Một số vấn đề về lý thuyết nội suy

1
Một số vấn đề về lý thuyết nội suy

LỜI CẢM ƠN

Một lời cảm ơn không thể nói lên được hết lòng biết ơn to lớn của tôi, nhưng
tôi vẫn xin dành những lời đầu tiên trong bài luận văn nhỏ của mình để được bày
tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của tôi tới các thầy cô giáo, những người
đã dìu dắt, dạy dỗ tôi trong suốt thời gian qua.
Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Khải đã tận tình hướng
dẫn, chỉ bảo, hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi học tập
nghiên cứu, giúp đỡ đóng góp ý kiến để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn.
Học viên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên

Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên


LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân
cùng sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Khải, các thầy, cô giáo trong
hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm.
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã kế thừa thành quả của các nhà khoa học
với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng số liệu, kết quả nghiên cứu
trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Học viên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên


MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Mục lục

3

Mở đầu

5

Nội dung
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1
vấn đề về đại số tuyến tính

Một số
7

1.2
vấn đề về phân loại hàm số thực

Một số
14

1.3
vấn đề về hàm số biến số phức

Một số
24

Chương 2 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
2.1
thuyết nội suy cổ điển

Lý
29

2.2
bài toán tương tự và mở rộng của bài toán nội suy

Một số
38

Chương 3 Lý thuyết phần dư
3.1

dư Cauchy đối với đa thức nội suy

Phần
49

3.2
lồi

Hàm
52

3.3
mốc nội suy tối ưu

Chọn
53


3.4
phân và giá trị trung bình

Tỷ sai
58

3.5
suy tại các điểm trùng nhau

Nội
59

3.6
dư của đa thức nội suy

Phần
59

Chương 4

Sự hội tụ của quá trình nội suy

4.1
tam giác nội suy

Sơ đồ
62

4.2
hội tụ với sơ đồ tam giác bị chặn

Định lí
64


4.3
và nội suy
Chương 5

Đồ thị
67

Một số ứng dụng của đa thức nội suy trong toán sơ cấp

5.1
dụng đa thức nội suy Taylor để xác định đa thức

Sử
70

5.2
dụng đa thức nội suy Lagrange

Sử
70

5.3
dụng đa thức nội suy Newton

Sử
105

5.4
dụng đa thức nội suy Hermite để xác định đa thức

Sử
109

5.5
bài tập

Một số

111

KẾT LUẬN

114

TÀI LIỆU THAM KHẢO

115

1. Lý do chọn đề tài
MỞ ĐẦU
Lý thuyết nội suy – một lý thuyết toán học có lịch sử phát triển lâu dài gắn
liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như Lagrange,
Newton, Chebyshev…
Lý thuyết nội suy còn là cơ sở cho nhiều lý thuyết toán học khác nhau, chẳng
hạn trong việc giải gần đúng phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm
riêng nhờ sai phân…
Bài toán cơ bản của lý thuyết nội suy là dựng một hàm đơn giản xấp xỉ một
hàm cho trước được cho bằng bảng hoặc là có công thức giải tích phức tạp. Từ


đó ta có thể tính gần đúng đạo hàm, gần đúng tích phân hay giải gần đúng một số
bài toán về phương trình đã nêu.
Về cơ bản bài toán nội suy cổ điển đã được sử dụng sớm bởi Newton vào
năm 1686, được Lagrange sử dụng, đề xuất lại năm 1795 và ước lượng sai số cổ
điển (định lí 3.11) được Cauchy thiết lập năm 1840.
Phần ứng dụng của lý thuyết nội suy rất đa dạng, nhưng trong luận văn này
tập trung quan tâm tới những ứng dụng trong toán sơ cấp và đây cũng là đóng
góp chủ yếu của luận văn.

Chính vì các lí do đó tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Một số vấn đề về lý
thuyết nội suy” nhằm cung cấp một tài liệu cơ bản về các vấn đề liên quan đến
nội suy và ứng dụng của nó trong toán sơ cấp.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy.
- Nêu một số ứng dụng của lý thuyết nội suy đặc biệt là trong toán sơ cấp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu


- Nghiên cứu về một số bài toán nội suy, một số công thức cơ bản của nội suy.
- Nghiên cứu lý thuyết phần dư cũng như sự hội tụ của quá trình nội suy.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết nội suy.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết nội suy và các vấn đề liên quan.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu chính là các phương pháp của giải tích toán học.
6. Đóng góp của luận văn
- Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy.
- Ứng dụng để giải một số bài toán sơ cấp bằng phương pháp nội suy.


Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số vấn đề về đại số tuyến tính
1.1.1 Định thức
Cho ma trận vuông

A aij

nn

,aij R, ta gọi định thức của ma trận A là một


phần tử thuộc R, kí hiệu là det A cho bởi
det A sgn  .a11.a 22 ...a n n .

(1.1.1)

Sn

Khi đó det A được gọi là định thức cấp n và còn được kí hiệu là A hay
a11

a1

a21

2

a22

.. a1
. n
... a2

(1.1.2)

n

.... ....

an1 a
n

... ...
... ann

2

Trong đó Sn

là tập tất cả các phép thế bậc n và sgn  là dấu của phép thế



( sgn  nhận giá trị là 1 nếu là phép thế chẵn, sgn  nhận giá trị là -1 nếu





 là phép thế lẻ).
* Các tính chất của định thức
a, Tính bất biến
'

''

a11

a12

...

a  a1 j

...

a21

a 22

...

a'  a

...

1j
''


n

a

a2

1

n

...
a
n1
2

...
a
n

...
...

...

...

...

a ''
nja

...

a

'

nj

a'
a'

j

a

11
j

21

...
a'
n1

b, Tính thuần nhất

nn

...

a

12

a
22

n2

a

1

...

...
a

...

a

1n

...
2

...
...

...
a
nj
nn

a

a

...

...

11

a
a
2n

...
...

a
a

12

...
a
n1
2

22

...
a
n

a

1j

...
21
j

...

a
''

1n

...

a
''
2

...
...

...
a
''
nj

a

2n

...
...

...
a
nn

.


a11

a1

a21

2

...

a22
...

an1 a
n2

.. ka1
. j

.. ka2
. j
... ...

.. a1
a1
. n
1
.. a2
a
. n k 21
... ...
...

..
.

..
.

kan
j

a1
2

a22

... a1
... j

a2

... a1n
... a2n

j

...

...

... an

an

an

an

n

1

2

...

...

...

... ann

j

(Với k là hằng số).
c, Định thức của ma trận đơn vị bằng 1
1
0
d et En 
...
0

0
1
...
0

...
...
...
...

0
0
1.
...
1

d, Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì định thức

đổi dấu.
e, Nếu định thức có hai dòng (hoặc hai cột) giống nhau thì định thức đó bằng 0.
f, Định thức không thay đổi nếu nhân một cột hoặc một dòng của định thức với
một vô hướng rồi cộng vào cột hoặc dòng khác của nó.
g, Hai ma trận chuyển vị của nhau thì có định thức bằng nhau.
h, Từ ma trận A xóa đi dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A ta nhận được ma
Ai là ma trận con của ma trận A . Kí hiệu Aij*
j
1

i
j

Aij ; 1 i, j

là phần

n 

bù đại số của phần tử a trong ma trận A thì khi đó định thức có thể được tính
i
theo phần bù như sau.

j
n

A 
i1
n

*
*


j1


aij

aij Aij

Aij

.
1.1.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính


Cho hệ phương trình tuyến tính n ẩn x1, x2 ,..., xn
n
⎧
a
x
⎪ ij j bi
⎨j1
⎪
i⎩
1, n

(1.1.3)

Trong đó các aij;b là các phần tử cho trước thuộc trường số thực R, a được
i
j

i

gọi là các hệ số của ẩn,
bi

là các hệ số tự do, ma trận A aij

Định lí 1.1.1 (Qui tắc Cramer). Nếu A  aij
0
có một nghiệm duy nhất được cho bởi

⎩

là ma trận các



hệ số.

⎧
⎪x j
⎨

nn

thì hệ phương trình tuyến tính

det A


(1.1.4)

j

det
A

⎪j 1, n
Trong đó Aj là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ j của A





bằng cột hệ số tự do bi ; i 1, n .
Định lí 1.1.2 (Định lí loại trừ). Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
⎧ n
⎪ aij x j 0
⎨j1
⎪
⎩i 1, n
Hệ (1.1.5) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ
khi

A 0 .

(1.1.5)
1.1.3 Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập khác rỗng, trên X có hai phép toán cộng và
nhân như sau :
Phép cộng x, y
X

ta có x y X .


Phép nhân vô hướng x X ,R ta có x X . Khi đó X cùng với hai phép
toán này được gọi là không gian vectơ trên trường số thực R nếu nó thỏa mãn
các tiên đề sau:
a, x, y
X

ta có x y y x ;

b, x, y, z
X

ta
có

x y z x y z ;

c, Tồn tại duy nhất 0 X : x 0 0 x x x X ;
d, Với mỗi x X , tồn tại duy nhất  x  X : x  x  x x
0 ; e, ,  R , x X ta có  x x ;

f,x y x y Rx, y X ;
g, , R,x
X

ta có x x y ;

h,1.x x x X .
Chú ý Người ta cũng thường dùng thuật ngữ không gian tuyến tính thay cho
thuật ngữ không gian vectơ.
Định nghĩa 1.1.2
a, Tổ hợp tuyến tính của các vectơ

x1, x2 ,..., xn
X

là biểu thức có dạng

1x1 2 x2 ... n với  R, x X .
i
i
xn

b, Cho vectơ

x X ,
nếu

x 1x1  2 x2 ... n với i R, xi
xn
X

vectơ x biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ

thì ta nói
x1, x2 ,..., xn


và đẳng thức
x 1x1 2 x2 ...  n
được gọi là một biểu thị tuyến tính của x qua các
xn
vectơ x1, x2 ,..., xn .
Định nghĩa 1.1.3 Cho n vectơ x1, x2 ,...,
xn
số thực R.

của không gian vectơ X trên trường


11
Một số vấn đề về lý thuyết nội suy

Hệ các vectơ x1, x2 ,...,
xn

1x1  2 x2 ... n xn

được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức

chỉ xảy ra khi 1  2 ... n 0 .

0

Ngược lại hệ các vectơ x1, x2 ,...,
xn

được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn

tại 1,2 ,...,n R không đồng thời bằng 0 sao cho 1x1 2 x2 ... n xn 0 .
Định nghĩa 1.1.4
a, Một hệ vectơ của X được gọi là một hệ sinh của X nếu mọi vectơ của X
đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
b, Nếu X có một hệ sinh hữu hạn thì X được gọi là một không gian hữu hạn
sinh.
c, Một hệ sinh độc lập tuyến tính trong không gian vectơ X thì được gọi là một
cơ sở của X .
Định nghĩa 1.1.5 Số vectơ trong mỗi cơ sở của không gian vectơ hữu hạn sinh
X được gọi là số chiều của X . Nếu X không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần
tử thì X được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều.
1.1.4 Đa thức
Định nghĩa 1.1.6 Đa thức biến z là hàm có dạng
Pn z  a

0 n

z
Trong đó


n R,

ai i 0,

1 n1

a z

...
an

a0 0 .Hệ số
a0

là bậc của đa thức và được kí hiệu là

(1.1.6)

được gọi là hệ số cao nhất, n gọi


12
Một số vấn đề về lý thuyết nội suy

deg P z n . Phần tử 0 được xem
như đa
thức có tất cả các hệ số bằng 0 và được gọi là đa thức không. Ta qui ước bậc của
đa thức không là 0. Tập hợp tất cả các đa thức có bậc
n

được kí hiệu là Pn.

Định lí 1.1.3 (Định lí cơ bản của số học) Mọi đa thức bậc n 1 luôn có nghiệm
phức.


Định lí 1.1.4 (Định lí nhân tử hóa).
Nếu P
n

z 

là đa thức bậc n thì tồn tại n số phức z1, z2 ,...,
zn

P z a z a z
a
n

n

0

n1

...

1

a
z

n

0

1

2

n



0



1

2

z

(1.1.7) được gọi là khai triển chuẩn tắc của

0 .

a
n

0

sao cho

z z  1 z  2 ...z
z

z

thì có tương ứng các số nguyên

thỏa mãn 1 2 ...  r
n
P z a

,

z z z ...z

Nếu đa thức có r nghiệm phân biệt z1, z2 ,...,
zr
dương 1,2
,...,r

sao cho

r





(1.1.7)

r

P x , các số tự
nhiên

1,2 ,...,r

gọi là bội tương ứng của các nghiệm z1, z2 ,..., zr .
z là nghiệm bội  của đa thức P
n

z 

khi và chỉ khi

'
Pn zi P
n i z ... P
n

i 1
i

 
P z 0 .
z 0,

n
i

(1.1.8)

1.1.5 Phiếm hàm tuyến tính và không gian đại số liên hợp
Định nghĩa 1.1.7 Cho hai không gian vectơ
f :X
Y
a, x, y
X

X ,Y trên trường số thực R. Ánh xạ

được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn các điều kiện sau.
ta có f x y



f

f y .

x 

(1.1.9)


b, x X ,R ta
có

f x f x .

Định nghĩa 1.1.8 Ánh xạ tuyến tính f từ không gian tuyến tính X vào tập số
thực R được gọi là phiếm hàm tuyến tính trên X .
Định nghĩa 1.1.9 Cho X là không gian tuyến tính và f1, f2 là hai phiếm hàm
tuyến tính xác định trên X . Tổng của

f1, f2 và tích vô hướng của  với f1 xác

định bởi
a,f1


f2 x  ,x
x x  X.
f2

f1

b,f1 x f1 x  ,x  X.

(1.1.10)


Định nghĩa 1.1.10 Cho X là không gian tuyến tính, tập các phiếm hàm tuyến
tính xác định trên X được gọi là không gian đại số liên hợp của X và được kí
hiệu là X * .
Định lí 1.1.5 Nếu X là n chiều thì X * cũng là n chiều.
Chứng minh

Giả sử

x1, x2
,...xn

là một cơ sở của X . Đặt fi : X R là phiếm hàm tuyến tính

xác định bởi
fi  x j ij ⎧
⎨

Vậy ta có hệ f , ,...,
1
f2 fn

⎩0

là độc lập tuyến tính trong X * .

Thật vậy, giả sử phản chứng hệ f1, f2 ,...,
fn

i

i  j

X * .

Ta sẽ chứng minh hệ f , f ,...,
1 2

fn

hệ n số thực

i  j

là phụ thuộc tuyến tính khi đó tồn tại

không đồng thời bằng 0 để

1 f1 2 f2 ... n fn

(1.1.11)

0
Giả sử i0
có

là chỉ số thỏa mãn  0 , khi đó tác động hai vế của (1.1.11)
lên
i
0

 1 f1 2 f2 ... n fn
  xi

0  0
xi

xi thì

0


i . fi
0

 x 0
0

i

0

0

0

i .1 0  0
0

0

Trái với điều kiện  0 .
i
0

Vậy hệ f , f ,...,
1 2
fn
Giả sử ta có

là độc lập tuyến tính trong X * .

n 1 phiếm
hàm

f1, f2 ,..., fn1 . Xét hệ  n
1

n

phần tử trong R


⎣⎡fi x1  , f i x2  ,..., f i xn  ⎦⎤i
1, n 1
n

Vì dim R
n

(1.1.12)

cho nên hệ (1.1.12) là phụ thuộc tuyến tính, do đó tồn tại các số

1,...,n1 không đồng thời bằng không sao cho
1 ⎣⎡f1 x1  ,..., f1 xn  ⎦⎤...  n1 ⎡⎣f n1 x1  ,..., f n1 xn  ⎤⎦0 

 0,0,...,0 .





Vì vậy 1 f1  2 f2 ... n1 fn1 xi 0 i 1, n .
Bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính ta được :

1 f1 2 f2 ... n1 fn1  x 0x X
 f1, f2 ,..., fn1 là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Vậy chiều của X * là n (điều phải chứng minh).
Định lí trên cho ta thấy rằng trên một không gian tuyến tính n chiều X , mọi
phiếm hàm tuyến tính đều có thể biểu diễn được như một tổ hợp tuyến tính của
n phiếm hàm độc lập tuyến tính cố định.
1.2 Một số vấn đề về phân loại hàm số thực
Trong mục này luôn qui ước hàm f xác định trên tập con D của R và lấy giá trị
trong R.
1.2.1 Hàm bị chặn
Định nghĩa 1.2.1 Hàm f được gọi là bị chặn trên đoạn  a,b nếu tồn tại hằng số
M sao cho
f x M

x   a,b 

(1.2.1)


Nếu không tồn tại hằng số thỏa mãn điều kiện (1.2.1) thì hàm số được gọi là
không bị chặn trên đoạn  a,b  .
1.2.2 Hàm liên tục

Định nghĩa 1.2.2
Cho
hàm

f

x

xác định trên đoạn  a,b  . Hàm
số

điểm x
0
  a,b nếu

lim
xx0

f

x 

f

x

được gọi là liên tục tại

f x0

(1.2.2)



Nếu f xác định trên đoạn  a,b và liên tục tại x  a,b  thì với mọi   tồn
0
0
tại
 0

chỉ phụ thuộc vào  sao cho
x

thỏa mãn x x0


f x  f x0

ta có

(1.2.3)



Nếu f liên tục tại mọi điểm

x0   a,b thì ta nói f liên tục trên đoạn  a,b  .

Ta gọi C  a,blà tập tất cả các hàm số giá trị thực và liên tục trên đoạn  a,b  .

Định nghĩa 1.2.3 Hàm f liên tục đều trên đoạn  a,b  nếu với mọi   cho
0
trước tồn tại

 
0

x x0


ta có

chỉ phụ thuộc vào  sao cho x, x0
  a,b 
f

x

f x0



1.2.4 Hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz

thỏa mãn

(1.2.4)


Định nghĩa 1.2.4 Cho f

dương M và  sao cho
f x1 

Khi đó f

x

x

xác định trên đoạn  a,b và giả sử tồn tại hằng số


f x2 M x1 x2 x1, x2
 a,b 

(1.2.5)

được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc  trên  a,b  . Lớp

các hàm đó được kí hiệu là Lip. Nếu hằng số M đã xác định thì ta còn kí hiệu
là LipM .
Định lí 1.2.1