Mối liên hệ giữa hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một với phương trình Hyperbolic cấp hai

i

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành dưói sn hưóng dan
cna GS. TSKH. Nguyen Manh Hùng.Tác giá xin bày tó lòng kính trong,
lòng biet ơn sâu sac tói GS. TSKH. Nguyen Manh Hùng, ngưòi đã
quan tâm, đ®ng viên tác giá và hưóng dan tác giá trong quá trình hoàn
thành lu¾n văn.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Toán và To Giái tích
cùng vói các thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket
thúc tot đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá chân thành cám ơn Só GD và ĐT Hà N®i, Trưòng THPT
Liên Hà đã tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p và
hoàn thành tot lu¾n văn.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân và ban bè đã
đ®ng viên và tao đieu ki¾n đe tác giá hoàn thành lu¾n văn này.
Hà N®i, tháng 6 năm 2012
Tác giá

Nguyen Th% Bích Liên


ii

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan cna GS. TSKH. Nguyen Manh Hùng. Lu¾n văn
không he trùng l¾p vói đe tài khác.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012
Tác giá

Nguyen Th% Bích Liên


3

Mnc lnc

Má đau

1

1 Kien thNc chuan b%.

4

1.1. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Trung bình hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Đao hàm suy r®ng . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Không gian W m (Ω), 1 ≤ p < ∞. . . . . . . . . .

9

1.1.4. Không gian

op
Wpm

(Ω) , 1 ≤ p < ∞..................................12

1.2. Thác trien yeu................................................................................13
1.3. Toán tú đóng..................................................................................13
2

H¾ phương trình Hyperbolic đoi xNng cap m®t
2.1. Đ%nh nghĩa h¾ phương trình Hyperbolic đoi xúng cap
m®t
2.2. Nghi¾m suy r®ng cna h¾ phương trình Hyperbolic đoi
xúng
cap m®t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
14

16


2.3. Sn ton tai nghi¾m suy r®ng cna h¾ phương trình Hyperbolic đoi xúng cap m®t................................................................20

2.4. Sn duy nhat nghi¾m suy r®ng cna h¾ phương trình Hyperbolic đoi xúng cap m®t..........................................................22
2.4.1. Toán tú tích phân ma tr¾n.............................................22
2.4.2. Sn duy nhat nghi¾m suy r®ng......................................30
3

Phương trình hyperbolic cap hai

32

3.1. Đ%nh nghĩa phương trình hyperbolic cap hai..........................32
3.2. Moi liên h¾ giua h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng cap
m®t và phương trình hyperbolic cap hai..................................34
Ket lu¾n

45

Tài li¾u tham kháo

46


5

Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Phương trình đao hàm riêng là m®t môn quan trong cna Toán hoc.
Lý thuyet phương trình đao hàm riêng có hai đ¾c thù cơ bán. Thú nhat
là moi liên h¾ trnc tiep vói các bài toán V¾t lý, vì quá trình nghiên
cúu các bài toán V¾t lý dan đen các bài toán phương trình đao hàm

riêng. Nhung nhà tiên phong trong lĩnh vnc này là: J.D’Alembert (17171783), L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli (1700-1782), J.Lagrange
(17361813), P.Laplace (1749-1827), S.Poisson (1781-1840), J.Fourier (17681830). . . .Thú hai là moi liên h¾ m¾t thiet cna phương trình đao
hàm riêng vói các ngành Toán hoc khác như: Giái tích hàm, Lý thuyet
hàm, Tôpô, Đai so, Giái tích phúc. Phương trình đao hàm riêng
tuyen tính hi¾n đai gom có: phương trình loai eliptic, phương trình
loai parabolic, phương trình loai hyperbolic. Không gian nghi¾m đoi
vói ba loai phương trình này là m®t van đe cơ bán trong vi¾c nghiên
cúu ve đao hàm riêng tuyen tính. Nghi¾m co đien và nghi¾m suy
r®ng có moi liên h¾ m¾t thiet vói nhau.Vói moi loai phương trình khi
nghiên cúu bao giò cũng đ¾t ra câu hói: nghi¾m suy r®ng cna
phương trình có ton tai không, có duy nhat không, phu thu®c liên tuc
vào các du ki¾n đã cho cna bài toán không? Trong phương trình loai
hyperbolic cũng có nhieu dang: h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng
cap m®t, phương trình hyperbolic cap hai, phương


trình hyperborlic manh...Khi nghiên cúu ve loai hyperbolic tuyen tính
ta thay phương trình hyperbolic cap hai có moi quan h¾ m¾t thiet vói
h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng cap m®t.
Đe làm sáng tó moi quan h¾ trên và góp phan giúp cho nhung
ngưòi hoc phương trình đao hàm riêng, nhung ngưòi yêu phương trình
đao hàm riêng hieu rõ hơn, sâu hơn nên nhò sn giúp đõ, hưóng dan
cna GS.TSKH. Nguyen Manh Hùng tôi chon nghiên cúu đe tài.

“Moi liên h¾ giÑa h¾ phương trình hyperbolic đoi
xNng cap m®t vái phương trình hyperbolic cap hai” .

2. Mnc đích nghiên cNu
Muc đích cna đe tài là tìm hieu sâu hơn ve phương trình đao hàm
riêng tuyen tính, cu the là: Moi liên h¾ giua h¾ phương trình

hyperbolic đoi xúng cap m®t vói phương trình hyperbolic cap hai.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Vói muc đích nghiên cúu ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn
là:
- Nghiên cúu ve h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng cap m®t.
- Nghiên cúu ve nghi¾m suy r®ng cna h¾ phương trình hyperbolic đoi
xúng cap m®t.
-Nghiên cúu phương trình hyperbolic cap hai.
-Nghiên cúu ve moi liên h¾ giua h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng


cap m®t vói phương trình hyperbolic cap hai.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưong nghiên cúu cna đe tài là nghiên cúu ve h¾ phương trình
hyperbolic đoi xúng cap m®t, nghiên cúu phương trình hyperbolic cap
hai, nghiên cúu moi liên h¾ giua h¾ phương trình hyperbolic đoi xúng
cap m®t vói phương trình hyperbolic cap hai.

5. Phương pháp nghiên cNu
- Phương pháp hàm trung bình.
- Phương pháp đánh giá bat đang thúc.
- Phương pháp đánh giá h®i tu.

6. NhÑng đóng góp mái ve khoa hoc, thNc tien cúa
đe tài
Đe tài nghiên cúu ve moi liên h¾ giua h¾ phương trình hyperbolic
đoi xúng cap m®t vói phương trình hyperbolic cap hai.

Chương 1
Kien thNc chuan b%.
1.1.
1.1.1.

Không gian Sobolev
Trung bình hóa

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Giá sú θ(x) là m®t hàm không âm thu®c
sao cho
¸
θ(x) = θ(−x), θ(x) = 0 neu |x| > 1 và θ(x) = 1.
Rn

Hàm θ(x) đưoc goi là nhân trung bình hóa.



Ví dn 1.1.1. Hàm
θ (x) =

Ce





−

1

,

|x| < 1,

1−|x|
2

0,

|x| ≥ 1.

vói hang so C đưoc chon thích hop đe đieu ki¾n trong đ%nh
nghĩa1.1.1 đưoc thoá mãn.

o
∞

C (Rn)


Vói h > 0 , ta đ¾t
. .
θ (x) = h−nθ x , x R .
∈
h
h
n

Khi đó

o
∞

θh ∈ C (Rn) , θh (x) ≥ 0, θh (x) = 0 neu |x| ≥ h,¸ θh (x) dx = 1.Do
v¾y
θh (x) = h

−n

Rn

x

θ h. . goi là nhân trung bình hóa (có bán kính h) .

Đ%nh nghĩa 1.1.2. Neu hàm u ∈ Lp(Ω), p ≥ 1, thì hàm
¸
u(y)dy
.
−n
x
−
y
uh(x) = h
θ
.
Ω

h
đưoc xác đ%nh trong Rn và trơn vô han. Khi đó, hàm uh(x) đưoc goi là
trung bình hóa hay hàm trung bình cna hàm u.
Đ%nh lý 1.1.1. Giá sú hàm u ∈ Lp(Ω) vói p ≥ 1. Khi đó,
lim "uh − u"Lp(Ω) = 0
h→0

.
Chúng minh. Đ¾t u(x) = 0 đoi vói x ∈ Rn/Ω. Khi đó,
¸ .
¸ θ(z)u(x + hz)dz.
−n
x − y u(y)dy =
uh(x) = h
θ
.
Ω
h
Rn
Bói
v¾y,

¸
uh(x) − u(x) = θ(z)[u(x + hz) − u(x)]dz
Rn

¸

p

|uh(x) − u(x)| ≤
C

p

|z|<1

|u(x + hz) − u(x)| dz.


Sau khi lay tích phân bat đang thúc này theo x và đoi thú tn lay tích
phân nhò Đ%nh lí Fubuni ta nh¾n đưoc
¸
¸
¸
p
p
|u(x
+
hz)
−
u(x)|
dx
dz
|uh(x) − u(x)| ≤
|z|<1

C

Ω

Ω

Do tính liên tuc toàn cuc cna hàm thu®c không gian Lp(Ω), p ≥ 1, tích
phân sau cùng dan đen không khi h → 0. Đ%nh lí đưoc chúng minh.

1.1.2.

Đao hàm suy r®ng

Đ%nh nghĩa 1.1.3. Giá sú Ω là m®t mien trong không gian Rn. M®t
hàm v(x) ∈ L1(Ω) đưoc goi là đao hàm suy r®ng cap α cna hàm u(x)
∈ L1(Ω) neu

¸
¸

v(x)ψ(x)dx,
u(x)Dαψ(x)dx = (−1)|α|

Ω
Ω
◦

vói moi ψ ∈ C∞(Ω), ó đó α = (α1, ..., αn), |α| = α1 + ... + αn.
Kí hi¾u:

∂

Dα = Dα =

x

≡

∂x

α1

∂x

1

|α

|
α2

2

...∂x

αn

∂

|α|

α1

α2

αn

/∂x1 ∂x2 ...∂xn

n

Chú ý
1.
1. Tù công thúc Green co đien suy ra m®t hàm u(x) có đao hàm
thông thưòng liên tuc cap α thì nó có đao hàm suy r®ng cap α. Tù
đ%nh nghĩa đao hàm suy r®ng rút ra hàm v(x) có không quá
m®t đao hàm suy r®ng.


2. M®t hàm có đao hàm suy r®ng có the không có đao hàm theo
nghĩa thông thưòng.Ví du xét hàm u(x) = |x|, x ∈ (−1, 1). De
thay tai
x = 0, hàm so không ton tai đao hàm co đien. Tuy nhiên ta có the
chí ra hàm so có đao hàm suy r®ng tai điem x = 0.
Th¾t v¾y:
Giá sú v(x) là đao hàm suy r®ng cna u(x) = |x|, x ∈ (−1, 1).
Khi đó ta có
1

o
∞
v
(x)ψ
(x)

dx,
∀ψ
∈
C
(−1; 1)
¸

1

¸

|x|ψr (x) dx = −
−1

−1
1

1

¸ x.ψr (x) dx
0
¸
¸ −x.ψr (x) dx +
T = |x|ψr (x) dx =
0
−1

−1

= −xψ (x).



.
¸

0

−1

+



0

¸ ψ (x)

ψ (x) dx − dx
1

−1

0
1

+ xψ (x)

.1

.
0

¸
=−

signx.ψ (x) dx

−1

V¾y v (x) = signx là đao hàm suy r®ng cna u(x) = |x|, x ∈ (−1,
1).
3. M®t hàm có đao hàm suy r®ng cap α trong mien Ω thì nó cũng có
đao hàm suy r®ng cap α trong mien Ωr ⊂ Ω. Th¾t v¾y, giá sú
u(x) có đao hàm suy r®ng trong mien Ω là hàm v(x) và ψ(x) là
m®t hàm
◦

bat kì thu®c C∞(Ωr ), Ωr ⊂ Ω. Khi coi ψ(x) = 0 vói x ∈ Ω\Ωr,
ta


◦

r

nh¾n đưoc ψ ∈ C∞(Ω ). Ta có h¾ thúc:
¸
¸
u(x)Dαψ(x)dx = u(x)Dαψ(x)dx

Ω

r

Ω

¸
|α|

¸
α|

= (−1)

v(x)ψ(x)dx

v(x)ψ(x)dx = (−1)
Ω

r

Ω

Tù đó ta nh¾n đưoc u(x) có đao hàm suy r®ng trong mien Ωr
cũng chính là hàm v(x). Đao hàm suy r®ng trong mien Ωr đưoc
goi là thu hep cna đao hàm suy r®ng trong Ω vào Ωr .
4. Dα+βv = Dα(Dβv), aDαv1 + bDαv2 = Dα(av1 + bv2), ó đó a, b là
các hang so tuỳ ý.
5. Tù đ%nh nghĩa cna đao hàm suy r®ng thay ngay đưoc đao hàm
suy r®ng không phu thu®c vào thú tn lay đao hàm. Nói chung,

đao hàm suy r®ng báo toàn đưoc nhieu tính chat cna đao hàm
theo nghĩa thông thưòng. Tuy nhiên không phái là tat cá, chang
han tù sn ton tai đao hàm suy r®ng cap α không suy ra đưoc sn
ton tai đao hàm suy r®ng cap nhó hơn α.
Đ%nh lý 1.1.2. Giá sú Ω là m®t mien trong không gian Rn, Ωr là
mien con cúa Ω, sao cho khoáng cách giua Ωr và ∂Ω bang d > 0. Khi
đó, đoi
vói 0 < h < d và x ∈ Ωr, ta có
(Dαu)h(x) = Dαuh(x).
Chúng minh.
r

◦

r

∞

Do 0 < h < d và x ∈ Ω , còn hàm θ((x − y)/h) ∈ C (Ω), đoi vói x ∈ Ω
,


nên khi sú dung đ%nh nghĩa đao hàm suy r®ng, ta nh¾n đưoc
¸
α

D uh(x) =

Dxαh−n

.

x −y
θ
.

Rn

¸
=h

h

(−1)|α|Dαy θ

−n

.

.
x −y
.

Ω

¸

= h−n

u(y)dy

θ

h
Dαy u(y)dy

h

Ω

x − y u(y)dy
.

= (Dαu)h(x).
Đ%nh lí đưoc chúng minh.

1.1.3.

Không gian W pm (Ω), 1 ≤ p < ∞

Đ%nh nghĩa 1.1.4. Không gian W m
p (Ω) là không gian bao gom tat cá
các hàm u(x) ∈ Lp(Ω), sao cho ton tai các đao hàm suy r®ng moi cap
α,
|α| ≤ m thu®c Lp(Ω) và đưoc trang b% chuan

"u"W m

=

p

(Ω)

α

2

Do |D u (x) | =

s
.



.

(Ω)

p

.

|α|≤m Ω

2

s



p

p

|D αu(x)| dx

|Dαui (x)| nên ta có the viet

i=1

" u "Wm

¸

 1/

=



.

¸

|α|≤m Ω

.

|
D

j=1

uj (x) |

α p

p1
dx .

(1.1)


Không gian Wm
p (Ω) là m®t không gian Hilbert cùng vói tích vô hưóng
¸ .
v dx
α
(u, v)Wm =
D u.
p
|α|≤m
(Ω)
Dα
Ω
Đ%nh lý 1.1.3. Giá sú Ω là m®t mien trong Rn và m ≥ 0, 1 ≤ p < ∞.
Khi đó W m
p (Ω) là m®t không gian Banach.
Chúng minh. De kiem tra đưoc W pm (Ω) là m®t không gian tuyen tính
đ%nh chuan vói chuan (1.1). Bây giò ta chúng minh nó là không gian

đay.
∞ là dãy Cauchy trong W m (Ω), túc là vói moi so tn nhiên
Giá sú {uj}j=
p

k:

1

. ¸

|Dα(uj − uj+k)|pdx → 0, j → ∞.
là dãy Cauchy trong Lp(Ω). Bói vì Lp(Ω)

|α|≤m Ω

∞
Đoi vói moi α dãy {Dαuj}j=
1

là không gian đay, nên ton tai m®t hàm uα ∈ Lp(Ω) sao cho
¸
|Dαuj − uα|pdx → 0, j → ∞.

(1.2)

Ω

Đ¾c bi¾t u0 ∈ Lp(Ω), túc là
¸

|uj − u0|pdx → 0, j → ∞.

(1.3)

Ω

Theo đ%nh nghĩa đao hàm suy r®ng cap α, ta có h¾ thúc
¸
Dαujψdx, ∀ψ ∈ C◦ ∞(Ω).
¸

(1.4)

uj Dαψdx = (−1)|α|
Ω

Ω

Tù (1.2) và (1.3) suy ra có the chuyen qua giói han đang thúc (1.4) khi
j → ∞. Ket quá nh¾n đưoc
¸
u0Dαψdx = (−1)|
¸
α|


Ω

Ω

◦

uαψdx, ∀ψ ∈ C∞(Ω).


Đieu đó chúng tó rang, uα là đao hàm suy r®ng cap α cna hàm u0
trong mien Ω và
→ 0, j → ∞.

"uj − u0"Wpm

(Ω)

Đ%nh lí đưoc chúng minh.
Đ%nh lý 1.1.4. Giá sú Ω là m®t mien thu®c Rn và Ωr là mien con cúa
Ω sao cho Ωr ⊂⊂ Ω. Neu u ∈ W m (Ω) thì
p

lim "uh − u|

r

Wm
h→0

p

Chúng minh. Do Đ%nh lí 1.1.2, ta có

¸

"uh − u"Wpm(Ωr
)
= .


=

(Ω )

1/p
α

|D (uh −
u)|

|α|≤m

Ω

= 0.

r

¸ |(Dα u)h −
Dα

.

|α|≤m

Ω

p


dx 

(1.5)

1/p

p
u| dx
.


r

Đ¾t vα = Dαu. Tù Đ%nh lí 1.1.1 ta nh¾n đưoc
¸
|(vα)h − vα|pdx → 0, h → 0.
r

Ω

Tù đây và tù (1.5) nh¾n đưoc
"uh − u"Wpm(Ωr → 0, h → 0.
)

Đ%nh lí đưoc chúng minh.

(1.6)


1.1.4.

Không gian

o

Wpm (Ω) , 1 ≤ p < ∞

◦

Đ%nh nghĩa 1.1.5. Không gian Wpm (Ω), 1 ≤ p < ∞ là bao đóng
◦
cna
C∞(Ω) trong chuan cna không gian
W m (Ω).
p

Đ%nh lý 1.1.5. Giá sú u(x) ∈ W m (Ω), p ≥ 1 và suppu(x) ⊂⊂ Ω.
p
Khi
◦

đó u(x) ∈ p
W m (Ω).
Chúng minh. Giá sú uh(x) là trung bình hoá cna hàm u(x). Bói vì uh(x)
khá vi vô han vói giá compact. Hơn nua, giá sú uh(x) → u(x) trong

không gian W m (Ω) khi h → 0. Tù đó nh¾n đưoc đieu khang đ%nh cna
p lí đưoc chúng minh.
Đ%nh lí. Đ%nh

Đ%nh lý 1.1.6. Không gian

W◦ m (Rn ) và W m (Rn ) trùng nhau.
p

Chúng minh. Giá sú u(x)
∈

p

W◦ m (Rn ) và θ(t) ∈ C1(R1) là hàm sao cho
p

θ(t) = 1 vói t < 1 và θ(t) = 0 vói t > 2. Đ¾t uk(x) = u(x)θ(|x| − k).
Khi
đó

. ¸

α

p

¸

|D (uk − u)| dx ≤ C

.

|Dαu|pdx → 0

|x|>k+1 |α|≤m

|α|≤mRn

◦

khi k → ∞. Do Đ%nh lí 1.1.5 hàm uk(x) ∈ W pm (Rn ) vói moi k. Tù đây
suy ra u(x) ∈ W◦ m (Rn ). Đ%nh lí đưoc chúng minh.
p


1.2.

Thác trien yeu
s

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Giá sú u ∈ (L2 (Q)) , neu ton tai hàm υ ∈ (L2
(Q))

s

sao cho
.
vói moi ω
∈

o∞

(u, T ∗ ω)2,Q = (υ, ω)2,Q

C (Q) .s

,ó đây (, )2,Q là kí hi¾u tích vô hưóng trong

s

(L2 (Q)) , thì coi rang u ∈ J

W

s

và kí hi¾u là υ = TW u khi đó TW goi là
s

thác trien yeu cna toán tú T tù (C∞ (Q) ∩ L2 (Q)) đen J ⊂ (L2 (Q))
W

s

và J
s

s

W

1.3.

goi là mien xác đ%nh cna TW

Toán tN đóng

Đ%nh nghĩa 1.3.1. ChoA và B là hai không gian Banach, F là m®t
t¾p con tuyen tính cna A, T là toán tú tuyen tính tù F vào B , T
đưoc goi là toán tú đóng trên F neu tù
"un − u"A → 0, "T un − υ"B → 0, un ∈ F, u ∈ A, υ ∈ B
suy ra u ∈ F và Tu = υ .
Đ%nh nghĩa 1.3.2. Cho A và B là hai không gian Banach, F là m®t
t¾p con tuyen tính cna A, T là toán tú tuyen tính tù F vào B , T đưoc
goi là toán tú khá đóng trên F neu có the mó r®ng mien xác đ%nh F
đe T tró thành toán tú đóng


Chương 2
H¾ phương trình Hyperbolic đoi
xNng cap m®t
2.1.

Đ%nh nghĩa h¾ phương trình Hyperbolic đoi
xNng cap m®t

Kí hi¾u (x, t) = (x1, ..., xn, t) ∈ Rn+1 . Giá sú
ai

αβ

i

= aαβ (x, t) , i = 1, ..., n + 1;

bαβ = bαβ (x, t) ; α, β = 1, ..., s,
là các hàm đã cho phu thu®c vào bien (x, t) ∈ Rn+1. Xét h¾ phương
trình đao hàm riêng cap m®t sau:
s
n
s
s
.
.
n+1
.
∂u
α
∂uα a
.
i
+
αβ
+
bαβuα = fβ (x, t) , β = 1, ..., s,
∂t
α= aαβ
α=1
∂x α= (2.1)

i=1 1
i

1

ó đó uα = uα (x, t) , fβ (x, t) là các hàm cna bien (x, t) ∈ Rn+1
H¾ (2.1) đưoc goi là h¾ đoi xúng các phương trình đao hàm riêng
cap


m®t neu thóa mãn:
ai

i

αβ

= aβα, i = 1, ..., n + 1; α, β = 1, ..., s

(2.2)

H¾ (2.1) đưoc goi là h¾ phương trình Hyperbolic đoi xúng cap m®t
neu (2.1) là h¾ đoi xúng các phương trình đao hàm riêng cap m®t và
thóa mãn thêm đieu ki¾n:
s

.

n+ (x, t) ξαξβ > 0
aαβ

(2.3)

α,β=1 1

vói moi

ξ = (ξ1, ..., ξs) ∈ Rs\ {0} , {x, t} ∈ Rn+1

Ta đưa vào kí hi¾u các ma tr¾n
.
.
Ai = aiα sα,β= , i = 1, ..., n + 1,
β

B = bαβ
.

1
s

.α,β=1

Khi đó phương trình (2.1) đưoc viet dưói dang ma tr¾n
n+1

.
i=1

A

∂u
i

+ Bu = f

(2.4)

∂x
i

ó đó xn+1 = t và u = u (x, t) = (u1 (x, t) , ..., us (x, t))
.
∂u
, ... ∂us , f = f (x, t) = (f1 (x, t) , ..., fs (x, t)) .
.
∂xi
∂u1 ,
=
∂x
i
∂xi
V¾y, neu Ai là các ma tr¾n đoi xúng,i = 1, ..., n + 1 thì h¾ (2.4)
là h¾ đoi xúng các phương trình đao hàm riêng cap m®t, còn neu


thêm giá thiet An+1 là xác đ%nh dương, thì (2.4) là h¾ phương trình
Hyperbolic đoi xúng cap m®t.

2.2.

Nghi¾m suy r®ng cúa h¾ phương trình Hyperbolic đoi xNng cap m®t

Xét toán tú vi phân ma tr¾n
∂u

n+1

Tu ≡

.

Ai

i=1

+ Bu

(2.5)

∂x
i

Giá thiet ton tai các đao hàm riêng
∂ai
αβ

, i = 1, ..., n + 1

∂xi

Khi đó có toán tú vi phân liên hop hình thúc cna toán tú T :
n+1
∗

T ω=−

.
i=1

∂ (A∗ω) + B∗ ω,
∂x

i

i

ó đó
A∗

i

và B∗ là các ma tr¾n liên hop tương úng vói Ai và B.
s

Giá sú Q là mien bat kì trong Rn. Ta đưa vào không gian (L2 (Q))
tích vô hưóng
¸
(u, υ)2,Q =

uυdx =

. uj υj dx

¸
Q

j=1 Q
s

vói moi hàm u = (u1, ..., us) , υ = (υ1, ..., υs) thu®c (L2 (Q)) . Khi
đó chuan đưoc sinh ra tù tích vô hưóng này là:


¸


" u"2,Q = 
Q

|u

21 
 21
¸
s
2 
2


=
.
dx
dx

|uj (x)



j=1

(x)|

Q

|

Tat cá các khái ni¾m đã đưa vào ó trên trong Rn+1 đưoc chuyen vào
s


Q. Khi đó toán tú T đưoc cho bói công thúc (2.5) là m®t toán tú tuyen


s

s

tính tù (C∞ (Q) ∩ L2 (Q)) vào trong (L2 (Q)) . Tuy nhiên nó chưa phái
s

là toán tú đóng trên (C∞ (Q) ∩ L2 (Q)) . Do đó ta có the mó r®ng mien
xác đ%nh cna toán tú T
Bo đe 2.2.1. Toán tú T đưoc cho bói công thúc (2.5) là toán tú
khá đóng
Chúng minh.. *Trưóc. het ta mó r®ng mien xác đ%nh cna toán tú T
s
.
o . , ta có
Giá sú u ∈ W1 (Q) = J s , ∀ω
s
∈
C ∞ (Q)
2

W

¸

∗
(u, T ω)2,Q = uT ωdx,
∗

¸
=

Q

.
u −

Q

n+1

=−
+

=−

. ∂
i=1

¸
u

i=1

n+1

¸
u

i=1 Q
n+1

=

=

¸

.

i=1 Q
n+1

.

¸
.n+1
Q

i

∂xi
∂
∂x

¸
A ωdx
i
Q

¸ uB∗ωdx
A∗
ωdx +
i

i

∂u

¸

i=1

Q

uB∗ωdx

A∗ωdx +
i

∂xi

i

uB∗ωdx

∗

Q
¸

¸ A ∂u ωdx +

i=1 Q

=

A∗ω + B∗ ω dx

∂xi

. ∂

Q

.

.

n+1

∂xi

Q

Ai ∂u ωdx +
∂x
i

Buωdx

¸

Q

Buωdx

¸ .n+1
.
. ∂u
=
ω + Buω dx
∂x

Ai
Q

i

i=1

¸ .n+1
.
. ∂u
=
+ Bu ωdx
∂x

Ai
Q

i

i=1

= (T u, ω)
2,
Q

s

⇒ ∃v = Tu ∈ (L2 (Q)) đe (u,
T ∗ ω)

= (v,
ω)

2,Q

s

Thác trien yeu toán tú T ta đưoc toán tú TW tù (C∞ (Q) ∩ L2 (Q))
đen J ⊂ (L2 (Q))s vói J
s
W
W là mien xác đ%nh cna TW.
s

* Bây giò ta đi chúng minh TW là toán tú đóng trên .W21
(Q).
Giá sú un ∈ J
s

W

s

=J

W
s

s

,u ∈ (L2 (Q)) , v ∈ (L2 (Q)) , ta có "un − u"

→0

2,
Q

và "T un − v"2,Q → 0,
.
.s
Tù "un − u"2,Q → 0 suy ra (un − u, T ∗ ω)2,Q → 0, ∀ω Co∞ (Q)
∈
hay
(un, T ∗ ω)2,Q − (u, T ∗ ω)2,Q → 0, ∀ω
∈
suy
ra

s

(un, T ∗ ω)2,Q → (u, T ∗ ω)2,Q , ∀ω

.
∈

.

o∞

C (Q)

o∞

C (Q)

.s

M¾t khác vì un ∈ JW nên theo cách thác trien ó trên:
s

(un, T ∗ ω)2,Q = (T un , ω)2,Q

.s