Khung trong không gian Hilbert

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i
2 dưói sn hưóng dan cna cô giáo - tien sĩ Nguyen Quỳnh Nga. Tác giá
xin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn sâu sac nhat đoi vói cô. Cô đã
dành nhieu thòi gian hưóng dan, chí báo cho tác giá nhung kien thúc và
kinh nghi¾m quí báu, luôn đ®ng viên đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p
và vưot qua nhung khó khăn trong chuyên môn.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng ĐHSP Hà
N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Toán, To Giái tích, quý thay cô, đã tao
moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình cao
hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá xin chân thành cám ơn Trưòng THPT Yên Lãng và
To Toán - Tin đã tao đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá hoc t¾p và hoàn
thành tot lu¾n văn.
Tác giá xin chân thành cám ơn sn gúp đõ đ®ng viên cna gia đình,
ban bè, các thành viên lóp cao hoc Toán Giái tích khóa 2010 -2012 đe
tác giá hoàn thành lu¾n văn.

Hà N®i, tháng 12 năm 2012
Tác giá

Đo Thny Tiên

i


LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Quỳnh Nga.

M®t so ket quá đã đat đưoc trong lu¾n văn là mói và chưa tùng
đưoc công bo trong bat kỳ công trình khoa hoc nào cna ai khác.

Hà N®i, tháng 12 năm 2012
Tác giá

Đo Thny Tiên

ii


Mnc lnc

Má đau

1

1

M®T SO KET QUÁ VÀ KHÁI NIfiM BAN ĐAU

4

1.1. Toán tú tuyen tính b% ch¾n trên không gian Hilbert . . .

4

1.2. Phép chieu trnc giao và phan bù trnc giao . . . . . . . .

7

1.3. Toán tú đang cn b® ph¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Tong trnc tiep cna các không gian Hilbert
2

. . . . . . . .

CƠ Sé LÝ THUYET KHUNG

11
14

2.1. Khung trong không gian huu han chieu.................................15
2.2. Khung nhìn tù quan điem giãn nó..........................................17
2.3. Khung đoi ngau luân phiên........................................................ 33
2.3.1. Khung đoi ngau chính tac...........................................33
2.3.2. Khung đoi ngau luân phiên............................................36
3 KHUNG BÙ VÀ TÍNH RèI
3.1. Tính chat bù nhau và ròi nhau cna các khung . . . . . .

iii

42
42


3.2. Các đ¾c trưng cna tính tương đương, tính ròi nhau và tính

bù nhau....................................................................................48
3.3. M®t vài ket quá khác ve khung đoi ngau luân phiên . . .

58

Ket lu¾n

72

Tài li¾u tham kháo

73

iv


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Khung trong không gian Hilbert đưoc Duffin và Schaeffer [5] đưa
ra chính thúc vào năm 1952 khi nghiên cúu m®t so bài toán ve chuoi
Fourier không đieu hòa. Tuy nhiên, ý tưóng cna Duffin và Schaeffer
dưòng như không tao nên sn quan tâm cho các nhà khoa hoc ngoài lĩnh
vnc đó cho đen khi bài báo cna Daubechies, Grossmann và Meyer [4] ra
đòi vào năm 1986. Ke tù đó, lý thuyet khung nh¾n đưoc sn quan tâm
r®ng rãi bói nhieu nhà Toán hoc, V¾t lý hoc, Sinh v¾t hoc, Ky sư,. . .
. Khung thưòng đưoc sú dung trong xú lý tín hi¾u, xú lý ánh, nén du
li¾u và trong lý thuyet mau. Gan đây, khung còn đưoc sú dung trong
các lý thuyet quang hoc cũng như các nghiên cúu ve các không gian
Besov, lý thuyet không gian Banach. Ngưoc lai, các công cu manh tù
lý thuyet toán tú và lý thuyet không gian Banach lai đưoc sú dung đe

nghiên cúu trong lý thuyet khung [1].
Vói mong muon hieu biet sâu sac hơn ve lý thuyet khung trong
không gian Hilbert, đưoc sn đong ý hưóng dan cna cô giáo - tien sĩ
Nguyen Quỳnh Nga, tôi lna chon đe tài nghiên cúu “Khung trong
không gian Hilbert” đe thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p.


2

2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu tong quan ve cơ só cna lý thuyet khung và các tính
chat bù nhau và ròi nhau cna các khung trong không gian Hilbert.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Làm rõ lý thuyet cơ bán cho khung;
Làm rõ tính bù và tính ròi cna khung và các tính chat có liên quan.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưong nghiên cúu: Khung trong không gian Hilbert.
Pham vi nghiên cúu: Các bài báo, tài li¾u trong và ngoài nưóc
liên quan đen khung trong không gian Hilbert.

5. Phương pháp nghiên cNu
Sú dung các kien thúc và phương pháp cna giái tích hàm đe tiep
c¾n van đe.
Thu th¾p và nghiên cúu các tài li¾u có liên quan, đ¾c bi¾t là các
bài báo mói trong và ngoài nưóc ve van đe mà lu¾n văn đe c¾p tói.


6. Đóng góp mái

Lu¾n văn là m®t tài li¾u tong quan ve lý thuyet khung trong không
gian Hilbert.


Chương 1
M®T SO KET QUÁ VÀ
KHÁI NIfi

BAN ĐAU

Trong chương này, chúng tôi se nhac lai m®t vài ket quá cơ bán se
dùng trong chương sau. Các ket quá này đưoc tham kháo tù tài li¾u [6],
[8].

1.1.

Toán tN tuyen tính b% ch¾n trên không
gian Hilbert
Toán tú tuyen tính T tù không gian Hilbert H vào không gian

Hilbert K là liên tuc khi và chí khi nó b% ch¾n, nghĩa là, ton tai hang
so c > 0 sao cho
"T x" ≤ c "x" , vói moi x ∈ H.

(1.1.1)

Ký hi¾u B (H, K) là t¾p tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù
H vào K. Khi H = K thì B (H, K) đưoc ký hi¾u đơn gián là B (H).
Chuan cna T ∈ B (H, K) đưoc đ%nh nghĩa là hang so c nhó nhat

4


5

thóa mãn (1.1.1). Nói m®t cách tương đương,
"T " = sup {"T x" : x ∈ H, "x" ≤ 1}
= sup {"T x" : x ∈ H, "x" = 1} .
M¾nh đe 1.1.1. Giá sú H, K, L là các không gian Hilbert. Neu T ∈
B (H, K) thì ton tai duy nhat m®t phan tú T ∗ ∈ B (K, H) sao cho
(T ∗x, y) = (x, T y) , (x ∈ K, y ∈ H) .
Hơn nua,
∗

i) (aS + bT ) = aS∗ + bT ∗ .
∗

ii) (RS) = S∗ R∗ .
∗

iii) (T ∗ ) = T .
iv) I ∗ = I.
∗

.

.
−1 ∗

v) Neu T khá ngh%ch thì T cũng khá ngh%ch và T

trong đó S, T ∈ B (H, K) , R ∈ B (K, L) và a, b ∈ C.

= (T ∗)

−1

,

Toán tú T ∗ ó M¾nh đe 1.1.1 đưoc goi là toán tú liên hop cna toán
tú T
.
M¾nh đe 1.1.2. Giá sú T ∈ B (H, K) và S ∈ B (K, L). Khi đó
i) "T x" ≤ "T " "x" , ∀x ∈ H.
ii) "ST " ≤ "S" "T ".
iii) "T " = "T ∗ ".
iv) "T ∗ T " = "T"

2

.

Khi T ∈ B (H) và x, y ∈ H, ta có đong nhat thúc phân cnc sau
(T x, y)
=

1
{(T (x + y) , x + y) − (T (x − y) , x − y)
4
+i (T (x + iy) , x + iy) − i (T (x − iy) , x − iy)}
.

Cho T ∈ B (H). T đưoc goi là toán tú tn liên hop neu T ∗ = T
,
là unita neu T ∗ T = T T ∗ = I. T đưoc goi là chuan tac neu T ∗ T =
T T ∗.
T đưoc goi là dương (ký hi¾u T ≥ 0) neu (T x, x) ≥ 0 vói
moi x ∈ H. T, K ∈ B (H) , T ≥ K neu T − K ≥ 0.
Chú ý rang vói moi T ∈ B (H) thì (T ∗ T x, x) = (T x, T x) ≥ 0
vói
moi x ∈ H. Do đó T ∗ T là dương.
M¾nh đe 1.1.3. Giá sú T ∈ B (H). Khi đó
i) T là tn liên hop neu và chs neu (T x, x) là thnc vói moi x ∈ H. Đ¾c
bi¾t, toán tú dương là tn liên hop.
ii) T là unita neu và chs neu T là ánh xa báo toàn chuan (hay tương
đương là báo toàn tích vô hưóng) tù H lên H.
iii) T là chuan tac neu và chs neu "T x" = "T ∗ x" vói moi x ∈ H.
M¾nh đe 1.1.4. Giá sú T ∈ B (H). Khi đó các đieu sau đây là
tương đương
i) T là dương.
ii) T = S2 trong đó S là toán tú dương.
iii) T = V ∗V trong đó V ∈ B (H).
Toán tú S trong ii), là duy nhat và đưoc goi là căn b¾c hai cna T ,
1

ký hi¾u là T 2 .
Bo đe 1.1.5. Giá sú T ∈ B (H) và {ei} và {fj} là có só trnc chuan cúa
.
.
H. Khi đó

(T ei, ei) =
(T fj , fj).
i

j

.
(T ei, ei) đ®c l¾p vói sn lna chon

Tù Bo đe 1.1.5, đai lưong
cơ
i

só trnc chuan cna H. Ta goi đai lưong này là vet cna T và ký hi¾u là


tr (T ).
Vet cna toán tú T có các tính chat tương tn như vet cna ma tr¾n.
M¾nh đe 1.1.6. Giá sú T, S ∈ B (H) , α, β ∈ C.Khi đó
i) tr (αS + βT ) = αtr (S) + βtr (T ).
ii) tr (ST ) = tr (T S).
iii) Neu S và T là đong dang (túc là ton tai m®t toán tú khá ngh%ch
V ∈ B (H) sao cho T = V −1SV ) thì tr (S) = tr (T ).
M¾nh đe 1.1.7. Giá sú M là m®t không gian con đóng cúa không gian
Hilbert H và P là phép chieu trnc giao tù H lên M. Khi đó tr (P )
= dim (M ).

1.2.

Phép chieu trNc giao và phan bù trNc giao

Giá sú H là m®t không gian Hilbert, u, v ∈ H và X, Y là các

t¾p con cna H. Ta nói u trnc giao vói v neu (u, v) = 0 và u trnc giao
vói Y neu (u, y) = 0 vói moi y ∈ Y và X trnc giao vói Y neu (x, y)
= 0 vói moi x ∈ X, y ∈ Y . Kí hi¾u Y ⊥ là t¾p tat cá các vectơ trong
H và trnc giao vói Y .
M¾nh đe 1.2.1. Neu Y là m®t không gian con đóng cúa không gian
Hilbert H thì moi phan tú x ∈ H có the bieu dien đưoc dưói dang x
= y + z, trong đó y ∈ Y và z ∈ Y ⊥. Hơn nua, y là phan tú duy nhat
trong Y , gan nhat vói x.
Ta viet H = Y ⊕ Y ⊥ và Y ⊥ đưoc goi là phan bù trnc giao cna
Y
trong H.


.
.
Phương trình P (y + z) = y, y ∈ Y, z ∈ Y ⊥ xác đ%nh m®t
toán
tú tuyen tính P : H → H. P đưoc goi là phép chieu trnc giao tù
H lên Y . Chú ý rang I − P là phép chieu trnc giao tù H lên Y ⊥ và
.
.
(I − P ) (y + z) = z, y ∈ Y, z ∈ Y ⊥ .
Do (y, z) = 0 khi y ∈ Y và z ∈ Y ⊥, ta có
"P (y +
z)"

2

= "y
2

"

2

2

≤ "y" + "z = "y + z" ,
2

"

(P (y + z) , y + z) = (y, y + z) =

2

≥ 0.

"y"
Do đó P là b% ch¾n vói "P " ≤ 1 và P là dương (do đó P là tn liên
hop). Do Py = y vói moi y ∈ Y, "P " = 1 trù trưòng hop Y = {0}
và
P = 0.
Chú ý rang P 2 = P và Y = {P x : x ∈ H} = {y ∈ H : Py =
y} và
Y ⊥ = {z ∈ H : Pz = 0}.
Ngưoc lai, giá sú P ∈ B (H) và P 2 = P = P ∗ . Khi đó P là
phép chieu trnc giao tù H lên Y = {P x : x ∈ H}.

Như v¾y có m®t quan h¾ 1 – 1 giua các không gian con đóng Y
cna m®t không gian Hilbert H và các phép chieu trnc giao trên H.
Cho T ∈ B (H, K), trong đó H, K là các không gian Hilbert. Ta
ký hi¾u
KerT = {x ∈ H : Tx = 0} ,
.
.
RanT = y ∈ K : y = Tx vói x ∈ H .
M¾nh đe 1.2.2. Giá sú T ∈ B (H). Khi đó
H = Ker (T ) ⊕ Ran (T ∗) = Ker (T ∗) ⊕ Ran (T ).


1.3.

Toán tN đang cN b® ph¾n
U ∈ B (H, K) đưoc goi là m®t đang cn neu "U x" = "x"

vói moi x ∈ H. Đieu ki¾n can và đn đe U ∈ B (H, K) là m®t đang
cn là
2

∗

U U = I. Th¾t v¾y, do "U x" =
"x"

2

nên (U ∗ Ux, x) = (U x, U x)
=

2

"U x" = "x = (x, x) vói moi x ∈ H.
2

"

Tù đong nhat thúc phân cnc, ta có (U ∗ Ux, y) = (x, y) vói moi
x, y ∈ H. Tù đó U ∗ Ux = x vói moi x ∈ H và U ∗ U = I.
Chú ý rang các đieu ki¾n U ∗ U = I và UU ∗ = I là không
tương
đương. Đieu ki¾n UU ∗ = I đưoc thóa mãn neu U ∗ là m®t đang cn.
Trong trưòng hop này ta goi U là đoi đang cn.
Neu toán tú tuyen tính U là đang cn trên phan bù trnc giao cna
hat nhân cna nó thì ta goi U là toán tú đang cn b® ph¾n. Ví du các đang
cn, đoi đang cn và các phép chieu trnc giao là các toán tú đang cn b®
ph¾n.
Ta có the de dàng kiem tra rang neu U là toán tú đang cn b® ph¾n
và U ƒ= 0 thì "U" = 1.
M¾nh đe 1.3.1. M®t toán tú U là m®t toán tú đang cn b® ph¾n neu và
chs neu U ∗ U là m®t phép chieu trnc giao. Đieu này cũng đúng neu
và chs neu UU ∗ là phép chieu trnc giao. Trong trưòng hop này U ∗ U là
⊥

phép chieu trnc giao trên phan bù trnc giao [KerU ] cúa nhân KerU và
UU ∗ là phép chieu trnc giao trên không gian ranU . Ta ký hi¾u supp
⊥

(U ) = [KerU ] .

Chúng minh.
Giá sú U là m®t đang cn b® ph¾n. Ký hi¾u P là m®t phép chieu


trnc giao lên supp (U ), lay x, y ∈ supp (U ). Khi đó
(P x, y) = (x, y) = (U x, Uy) = (U ∗ Ux, y) .
Tù y là m®t vectơ tùy ý trong supp (U ), đieu này chí ra rang Px =
U ∗ Ux vói moi x ∈ supp (U ). Neu v ∈ H thì v = x + z vói x ∈
supp (U ) và z ∈ ker (U ). Như v¾y Pz = 0 = Uz, và do đó
Pv = Px = x = U ∗ Ux = U ∗ Uv.
Do v tùy ý trong H, nên P = U ∗ U . Ta vùa chúng minh đưoc, neu U
là m®t đang cn thì U ∗ U là phép chieu trnc giao lên supp (U ).
Ngưoc lai, giá sú rang U : H → K là m®t toán tú tuyen tính vói
tính chat U ∗ U là m®t phép chieu trnc giao. Lay P = U ∗ U và E =
P H.
Khi đó vói x bat kỳ thu®c E, ta có Px = x và do v¾y
2

"x" = (x, x) = (P x, x) =

∗

2

U x, x) = "Ux .

(U

"

Như v¾y U| E là m®t đang cn. Hơn nua, vói y ∈ E⊥ , ta có
2

"Uy" =

∗

Uy, y) = (P y, y) = 0.

(U
Đieu này cùng vói U| E là m®t đang cn, kéo theo rang supp (U ) =
E.
Như v¾y U là m®t đang cn b® ph¾n.
é phan thú hai, ta chí can chí ra rang neu m®t toán tú U là
m®t đang cn b® ph¾n thì U ∗ cũng là m®t đang cn b® phân. Th¾t
v¾y, giá sú rang U là m®t đang cn b® ph¾n. Khi đó theo nhung gì
ta đã chúng minh, U ∗ U là m®t phép chieu trnc giao lên supp (U ). Chú
ý rang supp (U ∗ ) = (ker U ∗ )

⊥

= ran (U ). Vì v¾y, neu z ∈ supp

(U ∗ ) thì z = Ux vói x ∈ supp (U ), và như v¾y "z" = "x", do U là
đang cn trên supp (U ). Đieu này chí ra
"U ∗ z" = "U ∗ Ux" = "x" = "z" .


Như v¾y, U ∗ là m®t đang cn b® ph¾n.
Q

M¾nh đe đưoc chúng minh.

1.4.

Tong trNc tiep cúa các không gian Hilbert
Khi H1, ..., Hk là các không gian Hilbert và K là t¾p cna tat cá

các b® k {x1, ..., xk} vói xj ∈ Hj (j = 1, ..., k), ta có m®t cau trúc
không gian Hilbert trên K, trong đó các toán tú đai so, tích trong và
chuan đưoc đ%nh nghĩa bói
a {x1, ..., xk} + b {y1, ..., yk} = {ax1 + by1, ..., axk + byk} ,
({x1, ..., xk} , {y1, ..., yk}) = (x1, y1) + ... + (xk, yk) ,
.
.12
2
"{x1, ..., xk}" "x1" + ... + "xk2" .
=
Không gian Hilbert K đưoc goi là tong trnc tiep cna H1, ..., Hk và đưoc
k
.
⊕Hj . Các phan tú trong H1 ⊕ ...
ký hi¾u bói H1 ⊕ ... ⊕ Hk
⊕ Hk
ho¾c
j=1

cũng đưoc kí hi¾u là x1 ⊕ ... ⊕
xk.
Vói moi j = 1, ..., k, t¾p

Hr

bao gom nhung b® k có các thành
j

phan bang không ngoai trù v% trí thú j, là m®t không gian con đóng
cna H1 ⊕ ... ⊕ Hk. Ánh xa Uj : Hj → H r , đ%nh nghĩa bói Ujx
j
=
{0, ..., 0, x, 0, ..., 0}(vói x ó v% trí thú j) là m®t đang cau tù Hj vào j
Hr .
Các không gian con H r , ...,
Hr
1

là các c¾p trnc giao, và
k

S
k

H r j = K.

j=1

Giá sú rang H1, ..., Hk là các không gian con trnc giao vói nhau
k


tùng đôi m®t cna không gian Hilbert H,

và

S
j=
1

Hj = H. Khi đó, các
phép

chieu trnc giao tương úng E1, ..., Ek tù H lên H1, ..., Hk có tong I.
Toán tú tuyen tính U : H → K, đưoc đ%nh nghĩa bói Ux = {E1x, ...,
Ekx},


ánh xa Hj vào H rj và H vào K (= H1 ⊕ ... ⊕ Hk), và là m®t unita do
k

"U x"

2

k

2

Ejx = "x (x ∈ H) .
"

2

"Ejx"
= .

=
.

j=1

2

j=1

Ngh%ch đáo cna nó U −1 mang {x1, ..., xk} cna K vào x1 + ... + xk. Trong
đang cau này, ta xem H như m®t tong trnc tiep trong cna H1, ..., Hk và
K như tong trnc tiep ngoài; thính thoáng, ta đong nhat H vói K và Hj
vói H r .
j

Neu Hj , Kj là các không gian Hilbert và Tj ∈ B (Hj, Kj ) (j = 1, ...,
k), đang thúc T {x1, ..., xk} = {T1x1, ..., Tkxk} (x1 ∈ H1, ..., xk ∈
Hk) đ%nh nghĩa m®t toán tú tuyen tính T tù H1 ⊕ ... ⊕ Hk vào K1 ⊕ ...
⊕ Kk, đưoc
goi là tong trnc tiep

k
.
j=1

⊕Tj cna T1, ..., Tk. Vói

c = sup {"Tj" : j = 1, ..., k} ,
ta có
"T {x1, ..., xk}"
=

.

2

2

1
2

"T1 x1 " + ... +"Tk xk " .
1
.
.2
2
2
≤ "T1" "x1" + ... + "Tk "xk "2
2

.

2
≤ c "x1" + ... +x
"
k"
= c "{x1, ..., xk}" ,

"
2

1

.2

vì v¾y T b% ch¾n, vói "T " ≤ c. Tuy nhiên, vói moi j = 1, ..., k và x ∈ Hj ,
"Tjx" = "{0, ..., 0, Tjx, 0, ..., 0}"
= "T {0, ..., 0, x, 0, ..., 0}"
≤ "T " "{0, ..., 0, x, 0, ..., 0}" = "T " "x" .


Như v¾y, "Tj" ≤ "T " , (j = 1, ..., k), do đó c ≤ "T " và vì v¾y "T "
= c.
Tù
(T ∗ {y1, ..., yk} , {x1, ..., xk}) = ({y1, ..., yk} , T {x1, ..., xk})
= ({y1, ..., yk} , {T1x1, ..., Tkxk})
k
.
=
(yj, T jxj)
j=
1
.
k

(T ∗ yj, xj)

=
j=1

= ({T ∗ y1 , ..., T ∗ yk } , {x1, ..., xk}) ,
1

k

khi xj ∈ Hj và yj ∈ Kj, (j = 1, ..., k), suy ra rang
T ∗ {y1, ..., yk} = {T ∗ y1 , ..., T ∗ yk } .
1

k

Chúng ta đã chúng minh rang
n

.

⊕Tj = sup {"Tj" : j = 1, ..., k} ,

j=1

.

.

n
.

n

∗

j=1 ⊕Tj

∗
= . ⊕Tj ;
j=1

và rõ ràng rang
k

.

⊕ (aSj + bTj )
j=1 = a
.

k
.
⊕R
j=1

j

. .
k

.

k
.
⊕Sj

..
k

+b

j=1

. ⊕Sj
j=1

.

⊕Tj

j=1

.

.
=

k

.

. ⊕Rj Sj ,
j=1

khi Sj, Tj ∈ B (Hj, Kj ) , Rj ∈ B (Kj, Lj ) và a, b ∈ C.

.

,


Chương 2
CƠ Sé LÝ THUYET KHUNG
Trong nghiên cúu không gian vectơ m®t trong nhung khái ni¾m
quan trong nhat là cơ só, cho phép moi phan tú ó trong không gian đưoc
viet như là m®t to hop tuyen tính cna các thành phan trong cơ só. Tuy
nhiên, đieu ki¾n là cơ só rat han che - không có sn phu thu®c tuyen tính
giua các thành phan là có the và đôi khi chúng ta th¾m chí muon các
thành phan trnc giao tương úng vói m®t tích trong. Đieu này làm cho
khó tìm ho¾c th¾m chí không the tìm thay cơ só đáp úng đieu ki¾n bo
sung và đây là lí do mà ngưòi ta mong muon tìm m®t công cu linh hoat
hơn.
Khung là công cu như v¾y. M®t khung cho m®t không gian vectơ
đưoc trang b% m®t tích trong cũng cho phép moi phan tú trong không
gian đưoc viet như là m®t to hop tuyen tính cna các phan tú trong
khung, nhưng tính đ®c l¾p tuyen tính giua các phan tú khung là không
can thiet. Ve trnc giác, ta có the nghĩ m®t khung như là m®t cơ só đưoc
cho thêm vào m®t so phan tú.
Các ket quá cna chương này có the tham kháo trong [2], [3], [7].

14

15

2.1.

Khung trong không gian hÑu han chieu
Cho V là m®t không gian vectơ huu han chieu, đưoc trang b% m®t
m

tích trong (·, ·). Nhó lai rang m®t dãy {ej } trong V là m®t cơ só cna
j=1
V neu hai đieu ki¾n sau đây đưoc thóa mãn
m
i) V = span {e}j
;

m
.
m
j=1
ii) {ej} là đ®c
l¾p tuyen tính, nghĩa là neu
cjej = 0 vói các h¾
m
j=1 {cj
vô hưóng
thì cj = 0, (j = 1, ..., m). so
}
j=1

j=1

Như m®t h¾ quá cna đ%nh nghĩa này, moi f ∈ V có m®t bieu dien
duy nhat theo các thành phan trong cơ só, túc là, ton tai các h¾ so vô
m

hưóng duy nhat {cj }

sao cho
m

j=1

f =

.

c je j.

(2.1.1)

j=1
m

Neu {ej}

j=1

là m®t cơ só trnc chuan, nghĩa là là m®t cơ só vói


 0 neu i ƒ= j
,
(ei, e j) = δij 
1 neu i = j
=
m

thì h¾ so {cj}

rat de tìm, đó chính là tích trong cna f trong (2.1.1)

j=1

vói m®t ej tùy ý
(f, e j)
=
vì
v¾y

.

m
.

.

m

c ie i , =

.

ci (ei, e j) = c j,

i=1

ej
i=1
m

f =

.

(f, e j) e j.

(2.1.2)

j=1

Bây giò ta giói thi¾u ve khung; ta se chúng minh rang m®t khung
{fj}j=1
m cũng cho ta m®t bieu dien như (2.1.1).


Đ%nh nghĩa 2.1.1. M®t ho đem đưoc cúa các vectơ {fj}j∈J trong V đưoc
goi là m®t khung cúa V neu ton tai các hang so A, B > 0 sao cho
A"f" 2 ≤

.

2

|(f, fj)| ≤ B"f" , ∀f ∈ V.

(2.1.3)

j∈J

Các so A, B đưoc goi là các c¾n khung. Chúng không là duy
nhat. C¾n khung dưói toi ưu là supremum trên tat cá các c¾n khung
dưói, và c¾n khung trên toi ưu là infimum trên tat cá các c¾n khung
trên. Chú ý rang các c¾n khung toi ưu là các c¾n khung thnc sn.
Khung là chuan
.
.
hóa, neu "fj" = 1, vói moi j ∈ J .
Trong m®t không gian vectơ huu han chieu se là không tn nhiên
(m¾c dù có the) khi xét các ho {fj}j∈J có vô han các phan tú. Trong
m

phan này chúng ta chí xem xét các ho huu han {fj } , m ∈ N. Vói han
j=1

che này, bat đang thúc Cauchy – Schwarz chí ra rang
m

.

|(f, fj)|

j=1

2

m
.

≤

"fj" 2"f"2

j=1

vói moi f ∈ V , nghĩa là, đieu ki¾n khung trên tn đ®ng đưoc thóa mãn.
m
.
2
Tuy nhiên, ta có the tìm m®t c¾n khung trên tot hơn
"f"j .
j=1

Đe cho đieu ki¾n dưói trong (2.1.3) thóa mãn, can thiet rang
m

span {fj} = V . Đieu ki¾n này là đn; moi dãy huu han là m®t khung
cho bao j=1
tuyen tính cna nó.
m

m

M¾nh đe 2.1.2. [2] Cho {fj}j=1 là m®t dãy trong V . Khi đó {fj}j=1
là
m
m®t khung cho span {f}j
.
j=1

Chúng minh.
Chúng ta có the giá sú rang không phái tat cá các fj đeu bang


không. Như v¾y ta thay, đieu ki¾n khung trên là thóa mãn vói B =
m
.
m
"f"j . Bây giò lay
W : = span {fj}
2

j=
1

j=1

và xem xét ánh xa liên tuc
m

φ : W → R, φ (f ) :=

.

2

|(f, fj)| .

j=1

Hình cau đơn v% trong W là compact, vì v¾y ta có the tìm g ∈ W vói
"g" = 1 sao cho
m

A :=

.

=
|(g, inf
2

.

m

.

|(f, fj)|

.

: f ∈ W, "f" = 1

.

fj)|
j=1

j=1

Rõ ràng là A > 0. Bây giò lay f. ∈ W, f ƒ= 0, ta có
.
m
m
..2
f
.
. .
.
2
2
.
.
=
,
|(f, fj)|
≥
A"f"
.
"f"
"f f

j=1
.
j=1
j
.
"

2

Q

M¾nh đe đưoc chúng minh.
k

H¾ quá 2.1.3. [2] M®t ho các phan tú {fj }
} {fj
khung cúa V khi và chs khi span

k

j=1

trong V là m®t
=V.

j=1

H¾ quá 2.1.3 chí ra m®t khung có the có so phan tú nhieu hơn so
k

phan tú can thiet đe làm cơ só. Đ¾c bi¾t, neu {fj }
m

là m®t khung cna

j=1

k

V và {gj}j=1 là m®t t¾p huu han tùy ý các vectơ trong V thì {fj}j=1 ∪
m

{gj}j=1 cũng là m®t khung cna V .

2.2.

Khung nhìn tN quan điem giãn ná


Cho H là không gian Hilbert phúc khá li. Ký hi¾u B (H) là
đai so cna tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n trên H. N là t¾p các
so tn


nhiên, Z là t¾p các so nguyên. Ta dùng J chung cho các t¾p đem đưoc
như N, Z, Z2, N ∪ N,. . . .
M®t dãy {xj : j ∈ N} cna không gian vectơ H đưoc goi là m®t
khung neu có các hang so A, B > 0 sao cho
2

A"x" ≤

.

|(x,

2

≤ B"x"

(2.2.1)

2

xj)|
j

vói moi x ∈ H. Các hang so toi ưu (toi đa cho A và toi thieu cho B)
đưoc goi là các c¾n khung toi ưu. Khung {xj} đưoc goi là m®t khung
ch¾t neu A = B và đưoc goi là Parseval neu A = B = 1. M®t dãy
{xj} đưoc goi là m®t cơ só Riesz neu nó là m®t khung và cũng là
m®t cơ só cho H theo nghĩa: vói moi x ∈ H, ton tai duy nhat m®t dãy
.
{αj} trong C sao cho x =
αjxj vói sn h®i tu trong chuan.
Lưu ý rang m®t cơ só Riesz đôi khi đưoc đ%nh nghĩa là m®t cơ só
đưoc lay tù m®t cơ só trnc chuan bang cách áp dung m®t toán tú tuyen
tính khá ngh%ch b% ch¾n. Đieu này là tương đương vói đ%nh nghĩa cna
chúng ta (xem M¾nh đe 2.2.5). Rõ ràng tù tong tuy¾t đoi trong (2.2.1),
các khái ni¾m ve khung (và cơ só Riesz) có ý nghĩa vói bat kỳ t¾p hop

con đem đưoc cna H và không phu thu®c vào thú tn dãy. Do đó se không
có sn nham lan trong khi nói ve m®t khung ho¾c cơ só Riesz vói t¾p chí
so là m®t t¾p đem đưoc J.
Tù đ%nh nghĩa, m®t t¾p {xj : j ∈ J} là m®t khung Parseval khi và
chí khi
"x" 2

∞

2
= . |(x, xj)|

(2.2.2)

j=1

vói moi x ∈ H. Hien nhiên m®t cơ só trnc chuan là m®t khung Parseval.
Hơn nua, neu {xj} là m®t khung Parseval, thì (2.2.2) suy ra "xj" ≤ 1


vói moi j. Ngoài ra, neu xk là m®t vectơ đơn v% thì (2.2.2) cho thay nó
phái trnc giao vói tat cá các vectơ xj khác ó trong khung. Vì v¾y m®t
khung Parseval cna các vectơ đơn v% là m®t cơ só trnc chuan. M¾t
khác, m®t so các vectơ trong m®t khung ch¾t có the là vectơ - không.
Neu H là không gian Hilbert không, thì m®t t¾p chí so đem đưoc bat
kỳ cna
các vectơ không đáp úng đ%nh nghĩa cna m®t khung Parseval (mien là ta
quy ưóc A = B = 1 trong trưòng hop này). Giá sú {xj : j ∈ J} là
m®t khung Parseval cho H. Giá sú rang {xi : i ∈ Λ} ⊂ {xj : j ∈ J}
cũng là

m®t khung Parseval cho H, Λ ⊂ J. Neu j ∈/ Λ thì
.
.
2
"xj" 2
|(xj, xi)| .
=
|(xj, =
2

i∈Λ

xk
2

Do đó
xk)|

.

)|
k∈J

|(xj,

k∈/Λ

= 0. Vì the (xj, xj) = 0, suy ra xj = 0. Vì v¾y
cách

duy nhat đe mó r®ng m®t khung đe đưoc m®t khung Parseval là thêm
các vectơ không.
Neu {xn} là m®t khung mà không là cơ só Riesz và không phái là
m®t dãy các vectơ không trên không gian Hilbert không thì ta goi {xn}
là m®t khung thnc sn.
Ta nói các khung {xj : j ∈ J} và {yj : j ∈ J} trên các không gian
Hilbert H, K tương úng là tương đương unita neu có m®t toán tú unita
U : H → K thóa mãn Uxj = yj vói moi j ∈ J. Ta nói chúng đong
dang (hay đang cau) neu có m®t toán tú tuyen tính b% ch¾n khá ngh%ch
T : H → K sao cho T xj = yj vói moi j ∈ J.
Đieu quan trong can lưu ý là hai khái ni¾m trên (tương đương
unita và đang cau) phan nào han che và thnc te là han che hơn khái
ni¾m tương đương cna các khung mà m®t so nhà lý thuyet muon.