Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

HOÀNG TH± VÂN

M®T SO бNH LÝ VE GIAO
KHÁC RONG CÚA HO T¾P
LONG NHAU VÀ ÚNG
DUNG

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN GIÁI TÍCH


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

HOÀNG TH± VÂN

M®T SO бNH LÝ VE GIAO
KHÁC RONG CÚA HO T¾P
LONG NHAU VÀ ÚNG
DUNG
Chuyên ngành: Toán giái tích
Mã so: 60 46 01

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN GIÁI TÍCH

Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS. TS. Nguyen Năng
Tâm

LèI CÁM ƠN

Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna khóa lu¾n, tôi xin bày
tó lòng biet ơn sâu sac tói PGS.TS. Nguyen Năng Tâm ngưòi đã đ%nh
hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoàn thành khóa
lu¾n này.
Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng Sau đai hoc,
các thay cô giáo giáng day chuyên ngành Toán giái tích trưòng Đai hoc
Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p và làm
lu¾n văn.
Cuoi cùng, tôi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,
ban bè, đong nghi¾p đã đ®ng viên và tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tôi
hoàn thành bán lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 07 năm 2012

Hoàng Th% Vân


LèI CAM ĐOAN

Dưói sn hưóng dan cna PGS. TS. Nguyen Năng Tâm, lu¾n văn
Thac sĩ chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài “M®t so đ%nh lý ve
giao khác rong cúa ho t¾p long nhau và Nng dnng” đưoc hoàn
thành bói chính sn nh¾n thúc cna bán thân, không trùng vói bat cú lu¾n
văn nào khác.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu
cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 07 năm 2012

Hoàng Th% Vân


Mnc lnc

Báng kí hi¾u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Má đau

7

Chương 1. M®t so kien thNc chuan b%

9

1.1

Nguyên lý Cantor ve dãy hình cau that dan
1.1.1

1.2

1.3

1.4

. . . . . . .

9

Nguyên lý Cantor ve dãy hình cau that dan . . .

9

T¾p loi, hàm loi..............................................................................11
1.2.1

T¾p loi................................................................................11

1.2.2

Hàm loi................................................................................17

Bài toán toi ưu, Đ%nh lý Frank-Wolfe......................................23
1.3.1

Bài toán toi ưu...............................................................23

1.3.2

Các loai bài toán toi ưu.................................................24

1.3.3

Sn ton tai lòi giái toi ưu.................................................25

1.3.4

Đ%nh lý Frank- Wolfe co đien......................................27

Ket lu¾n...........................................................................................28

Chương 2. M®t so đ%nh lý ve giao khác rong cúa ho t¾p long
nhau
2.1

2.2

29
Giao khác rong cna m®t so ho t¾p long nhau.........................29
2.1.1

Bài toán 1.......................................................................29

2.1.2

Bài toán 2.......................................................................29

2.1.3

Bài toán 3.......................................................................30

Phương ti¾m c¾n và phương co lai đưoc.....................................32
2.2.1

Phương ti¾m c¾n cna các t¾p đóng.................................36

2.3

Phương ngang và đ%nh lý t¾p giao liên quan..............................41
2.3.1

2.4

Phương tói han...............................................................46

Ket lu¾n...........................................................................................58

Chương 3. Úng dnng

59

3.1

Nghiên cúu sn ton tai nghi¾m cna bài toán toi ưu..................59

3.2

Tong quát hóa đ%nh lý Frank-Wolfe.........................................63

3.3

Ket lu¾n...........................................................................................66

Ket lu¾n.........................................................................................67
Tài li¾u tham kháo..........................................................................68

BÁNG KÍ HIfiU

R

đưòng thang thnc

R

đưòng thang thnc mó r®ng

Rn

không gian Euclid n - chieu

(x, y)
"x"

tích vô hưóng cna x và y
chuan cna x

conv C

bao loi cna t¾p C

af C

bao affine cna t¾p C

pos C

bao dương cna t¾p C

intC

phan trong cna t¾p C

C
ri C
ext C
extray C

bao đóng cna t¾p C
phan trong tương đoi cna t¾p C
t¾p các điem biên cna t¾p C
t¾p các tia cnc biên cna t¾p C

σC

hàm giá cna t¾p C

δC

hàm chí cna t¾p C

γC

hàm cõ cna t¾p C

K∗

nón cnc cna K

M⊥

phan bù trnc giao cna M


8

f ∗ , f ∗∗
lev(f, λ)
inf f
sup f

liên hop, liên hop b¾c hai cna f
t¾p múc cna hàm f
c¾n dưói đúng cna hàm f
c¾n trên đúng cna hàm f

min f

giá tr% nhó nhat cna hàm f

max f

giá tr% lón nhat cna hàm f

Ker f

hat nhân, hach cna hàm f

rge f

ánh cna hàm f

dom f
epi f
∂f

mien huu hi¾u cna hàm f
trên đo th% cna hàm f
đao hàm riêng cna hàm f theo bien xi

∂xi
∇f (x)

gradient cna f

C∞

nón ti¾m c¾n cna t¾p C

f∞
Cf
Kf

hàm ti¾m c¾n cna hàm f
không gian hang cna f

nón ti¾m c¾n cna f

Lf

không gian tuyen tính cna f

adc
als

hang so theo phương ti¾m c¾n
hàm on đ%nh múc ti¾m c¾n.


Mé ĐAU

1. Lí do chon đe tài
Van đe ve giao khác rong cna m®t ho t¾p đóng long nhau là m®t
chn đe cơ bán trong nhung chn đe quan trong trong lý thuyet toi ưu, bao
gom sn ton tai nghi¾m toi ưu, sn thóa mãn cna bat đang thúc minimax
trong lý thuyet trò chơi tong zero và sn tri¾t tiêu khoáng cách đoi ngau
trong toi ưu có ràng bu®c. Do đó, sau khi hoc xong chương trình cao hoc
giái tích, đưoc sn goi ý cna các thay giáng day chuyên ngành Toán giái
tích cùng vói sn giúp đõ cna thay Nguyen Năng Tâm, vói mong muon
hieu sâu hơn ve nhung kien thúc đã hoc và úng dung cna nó, tôi chon
đe tài “M®t so đ%nh lý ve giao khác rong cúa ho t¾p long nhau
và Nng dnng” đe nghiên cúu.
2. Mnc đích nghiên cNu
Nam đưoc các khái ni¾m, đ%nh lý và úng dung ve giao khác rong
cna ho t¾p long nhau nham cnng co, hieu biet sâu hơn ve Toán giái tích
và úng dung cna nó.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Tìm hieu "M®t so đ%nh lý ve giao khác rong cna ho t¾p long nhau
và úng dung".
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
M®t so đ%nh lý ve giao khác rong cna ho t¾p long nhau trong
không gian Euclid và úng dung.
5. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu tài li¾u tham kháo có liên quan.
Sú dung các phương pháp cna giái tích, đai so tuyen tính và toi ưu
hóa.


1
0

Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu.
6. NhÑng đóng góp mái cúa đe tài
Nghiên cúu, tong hop, h¾ thong và làm rõ m®t so đ%nh lý ve giao
khác rong cna ho t¾p long nhau và úng dung.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
Giái tích loi xuat hi¾n như m®t công cu có sn ánh hưóng manh me
tói sn phát trien cna toi ưu hóa và giái tích bien phân. Các ket quá đưoc
đưa ra m®t cách tong quát trong chương này nham muc đích giói thi¾u
các kien thúc can thiet cna giái tích loi se đưoc sú dung trong lu¾n văn.
Phan chi tiet và chúng minh cho các ket quá tham kháo trong tài li¾u
so [1], [2], [3] và [4].

1.1
1.1.1

Nguyên lý Cantor ve dãy hình cau that dan
Nguyên lý Cantor ve dãy hình cau that dan

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho không gian metric M = (X, d), dãy hình cau
Sn = S(an, rn), n = 1, 2, ... tâm an, bán kính rn trong không gian M
goi
là that dan neu Sn Sn+1, n = 1, 2, ... và
lim rn = 0.
⊃
n→∞

Đ%nh lý 1.1.1. (Nguyên lý Cantor ve dãy hình cau that dan)
Không gian metric M = (X, d) là không gian đay khi và chí
khi moi dãy hình cau đóng that dan đeu có điem chung duy nhat.
Chúng minh.
Đieu ki¾n can
Giá sú M = (X, d) là không gian đay và
Sr

n

= S r (an, rn), n = 1,
2, ...

là m®t dãy hình cau đóng that dan tùy ý trong M . Vói moi m, n; m ≥
n
ta có S r ⊃

n
Sm

r

, d(am, an) ≤ rn, n = 1, 2, ....


Vì lim

n→∞ rn

= 0 nên dãy tâm {an} là dãy cơ bán trong không gian


13

metric đay M , do đó phái ton tai giói han
lim
n→∞

an = a ∈ X.

Do đó vói moi n = 1, 2, ... và k = 1, 2, ... ta có lim
an+k
nghĩa

an+k = a. Vì
∈ Sn, ∀k = 1, 2, ... và Sn là t¾p đóng nên a ∈ Sn, ∀n = 1, 2, ...
r

là a ∈

T∞

n=
1

r

Snr .

Giá sú ton tai phan tú b ∈

r

T∞

n=
1

k→∞

Snr suy ra a, b ∈ Sn, ∀n = 1, 2,
r

...
suy ra d(a, b) ≤ 2rn, ∀n = 1, 2, .... Nhưng rn = 0 nên
lim
n →∞

d(a, b) = 0 ⇔ a = b.
Vì v¾y dãy hình cau đóng (Sr
) đã cho có điem chung duy nhat.
n
Đieu ki¾n đú
Giá sú M = (X, d) là không gian metric thóa mãn đieu ki¾n:
moi dãy hình cau đóng that dan đeu có điem chung duy nhat. Lay
m®t dãy cơ bán tùy ý (xn) ⊂ X. Theo đ%nh nghĩa dãy cơ bán
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗ , ∀n, m ≥ n0, d(xn , xm ) < ε
=⇒ d(xn , xm ) < ε, ∀n ≥ n0
1

Do đó

∃n1 ∈ N ∗ , ∀n ≥ n1 , d(xn , xn1 ) <
2
1
1
∗
∃n2 ∈ N , n2 > n1 , ∀n ≥ n2, d(xn , xn2
=⇒ d(xn2 , xn1 ) < .
)<
22
2
Xét các hình cau đóng Sr1 = S r (xn , 1), có tâm và có bán kính
xn
1
1
1,

= S r (xn , 1 ) tâm xn , bán kính 1 .
Sr
2

2

2

2

2

Ta có
r
1 1
∀x ∈ S2, d(x, xn1 ) ≤ d(x, xn2 ) + d(xn2 , xn1 + = 1
2 2
)≤
r

r

r

=⇒ x ∈ S1 =⇒ S2 ⊂ S1 .
Quá trình trên tiep tuc mãi, nh¾n đưoc m®t dãy hình cau đóng
r
k

2k−

14

that dan Sr = S r
k
(xn

,

1
2k−
1

) tâm
x nk

bán kính

1

,
S

r

k+
1

⊂ Sk, k = 1, 2,

....


T
Theo giá thiet ton tai duy nhat phan tú a ∈
minh đieu ki¾n can, a = lim
xnk . Ta lai có

∞
k=
1

Sr . Như trong chúng
k

k→∞

d(xn , a) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , a) −→ 0 khi k, n → ∞
suy ra lim x = a. Vì v¾y không gian metric M = (X, d) là không
n→∞ n
metric đay. gian
Đ%nh lý đưoc chúng minh.

1.2
1.2.1

T¾p loi, hàm loi
T¾p loi

Đ%nh nghĩa 1.2.1. T¾p C ⊂ Rn goi là loi neu ∀x, y ∈ C, ∀t ∈ [0, 1]

ta có
tx + (1 − t)y ∈ C.
Đ%nh nghĩa 1.2.2. Giao cna tat cá các t¾p loi chúa t¾p C ⊂ Rn đưoc
goi là bao loi cna C, kí hi¾u conv C.
Đ%nh nghĩa 1.2.3. T¾p C ⊂ Rn đưoc goi là đa tap affine neu
∀x, y ∈ C, ∀t ∈ R ⇒ tx + (1 − t)y ∈ C.
Tù đ%nh nghĩa ta có Rn, các điem, các đưòng thang và các siêu phang
trong Rn là các đa tap affine. Đa tap affine đóng và loi.
M¾nh đe 1.2.1. (Xem [2])
Cho C là t¾p con khác rong trong Rn. Các m¾nh đe sau tương đương
(a) C là đa tap affine.
(b) C = x + M = {y | y − x ∈ M}, M là không gian con.
(c) C = {x | Ax = b}, A ∈ Rm×n, b ∈ Rn.
Đ%nh nghĩa 1.2.4. Giao cna tat cá các t¾p affine chúa t¾p C ⊂ Rn
đưoc goi là bao affine cna C, kí hi¾u af A.


Nh¾n xét 1.2.1. af A là t¾p affine nhó nhat chúa A.
M¾nh đe 1.2.2. (Xem [2]) Giá sú C ⊂ Rn khi đó,
(a) conv C là to hop loi cúa các phan tú thu®c C, túc là,
m

m

. ti = 1}.
conv C = { . tixi | xi ∈ C, ti ≥
i=1 0,
i=
1

(b) af C là m®t đa tap affine và conv C ⊂ af C.
(c) af C = af(conv C).
M¾nh đe 1.2.3. (Xem [2])
Cho {Ci | i ∈ I} là ho các t¾p loi Ci ⊂ Rni ta có:
(a) C1 × · · · × Cm loi trong Rn1 × · · · × Rnm.
T
(b)
Ci loi vói ni = n, ∀i.
i∈I
.
m
(c
Ci loi vói ni = n, ∀i.
i=1
)
(d) Ánh cúa t¾p loi qua ánh xa tuyen tính là m®t t¾p loi.
Đ%nh lý 1.2.1. (Đ%nh lý Caratheodory) (Xem [3])
Cho C ⊂ Rn, khi đó vói moi x ∈ conv C, là to hop loi cúa không
quá
n + 1 điem khác nhau cúa C, túc là ∃ a0, ..., am ∈ C và λ0, ..., λm ≥ 0
vói
m ≤ n sao cho

.
m
i=1

m

λi = 1 và x =

.

λ ia i.

i=1

Đ%nh nghĩa 1.2.5. Cho C ⊂ Rn là t¾p loi, các t¾p
int C = {x ∈ Rn | ∃ε > 0, x + εB ⊂
\
C} C = (C + εB)
ε>0

lan lưot đưoc goi là phan trong và bao đóng cna C.
Đ%nh nghĩa 1.2.6. Phan trong tương đoi cna C ⊂ Rn là phan trong
cna C trong af C, kí hi¾u ri C
ri C = {x ∈ af C | ∃ε > 0, (x + εB) ∩ af C ⊂ C}.


Nh¾n xét 1.2.2. x ∈ ri A khi và chí khi ton tai lân c¾n mó V cúa x
trong Rn sao cho V ∩ af A ⊂ A.
Ví dn 1.2.1. Trong R2, A = [a, b], khi đó ri A = (a, b).
M¾nh đe 1.2.4. (Xem [2])
Cho C là t¾p loi khác rong trong Rn. Khi đó
(a) ri C ƒ= ∅ và af C = C.
(b) Neu x ∈ C và y ∈ C thì
tx + (1 − t)y ∈ ri C,

∀t ∈ [0, 1]

và do đó ri C loi.
(c) C = ri C, ri C = ri C.
M¾nh đe 1.2.5. (Xem [2])
Cho C, D là hai t¾p loi trong Rn. Khi đó, vói α, β ∈ R
ri(αC + βD) = α ri C + β ri D.
Vì v¾y, vói α = −β = 1, ta có
0 ∈ ri(C − D) ⇔ ri C ∩ ri D ƒ= ∅.
M¾nh đe 1.2.6. (Xem [2])
Cho C là t¾p loi khác rong trong Rn. Khi đó
(a) ri C ⊂ C ⊂ C.
(b) C = C; ri(ri C) = ri C.
(c) A(C) ⊂ A(C) và ri A(C) = A(ri C)
trong đó A : Rn → Rn là ánh xa tuyen tính.
Hơn nua, A−1(S) = {x ∈ Rn | A(x) ∈ S} là ngh%ch ánh cúa A vói S
⊂ Rn .
Khi đó, neu A−1(ri C) ƒ= ∅ thì
ri(A−1C) = A−1(ri C); A−1(C) = A−1(C).


Đ%nh nghĩa 1.2.7. T¾p K ⊂ Rn đưoc goi là nón neu
∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ⇒ tx ∈ K.
Neu K là nón và là t¾p loi thì ta nói K là nón loi.
Ví dn 1.2.2. Các t¾p sau đây trong Rn
{x ∈ Rn | xi ≥ 0, i = 1, ..., n}
{x ∈ Rn | xi > 0, i = 1, ..., n}
là các nón loi.
M¾nh đe 1.2.7. (Xem [2])
Giá sú K ⊂ Rn, các m¾nh đe sau tương đương
(a) K là nón loi;
(b) K là nón thóa mãn K + K ⊂ K.

Đ%nh nghĩa 1.2.8. Cho K ⊂ Rn, nón cnc cna K là m®t nón đưoc xác
đ%nh
K∗ = {y ∈ Rn | (y, x) ≤ 0, ∀x ∈ K}.
Lưõng cnc (hay là song cnc) cna K là nón K∗∗ = (K∗)∗.
Tính trnc giao cna các không gian con là m®t trưòng hop đ¾c bi¾t
cna cnc cna nón. Cho M là không gian con cna Rn
M ∗ = M ⊥ = {y ∈ Rn | (y, x) = 0, ∀x ∈ M}.
M¾nh đe 1.2.8. (Xem [2])
Cho K ⊂ Rn, nón cnc K∗ đóng, loi và K∗∗ = conv K. Neu K
đóng và loi thì K∗∗ = K.
M¾nh đe 1.2.9. (Xem [2])
Cho K ⊂ Rn là nón loi. Khi đó
int K ƒ= ∅ khi và chí khi K∗ là nón nhon .


Đ%nh nghĩa 1.2.9. Cho C ⊂ Rn là t¾p loi khác rong, nón pháp tuyen
cna C tai x, kí hi¾u NC (x) đưoc đ%nh nghĩa

n

NC (x) = {v ∈ R | (v, x − x) ≤ 0 ∀x ∈ C} neu x ∈ C
.
∅
neu x ∈/ C
Đ%nh nghĩa 1.2.10. Cho C ⊂ Rn là t¾p loi khác rong, nón tiep tuyen
cna C tai x, kí hi¾u TC (x) đưoc đ%nh nghĩa
TC (x) = {d ∈ Rn | ∃ t > 0, x + td ∈ C}.
Vói x ∈ C, nón NC (x) và TC (x) là cnc cna nhau.
M¾nh đe 1.2.10. (Xem [2])
Nón Ki ⊂ Rn, i = 1, ..., n. Khi

đó
(a) K1 ⊂ K2 ⇒ K ∗ ⊂
K∗
2

và K∗∗ ⊂ K∗∗ .
1

1

2

(b) K = K1 + K2 ⇒ K∗ = K∗ ∩ K∗ .
1

2

(c) K = K1 ∩ K2 vói K1, K2 đóng ⇒ K∗ = K∗ + K∗ .
1

Neu 0 ∈ int (K1 − K2) thì K∗ = K∗ + K∗
1

2

(d) Vói ho nón {Ki | i ∈ I} trong Rn
[
\
K=
Ki ⇒ K ∗ = i

i∈I

2

K∗.

i∈I

(e) Cho A : Rn → Rn là ánh xa tuyen tính và K là nón loi đóng cúa Rn.
Khi đó
{x|Ax ∈ K}∗ = {AT y | y ∈ K}.
Neu 0 ∈ int (K − rge A) trong đó rge A = {Ax | x ∈ Rn} thì
{x | Ax ∈ K}∗ = {AT y | y ∈ K}.
Đ%nh nghĩa 1.2.11. Nón K ⊂ Rn đưoc goi là sinh huu han neu nó viet
đưoc dưói dang
p
.
K ={
tpap | ai ∈ Rn, ti ≥ 0, i = 1, ..., p}.
i=1


Đ%nh nghĩa 1.2.12. Cho C là t¾p loi khác rong trong Rn. Ta nói véc
tơ d là m®t phương lùi xa cna C neu
x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0.
T¾p tat cá các phương lùi xa cna C đưoc goi là nón lùi xa cna C và đưoc
ký hi¾u là o+(C). V¾y
o+(C) = {d ∈ Rn | x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0}.
Ví dn 1.2.3. Xét t¾p C = {(x1, x2) | x1 > 0, x2 > 0} ∪ {(0, 0)}.
Khi đó, d = (d1, d2) ∈ o+(C) ⇔ x + λd ∈ C, ∀λ > 0, ∀x = (x1, x2)

∈ C.


 x + λd >
1
1
0


 x + λd >
2

2

0
⇔ 
  x1 + λd1 =

0

 x + λd =
2
2
0


d >
1
0



d2 > 0



⇔
  d1 = 0


⇒ o+(C) = C

d =0
2

M¾nh đe 1.2.11. (Xem [3])
Cho C là t¾p loi đóng khác rong. Lúc đó, o+(C) là nón loi đóng và
(a) d ∈ o+(C) ⇔ ∃x0 ∈ C, ∀λ > 0 : x0 + λd ∈ C.
T
(b) o +(C) =
λ(C − x0); vói moi x0 ∈ C.
λ>0

Đ%nh nghĩa 1.2.13. Cho C ⊂ Rn là t¾p khác rong, nón nhó nhat chúa
C đưoc goi là bao dương (hay bao conic) cna C, kí hi¾u pos C
pos C = {λx | x ∈ C, λ > 0} ∪ {0}.
Bao dương pos C cũng đưoc goi là nón sinh bói C.
Đ%nh nghĩa 1.2.14. T¾p P ⊂ Rn đưoc goi là t¾p đa di¾n neu nó có
dang
P = {x ∈ Rn | (ai, x) ≤ bi, i = 1, ..., p}
trong đó ai ∈ Rn, bi ∈ R, i = 1, ..., p.

Khi bi = 0, ∀i = 1, ..., p thì P đưoc goi là nón đa di¾n.


Đ%nh nghĩa 1.2.15. Cho C ⊂ Rn là t¾p loi khác rong. T¾p F ⊂ C đưoc
goi là m¾t (hay di¾n, be m¾t) cna C neu
∀x, y ∈ C, F ∩ [x, y] ƒ= ∅ thì [x, y] ⊂ F.
Đ%nh nghĩa 1.2.16. Điem z ∈ C đưoc goi là biên cna C neu {z} là
m¾t, túc z không the viet đưoc dưói dang
z = λx + (1 − λ)y, x, y ∈ C, x ƒ= y, λ ∈ (0, 1).
T¾p các điem biên cna C, kí hi¾u ext C.
Đ%nh nghĩa 1.2.17. Tia cnc biên cna C là hưóng cna núa đưòng thang
là m¾t cna C.
T¾p các tia cnc biên cna C kí hi¾u là extray C.
Đ%nh lý 1.2.2. (Đ%nh lý Krein - Milman) (Xem [2])
Cho C là t¾p loi đóng khác rong không chúa đưòng thang nào. Khi đó
C = conv(ext C ∪ extray C).
Đ%nh lý 1.2.3. (Đ%nh lý Minkowski) (Xem [2]) Cho C là t¾p loi
compact khác rong trong Rn. Khi đó
C = conv(ext C).
1.2.2

Hàm loi

Đ%nh nghĩa 1.2.18. Cho f : Rn → R, các t¾p
dom f = {x ∈ Rn | f (x) < ∞}
epi f = {(x, α) ∈ Rn × R | f (x) ≤ α}
đưoc goi lan lưot là mien huu hi¾u và trên đo th% cna f .
Đ%nh nghĩa 1.2.19. Hàm f đưoc goi là chính thưòng neu dom f ƒ=
∅
và f (x) > −∞, ∀x ∈ Rn.

Trái lai, f đưoc goi là phi chính.


Đ%nh nghĩa 1.2.20. Vói moi α ∈ R ta goi t¾p hop sau là t¾p múc cna
f
lev(f, α) = {x ∈ Rn | f (x) ≤ α}.
Cho f : Rn → R, kí hi¾u
inf f = inf{f (x) | x ∈ Rn}
argmin f = argmin{f (x) | x ∈ Rn}
= {x ∈ Rn | f (x) = inf f}.
Đ%nh lý 1.2.4. (Xem [2])
Cho f : Rn → R, các m¾nh đe sau tương đương:
(a) f núa liên tnc dưói trên Rn;
(b) epi f là t¾p đóng trong Rn × R;
(c) T¾p múc lev(f, α) đóng trong Rn, ∀α ∈ R.
Đ%nh nghĩa 1.2.21. Bao đóng cna hàm f , kí hi¾u là f , đưoc xác đ
%nh sao cho
epi(f ) = epi f.
Đ%nh nghĩa 1.2.22. Hàm f : Rn → R đưoc goi là loi neu epi f là
t¾p loi khác rong trong Rn × R.
Hàm f đưoc goi là lõm neu −f loi.
Đ%nh lý 1.2.5. (Xem [3])
Hàm f : Rn → R đưoc goi là loi khi và chí khi
∀x, y ∈ Rn, ∀t ∈ (0, 1) ⇒ f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f
(y).
Đ%nh lý 1.2.6. (Bat đang thúc Jensen) (Xem [3])
Cho f : Rn → R..
Khi đó f là hàm loi khi và chí khi ∀λi ≥
m
0, i = 1, ...,

λi = 1, ∀xi ∈ Rn
i=1m,
f (λ1x1 + · · · + λmxm) ≤ λ1f (x1) + · · · + λmf (xm).


Ví dn 1.2.4. Hàm chí δC (.) cna t¾p loi C ⊂ Rn là hàm loi

0
neu x ∈ C
δC (x) = 
 +∞ neu x ∈/ C
Th¾t v¾y, vói ∀x, y ∈ Rn, ∀t ∈ (0, 1) ta có

0
neu tx + (1 − t)y ∈ C
δC (tx + (1 −
 +∞ neu tx + (1 − t)y ∈/ C
t)y) =
- Neu x, y ∈ C thì δC (x) = δC (y) = 0.
Vì C loi nên tx + (1 − t)y ∈ C ⇒ δC (tx + (1 − t)y)
= 0. Do đó, δC (tx + (1 − t)y) = tδC (x) + (1 −
t)δC (y).
y ∈/ C

thì
- Neu  x ∈ C, y
∈/ C

x ∈/ C, y ∈ C
 x,

δC (tx + (1 − t)y) = +∞ và tδC (x) + (1 − t)δC (y) = +∞
V¾y
δC (tx + (1 − t)y) = tδC (x) + (1 − t)δC (y) vói ∀x, y ∈ Rn, ∀t ∈
(0, 1)
Suy ra, hàm chí δC (.) là hàm loi.
Đ%nh nghĩa 1.2.23. Hàm f : Rn → R đưoc goi là núa liên tuc dưói
(lsc) tai x neu
f (x) lim inf f (y).
≤ y→x
f đưoc goi là núa liên tuc dưói neu nó núa liên tuc dưói tai moi x ∈ Rn.
M¾nh đe 1.2.12. (Xem [2])
Hàm loi f : Rn → R ∪ {+∞} núa liên tnc dưói tai x mà f (x) < ∞
khi và chí khi f (x) = f (x).


M¾nh đe 1.2.13. (Xem [2])
Cho fi : Rn → R ∪ {+∞}, i = 1, ..., p là m®t dãy các hàm loi
p

chính
T

thưòng.
Neu

ri(domfi) ƒ= ∅ thì

i=1

f1 + · · · + fp = f1 + · · · + fp.
Đ%nh nghĩa 1.2.24. Cho f : Rn → R, bao loi cna f kí hi¾u là conv
f
đưoc xác đ%nh như sau
conv f (x) = inf{r ∈ R | (x, r) ∈ conv(epi f )}
n+1

n+
1

t f (xi) . tixi = x, xi ∈
= inf
{ . i
dom f,
i=1 |
i=
1

n+
1

. ti = 1}.
i=
1

Đ%nh nghĩa 1.2.25. Cho f : Rn → R∪{+∞}, hàm f ∗ : Rn →
R∪{+∞}
đưoc xác đ%nh
f ∗ (y) = sup{(x, y) − f (x)}
x

đưoc goi là hàm liên hop cna f .
Hàm liên hop b¾c hai cna f đưoc xác đ%nh
f ∗∗ (x) = sup{(x, y) − f ∗ (y)}.
y

Nh¾n xét 1.2.3. (Xem [2]) Tù đ%nh nghĩa ta có
(x, y) ≤ f (x) + f ∗ (y) ∀x ∈ dom f, y ∈ dom f ∗
Bat đang thúc trên goi là bat đang thúc Fenchel.
Khi conv f chính thưòng, luôn có f ∗ và f ∗∗ chính thưòng, núa liên
tnc dưói, loi và có quan h¾ sau
f ∗∗ (x) = conv f ; f ∗∗ ≤ f.
Đ%nh lý 1.2.7. (Fenchel-Moreau) (Xem [2])
Cho f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm loi. Khi đó hàm liên hop f ∗ chính


thưòng, núa liên tnc dưói và loi khi và chí khi f chính thưòng.
Hơn nua,
(f )∗ = f ∗

và f ∗∗ = f.

Đ%nh nghĩa 1.2.26. Giá sú fi : Rn → R ∪ {+∞}, i = 1, ..., m là
các hàm chính thưòng, tong ch¾p infimal cna f1, ..., fm là hàm h đưoc
xác đ%nh
m
.
h(x) = (f1⊕· · ·⊕fm)(x) = inf{f1(x1)+· · ·+fm(xm) |
xi
= x} ∀x ∈ Rn.

i=1

Đ%nh nghĩa 1.2.27. Cho hàm f : Rn → R khá vi, gradient cna f tai x
kí hi¾u ∇f (x) đưoc xác đ%nh
∇f (x) = ( ∂f , · · · ∂f
(x)
(x) ,
).
∂xn
∂x1
Đ%nh nghĩa 1.2.28. Cho hàm f : Rn → R là hàm loi, x ∈ Rn, f (x)
< ∞, dưói gradient cna hàm f tai x là véc tơ g ∈ Rn sao cho
f (y) − f (x) ≥ (g, y − x) , ∀y ∈ Rn.
Đ%nh nghĩa 1.2.29. T¾p tat cá dưói gradient cna f tai x đưoc goi là
dưói vi phân cna f tai x ∈ Rn, kí hi¾u ∂f (x). Túc là,
∂f (x) = {g ∈ Rn | f (y) − f (x) ≥ (g, y − x) ∀y ∈ Rn}.
Đ%nh nghĩa 1.2.30. Hàm f đưoc goi là khá dưói vi phân neu ∂f (x) ƒ=
∅.
M¾nh đe 1.2.14. (Xem [2])
Cho hàm f : Rn → R là hàm loi, chính thưòng. Khi đó
∂f (x) ƒ= ∅, b% ch¾n khi và chí khi x ∈ int (dom f ).
Đ%nh nghĩa 1.2.31. Cho C là t¾p khác rong trong Rn đ%nh nghĩa hàm
σC : Rn → R ∪ {+∞} như sau:
σC (d) = sup{(x, d) | x ∈ C}
đưoc goi là hàm giá cna C.