vậy d2f (x; k, h) = f

1.4.

tt

(x) . (k, h)

Kết luận

Trong chương này đã trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ
bản của không gian Banach, toán tử tuyến tính, đạo hàm Fréchet và
một số ví dụ minh họa. Đây là chương rất cần thiết nhằm hỗ trợ,
bổ sung những kiến thức cơ bản phục vụ cho nội dung các chương
sau, đặc biệt là chương 2. Nội dung chương 2 sẽ trình bày phương
pháp Newton - Kantorovich và một số định lý cơ bản của phương
pháp đó.


Chương 2
Phương pháp Newton - Kantorovich

Giả sử P là toán tử tác động trong không gian Banach X. Trong
chương này chúng ta xét phương trình toán tử P (x) = 0 và giải
gầ n

đúng phương trình này bằng phương pháp Newton -

Kantorovich.

2.1.

Phương pháp làm trội

Phương pháp làm trội đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên

cứu phương pháp Newton - Kantorovich. Chính vì vậy, trong mục này
ta sẽ trình bày phương pháp làm trội và các mở rộng của nó.
Xét phương trình:
x = A (x)

(2.1)

trong đó A là toán tử xác định trong hình cầu S (x0, r) của không
gian Banach X. Cùng với phương trình (2.1), ta xét phương trình:
u = ϕ (u)

(2.2)

trong đó ϕ (u) là hàm số xác định trên đoạn [u0; ut] , (ut = u0 + r).
2.1.1.

Toán tử khả vi

Định nghĩa 2.1.1. Ta nói rằng phương trình (2.2) là phương
trình làm


23

trội của phương trình (2.1) nếu các điều kiện sau được thỏa
mãn:
1) "A (x0) − x0" ≤ ϕ (u0) − u0;
2) "At (x)" ≤ ϕt (u) nếu "x − x0" ≤ u − u0.
trong đó At (x) là đạo hàm Fréchet của toán tử A (x).
Các xấp xỉ liên tiếp của phương trình (2.1) và (2.2) được

xây dựng như sau:
xn = A (xn−1) , n = 1, 2, ...

(2.3)

un = ϕ (un−1) , n = 1, 2, ...; u0 = u0

(2.4)

Bổ đề 2.1. Nếu hàm số ϕ (u), γ1 ≤ u ≤ γ2 liên tục, không
giảm và phương trình (2.2) có ít nhất một nghiệm. Khi
đó:
1) Nếu ϕ (γ1) ≥ γ1 thì dãy {un} hội tụ đến nghiệm u của
phương trình
(2.2);
2) Nếu ϕ (γ2) ≤ γ2 thì dãy {un} hội tụ đến nghiệm u của
phương trình
(2.2);
3) Nếu γ1 ≤ ϕ (γ1) ≤ ϕ (γ2) ≤ γ2 và phương trình (2.2) có
nghiệm duy nhất thì các dãy {un}, {un} hội tụ tới
nghiệm đó.
Chứng minh. 1) Trước hết ta chứng minh rằng un ≤ u∗, trong đó
u∗ là nghiệm của phương trình (2.2). Từ đó suy ra un có nghĩa với
mọi n.
Thật vậy, ta có u0 ≤ γ1 ≤ u∗. Giả sử un−1 ≤ u∗. Khi đó un
= ϕ (un−1) ≤ ϕ (u∗) = u∗, do đó un ≤ u∗, ∀n. Bây giờ ta chứng
minh dãy {un} không giảm. Ta có u1 = ϕ (u0) = ϕ (γ1) ≥ γ1 =
u0. Giả sử un ≥ un−1. Khi đó un+1 = ϕ (un) ≥ ϕ (un−1) = un. Vậy
dãy {un} không
giảm, bị chặn trên nên nó hội tụ. Giả sử lim u = u. Chuyển qua giới

n
n→∞


hạn trong un = ϕ (un−1) , n = 1, 2, ... ta được u là nghiệm của
phương trình (2.2). Chuyển qua giới hạn un ≤ u∗ ta có u là nghiệm
dưới của
phương trình (2.2);
2) Chứng minh tương tự 1);
3) Từ 1) và 2) suy ra 3).
Định lý 2.1.1. Giả sử toán tử A có đạo hàm liên tục trong
hình cầu S (x0, r), hàm số ϕ (u) khả vi trong đoạn [u0; ut]
và phương trình (2.2) là phương trình làm trội của
phương trình (2.1). Ngoài ra giả sử rằng phương trình (2.2)
có ít nhất một nghiệm trên đoạn [u0; ut]. Khi đó
phương trình (2.1) có ít nhất một nghiệm x∗ và "x∗ − x0"
≤ u − u0, trong đó u là nghiệm dưới của phương trình (2.2).
Nghiệm x∗ là giới hạn của dãy xấp xỉ (2.3). Ngoài ra
"xn − x∗" ≤ u − un, n = 1, 2, ...

(2.5)

trong đó un = ϕ (un−1) , n = 1, 2, ...; u0 = u0.
Chứng minh. Ta chứng minh dãy {xn} ⊂ S (x0, r) và nó là dãy
hội tụ. Vì phương trình (2.2) là phương trình làm trội của phương
trình (2.1) nên "x1 − x0" ≤ u1 − u0 = r, do đó x1 ∈ S (x0, r). Giả sử
x1, x2, ..., xn ∈
S (x0, r) và
"xk+1 − xk" ≤ uk+1 − uk
n

Khi đó "xn+1 − xn" = "A (xn) − A (xn
−

Đặt x = xn−1 + τ (xn − xn−1)
u = un−1 + τ (un − un−1) , (0 ≤ τ ≤
1)

1)"

=x

¸ At (x) dx .

xn−1

(2.6)


Từ (2.6) suy ra "x − x0" ≤ τ "xn − xn−1"+"xn−1 − xn−2"+...+"x1 −
x 0"
≤ τ "un − un−1" + "un−1 − un−2" + ... + "u1 − u0" = u − u0.
t

n

t

Từ bất đẳng thức "A (x)" ≤ ϕ (u) ta có "xn+1 − xn" ¸ At (x)dx ≤
=x

xn−1

¸xn

t

¸un

ϕt (u)du = ϕ (un) − ϕ (un−1) = un+1 − un. Vậy
xn−
un−
1
(2.6)
1
đúng với k = n. Mặt khác "xn+1 − x0" ≤ "xn+1 − xn" + "xn −
xn−1" +
"A (x)"dx
≤

... + "x1 − x0" ≤ "un+1 − un" + "un − un−1 " + ... + "u1 − u0" =
un+1 − u0
≤ u0 + r − u0 = r ⇒ xn+1 ∈ S (x0, r).
Theo quy nạp ta chứng minh được rằng ∀k = 0, 1, 2, ...; xk ∈ S (x0,
r)
và (2.6) đúng với mọi k. Từ (2.6) ta có "xn+p − xn" ≤ "xn+p −
xn+p−1"+
... + "xn+1 − xn"
≤ un+p − un+p−1 + ... + un+1 − un = un+p − un

(2.7)

Theo bổ đề 2.1 thì dãy {un} hội tụ đến u do đó lim xn = x∗. Chuyển
n →∞

∗

qua giới hạn trong (2.3) khi n → ∞ ta được x

là nghiệm của phương

trình (2.1).
Bất đẳng thức "xn − x∗" ≤ u − un, n = 1, 2, ... được suy ra từ
(2.7) nếu n = 0, p → ∞; còn đánh giá (2.5) được suy ra từ (2.7)
nếu cho p → ∞
Định lý 2.1.2. (Tính duy nhất nghiệm) Giả sử các điều kiện
của định lý 2.1.1 được thực hiện, ngoài ra ϕ (ut) ≤ ut và
phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất u∗ ∈ [u0; ut]. Khi đó
phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất trong S. Nghiệm đó
là giới hạn của dãy {x˜n } với