Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngưng tụ của vật liệu siêu dẫn

Đỗ Thị
Thắm

1

Luận Văn Tốt
Nghiệp

Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau
đại học, Ban chủ nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trờng Đại
học S phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện và giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Đặc biệt tôi xin
gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới PGS. TS Lu Thị Kim Thanh đã tận tình hớng dẫn, động
viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
thiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè,
những ngời
đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm
luận văn. Mặc dù tôi đã rất cố gắng, song bản luận văn này
không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận
đợc sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn.
Tháng 11 năm
2011 Tác giả
đỗ thị thắm

Trờng ĐHSP Hà Nội
2

Lớp Cao Học K13 VLLT&VLT

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu
trong luận văn này là trung thực và không trùng lập với các
đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho
việc thực hiện luận văn này đã đợc cảm ơn và thông tin
trích dẫn trong luận văn đã đợc chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả

đỗ thị thắm


Môc lôc
Tran
g Lời cảm ơn........................................................................................

1

Lời cam đoan....................................................................................

2

Mục lục............................................................................................

3

Më

®Çu.........................................................................................

4

Néi

dung.....................................................................................

6

Chương 1: Ph©n bè thèng kª Bose – Einstein và nhiệt độ ngưng tụ
6
1.1. Thèng kª Bose – Einstein......................................................

6

1.2.
ng kª Bose – Einstein theo lý thuyÕt trường lượng tử

Thè
9

1.2.1.
u diễn số hạt của dao động tử điều hßa tuyÕn tÝnh

Biể
9

1.2.2.To¸n tử sinh hạt và hủy hạt Boson.................................
17
1.2.3. Thèng kª Bose - Einstein theo lý thuyÕt trường lượng

19
tử
1.3 Nhiệt độ ngưng tụ Bose – Einstein...........................................
21
Chương 2: Ph©n bè thèng kª Bose – Einstein biến dạng q và
nhiệt độ
ngưng
tụ............................................................................................

29

2.1. Lý thuyÕt q - số.................................... ..................................
29
2.2 Thèng kª Bose – Einstein biÕn dạng q.....................................
33
2.3 ¸p dụng thèng kª Bose – Einstein biến dạng q nghiªn cứu
hiện
tượng ngưng tụ Bose –
Einstein........................................................

35


I. Mở đầu
1. Lý do chọn
đề tài
Đầu thế kỷ XX, Einstein sau khi xây dựng xong thống kê
Bose - Einstein, trên cơ sở đặc điểm của hệ các hạt đồng
nhất Boson là số hạt ở trong cùng một trạng thái có thể tùy ý
chứ không nh các Fermion phải tuân theo nguyên lý loại trừ

Pauli. Ông đã tiên đoán có tồn tại một trạng thái vật chất
đặc biệt đó là trạng thái ngng tụ Bose - Einstein. Kể từ
đó tiên đoán của Einstein đã đợc ứng dụng giải thích các
hiện tợng vật lý nh hiện tợng siêu dẫn, siêu chảy... và đã thu
hút đợc nhiều nhà vật lý quan tâm. Từ thực nghiệm các
nhà vật lý đã tìm đợc nhiệt độ chuyển pha của một số
vật liệu siêu dẫn. Năm 2001 ba nhà vật lý ngời Mỹ đã bằng
thực nghiệm tạo ra trạng thái ngng tụ với kim loại kiềm, cả ba
nhà vật lý đã đợc trao giải Nobel. Phát minh này đã mở ra các
công nghệ mới cho khoa học.
Từ trớc đến nay, các kết quả nghiên cứu bằng lý thuyết
để tính nhiệt
độ ngng tụ đều dùng phân bố thống kê Bose - Einstein.
Thống kê này là áp dụng cho hệ khí lý tởng nên khi ta áp
dụng cho hệ khí thực thì có sự sai khác giữa lý thuyết và
thực nghiệm. Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi đã dùng
phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử để xây dựng phân bố
thống kê Bose - Einstein biến dạng q và áp dụng phân bố
thống kê Bose - Einstein biến dạng q này để tìm nhiệt độ
ngng tụ cho các vật liệu siêu dẫn. Dới sự hớng dẫn của cô giáo
PGS- TS - Lu Thị Kim Thanh, chúng tôi đã thực hiện luận văn


“Ph©n bè thèng kª Bose - Einstein biÕn d¹ng q víi tr¹ng
th¸i ngng tô cña vËt liÖu siªu dÉn”.
2. Môc ®Ých nghiªn cøu
- X©y dùng hµm ph©n bè Bose - Einstein trong trêng hîp
biÕn d¹ng.

- Nghiên cứu trạng thái ngng tụ Bose - Einstein, tìm đợc
giá trị của nhiệt độ ngng tụ Bose - Einstein đối với vật liệu
siêu dẫn cụ thể và so sánh với kết quả chính tắc.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng thống kê Bose - Einstein bằng phơng pháp lý
thuyết trờng lợng tử.
- áp dụng thống kê Bose - Einstein biến dạng q nghiên
cứu trạng thái ngng tụ Bose - Einstein.
- Tính nhiêt độ ngng tụ của vật liệu siêu dẫn kẽm.
4.Đối tợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
- Các hạt có Spin nguyên - các hạt Boson và vật liệu siêu
dẫn.
5.Phơng pháp nghiên cứu
- Phơng pháp của lý thuyết trờng lợng tử.
- Phơng pháp giải tích toán học.
- Phơng pháp tính số bằng phần mềm Mathematica 7.0.
6.Những đóng góp mới của đề tài
Đề tài sau khi hoàn thành sẽ:
- Xây dựng đợc lý thuyết hàm phân bố thống kê Bose Einstein trong trờng hợp biến dạng q.
- Tính đợc nhiệt độ ngng tụ Bose - Einstein phụ thuộc
vào thông số biến dạng q và so sánh với kết quả chính tắc.


II. Nội dung
Chơng 1
Phân bố Thống kê Bose Einstein và
nhiệt độ ngng tụ

Trong chơng 1, chúng tôi trình bày việc xây dựng
phân bố thống kê Bose Einstein bằng hai phơng pháp

Gibbs và lý thuyết trờng lợng tử. áp dụng phân bố thống kê
Bose - Einstein để nghiên cứu về nhiệt độ ngng tụ Bose
Einstein.
1.1. Thống kê Bose Einstein.
Để xây dựng phân bố thống kê Bose - Einstein này
đồng nghĩa với việc ta cần tìm công thức tính số hạt trung
bình trong mỗi trạng thái lợng tử đơn hạt.
Để tính đợc số hạt trung bình đó thì ta cần tìm đợc
xác suất trạng thái của cả hệ với điều kiện

N
cả hệ ta
xét.

Trong
đó

i

N const

(i 1, 2,...)

i

Ni là số hạt ở trạng thái lợng tử i và N là số

hạt của

Xét mô hình hệ mở tổng quát tức là hệ có thể trao

đổi cả năng lợng và vật chất với môi trờng. Số hạt của hệ có
thể nhận giá trị từ 0 đến với xác suất khác nhau. Khi
hệ cân bằng nhiệt động với môi trờng thì số hạt của hệ
chỉ thăng giáng không đáng kể xung quanh giá trị trung
bình và số hạt trung bình đó đợc xem là số hạt thật của hệ.


Ta có thể xét hệ điện tử nằm trong những điều kiện
cân bằng nhiệt động với số điện tử có thể thay đổi (thoát
qua mặt phân cách ra ngoài hoặc từ ngoài vào), miễn là số
điện tử trung bình bằng N . ở đây thì ta sẽ sử dụng phân
bố chình tắc lớn hay phân bố Gibbs suy rộng để tính.


Theo phân bố Gibbs suy rộng, ta có xác suất của trạng
thái N , Nk là
trạng thái của hệ với số hạt tổng cộng của hệ là N
trong đó có Nk

hạt ở
trạng

thái k là:



N ,Nk

Trong đó

+



1

E

N ,N

.N
k


Z gr
.e

(1.1)

kT

là tổng thống kê suy rộng.

Zgr

+ EN , N là năng lợng ứng với trạng thái N , N
k
và
k

k

N Nk

đợc tính bằng:





E,

k

i

.



(1.2)

N

i

k

.N

i

Với i là năng lợng của một hạt ở trạng thái đơn hạt
i.





i k

kiện ràng
buộc:

là ký hiệu cách lấy tổng theo
các chỉ số i k

N

(1.3)

i

N N k
i k

Thay (1.2) vào (1.1) ta đợc:

1



N ,Nk



1

N



k

Zgr

.e
kT

với
điều



k

1

kT



N

k
i ik


§Æt

N ,N

e

Zgr




k

e




 e

Nk
















i .N i
k 
ik


N i

.N k


k




N k 





 k 
.N k










i
ik



.Ni


e

k

Nk

 e
 e
k

i .Ni N 

ik

e
Nk

 e

Nk





 N

 N ,Nk 





k .N k 


Nk

i
 k Ni
k

 N k

E

gr

(1.4)





k


k

Ta cã Z




e

  1 .

1 ,
k ta cã:
T

k

(1.5)

  k   .Nk

  i .Ni



  i .Ni

i k

Thay (1.5) vµo (1.4) ta ®îc:

Ni

i

Ni

N , N e

k N k
i k

k


e






e

k N i

.Ni



i
i

Ni

Ta sẽ tìm xác suất N k hạt nằm trong trạng thái
k là
cộng tất cả các xác

suất
N ,N
chứ Nk .
a
Tức
là:


k

N




e

theo mọi tập hợp các
số Ni

k

bằng
k

N

(i 1,
2,...)

k N k

e



.Ni

i

Ni

i k

e

i

.Ni

i

Ni

Hoán vị phép lấy tổng và tích ở tử
số ta đợc:

e

k N k

k N k

e




i

.Ni

N

i k

Ni

k

e

i

e

k

e



.Nk

.Ni

i

Ni

Nk

Số hạt trung bình trong trạng thái lợng tử k là:
k N k

Nek



N k Nk ek .Nk
NkN

Từ đó suy
ra:

Nk



k

Nk

cách

cùng


Nk

1


ln e




k

(1.6)

.Nk

Nk


Nh vậy thì để tính đợc số hạt trung bình trong trạng
thái lợng tử k
với năng lợng
k

ta cần tính tổng ở vế phải của (1.6).

Thật vậy, đối với các hạt
Boson ta có

Nk 0,1, 2... nên:



e
Nk

k .Nk
Nk 0

e

k .Nk



Để cho tổng này hội k , k min

tụ thì
. Tức là

(1.7)


Do
đó:


.N

e



k





1e

k



N k 0

k

1







Thay vào (1.6) ta đợc:
N

1 ln
1

e k
1

e k 1


k

1



(1.8)

k

e

1

kT

Biểu thức này gọi là phân bố Bose - Einstein. Biểu thức
này chỉ đúng
trong trờng hợp các mức năng lợng k
biến và bội suy
biến là

không suy biến. Nếu
mức k

g tức là ứng với năng lợng

g trạng





k có

k

k

suy

thái

lợng tử khác nhau thì khi đó (1.8) đợc viết lại là:
(1.9)

g

Nk


k


e

kT

k

1

1.2. Thống kê Bose Einstein theo lý thuyết trờng lợng tử.
1.2.1.Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến
tính.
Dao động tử điều hòa một chiều là chuyển động của
một chất điểm có
khối lợng m dới tác dụng của lực chuẩn

đàn hồi f
đờng thẳng nào đó.


k
x

dọc theo
một


To¸n tö
Aˆ

lµ mét quy t¾c hay mét phÐp to¸n mµ nhê nã
ta cã thÓ biÕn

®æi hµm thµnh hµm . Ta nãi
r»ng to¸n tö Aˆ
hµm vµ
viÕt r»ng

t¸c dông lªn hµm
cho ta

Aˆ.

Ta cã biÓu thøc to¸n tö Hamiltonian cña dao ®éng tö
®iÒu hßa mét chiÒu [1], [6]:
2

2

Hˆ  pˆ  m xˆ
x

2
m



2

2

Trong ®ã xˆ qˆ x lµ to¸n tö täa ®é.

(1.10)


p p i
x
dx

d

là toán tử xung lợng.

và
Giữa q thỏa mãn hệ thức giao hoán:

p

p , q p q
qp i

x x

d

dx

p ,
q
d

i


i

d
dx
d

( x) ix

d

d
x ix

dx

dx

i

i

dx
p ,

(1.11)

dx

q i

Ta có biểu thức toán tử
Hamiltonian theo p
2

và nh sau:
q

2

H p m x
x

2
m



(1.12)

2

2

p i m
2

Ta
đặt:


2m

q



a

a

a

a





Khi đó biểu thức toán tử
Hamiltonian theo a
H p
2
x

2m

m

và a nh sau:

2

x 2

i
1
2
m

2
2m

a
a 2




2

m


2



a a 2


2 2m




1 

 aˆ aˆ 2  aˆ aˆ 2 



2 12





aˆ aˆ  aˆ aˆ  aˆ aˆ  aˆ


aˆ  
2 2 
1


 2aˆaˆ 


2aˆ aˆ
2 2







 aˆaˆ  
aˆ aˆ 

2


Tõ biÓu thøc
cña pˆ

vµ ta tÝnh ®- vµ aˆ  nh sau:
qˆ
îc aˆ

(1.13)


m

 aˆ
aˆ 
2

 
pˆ
2
aˆ aˆ  

m
m
ipˆ
pˆ i
i



2





qˆ

2m



qˆ 
aˆ
aˆ
aˆ




2m


2m 
 aˆ
qˆ





m
pˆ 


aˆ


 qˆ i

2
m




m 
pˆ 


aˆ 
 qˆ i


2
m





HÖ thøc giao ho¸n
gi÷a aˆ

vµ aˆ  nh sau:

 aˆ,




aˆ aˆaˆ aˆ

aˆ
m 
m 
m 
m 
 pˆ  qˆ

qˆ

qˆ
ˆ
ˆ
ˆ qˆ
p
p
p



i

i

 i
 i 

2
m
m
m 2
m


2
2


1
2









i









 2ipˆ qˆ 2iqˆpˆ  pˆ qˆ qˆpˆ 1



Suy ra

(1.14)

 aˆ,


aˆ 
1

Tõ ®ã biÓu thøc to¸n tö Hamiltonian
cã d¹ng:


1
ˆ

H
  aˆ aˆ 





2



(1.15)



Nˆ 

aˆ aˆ

Ta ®Æt



[1], [5]

(1.16)

Khi ®ã ta cã c¸c hÖ thøc giao ho¸n sau:
+ Nˆ , aˆ Nˆ aˆ aˆNˆ aˆ aˆaˆ aˆaˆ aˆ  aˆ aˆ
aˆaˆ



 aˆ 1.aˆ aˆ

Suy ra Nˆ aˆ aˆ

(1.17)

 Nˆ 1

+  Nˆ , aˆ Nˆ aˆ  aˆ Nˆ aˆ aˆaˆ  aˆ aˆ aˆ




aˆ  aˆaˆ aˆ aˆ

aˆ

Suy ra Nˆ aˆ  aˆ




Nˆ 1





.1 aˆ



(1.18)


Ký hiệu n là véc tơ riêng của
toán tử N trình hàm riêng, trị riêng

ứng với trị riêng n thì
phơng

khi đó là:
N n
n n

(1.19)

n N n n n n n n
n
N
n a a n
nn
nn
nn
Hay n

(1.20)
n
a



2



a

d
r
a

0
n

n r

2
n n n d r
0
r

Ta có
:

nê
n

n 0

(1.21)



Vậy các trị riêng của
toán tử

N là các số không âm.

Cho a tác dụng lên véc tơ trạng thái n
tơ trạng thái
a n . Sau đó tác dụng

toán tử
N a n

a
1



N

n

N lên véc tơ này ta có:

n
aN a

n

Nghĩa là véc tơ
tử
N

trạng thái ứng với trị
riêng n 1 .
Do đó a n ; n ...
2

a

3

ta thu đợc véc

a n

n

1 n

1 a n

(1.22)

a n cũng là véc tơ trạng thái riêng

của toán


cũng là véc
tơ trạng thái

c a
n
ủ toá

tử N

ứng với
trị

riêng n 2 , n 3,...
Tơng tự cho toán
tử

tác dụng lên véc tơ
trạng thái

a
n

ta
thu

N

đợc:
N a


n

a
1



N

n



a
N

Nghĩa là véc tơ
tử

N

trạng thái ứng với trị
riêng n 1.

n

a n

a
n



a



1n

n

n 1
a



(1.23)

n

cũng là véc tơ trạng thái riêng
của toán


Do đó

a n ;3
2 a

n ... cũng là véc tơ trạng thái của
toán tử N

ứng với
trị

riêng n 2 , n 3...
Vậy nếu n là một véc tơ riêng của
toán tử N
a

p

cũng là một véc tơ riêng của
toán tử N
n

ứng với trị riêng n
thì

ứng với trị riêng n
p

p 1, 2, 3....
Từ đó ta thấy khi n là một trị riêng của thì chuỗi các
số
toán tử N
không
âm

n 1, n 2, n 3,... cũng là trị

riêng của toán tử

N . Vì chuỗi này

giảm

dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất. Khi đó:
a nmin 0

Do a
nmin

(1.24)

0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị trái
riêng nmin 1 nmin

với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất.

Từ (1.15) ta
a a
có:


nmin

Theo định
nghĩa thì N

nmin
N 0
nmin

nmin

(1.25)

(1.26)

nmin

Từ (1.25) và (1.26) ta thấy trị riêng nhỏ nhất
của toán tử N
giá trị bằng 0. Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng
nhỏ nhất của N

là nmin
có
đợc ký

hiệu


là 0 . Véc tơ trạng thái này thỏa mãn
điều kiện a 0

0 .

Ta có thể rút ra các định
lý sau:
N là các số không âm.
+ Các trị riêng của
toán tử
+ Nếu n là một véc tơ riêng của
toán tử N
thì a n cũng là một véc tơ riêng của
p
toán tử N

p 1, 2,
3... và

a
n

p

n

ứng với trị riêng n

p

cũng là một véc tơ riêng của
toán tử N

n p (nếu chúng khác 0).

ứng với trị riêng

ứng với trị
riêng


+ Trị riêng nhỏ nhất của
toán tử N

là nmin có giá trị bằng 0.
Véc

tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ
nhất của N

đợc ký hiệu là 0 . Véc
tơ

trạng thái này thỏa mãn điều 0 .
kiện a 0
Ta có:
a
+0

tỷ lệ với véc tơ riêng 1
của N



Thật vậy ta
có: N
Mà
a

tức
là



n
1
1

(i)

là một véc tơ riêng của
toán tử N

0

N a

0
1.a
0

ứng với trị riêng n
1 .

ứng với trị riêng 0
1 1 ,

(ii)

Từ (i) và (ii) ta thấy:
ứng với trị riêng 1.

1 là một véc tơ riêng của
toán tử N

a

Vì
vậy riêng



0 là một véc tơ riêng của
toán tử N

a
0

ứng với trị riêng 1.

phải tỷ lệ với véc tơ riêng 1 của
toán tử N

ứng với
trị

n 1 .
a

2

0 tỷ lệ với véc tơ riêng
toán tử N

2

của

ứng với trị
riêng


n 2 và tơng

a

0

tỷ lệ với véc tơ riêng n của
toán tử N

n

tự thì riêng n .
1
1


Mặt


N
có: khác ta H


a a
N



H


2

0

N

H 0





2

0

0
2

2

0 0 0

vì

N 0

E0 0


0
2

Nên: 0 là véc tơ riêng

của H

ứng với trị
riêng

ứng với
trị

1
E
0


2


1 là véc tơ riêng
của H

ứng với trị
riêng

1
E


1 2

1

......................................................................................
...
n là véc
tơ riêng
của H

ứng
riêngvớiE trị

n

1

n
.


2

Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có
năng lợng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lợng giữa hai
trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng một lợng tử
năng lợng

.

1

3

E 1

1


2
2
1
5

E 2

2


2
2
E12 E2 E1

Nếu ta lấy gốc tính năng lợng là E0
+ Trạng thái 0

thì có thể coi:

là trạng thái không chứa lợng tử

nào và đợc gọi là trạng thái chân không.
+ Trạng thái 1 là trạng thái chứa 1 lợng tử.

+ Trạng thái 2 là trạng thái chứa 2 lợng tử.

+ Trạng thái n là trạng thái chứa n lợng tử.
Toán
tử

N có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một

đơn vị đợc