Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến f(x)=0

Lài

cám ơn

Tơi xin chân thành cám ơn Phịng Sau đai hoc, các thay giáo, cơ giáo,
cùng tồn the các anh ch% em hoc viên khóa 15 chun ngành Tốn giái
tích Trưịng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã đ®ng viên, giúp đõ đe tác giá
có đieu ki¾n tot nhat trong suot q trình hồn thành lu¾n văn.
Đ¾c bi¾t, tơi xin bày tó lịng cám ơn sâu sac tói PGS. TS. Khuat Văn
Ninh đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan, giúp đõ tơi hồn
thành lu¾n văn này.
Hà N®i, tháng 12 năm 2013
Tác giá

Tran Văn Cưàng


Lài cam đoan
Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna PGS. TS. Khuat Văn
Ninh, lu¾n văn Thac sĩ chuyên ngành Tốn giái tích vói đe tài “M®t
so phương pháp l¾p giái phương trình phi tuyen” đưoc hồn
thành bói chính sn nh¾n thúc cna bán thân tác giá.
Trong suot quá trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá đã ke
thùa nhung thành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet
ơn.
Hà N®i, tháng 12 năm 2013
Tác giá

Tran Văn Cưàng

Mnc lnc
Má đau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1 Chương
1. KIEN THÚC CHUAN B±

3

1.1. M®t so kien thúc ve giái tích hàm..................................................3
1.1.1. Khơng gian metric.....................................................................3
1.1.2. Khơng gian đ%nh chuan.................................................................5
1.2. Phương pháp dây cung.....................................................................7
1.3. Phương pháp Newton và các mó r®ng...........................................9
1.3.1. Phương pháp Newton (Phương pháp tiep tuyen)...................9
1.3.2. Phương pháp Newton - Raphson.............................................11
1.3.3. Phương pháp Newton - Kantorovich.......................................13
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP L¾P............................................18
2.1. Phân loai các hàm l¾p...................................................................18
2.1.1. Mđt so khỏi niắm c bỏn............................................................18
2.1.2. Hm lắp mđt iem.......................................................................19
2.1.3. Hm lắp nhieu iem.....................................................................20
2.1.4. Bắc hđi tu....................................................................................20
2.2. Cỏc %nh lý tong quát ve phương pháp l¾p................................22

i


2.2.1. Mđt so mắnh e ve iem bat đng............................................22
2.2.2. Sn hđi tu tuyen tớnh v trờn tuyen tớnh...............................24
2.2.3. Thnc hiắn phộp lắp.....................................................................29
Chng

3. MđT SO NG DUNG CA PHNG PHP

LắP

......................................................................................46

Ket luắn...............................................................................................62
Ti li¾u tham kháo............................................................................63

i


Má đau
1. Lí do chon đe tài
Nhieu van đe trong thnc te dan tói vi¾c giái các phương trình và h¾
phương trình. Chúng có the là các phương trình, h¾ phương trình đai so,
vi phân, hay đao hàm riêng. Vi¾c giái đúng cna các phương trình này
nói chung là rat khó. Ta chí có the mong muon tìm đưoc nghi¾m gan
đúng cna chúng.
Có rat nhieu phương pháp đe tìm nghi¾m gan đúng cna phương trình.
Moi phương pháp có nhung ưu điem riêng, và phù hop vói nhung loai
phương trình khác nhau. Nhưng có the thay rang nhieu thu¾t tốn giái
phương trình đưoc mơ tá bói các hàm l¾p. Vi¾c trình by mđt cỏch hắ
thong ve lý thuyet cna cỏc thuắt toỏn lắp v bắc hđi tu cna chỳng trong
viắc giỏi gan đúng phương trình và h¾ phương trình giúp cho ta có m®t
cái nhìn sâu hơn và tong qt hơn ve các phương pháp l¾p riêng bi¾t đã
biet, và có the tìm ra đưoc úng dung cna nhung phương pháp đó trong
vi¾c giái phương trình.
Vì nhung lí do trên, đưoc sn đ%nh hưóng cna PGS. TS. Khuat Văn

Ninh, tơi đã chon đe tài cho lu¾n văn thac sĩ cna mình l MđT SO
PHNG PHP LắP GII PHNG TRèNH PHI TUYEN .

5


2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu lý thuyet ve các phương pháp l¾p giái gan đúng phương
trình f (x) = 0 trong khụng gian mđt chieu.
3. Nhiắm vn nghiờn cNu
Tỡm hieu cơ só lý thuyet, các tính chat cna phương pháp l¾p đưoc
bieu dien dưói dang hàm l¾p, trong vi¾c giái phương trình. Trong đó
nghiên cúu ve thu¾t tốn, ve bắc hđi tu.
Nghiờn cỳu cỏc ỳng dung cna phng phỏp l¾p trong vi¾c giái phương
trình cu the.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Các phương pháp l¾p trong vi¾c giái gan đúng phương trình f (x) = 0
trong khơng gian mđt chieu.
5. Phng phỏp nghiờn cNu
- Tỡm hieu t liắu trong sách, báo.
- Sú dung các phương pháp cna Giái tích co đien, Giái tích hàm, Giái tích
so.
- Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu đe tài.
6. DN kien đóng góp cúa đe tài
Trình bày m®t cỏch hắ thong ve phng phỏp lắp ve bắc hđi tu và
úng dung cna nó trong các bài tốn cu the.


Chương 1
KIEN THÚC CHUAN B±

Trong chương này trình bày m®t so kien thúc chuan b% ve giái tích
hàm giái tích so, phng trỡnh toỏn tỳ, mđt so phng phỏp lắp giái
phương tình phi tuyen f (x) = 0. Phương pháp Newton và m®t so
mó r®ng.
N®i dung cna chương này đưoc tham khỏo trong cỏc ti liắu
[1,3,5,7,8,9].

1.1. Mđt so kien thNc ve giái tích hàm
1.1.1. Khơng gian metric
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho tắp X = . nh xa d : X ì X → R đưoc goi
là metric trên X neu thóa mãn 3 đieu ki¾n sau:
i) ∀x, y ∈ X, d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
ii) ∀x, y ∈ X, d (x, y) = d (y, x);
iii) ∀x, y, z ∈ X, d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z).
C¾p (X, d) đưoc goi là không gian metric. Các phan tú cna Xgoi là các
điem, các tiên đe i), ii), iii) goi là h¾ tiên đe metric, d(x, y) goi là khoáng
cách giua hai phan tú x và y.
Đ%nh nghĩa 1.2. Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn} ⊂ X đưoc


goi là dãy cơ bán (hay dãy Cauchy) neu
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0 : d (xm, xn) < ε
ha
y

lim d (xm, xn) = 0.

m,n→∞

Đ%nh nghĩa 1.3. Không gian metric (X, d) goi là đn neu moi dãy

Cauchy trong X đeu h®i tu đen m®t điem thu®c X.
Đ%nh nghĩa 1.4. Cho khơng gian metric (X, d). Ánh xa A tù khơng
gian (X, d) vào chính nó goi là ánh xa co neu ton tai so α, 0 ≤ α <
1, sao cho
d (Ax, Axr) ≤ αd (x, xr) , ∀x, xr ∈ X.
Đ%nh lý 1.1. (Nguyên lý Banach ve ánh xa co) Moi ánh xa co A ánh xa
khơng gian metric đú (X, d) vào chính nó đeu có điem bat đ®ng
x¯ nhat, nghĩa là x¯ ∈ X thóa mãn h¾ thúc Ax¯ = x¯.

duy

Ví dn 1.1. Trong không gian R1 cho ánh xa A đưoc xác đ%nh bói
cơng thúc
Ax = π − a sin x, |a| < 1.
Khi đó A ánh xa khơng gian đn R1 vào chính nó. Hơn nua,
. . x+
....
. .
x−
r
r
r x
r x
|Ax − Ax | = |a sin x − a sin x | = 2 |a| cos
sin
.
.
..
.
.

r
.
x. − x .
2 ..
2 .
r
≤ 2 |a| .
. = |a| |x − x | .
. 2 .
Suy ra A là ánh xa co, vì |a| < 1.
Theo nguyên lý Banach ve ánh xa co, ánh xa A có điem bat đ®ng duy
nhat x¯. Ta de dàng kiem tra đưoc điem bat đ®ng duy nhat đó là x¯ =
π.


Ví dn 1.2. Cho ánh xa A ánh xa núa khống [1, +∞) vào chính nó xác
đ%nh bang cơng thúc

1
Ax = x + .
x

Ta cú [1, +) l mđt tắp hop con đóng cna R1 vói metric d(x, y)
=
|x − y|. Do đó [1, +∞) cùng vói metric cna R1 lắp thnh mđt
khụng gian metric n.
Giỏ sỳ ỏnh xa
A : [1, +∞) → [1, +∞)
x ›→ A(x)
là ánh xa co, suy ra ton tai duy nhat x0 ∈ [1, +∞) sao cho

1
1
= 0 (vô lý).
Ax0 = x0 ⇔ x0 + = x0
x0
x0
Vắy A khụng cú iem bat đng, do đó A khơng là ánh xa co.
1.1.2. Khơng gian đ%nh chuan
Đ%nh nghĩa 1.5. Không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen tính
đ%nh chuan) là khơng gian tuyen tính X trên trưịng P (P = R ho¾c
P = C) cùng vói mđt ỏnh xa tự X vo tắp so thnc R, ký hi¾u là "·"
và đoc là chuan, thóa mãn các tiên đe sau đây:
i) ∀x ∈ X, "x" ≥ 0, "x" = 0 ⇔ x = θ (ký hi¾u phan tú không là θ);
ii) ∀x ∈ X, ∀α ∈ P , "αx" = |α| "x";
iii) ∀x, y ∈ X, "x + y" ≤ "x" + "y".
So "x" đưoc goi là chuan cna véctơ x. Ta ký hi¾u khơng gian đ%nh chuan


là (X, "·"). Neu trên X chí trang b% m®t chuan ta có the ký hi¾u là X.
Các tiên đe i), ii), iii) goi là h¾ tiên đe chuan.
Đ%nh nghĩa 1.6. Dãy điem {xn} trong không gian đ%nh chuan X goi
là dãy cơ bán neu
lim
m,n→∞

"xn − xm" = 0.

Đ%nh nghĩa 1.7. Không gian đ%nh chuan X goi là không gian Banach
neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tu.
Ví dn 1.3. Cho không gian véctơ thnc n chieu Rn. Đoi vói véctơ bat kì

x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn ta đ¾t

‚
..
.n
"x" = ,

2

|xj| .

(1.1)

j=1

Tù cơng thúc "x" = d(x, θ) và h¾ tiên đe metric suy ra cơng thúc
(1.1) cho m®t chuan trên Rn. Khơng gian đ%nh chuan tương úng ký
hi¾u là Rn. De thay Rn là khơng gian Banach.
Ví dn 1.4. Cho khơng gian véctơ C[a,b]. Đoi vói véctơ bat kì x(t) ∈
C[a,b]
ta đ¾t
"x" = max |x(t)| .
a≤t≤b

(1.2)

Tù cơng thúc "x" = d(x, θ) và h¾ tiên đe metric suy ra cơng thúc (1.2)
cho m®t chuan trên C[a,b]. Khơng gian đ%nh chuan tương úng ký hi¾u là
C[a,b]. De thay C[a,b] là khơng gian Banach.
Ví dn 1.5. Cho khơng gian véctơ L[a,b]. Đoi vói véctơ bat kì x(t)

L[a,b]
ta ắt

áb
"x" =
a

|x(t)| dt.

(1.3)


Tù cơng thúc "x" = d(x, θ) và h¾ tiên đe metric suy ra cơng thúc (1.3)
cho m®t chuan trên L[a,b]. Khơng gian đ%nh chuan tương úng ký hi¾u là
L[a,b]. De thay L[a,b] là không gian Banach.
Áp dung Đ%nh lý 1.1 cho X là khơng gian Banach ta có đ%nh lý sau:
Đ%nh lý 1.2. (Nguyên lý ánh xa co trong khơng gian Banach) Cho
khơng gian Banach Xvà m®t ánh xa co T đi tù X vào chính nó, nghĩa
là ton tai m®t hang so M, 0M < 1, thóa mãn
"T v1 − T v2 " M "v1 − v2" , ∀v1, v2 ∈ X.
Khi đó, ton tai duy nhat điem u thu®c X sao cho u = T u.

1.2. Phương pháp dây cung
Xét phương trình f (x) = 0.
Giá sú hàm so y = f (x) liên tuc trên đoan [a, b] và f (a).f (b) < 0.
Giá sú f (x) có đao hàm cap hai liên tuc và f rr(x) > 0 trên đoan [a,
b].
Khi đó đo th% y = f (x) nam phía dưói dây cung AB vói A (a, f
(a)), B (b, f (b)).
Trưòng hop 1: Neu f (a) > 0, ta xây dnng dãy {xn} theo h¾ thúc


 x = b
0

(1.4)
f (xn)
(xn −

f (xn) − f a)
x
=x
n+1

−





n

(a)
n ∈ N.

Khi đó ta se có dãy {xn} đơn đi¾u giám, b% ch¾n và


a < x∗ < ... < xn+1 < xn < ... < x0 = b.

Trưòng hop 2: Neu f (a) < 0, ta xây dnng dãy {xn} theo h¾ thúc

 x = a
0

f (xn)
(b −

(1.5)
xn+1 = xn
f (b) − f xn)
−

(xn)


 n ∈ N.
Khi đó ta se có dãy {xn} đơn đi¾u tăng, b% ch¾n và
a = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 < ... < x∗ < b.
Giá sú hàm so y = f (x) liên tuc trên đoan [a, b], dãy {xn} ⊂ [a,
b], f r(x) giu nguyên dau và ngồi ra ta có
0 < m ≤ |f r(x)| ≤ M < +∞.
Khi đó ta có the chúng minh đưoc ưóc lưong sai so sau
M−m
∗
|xn − x |
|xn − xn−1| ; n = 1, 2, ....
m
≤
Ví dn 1.6. Tìm nghi¾m dương cna phương trình sau đây nhị phương

pháp dây cung vói đ® chính xác đen ε = 0, 002:
f (x) = x3 − 0, 2x2 − 0, 2x − 1, 2 = 0.
Ta có

f r(x) = 3x2 − 0, 4x − 0, 2
f (1) = −0, 6 < 0; f (1, 5) = 1,
425 > 0.

Do đó x∗ ∈ (1; 1, 5).
M¾t khác f r(x) > 0 trên (1; 1, 5) và f

rr

(x) > 0, ∀x ∈ (1; 1, 5).

Vói x0 = 1, áp dung (1.5), ta có
x1 = 1, 15; x2 = 1, 190; x3 = 1, 198; ....


Đe ý rang nghi¾m đúng cna phương trình trên là x = 1, 2. Vì
|x3 − x∗ | = 0, 002
nên x3 là nghi¾m gan đúng chap nh¾n đưoc.

1.3. Phương pháp Newton và các má r®ng
1.3.1. Phương pháp Newton (Phương pháp tiep tuyen)
Cho phương trình

f (x) = 0,

(1.6)

trong đó f (x) là hàm so bien so thnc.
Giá thiet các đieu ki¾n sau đưoc thóa mãn:
i) Phương trình (1.6) có nghi¾m ξ duy nhat trên [a, b],
r
rr
ii) f ∈ C 2[a,b và f (x), f (x) không đoi dau trên [a, b].
Điem x0 ∈] [a, b] goi là điem Fourier cna hàm f neu nó thóa mãn
đieu ki¾n f (x0)f rr (x0) > 0.

Chon xap xí ban đau x0 là điem Fourier. Phương trình tiep tuyen cna
đưịng cong y = f (x) tai điem M0 (x0, f (x0)) có dang
y = f r(x0)(x − x0) + f (x0).
Hồnh đ® giao điem cna tiep tuyen này vói truc hồnh là
f (x0)
0 = f r(x0)(x − x0) + f (x0) hay x1 = rx0 0−

f (x )
Làm tương tn như v¾y vói điem x1 ta tìm đưoc giao điem cna tiep
tuyen này vói truc hồnh là x2. Tong qt ta có
f (xn)
.
xn+1 = xn − n)
f
r (x

.

(1.7)

Khơng giám tính tong qt, hàm f (x) trong phương trình (1.6) có
the coi có đao hàm f rr(x) > 0, neu khơng ta xét phương trình g(x)
= 0 vói g = −f . Sau đây ta chí xét trưịng hop f r(x) < 0.
Trưòng hop f r(x) > 0 hoàn toàn tương tn. Khai trien f (xn) tai
điem xn−1 theo cơng
thúc Taylor, ta có
f (xn) = f (xn−1) + f r(xn−1)(xn −
xn−1) +
Tù (1.7) suy ra
f (xn)
=

f

rr

f

rr

(ξn−1)
2
(x − x ) .
n
n−1
2

(ξn−1)
2

≥ 0.
(x − x )
n
n−1
2

M¾t
khác

2

f (xn)
f rr(ξn−1)(xn − xn−1)
−
2f r (x
≥ 0,
xn+1 − xn = − r n
=
n
f (x )
)
do đó dãy {xn} đơn đi¾u khơng giám. Neu có xn > ξ, thì do f r(x) <
0
nên
f (xn) < f (ξ) = 0.
Đieu này mâu thuan vói bat đang thúc f (xn) ≥ 0. Như v¾y
xn ≤ xn+1 ≤ ... ≤ ξ,
suy ra ton tai giói han

lim xn = ζ.

n→∞

Ta có tù (1.7):
|f (xn)| = |f r(xn)| |xn+1 − xn| ≤ M |xn+1 − xn| ,
trong đó M = sup {|f r (x)| : x ∈ [a, b]} .


Cho n → ∞ ta đưoc f (ζ) = 0. Tù giá thiet i) suy ra ζ = ξ.


rr
Đe
. đánh
. giá sai so phương pháp Newton, ta giá thiet |f (x)| ≤ M2
và f r (x) ≥ M1 > 0 vói moi x ∈ [a, b] . M¾t khác, ta có
.
.

f (xn+1) = f (xn+1 ) − f (ξ) = f r (x¯n+1 )(xn+1 − ξ).
Tù đây suy ra

f
|xn+1 − ξ| ≤
.
(xx+1)|
|
M1

(1.8)

Sú dung (1.7) và trien khai Taylor ta có
r

f (xn+1) = f (xn) + f (xn)(xn+1
− xn ) +

f r(ξn)
2
(x
x )
n+1 − n
2

f rr(ξn)
2
=
(xn+1 − xn) .
2

Tù bat đang thúc cuoi suy ra
|f (xn+1)| ≤

M2
2

2

|xn+1 − xn| .

Áp dung (1.8) ta đưoc
|xn+1 − ξ|
≤

M2 |xn+1 − xn| .
2M 2

(1.9)

1

Khi n lún, đ lắch |xn+1 xn| khỏ nhó. Tù cơng thúc (1.9) suy ra
xn+1
rat gan ξ vì |xn+1 − ξ| =

.|xn+1

2

− x n| . .

O
Phương pháp Newton cú bắc hđi tu bang 2. (Khỏi niắm bắc hđi tu se
đưoc nêu trong chương 2.)


1.3.2. Phương pháp Newton - Raphson
Bây giò ta xét ánh xa f : Rn → Rn và phương trình
f (x) = 0,

(1.10)


trong đó x = (x1, ..., xn)

T

∈ Rn, f (x) = (f1(x), ..., fn(x))

T

∈ Rn. Ta

có
f1(x)

. 
f (x) = 0 ⇔
 ..  =


fn(x)

0

.

 .. .

0

Giá sú (1.10) có nghi¾m duy nhat ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ S¯(x0 , R).
Ta viet phương trình (1.10) dưói dang:
f (x) − f (x0) = −f (x0).
Ta có

trong đó

(1.11)

r

f (x) − f (x0) = f (x0)(x − x0) + o(x − x0),

li
m

"o(x −
x0)" "x
− x0 "

= 0.

x→x
0

Thay f (x) − f (x0) ≈ f r(x0)(x − x0), trong đó f r(x0) là đao hàm
Frechet
cna f tai x0, vào (1.11) ta đưoc
f r(x0)(x − x0) = −f (x0).

Giá sú ánh xa f có f r (x), ∀x ∈ S(x0, R) và ton tai [f r (x)]
S¯(x0 , R).
Ta có




∂ f (x )
1

∂ f (x )

0

1

f r(x0) = ∂x
 ·
 ···
 ∂fn(x0)

1

··

∂xn

0

(1.12)

−1

,x∈





.

∂x

1

···


∂fn(x0)




∂xn

Phương trình (1.12) là h¾ phương trình đai so tuyen tính
f r(x0)x = −f (x0) + f r(x0)x0.


Giá sú phương trình (1.12) có nghi¾m x1. Khi đó
−1

x1 − x0 = −[f r (x0 )]

⇔ x1 = x0 − [f r(x0)]

f (x0)

−1

f (x0).

Ta có x1 là nghi¾m xap xí đau tiên cna phương trình (1.10).
Tiep tuc, ta viet phương trình (1.10) dưói dang:
f (x) − f (x1) = −f (x1).
L¾p lu¾n tương tn như trên ta tìm đưoc x2 là nghi¾m cna phương trình
f r(x1)(x − x1) = −f (x1).
f r(x1)(x2 − x1) = −f
(x1)

Khi đó ta có

⇒ x2 = x1 − [f r(x1)]
(x1).

−1

f

Tương tn như v¾y ta đưoc dãy
xk+1 = xk − [f r(xk)]

−1

f (xk); k = 0, 1, 2....

(1.13)

(1.13) đưoc goi là phương pháp Newton - Raphson và ta cũng chúng
minh đưoc
"xk − ξ" ≤
c1 q2

k

; c1 = const, 0 ≤ q < 1.

1.3.3. Phương pháp Newton - Kantorovich
Nhà tốn hoc Liên xơ L. Kantorovich đã mó r®ng phương pháp
New- ton cho ánh xa tù m®t khơng gian Banach X vao m®t khơng
gian Banach Y .


Giá sú X và Y là các không gian Banach, S = S(x0, R) hình cau tâm
x0 bán kính R, S ⊂ X.
Xét phương trình tốn tú dang
P (x) = 0,

(1.14)

trong đó tốn tú phi tuyen P xác đ%nh trong hình cau S, giá tr% thu®c

khơng gian Banach Y .
Các xap xí liên tiep đưoc xây dnng như sau:
Lay phan tú x0 ∈ S. Giá sú tốn tú P có đao hàm liên tuc P r(x) trong
S. Thay the phương trình (1.14) bói phương trình tương đương sau
P (x0) − P (x) = P (x0).
Giá sú x∗ là nghi¾m cna phương trình (1.14). Giá tr% P (x0) −P (x∗)
đưoc thay bói giá tr% gan đúng P r(x0)(x0 −x∗). Ta có the suy lu¾n rang
nghi¾m cna phương trình
P r(x0)(x0 − x) = P (x0)
se gan nghi¾m x∗. Vì v¾y xap xí đau tiên x1 đưoc chon là nghi¾m
cna phương trình nói trên, túc là
−1

P r(x0)(x0 − x1 ) = P (x0) ⇒ x1 = x0 − [P r(x0)]

P (x0).

Nhung xap xí tiep theo đưoc xác đ%nh tương tn tù nhung phương trình
tuyen tính sau
P r(xn)(xn − x) = P (xn); n = 0, 1, 2...,
Goi xn+1 là nghi¾m cna phương trình nói trên:
P r(xn)(xn − xn+1) = P (xn).


Neu ton tai [P r(xn)]

−1

, thì

xn+1 = xn − [P r(xn)]

−1

P (xn); n = 0, 1, 2....

(1.15)

Phương pháp xây dnng các xap xí xn như trên goi là phương pháp
Newton - Kantorovich.
Neu dãy {xn} h®i tu đen x∗ và x0 đưoc chon gan x∗ thì các tốn
tú
P r(xn) và P r(x0) se gan nhau. Đieu đó làm cơ só cho vi¾c thay the
cơng thúc (1.15) bang cơng thúc đơn gián hơn
yn+1 = yn − [P r (x0 )]

−1

P (yn ); n = 0, 1, 2...; y0 ≡ x0 . (1.16)

Phương pháp xây dnng dãy {yn} như trên đưoc goi là phương pháp
Newton - Kantorovich cái biên.

Sau đây ta nêu m®t so ieu kiắn n e dóy (1.15) hoắc (1.16) hđi tu
dna trên phương pháp làm tr®i (majorant):
Đ%nh lý 1.3. Giá sú các đieu ki¾n sau đây đưoc thóa mãn
1) tốn tú P đưoc xác đ%nh trong hình cau đóng S và có đao hàm cap
hai liên tnc P rr(x) trong S; S = S(x0, R);
2) ton tai hàm so ψ(u)(u0 ≤ u ≤ ur), ur = u0 + r, r > 0 hai lan khá
vi liên tnc và ϕ(u) = u + c0ψ(u);

3 ) ton tai tốn tú tuyen tính liên tnc Γ0 = [P r(x0)]

−1

;

1 > 0;
4) c0 = −ψ(u
0
)

5) "Γ0P (x0)" ≤ c0ψ(u0);
6) "Γ0P rr(x)" ≤ c0ψrr(u), neu "x − x0" ≤ u − u0 ≤ r;


7) phng
trỡnh

(u) = 0

(1.17)

cú ớt nhat mđt nghiắm trong oan [u0, ur] .
Khi đó dãy xây dnng theo phương pháp
Newton - Kantorovich cỏi biờn (1.16) hđi
tn en nghiắm cỳa phng trình (1.14).
Toc đ® h®i tn đưoc xác đ%nh bói cơng
thúc
"yn − x∗" ≤ u − vn,
trong đó u là nghi¾m nhó nhat cúa

phương trình (1.17); vn đưoc xác đ%nh
bói các đang thúc
vn = vn−1 + c0ψ(vn−1); n = 1, 2...; v0 =
uo.
Đ%nh lý 1.4. Giá sú các đieu ki¾n cúa Đ
%nh lý 1.3 đưoc thóa mãn, ngồi ra
ψ(ur) ≤ 0.
Khi ú neu phng trỡnh (1.17) cú mđt
nghiắm duy nhat trong [u0, ur], thỡ
phng trỡnh (1.14) cú mđt nghiắm duy
nhat.
%nh lý 1.5. Giá sú các đieu ki¾n cúa Đ
%nh lý 1.3 đưoc thóa mãn. Khi đó các
nghi¾m xap xí Newton - Kantorovich
(1.15) hđi tn en nghiắm cỳa phng


trình (1.14). Toc
đ® h®i tn đưoc
xác

đ%nh

bói

cơng thúc
"xn − x∗" ≤ u −
un ,
trong

đó

u

là

nghi¾m nhó nhat
cúa phương trình
(1.17),

cịn

un

đưoc xác đ%nh
bói các đang thúc
un = un−1 +
cn−1ψ(un−1), u0
= u0 ,