Hệ bất phương trình toàn phương và ứng dụng vào lý thuyết tối ưu

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cna PGS.TS.Nguyen Năng Tâm.
Tôi xin bày tó lòng cám ơn chân thành và sâu sac tói PGS. TS.Nguyen
Năng Tâm, ngưòi đã luôn quan tâm, đ®ng viên, giúp đõ tôi trong suot
quá trình tôi làm lu¾n văn.
Tôi xin gúi lòi cám ơn chân thành tói Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc
sư pham Hà N®i 2, phòng sau đai hoc, các thay cô giáo day cao hoc
chuyên ngành Toán giái tích đã tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi trong quá
trình hoc t¾p và nghiên cúu.
Tôi xin gúi lòi cám ơn tói ban giám hi¾u trưòng THPT Nhã Nam, só
giáo duc và đào tao Bac Giang, ban bè và ngưòi thân đã tao đieu ki¾n
cho tôi trong suot quá trình theo hoc và quá trình hoàn thi¾n bán lu¾n
văn này.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012
Tác giá

Thân Văn Trung


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bán lu¾n văn này là công trình nghiên cúu cna riêng
tôi dưói sn hưóng dan cna PGS.TS. Nguyen Năng Tâm. So li¾u và các
ket quá nghiên cúu trong lu¾n văn này là trung thnc và không trùng l¾p
vói các đe tài khác.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012
Tác giá

Thân Văn Trung


Mnc lnc

Báng ký hi¾u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Má đau

6

Chương 1. M®T SO KIEN THÚC CƠ BÁN

8

1.1

1.2

1.3
1.4

Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

Tích vô hưóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Chuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Sn h®i tu cna dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

T¾p loi và hàm loi..........................................................................10
1.2.1

T¾p loi................................................................................10

1.2.2

T¾p mó, t¾p đóng..............................................................10

1.2.3

T¾p b% ch¾n và t¾p Compact.........................................11

1.2.4

Hàm loi................................................................................11

Dang toàn phương và h¾ bat phương trình toàn phương .

12

1.3.1

12

Dang toàn phương

Bài toán toi ưu...........................................................................14
1.4.1

Đ%nh nghĩa.........................................................................14

Chương 2. Hfi BAT PHƯƠNG TRÌNH TOÀN PHƯƠNG
VÀ ÚNG DUNG
2.1

16

Sn ton tai nghi¾m cna h¾ bat phương trình toàn phương
loi và úng dung..........................................................................18

2.2

Úng dung....................................................................................23


4

Chương 3. Hfi BAT PHƯƠNG TRÌNH TOÀN PHƯƠNG
THUAN NHAT, TONG QUÁT VÀ ÚNG DUNG

26

3.1

Sơ lưoc ve hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2

Sn ton tai nghi¾m cna h¾ thuan nhat, h¾ tong quát . . .

28

3.2.1

H¾ hai bat phương trình toàn phương . . . .

. . .

28

3.2.2

H¾ ba bat phương trình toàn phương . . . .

. . .

42

3.2.3

Đieu ki¾n toi ưu cho bài toán "mien tin c¾y"

. . .

54

Ket lu¾n

58

Tài li¾u tham kháo..........................................................................59


BÁNG KÝ HIfi

∅

t¾p rong

x∈X

x thu®c t¾p X

x ∈/ X
A\B
A∪B
A ∩B
B

x không thu®c t¾p X
hi¾u cna t¾p A và t¾p B
hop cna t¾p A và t¾p B
giao cna t¾p A và t¾p

R

t¾p hop so thnc

Rn

không gian vectơ n chieu

R+

t¾p các vectơ không âm cna Rn

n

intRn

phan trong cna Rn+

Sn×n

t¾p các ma trân đoi xúng cõ n × n

Rm×n

t¾p các ma tr¾n cap m × n

||x||

chuan cna x

∇f

gradient cna f

+

< x, y > tích vô hưóng cna hai vectơ x và
y xT

chuyen v% cna x

AT
Q≥0

ma tr¾n chuyen v% cna A
ma tr¾n Q núa xác đ%nh dương

Mé ĐAU

1. Lí do chon đe tài
Nhieu van đe trong Toán hoc liên quan đen các bat phương trình
toàn phương. Nhung bat phương trình toàn phương thưòng xuat hi¾n
m®t cách tn nhiên trong nhieu lĩnh vnc cna Toán hoc như: Toi ưu hóa,
đieu khien toi ưu và ky thu¾t.
Nhieu tác giá trong và ngoài nưóc đã nghiên cúu h¾ nhung bat phương
trình toàn phương vói nhung khía canh khác nhau cùng nhung úng dung
cna chúng và đã thu đưoc nhieu ket quá lý thú. Sn ton tai nghi¾m cna
h¾ bat phương trình toàn phương đóng vai trò quan trong trong vi¾c
nghiên cúu bài toán toi ưu xác đ%nh bói m®t hàm muc tiêu toàn phương.
Nh¾n biet đưoc vai trò quan trong cna nhung bat phương trình toàn
phương, sau khi đưoc hoc nhung kien thúc cna chương trình cao hoc
chuyên ngành Giái tích và đưoc sn đ®ng viên cna PGS.TS Nguyen Năng
Tâm tôi quyet đ%nh chon đe tài
“H¾ bat phương trình toàn phương và Úng
ding vào lý thuyet toi ưu”
đe nghiên cúu.
2. Mnc đích nghiên cNu
- Tìm hieu ve h¾ bat phương trình toàn phương.
- Áp dung nhung ket nghiên cúu đã biet ve h¾ bat phương trình toàn
phương vào nghiên cúu bài toán toi ưu toàn phương.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu ve h¾ bat phương trình toàn phương loi và úng dung cna nó
vào nghiên cúu bài toán toi ưu
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
6

7

- Đoi tưong: Các bat phương trình toàn phương và toàn phương loi.
- Pham vi: Các bat phương trình toàn phương huu han chieu, sn ton tai
nghi¾m cna chúng.
5. Phương pháp nghiên cNu
- Sú dung phương pháp nghiên cúu cna giái tích toán hoc dna trên nhung
tài li¾u có liên quan đen bat phương trình toàn phương.
- Phân tích, tong hop ket quá.
6. Đóng góp cúa lu¾n văn
- Nghiên cúu làm rõ sn ton tai nghi¾m cna h¾ bat phương trình toàn
phương loi, úng dung trong lí thuyet toi ưu
- Tong hop, h¾ thong m®t so ket quá đã đưoc các nhà toán hoc nghiên
cúu và công bo ve bat phương trình toàn phương loi.


Chương 1
M®T SO KIEN THÚC CƠ BÁN

1.1

Không gian Rn

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Vói R là t¾p so thnc, ta kí hi¾u Rn là t¾p tap cá các
b® đưoc sap n so thnc: x = (x1, x2, ..., xn); xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, xi
đưoc goi là toa đ® thú i cna x.
Vói c¾p phan tú trong Rn: x = (x1, x2, ..., xn),

y = (y1, y2,

..., yn) ta goi tong x + y là phan tú trong Rn cho bói
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn).
Vói moi λ ∈ R, x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn ta goi tích cna x vói
so vô hưóng λ là phan tú
λx = (λx1, λx2, ..., λxn).
Đ¾c bi¾t, ta kí hi¾u −x = (−x1, −x2, ..., −xn) và 0 = (0, 0, ...,
0).
Ta có Rn cùng vói hai phép toán trên là m®t không gian vectơ trên
trưòng so thnc R.
Do đó, moi phan tú x ∈ Rn đưoc goi là m®t n-vectơ hay m®t vectơ
thnc n chieu .
1.1.1

Tích vô hưáng

Vói moi c¾p vectơ x, y ∈ Rn ta đ%nh nghĩa tích vô hưóng cna x và y
là so thnc sau
< x, y >= x1y1 + x2y2 + ... + xnyn.


9

Rõ ràng, tích vô hưóng < ., . > là m®t ánh xa tù Rn × Rn vào R.
Các
tính chat cna tích vô hưóng đưoc the hi¾n trong m¾nh đe sau.
M¾nh đe 1.1.1. Vói moi x, y, z ∈ Rn và λ ∈ R ta
có: a) < x, x >≥ 0
b) < x, x >= 0 ⇔ x = 0

c) < x, y >=< y, x >
d) < λx, y >=< x, λy >= λ < x, y >
e) < x, y + z >=< x, y > + < x, z > .
Hai vectơ x và y đưoc goi là trnc giao vói nhau đưoc kí hi¾u là x ⊥
y
neu < x, y >= 0.
1.1.2

Chuan

Vói moi vectơ x ∈ Rn, ta goi chuan cna x là so thnc ||x|| đưoc đ%nh
nghĩa bói
√
2
||x|| = < x, x > x1 + 2 + ... + x
n .
2
2 x
=.
Đ%nh lý 1.1.1. Vói moi x, y ∈ Rn ta
có: a) ||x|| ≥ 0
b) ||x|| = 0 ⇔ x = 0
c) ||λ|| = |λ|.||x||
d) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
1.1.3

SN h®i tn cúa dãy

Cho
(xk)k

N
∈
n

⊂ Rn là m®t dãy các vectơ. Ta nói dãy này h®i tu ve

vectơ x ∈ R , và kí
hi¾u

Neu dãy so thnc ||xk −
x¯||k

xk.

x=
lim
k→∞

∈N

h®i tu ve không. Túc là


10

x = lim xk ⇐⇒ lim
||xk − x¯||) = 0.
k→∞
k→∞

1.2
1.2.1

T¾p loi và hàm loi
T¾p loi

Cho x, y ∈ Rn. Đoan thang noi x, y kí hi¾u là [x, y], là t¾p hop
các điem
z = tx + (1 − t)y, ∀t ∈ [0, 1].
Khái ni¾m t¾p loi là m®t khái ni¾n quan trong trong lí thuyet toi ưu.
T¾p loi là t¾p mà vói hai điem bat kì cna nó, đoan thang noi hai điem
đó chúa tron trong nó.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. T¾p X ⊂ Rn đưoc goi là loi neu
λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1].
Theo đ%nh nghĩa t¾p ∅ là t¾p loi.
Ví dn 1.2.1. Các tam giác và hình tròn trong m¾t phang là các t¾p loi.
Hình cau đơn v% trong Rn là t¾p loi.
1.2.2

T¾p má, t¾p đóng

Đ%nh nghĩa 1.2.2. Cho X ⊂ Rn là t¾p loi. Ta goi vectơ v ∈ Rn, v
ƒ= 0, là phương lùi xa cna X neu
∀x ∈ X,

∀t > 0 =⇒ x + tx ∈ X

Đ%nh nghĩa 1.2.3. Cho x0 ∈ Rn, s > 0, ta goi t¾p

B(x0, s) = {x ∈ Rn : ||x − x0|| < s}
là hình cau mó trong Rn có tâm tai x0, bán kính s.
Đ%nh nghĩa 1.2.4. T¾p U ⊂ Rn goi là mó neu vói moi x0 ∈ U , ton
tai
s > 0 sao cho B(x0, s) ⊂ U.
T¾p F ⊂ Rn goi là đóng neu U = Rn\F là mó.
Neu t¾p F là t¾p loi thì ta goi nó là t¾p loi đóng.


1.2.3

T¾p b% ch¾n và t¾p Compact

Đ%nh nghĩa 1.2.5. T¾p B trong Rn là t¾p b% ch¾n neu ton tai m >
0
sao cho ||x|| ≤ m vói moi x ∈ B.
Đ%nh nghĩa 1.2.6. T¾p B trong Rn là t¾p compact neu moi dãy {xk}
trong B đeu có dãy con {xkm} h®i tu đen điem x∗ ∈ B.
1.2.4

Hàm loi

Cho X là m®t t¾p loi khác rong trong không gian Rn, f là m®t hàm
so thnc xác đ%nh trên t¾p X.
Hàm f đưoc goi là loi neu vói moi x, y ∈ X và λ ∈ (0, 1) ta có
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
Neu bat đang thúc trên là ch¾t vói moi x ƒ= y, ta nói f loi ch¾t trên
X. Hàm f goi là lõm trên X khi và chí khi (−f ) là m®t hàm loi
trên X,
trong đó (−f ) đưoc xác đ%nh bói (−f )(x) = −f (x) vói moi x ∈ X.

Ví dn 1.2.2. Hàm hang f : X → R, f (x) = α, vói moi x ∈ X là
m®t hàm loi.
Hàm afin f : R → Rn,

f (x) =< c, x > +α vói moi x ∈ R là

m®t hàm loi.
Hàm f : Rn → R,

f (x) = x3 là m®t hàm không loi trên R.

Th¾t
v¾y vói x = −1, y = 0, λ 2 ta có
=

1

1

1

f (λx + (1 − λ)y) = − ; λf (x) + (1 − λ)f (y) = −
8
2
chúng tó f (λx + (1 − λ)y) > λf (x) + (1 − λ)f (y) . V¾y f (x) =
x3 không là hàm loi trên R.


1.3

Dang toàn phương và h¾ bat phương trình toàn
phương

1.3.1

Dang toàn phương

Dang toàn phương trong Rn là m®t ánh xa f : Rn → R xác đ%nh bói:
f (x) =< x, Qx >,
trong đó, x = (x1, x2, ..., xn)T và
a11

a12 .

a
 21 a22 .
Q=
. .
 .

an1 an2 .

. . a1n 


. . a2n 


. . . 


. . ann

là ma tr¾n đoi xúng, x1, ..., xn goi là các bien.
Đôi khi ta viet f (x) = xT Qx thay cho f (x) =< x, Qx >. Ma
tr¾n Q
đưoc goi là ma tr¾n cna dang toàn phương.
Đ%nh nghĩa 1.3.1. Hàm toàn phương là hàm có dang:
f (x) =

1

< x, Qx > + < q, x > +c,
2
trong đó x ∈ Rn, Q là ma tr¾n đoi xúng cap n, q ∈ Rn là vectơ, c ∈ R .
Ví dn 1.3.1. Cho hàm toàn phương f (x) =
Rõ

1

{x2 + 2x2 − 6x1x2}.
1

2

2



1
ràng f (x) là dang toàn phương. Ma tr¾n Q có dang Q =


−3
Ví dn 1.3.2. Cho hàm toàn phương g(x) =
8x1x3}.

1


−3

2

{2x2 − 3x2 − x1x2 +
2

1

2

Rõ ràng g(x) là dang toàn phương 3 bien. Ma tr¾n Q cna dang toàn


phương là
2
Q =  −1


 2
4




−3 0 

0 0
−1
2

Đ%nh nghĩa 1.3.2. Ma tr¾n Q cap n goi là:
• Núa xác đ%nh dương neu < x, Qx >≥ 0, ∀x ∈ Rn, kí hi¾u là Q ≥
0.
• Xác đ%nh dương neu < x, Qx >> 0, ∀x ∈ Rn, kí hi¾u là Q > 0.
• Xác đ%nh âm neu < x, Qx >< 0, ∀x ∈ Rn, kí hi¾u là Q < 0.
• Núa xác đ%nh âm neu < x, Qx >≤ 0, ∀x ∈ Rn, kí hi¾u là Q ≤ 0.
Đ%nh lý 1.3.1. Q là ma tr¾n núa xác đ%nh dương khi và chí khi
1
f (x) = < x, Qx > + < q, x >
2
là hàm
loi.
Chúng minh. Vì Q là núa xác đ%nh dương nên
vói moi x, y ∈ Rn :< x − y, Q(x − y) >≥ 0, suy ra
1
< y, Qy >≥< x, Qy > .
1
+<
2 x, Qx > 2
Do đó, vói moi x, y ∈ Rn, ∀λ ∈ [0, 1]
ta có:

f [λx + (1 −
λ)y] =

(1 − λ)2

λ2 < x, Qx > +λ < q, x
>+
2

2

< y, Qy
>

+ (1 − λ) < c, y > +λ(1 − λ) < x, Qy >
λ2 < x, Qx > +λ < q, x >
≤ 2
(1 − λ)2
+
< y, Qy > +(1 − λ) < q, y >
2
.
+ λ(1 − λ) .
1< y, Qy >
1 < x, Qx 2
>
2
V¾y f là hàm loi.

≤ λf (x) + (1 −
λ)f (y).


Nh¾n xét 1.3.1. Ma tr¾n Q là núa xác đ%nh dương khi và chí khi
1
f (x) = < x, Qx > + < q, x > +c
2
là hàm
loi.

1.4
1.4.1

Bài toán toi ưu
Đ%nh nghĩa

Cho C ⊂ Rn, f : C → R là hàm so.
Bài toán toi ưu (xác đ%nh bói f và C) là bài toán tìm giá tr% nhó nhat
(ho¾c lón nhat) cna f trên C, kí hi¾u



min(max)f

(1.1)

(x)


x ∈ C.

Khi đó, t¾p C goi là t¾p ràng bu®c, f (x) goi là hàm muc tiêu. Moi
vectơ x ∈ C là m®t phương án chap nh¾n đưoc ho¾c lòi giái cna (1.1).
M®t lòi giái x∗ ∈ C goi là nghi¾m toi ưu (toàn cuc) neu
f (x∗) ≤ f (x); ∀x ∈ C.
M®t lòi giái x ∈ C đưoc goi là nghi¾m toi ưu đ%a phương neu nó có m®t
lân c¾n mó W ⊂ Rn cna x sao cho
f (x) ≤ f (x), ∀x ∈ W ∩ C.
T¾p hop các nghi¾m toi ưu toàn cuc cna (1.1) goi là t¾p nghi¾m cna
(1.1).
Nhieu khi C đưoc cho bói
{x ∈ Rn | gi (x) ≤ 0 (i = 1, ..., m)},


trong đó gi : Rn → R, i = 1, ..., m là các hàm so.
Các bat phương trình gi(x) ≤ 0 goi là các ràng bu®c.
Chú ý: Ta có max{f (x) | x ∈ C} = −min{−f (x) | x ∈ C}. Vì
v¾y ta chí xét các bài toán tìm cnc tieu là đn.
Ví dn 1.4.1. Giá tr% nhó nhat cna hàm so f (x) = x2 vói x ≥ 0 là 0
đat đưoc khi x = 0.
Ví dn 1.4.2. Giá tr% nhó nhat cna hàm so f (x) = x2 + 2x + 2 là 1
đat đưoc khi x = −1.
Ket lu¾n chương 1:
Chúng ta đã trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán ve không gian Rn, và
m®t so t¾p con cna nó, t¾p loi, hàm loi se đưoc dùng trong các chương
sau.


Chương 2

Hfi BAT PHƯƠNG TRÌNH
TOÀN PHƯƠNG VÀ ÚNG
DUNG

Trong chương này chúng ta se nghiên cúa sn ton tai nghi¾m cna h¾
bat phương trình toàn phương loi. N®i dung cna chương này chn yeu lay
tù [5] và các trích dan trong đó.
Đe xét sn ton tai nghi¾m cna h¾ bat phương trình toàn phương loi,
trưóc het ta có đ%nh nghĩa sau
Đ%nh nghĩa 2.0.1. H¾ bat phương trình toàn phương là h¾ có dang


f1 (x) 1
< x, Q1x >+ < q1, x > +c1 ≤ 0
2
=




1
< x, Q2 x >+ < q2 , x >
(2.1)
2
 f2 (x) =
+c2 ≤ 0
. . .





2
 fm (x) =

1

< x, Qm x >+ < qm, x > +cm ≤ 0

trong đó fi(x) = 21 < x, Qix >+ < qi, x > +ci vói 1 ≤ i ≤ n, là
các hàm toàn phương. Neu f1(x), f2(x), ..., fm(x) là các hàm loi thì
(2.1) là h¾ bat phương trình toàn phương loi.
Goi t¾p nghi¾m cna (2.1) là X. Ta có X là t¾p đóng (vì fi liên tuc).
Đ%nh lý 2.0.1. Neu các fi(x), i = 1, ..., m trong (2.1) là các hàm loi
thì
X là t¾p loi. Do đó, X loi đóng.
Chúng minh. Lay x, y ∈ X và t ∈ [0, 1]. Ta can chí ra


tx + (1 − t)y ∈ X.


20

Th¾t v¾y lay i ∈ {1, ..., m} vì f là hàm loi ta đưoc
fi(x) ≤ 0, fi(y) ≤ 0
Ta có

1

fi(tx+(1 − t)y)

< tx + (1 − t)y, Q(tx + (1 − t)y) >
2
=
+ < qi, tx + (1 − t)y > +ci
1
1
=

2
>+

< tx, Q(tx + (1 − t)y)

< (1 − t)y, Q(tx + (1 −
t)y) >

2
+ < qi, tx > + < qi, (1 − t)y > +ci
1
1
< (1 − t)y, Qtx >
< tx, Q(1 − t)y >
1
= +<
tx, Qtx >2
+
1 2
2
+ < (1 − t)y, Q(1 − t)y > + < qi, tx > + < qi, (1 −
2

t)y > +ci
1
1 2
= t1 < x, Qx > t(1 − t) < x, Qy > (1 − t)t < y, Qx >
2
1+ 2
+
2
+ (1 − t)2 < y, Qy > +t < qi, x > +(1 − t) < qi, y >
2
+ci
1
= (>t2+c
<i)x,2 Qx > +t < qi, x
1
+ ( (1 − t)2 < y, Qy > +(1 − t) < qi, y > +ci)
2
+ (t(1 − t)[< x, Qy > + < y, Qx >]).
Ta có (t(1−t)[< x, Qy > + < y, Qx >≤ t(1−t)(< x, Qx >)+ <
y, Qy >
nên:
1
( +c
t2 i)<2x, Qx > +t < qi, x >
1
+ ( (1 − t)2 < y, Qy > +(1 − t) < qi, y >
2
+ci)
+ (t(1 − t)[< x, Qy > + < y, Qx >] ≤ 0.

21

v¾
y

tx + (1 − t)y ∈ X.


Do đó, X là t¾p loi.
Ta can chí ra X là t¾p đóng. Th¾t v¾y, giá sú xk ∈ X vói k = 1, 2, ...
là dãy h®i tu ve x¯.
Do xk ∈ X nên fi (xk ) ≤ 0, ∀i ta suy ra fi (x¯) ≤ 0, ∀i.

x¯ ∈ X

V¾y

nên

X là t¾p loi đóng.

2.1

SN ton tai nghi¾m cúa h¾ bat phương trình toàn
phương loi và Nng dnng

Xét h¾ bat phương trình toàn phương loi
fi(x) ≤ si,

i = 1, 2, ..., m,si ≥ 0,

trong đó fi(x) = 21 xT Qx+ < qi, x > +ci là hàm toàn phương vói
i = 1, ..., m. Ta kí hi¾u X(s) là t¾p nghi¾m cna h¾ trên.
Đ%nh lý 2.1.1. Cho s = (sk, sk, ..., sk ),
s

≥ 0. Kí hi¾u X(s) là t¾p

k
1

2

m

i

nghi¾m cúa h¾
sau:
X(s) = {x ∈ Rn | fi(x) ≤ sk;i i = 1, 2, ..., m}.
Giá sú, vói m®t dãy dương {sk} dan tói 0 vói i = 1, 2, ..., m, ta
i
có,
X(s) ƒ= ∅. Khi đó t¾p hop
X(0) = {x ∈ Rn | fi (x) ≤ 0; i = 1, 2, ..., m} =ƒ

∅.

Chúng minh. Ta chúng minh đ%nh lí bang phương pháp qui nap toán hoc

theo m (so bat phương trình toàn phương).
Vói m = 1 giá sú f1(x) ≤
sk

1

có m®t nghi¾m là xk khi
sk

1

Nói cách khác 1(xk)T Q1xk + qT xk + c1 ≤ sk;
(2,2)

dan tói 0.
∀k.

1
1
2
Neu {xk} có dãy con b% ch¾n thì t¾p các điem tu cna dãy con đó thuôc


X(0) và ta có X(0) ƒ= ∅.


Neu không, ta có the giá sú ||xk|| → ∞.
k

Trong trưòng hop này chia (2.2) cho ||x ||

Q1 ≥ 0 ta đưoc
0 ≤ lim su
k→∞
p

và

2

và cho k → ∞, sú dung

(xk)kT
Q1x

0

||xk|| 2

lim supq1 xk ≤ 0.
T k
k→∞
||x
|| k
Q 1x
Tù đieu ki¾n Q1 ≥ 0, ta thu đưoc
= 0.
k
lim
k→∞ ||x ||

Bang cách lay dãy con (neu can thiet), ta giá sú u = lim xk .
k
k→∞ ||x ||

Xét hai trưòng hop:
Trưòng hop 1.1: qT1 u <

0.
Vì Q1u = 0, ta thay u như phương lùi xa cna {x ∈ Rn : f1(x) ≤ 0}
vói
moi t > 0, ta xét
1 2 T
T
T
f1(tu) =
vói t = |
c1

u
|.

2

t

Q1u + tq1 u + c1 = c1 + tq1 u ≤ 0,

q 1 Tu

Trưòng hop 1.2: qT1 u = 0 và Q1u = 0.

Không làm mat tính tong quát, ta có the giá sú rang {xk} là nghi¾m có
chuan nhó nhat cna f1(x) ≤ s1k.
Q1 x = Q 1 x k ; q T x = q T x k .
Xét h¾ tuyen tính
1

1

Rõ ràng, ton tai nghi¾m x¯k cna (2.3) sao cho
||x¯k || ≤ ρ(||Q1 xk || + |q T xk |)
1

vói ρ > 0 không đoi, không phu thu®c vào k (xem[3]).
Vì f1 (x¯k ) = f1 (xk )

1

và xk là nghi¾m chuan nhó nhat, ta có:

≤ sk
k
k
k
T k
||x
1 x |).
. || .≤ ||x¯ || ≤ ρ(||Q1 x || + |q
Chia cá hai ve cho |xk | và cho k → ∞, ta đưoc:

(2.3)

.

.
1 ≤ ρ(||Q1u|| + |qT u|).
1