Phương pháp laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức

Lài cám ơn
Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS. Nguyen Văn Hào, ngưòi đã đ%nh
hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoàn thành lu¾n văn này.
Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, các thay cô
giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i
2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p.
Nhân d%p này tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè
đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi trong quá trình
hoc t¾p và hoàn thành lu¾n văn.
Hà N®i, tháng 7 năm 2013
Tác giá

Nguyen Anh Vũ

i


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào, lu¾n văn
Thac sĩ chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài “Phương pháp Laplace giái
phương trình vi phân thưàng vái h¾ so đa thNc” đưoc hoàn thành bói
nh¾n thúc cna bán thân tác giá.
Trong quá trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá đã ke thùa nhung thành
tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
Hà N®i, tháng 7 năm 2013
Tác giá

Nguyen Anh Vũ

ii

Mnc lnc
Má đau

1

1 M®t so kien thNc chuan b%
4
1.1 Hàm bien phúc........................................................................................4
1.1.1 So phúc và m¾t phang phúc......................................................4
1.1.2 Các t¾p hop trong m¾t phang phúc..........................................5
1.1.3 Hàm chính hình..........................................................................6
1.1.4 Chuoi lũy thùa............................................................................7
1.2 Tích phân phúc.....................................................................................10
1.3 Lý thuyet th¾ng dư..................................................................................16
1.3.1 Không điem và cnc điem.............................................................16
1.3.2 Th¾ng dư và cách tính.............................................................18
1.3.3 Tích phân vòng.........................................................................19
1.4 Hàm giai thùa........................................................................................22
1.5 Hàm Zeta-Riemann...............................................................................23
2 Phương pháp Laplace giái phương trình vi phân thưàng vái h¾
so đa thNc
27
2.1 Ý tưóng cna phương pháp Laplace......................................................27
2.2 Đa thúc Hermite....................................................................................28
2.3 Hàm Hermite.........................................................................................30
2.4 Hàm Bessel...............................................................................................33
2.4.1 Bieu dien tích phân...................................................................33
2.4.2 Hàm Bessel kieu thú nhat.........................................................35
2.4.3 Kieu hàm thú hai và thú ba......................................................37

2.5 Dang tương tn cna hàm Bessel............................................................41
Ket lu¾n

43

Tài li¾u tham kháo

44

iii


Má đau
1. Lý do chon đe tài
Đe tìm nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen tính ta xác đ%nh m®t
h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình vi phân thuan nhat cùng vói vi¾c tìm m®t
nghi¾m riêng cna phương trình đó. Nghi¾m tong quát cna phương trình này là
tong nghi¾m riêng cna phương trình vói nghi¾m tong quát cna phương trình vi
phân tuyen tính thuan nhat tương úng. Nhưng cho đen nay, ngưòi ta cũng chí
đưa ra đưoc quy trình h¾ thong đe xây dnng h¾ nghi¾m tong quát cna phương
trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so. Đoi vói phương trình vi phân tuyen
tính mà h¾ so không phái là hang so, vi¾c tìm nghi¾m ó dang to hop cna các
hàm so sơ cap cna m®t so phương trình vi phân khá khó khăn (neu không muon
nói là không the). Đieu này cũng xáy ra ngay cá khi phương trình vi phân có
dang rat đơn gián. Chang han, như phương trình dưói đây
ytt − 2xyt + y = 0.

Đó là phương trình vi phân cap hai vói h¾ so là hàm so cna m®t bien đ®c l¾p,
nhưng ta không the tìm đưoc nghi¾m riêng dưói dang m®t hàm so sơ cap. Tuy
nhiên, vi¾c giái các dang phương trình như phương trình trên đây là rat quan

trong vì đây là m®t trong rat nhieu các bài tán náy sinh tù các van đe thnc
tien, chn yeu là các bài toán trong lĩnh vnc v¾t lý. Đieu đó, se đưoc chúng tôi
đe c¾p trnc tiep trong lu¾n văn ve các bài toán liên quan tói hàm Hermite, hàm
Bessel. . . . M®t trong các phương pháp có the giái quyet đieu này là phương
pháp Laplace, cho ta bieu dien nghi¾m cna các phương trình này dưói dang tích
phân. Vói phương trình vi phân
n
.

(ak + bkx) y(k)(x) = 0,

(1)

k=0

sau khi sú dung phương pháp Laplace, nghi¾m có bieu dien dưói dang tích

1


2

phân như sau

y(x)
=

¸
S(p)epxdp,

(2)

C

the (2) vào (1), chon đưòng cong (C) thích hop ta có công thúc (2) là nghi¾m
chính xác cna (1) vói
.¸ p
.
ex
(3)
F
(q)
A
S(p) =

G(p
)

trong đó
F (q) =

dq
G(q)

p

n.

n
k

a kq , F (q) =

k=0

.

b kqk.

k=0

Tù công thúc nghi¾m (3) ta có the giái quyet tri¾t đe bài toán ve hàm Hermite,
hàm Bessel,. . . . Đưoc sn đ%nh hưóng cna thay hưóng dan, em đã chon đe
tài: “Phương pháp Laplace giái phương trình vi phân thưàng vái h¾ so
đa thNc” .

2. Mnc đích nghiên cNu
Lu¾n văn nghiên cúu ve phương pháp Laplace giái phương trình vi phân thưòng
vói h¾ so đa thúc và tù đó giái quyet bài toán ve hàm Hermite, hàm Bessel.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu phương pháp ti¾m c¾n cna Laplace trong vi¾c giái phương trình vi
phân thưòng vói h¾ so đa thúc.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Phương pháp tong quan cna Laplace giái phương trình vi phân vói h¾ so đa thúc
và trình bày cu the qua m®t so các phương trình noi tieng xuat hi¾n tù các bài
toán v¾t lý như phương trình Bessel, phương trình Hermite.

5. NhÑng đóng góp cúa đe tài

Xây dnng cách tìm nghi¾m tù ý tưóng cna phương pháp Laplace giái phương
trình vi phân thưòng vói h¾ so là đa thúc.


6. Phương pháp nghiên cNu
Đoc tài li¾u, nghiên cúu các van đe liên quan, tù đó suy ra các kien thúc liên
quan tói muc đính can nghiên cúu.


Chương 1

M®t so kien thNc chuan b%
1.1
1.1.1

Hàm bien phNc
So phNc và m¾t phang phNc

So phNc là so có dang z = x + iy, vói x, y ∈ R và i là đơn v% áo mà i2 =
−1. Ta goi x là phan thNc và y là phan áo, đưoc kí hi¾u tương úng bói
x = Re z, y = Im z.

T¾p hop các so phúc đưoc kí hi¾u bói C và đưoc đong nhat vói m¾t phang R2
bói phép tương úng
C → R2
z = x + iy ›→ (x,
y).

M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox là trnc thNc, Oy là trnc áo. Phép c®ng
và phép nhân các so phúc đưoc thnc hi¾n m®t cách thông thưòng như các phép

toán trên t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 = −1. Vói z1 = x1 + iy1, z2 =
x+iy2, ta có
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

và
z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)
= x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2
= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2).

Vói moi so phúc z = x + iy, ta xác đ%nh modul cna so phúc z là giá tr% |z|
=

,

x2 + y 2. So phNc liên hap cna so phúc z = x + iy đưoc ký hi¾u và xác đ

%nh
bói z¯ = x − iy . Không khó khăn, ta có the kiem tra đưoc
Re z =

z+
z¯
2

, Im z =


2i

z − z¯

4


5

z¯ , vói z ƒ= 0.
1
2
2
|z| = z.z¯, = |z|
z

và

So phúc khác 0 đưoc bieu dien dưói dang cnc z = r.eiθ, vói r > 0, θ ∈ R đưoc
goi là argument cna so phúc z và đưoc ký hi¾u là arg z (argument cna so
phúc z đưoc xác đ%nh m®t cách duy nhat vói sn sai khác m®t b®i cna 2π).
Argument cna so phúc z thóa mãn 0 ≤ arg z < 2π đưoc goi là argument chính,
ký hi¾u là phz. Ta có
eiθ = cosθ + i sin θ.
. .
Bói vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hop bói chieu dương cna truc Ox và núa
. .
đưòng thang xuat phát tù goc toa đ® đi qua điem z. Cuoi cùng, ta lưu ý rang
neu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ).
1.1.2

Các t¾p hap trong m¾t phang phNc

Cho z0 ∈ C và r > 0, ta goi đĩa má tâm z0 bán kính r là t¾p hop

Dr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < r} .

Đĩa đóng tâm z0 bán kính r là t¾p hop
Dr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| ≤ r} .

Biên cna đĩa đóng ho¾c mó là đưòng tròn
Cr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| = r} .

Đĩa có tâm z0 = 0 và bán kính 1 goi là đĩa đơn v%, kí hi¾u là
D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} .

Cho t¾p Ω ⊂ C, điem z0 ∈ Ω đưoc goi là điem trong cna Ω neu ton tai r > 0
sao cho Dr(z0) ⊂ Ω. Phan trong cna Ω kí hi¾u là int Ω gom tat cá các điem
trong cna Ω. T¾p Ω là t¾p má neu moi điem cna nó đeu là điem trong.
T¾p Ω đưoc goi là t¾p đóng neu phan bù cna nó C\Ω là mó. Điem z ∈ C đưoc
goi là điem giái han cna t¾p Ω neu ton tai m®t dãy các điem zn ∈ C sao cho
zn ƒ= z và lim zn = z. Chúng ta có the kiem tra đưoc rang m®t t¾p Ω là đóng
n→∞

neu nó chúa moi điem giói han cna nó. Bao đóng cna t¾p Ω là hop cna Ω
và các điem giói han cna nó, ký hi¾u là Ω¯ . Biên cna Ω ký hi¾u là ∂Ω = Ω¯ \
int Ω.


T¾p Ω là b% ch¾n neu ∃M > 0 sao cho |z| ≤ M vói moi z ∈ Ω. Neu t¾p Ω là b%
ch¾n, thì ta xác đ%nh đưàng kính cna nó bói so
diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω} .
T¾p Ω đưoc goi là compact neu nó đóng và b% ch¾n. T¾p mó Ω ⊂ C đưoc
goi là liên thông neu không the tìm đưoc hai t¾p mó khác rong Ω1 và Ω2 sao
cho Ω = Ω1 ∪ Ω2. M®t t¾p mó liên thông trong C đưoc goi là m®t mien. T¾p

đóng F là liên thông neu không the viet F = F1 ∪ F2 ó đó F1 và F2 là các t¾p
đóng ròi nhau.
1.1.3

Hàm chính hình

Cho hàm phúc f (z) xác đ%nh trên t¾p mó Ω. Hàm f (z) đưoc goi là chính
hình
tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai giói han cna bieu thúc
f (z0 + h) − f
( z0 )
h

(1.1)

khi h → 0, ó đó h ƒ= 0 và h ∈ C vói z0 + h ∈ Ω. Giói han trên đưoc ký hi¾u
bói
f t(z0) và goi là đao hàm cna hàm f (z) tai điem z0. Như v¾y, ta có
f (z 0 + h ) − f (z 0 )
f t(z0) = lim
.
h→0
h

Hàm f goi là chính hình trên Ω neu nó chính hình tai moi điem cna Ω. Neu M
là t¾p đóng cna C, ta nói f là chính hình trên M neu f là chính hình trên m®t
t¾p mó nào đó chúa M . Hàm f chính hình trên C đưoc goi là hàm nguyên.
Hàm f (z) = z là chính hình trên t¾p con mó bat kỳ trong C và f t(z) = 1.
Th¾t
v¾y, ta có

f t(z0) = lim f (z0 + h) − f =
(z + h) − = 1.
h→0
( z0 )
z
lim
h→
h
h
0

Tù đó, ta suy ra đa thúc P (z) = a0 + a1z + ... + anzn chính hình trên m¾t
phang
C và
P t(z) = a1 + 2a2z + ... + nanzn−1.

Trong khi đó, hàm f (z) = z¯ là không chính hình trên toàn m¾t phang. Th¾t
v¾y, ta thay
f (z0 + h) − f (z0 )
z + h − z¯
z¯ + h¯ − z¯
h¯
=
=
=
h
h
h
h
không có giói han khi h →

0.


Tù đang thúc (1.1) ta thay hàm f (z) là chính hình tai z0 ∈ Ω neu và chí neu
ton
tai hang so a sao cho
f (z0 + h) − f (z0) − a.h = h.ψ(h)

(1.2)


vói ψ(h) là m®t hàm xác đ%nh khi h đn nhó và
lim ψ(h) = 0.

h→0

Dĩ nhiên, ta có a = f
t
(z0).
Giua khái ni¾m khá vi phúc và khái ni¾m khá vi thnc cna m®t hàm hai bien có
sn khác bi¾t đáng ke. Như ta đã thay hàm
f (z) = z¯

không khá vi phúc, nhưng dưói dang bien thnc hàm đó tương úng ánh xa
F : (x, y) → (x, −y)

khá vi theo nghĩa cna hàm hai bien thnc. Đao hàm cna nó tai m®t điem là ánh
xa tuyen tính đưoc cho bói đ%nh thúc Jacobian cna nó, ma tr¾n 2 × 2 các
đao hàm riêng cna các hàm toa đ®. Moi quan h¾ cna hai hàm khá vi đó đưoc
phán ánh qua ket quá dưói đây.

Đ%nh lí 1.1.1. ( Đieu ki¾n Cauchy-Riemann). Đieu ki¾n can và đú đe hàm
phúc f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khá vi tai điem z = x + iy là tai điem đó ton
tai các đao hàm riêng cúa các hàm u(x, y) và v(x, y), đong thòi các đao
hàm đó thoá mãn đieu ki¾n Cauchy - Riemann
∂u
(x, y) = ∂v (x,
∂x
y),
∂y

∂u

(x, y).

∂v
∂y

(1.3)

(x, y) = −

∂x
1.1.4

Chuoi lũy thNa

Chuoi lũy thùa là chuoi có dang
∞
.

anzn = a0 + a1z + a2z2 + ... + anzn + ...

(1.4)

n=0

trong đó an ∈ C; n = 0, 1, 2, ...
Chúng ta có nh¾n xét rang neu chuoi (1.4) h®i tu tai điem z0 nào đó,thì nó cũng
h®i tu vói moi z trong đĩa |z| ≤ |z0|. Hơn nua, ta cũng luôn biet rang luôn ton
tai m®t đĩa mó mà trên đó chuoi (1.4) h®i tu tuy¾t đoi.
.∞
n=
Đ%nh lí 1.1.2. (Hadamard). Cho chuoi lũy thùa
anzn. Khi đó, ton tai so
0
0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
(i) Neu |z| < R thì choi h®i tn tuy¾t đoi.


(ii) Neu |z| > R thì chuoi phân kỳ.
Hơn nua, neu ta quy ưóc

1

= 0, thì so R đưoc tính bói công thúc

= ∞ và

1

0

∞
1
= lim
R n→∞

1
sup |an| n .

So R đưoc goi là bán kính h®i tn cúa chuoi và mien |z| < R đưoc goi là đĩa
h®i tn.
Các ví du thêm nua ve chuoi lũy thùa h®i tu trong toàn m¾t phang phúc là
các hàm lưong giác
2n

∞

2n+1

∞

.

.
n z
cos z = n= (− 1)
và sinz
(2n =
0

)!

n=
0

− nz
( 1)
.
(2n + 1)!

Bang tính toán đơn gián, ta nh¾n đoc các công thúc Euler dưói dang mũ phúc
iz

cosz = e +
e−iz
2
Đ%nh lí 1.1.3. Chuoi lũy thùa f (z)
=

và sinz =
.∞
n=
0

eiz − e−iz
.
2

anzn xác đ%nh m®t hàm chsnh hình

trong đĩa h®i tn cúa nó. Đao hàm cúa f (z) cũng là m®t chuoi lũy thùa thu
đưoc bang cách đao hàm tùng so hang cúa chuoi vói hàm f (z), túc là
∞
.
f t(z) =

nanzn−1.

n=0

Hơn nua, f t(z) có cùng bán kính h®i tn vói f (z).
1

Chúng minh. Bói vì lim

n→∞

n n = 1, nên ta có
1

lim

sup |an| n = sup |nan| n .
lim

n→∞

.∞
Do đó, chuoi

n=
0

.∞
a nz

và

n

1

n=
0

nanz

n−1

n→∞

có cùng bán kính h®i tu. Đe chúng minh

khang đ%nh thú nhat, chúng ta phái chúng minh chuoi
∞
.
g(z) =

nanzn−1

n=1

bang đao hàm cna f (z). Ký hi¾u R là bán kính h®i tu cna f (z) và giá sú |z0|
< r < R. Ta viet
f (z) = Sn(z) + EN (z);


vó
i

∞

N

SN (z) =

.

.

n

anz và EN

a nz n.

n=N
+1

(z) =
n=0

Khi đó, neu chon h sao cho |z0 + h| < r, thì ta có
.
f (z0 + h) − f (z0)

− g(z0)

h
=

.

SN (z0 + h) − SN (z0)

− St N (z0)

h

.

.

t

+ S N (z0) −

EN (z0 + h) − EN

.

.

(z 0)
h .

g(z0) +

Ta
thay

.
.
..

.
n
(z0 + h) −
.
.
.
|an| .
.≤
.
.

EN (z0 + h) − EN (z 0)
h

.∞

h

n=N

+1

∞
.

z 0n

.

.
..

|an|nrn−1.

≤
n=N +1

é đó ta đã sú dung |z0| < r và |z0 + h| < r. Bieu thúc ó ve phái là phan dư
cna m®t chuoi h®i tu, tù g(z) là h®i tu tuy¾t đoi vói moi |z| < R. Do đó, vói
moi ε > 0 ton tai N1 sao. cho vói moi N ≥ N1 ta .có
. EN (z0 + h) − EN (z0) ε
.< .
.
.

h
.
. 3
Tù lim St (z ) = g(z ) nên tìm đưoc N mà vói moi N ≥ N ta có
N
0
0
2
2
N→
∞

.
. ε
.StN (z0) − g(z0). < .
3
Co đ%nh N > max {N. 1, N2} thì ta có the tìm tđưoc δ > 0 sao cho |h| < δ thì
S
..
. SN (z0 + h) − SN (z
) <ε.

(z0)

.
.
Do đó

khi |h| <
δ.

h

−

N

0

.

3

.
.
f (z + h) f (z )
. 0
.
−
0
.
..
− g(z0 ). < ε;
h


H¾ quá 1.1.4. Chuoi lũy thùa khá vi vô han lan trong đĩa h®i tn cúa nó. Đao
hàm cúa chuoi lũy thùa là m®t chuoi lũy thùa thu đưoc bang cách lay đao hàm
cúa tùng so hang cúa nó.

M®t hàm f (z) xác đ%nh m®t t¾p con mó Ω đưoc goi là giái tích (ho¾c có khai
.∞
n
trien chuoi lũy thùa) tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai chuoi lũy
n= an(z − z0)
0
thùa
tâm tai z0 vói bán kính h®i tu dương sao cho
∞

f (z) =

.

n

an(z − z0) ;

n=0

vói moi z trong lân c¾n cna điem z0. Neu f (z) có khai trien chuoi lũy thùa
tai moi z ∈ Ω, thì ta nói rang f (z) giái tích trên Ω.
Tù đ%nh lý (1.1.3), ta thay rang hàm giái tích trên Ω thì cũng chính hình trên
đó.

1.2

Tích phân phNc

Đưàng cong tham so. M®t đưòng cong tham so là m®t hàm
z : [a, b] −→ C
t −→ z(t) = x(t) + iy(t).

Đưòng cong đưoc goi là trơn neu ton tai đao hàm zt(t) liên tuc trên [a; b]
và zt(t) ƒ= 0, vói moi t ∈ [a; b]. Tai các điem t = a và t = b các đai lưong
zt(a) và zt(b) đưoc bieu dien như các giói han m®t phía
zt(a) = lim

h→0+

z ( a + h) −
z ( a)
h

và zt(b) =
lim

z ( b + h) −
z (b ) h
.

h→0−

Đưòng cong goi là trơn tùng khúc neu z(t) liên tuc trên đoan [a; b] và ton tai
các điem a0 = a < a1 < ... < an = b, ó đó z(t) là trơn trên moi đoan [ak, ak+1].
Đ¾c bi¾t đao hàm trái và phái tai các điem ak có the khác nhau vói moi k = 0,
1, 2, ..., n − 1.

Hai đưòng cong tham so z : [a, b] → C

z¯ : [c, d] → C đưoc goi là

và
tương
đương neu ton tai song ánh khá vi liên tuc s → t(s) tù [c; d] đen [a, b] sao
cho
tt (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)). Đieu ki¾n tt (s) > 0 đám báo hưóng cna
đưòng cong, khi s chay tù c đen d thì t(s) chay tù a đen b. Ho cna tat cá các
đưòng cong tham
so tương đương vói z(t) xác đ%nh m®t đưòng cong trơn γ ⊂ C. Đưòng cong γ−
là đưòng cong thu đưoc tù γ bang cách đoi hưóng. M®t dang tham so hóa cna


γ− đưoc xác đ%nh như sau
z−: [a, b] → R2
z−(t) = z(b + a − t).


Các điem z(a) và z(b) đưoc goi là điem đau và điem cuoi cna đưòng cong. Đưòng
cong trơn ho¾c trơn tùng khúc đưoc goi là kín neu z(a) = z(b); đưoc goi là
đưòng cong đóng neu nó không có điem tn cat, nghĩa là neu t ƒ= s thì z(t) ƒ=
z(s). Trưòng hop đưòng cong đóng thì trù ra s = a và t = b. Đe ngan gon ta se
goi đưòng cong trơn tùng khúc là m®t đưòng cong.
Ví dn 1.2.1. Xét đưòng tròn Cr(z0) tâm tai z0 bán kính r
Cr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| = r} .

Hưóng dương là hưóng đưoc cho bói phương trình tham so
z(t) = z0 + reit, t ∈ [0, 2π]

và hưóng âm đưoc cho bói phương trình
z(t) = z0 + re−it, t ∈ [0, 2π].

Đ%nh nghĩa 1.2.2. Ta kí hi¾u C là đưòng tròn đ%nh hưóng dương. Cho đưòng
cong trơn γ đưoc tham so hóa bói phương trình z : [a, b] → C và f là hàm
liên tuc trên γ. Tích phân cna hàm f doc theo γ đưoc xác đ%nh bói
b

¸

¸

f (z)dz =
γ

f (z(t)) zt(t)dt.

a

Chúng ta thay tích phân ve phái không phu thu®c vào cách chon phương
trình tham so đoi vói γ . Giá sú z¯ là m®t tham so hóa tương đương xác đ%nh
như trên thì
b

d

¸

d

¸

f (z(t))
.zt(t)dt =

¸
f (z(t(s))) .zt (t(s))
.tt(s)ds =

a

f (z¯(s)) z¯t (s)ds.
c

c

Neu γ là đưòng cong trơn tùng khúc như trên, thì
ak+1
¸
¸ n−1
.

f (z(t)) zt(t)dt.

f (z)dz =

γ

k=0 a
k

Tù đ%nh nghĩa (1.2.2), ta suy ra đ® dài cna đưòng cong γ là
b

length(γ) =

¸

.

.zt(t) dt.

.

a

.


Ví dn 1.2.3. Tính tích phân
¸
n

(z − z0) dz; n = 0, ±1, ±2, ...
γ

trong đó γ là đưòng tròn z = z0 + reit, t ∈ [0,2π] .
Ta có
2π
¸

¸2π
(ireit)dt ¸
(reit) = i

n

(z − z0) dz

n

rn+1ei(n+1)tdt.
0

=
0

γ

Neu n = −1, thì tích phân trên tró thành
2π

¸

¸
dz = i dt = 2πi.

z−
z0

γ

Neu n ƒ= −1 thì ta
có



0

¸


2π

¸
n

(z − z0) dz = irn+1

[cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t] dt = 0.


γ
0

Giá sú γ là đưòng cong trơn tuỳ ý có phương trình tham so z = z(t), t ∈ [a,
b]

vói các điem đau mút z(a) và z(b). Khi đó
b

¸
dz =
γ

b

¸

¸

b

¸

zt(t)dt = dx(t) + i
a

b

dy(t)

b

= (x(b) − x(a)) + i (y(b) − y(a))
= z(b) − z(a).
b

¸

¸

zdz =

γ

a

b

. 2 .
.
1. 2
z(t).z (t)dt
¸ d z (t) =
z (b) z2(a) .
−
=
2
2
t

1

a

Đ%nh lí 1.2.4. Neu hàm f (z) liên tnc và có m®t nguyên hàm F trên Ω, và
gamma

là m®t đưòng cong trong Ω có điem đau là ω1 và điem cuoi ω2, thì
¸

f (z)dz = F (ω2) − F (ω1).
γ

Chúng minh. Neu γ là m®t đưòng cong trơn và z(t) : [a, b] → C là phương
trình
tham so cna đưòng cong γ thì


b

¸

¸

f (z(t)) .zt(t)dt

f (z)dz =
γ

a

b

¸

F t (z(t)) .zt(t)dt

=
a

=

¸

b

d F (z(t))
dt dt

a

= F (z(b)) − F (z(a)) = F (ω2) − F (ω1)

Neu γ trơn tùng khúc thì ta có
¸
n−1
.
f (z)dz =

[F (z(ak+1)) − F (z(ak))]

k=0

γ

= F (z(an)) − F (z(a0))
= F (z(b)) − F (z(a))
= F (ω2) − F (ω1)

H¾ quá 1.2.5. Giá sú γ là đưòng cong đóng trong t¾p mó Ω. Neu hàm f (z)
liên tnc và có nguyên hàm trong Ω thì
¸
f (z)dz = 0.
γ

H¾ quá 1.2.6. Neu f (z) chsnh hình trong mien Ω và f t(z) = 0 thì f (z) là
hàm hang.
Chúng minh. Co đ%nh điem ω0 ∈ Ω. Bói vì Ω liên thông nên vói điem bat kỳ
ω ∈ Ω, ton tai đưòng cong γ noi ω vói ω0. Ta có
¸
f t(z)dz = f (ω) −
f (ω0).

Bói vì f t(z) = 0
nên

γ

¸
f t(z)dz = 0.
γ

Do đó
f (ω) = f (ω0).


Tù các ví du (1.1) và (1.2), chúng ta thay rang các tích phân trên không phu
thu®c vào hình dang cna đưòng cong và tích phân bang 0 theo đưòng cong đóng
bat kỳ. Ket quá quan trong cna tích phân doc theo đưòng cong đoi vói hàm

chính hình là
Đ%nh lí 1.2.7. (Cauchy-Goursat). Giá sú D là m®t mien n- liên trong C vói
biên ∂D gom các chu tuyen đóng trơn tùng khúc và f (z) là hàm chsnh hình
trên D liên tnc trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có
¸
f (z)dz = 0.
∂D

Chúng minh. Chúng ta viet f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Khi đó
¸
¸
(udx − vdy) + i(vdx + udy).

f (z)dz =
∂D
∂D

Theo đ%nh lý Green, ta có

¸
F =

¸ dF .

∂D
D

Neu F = udx − vdy, thì theo đieu ki¾n Cauchy - Riemann chúng ta có
.
¸

¸ .
∂u
udx − vdy =∂v − ∂x −
∂D

dxdy = 0.

∂y

D

Tương tn, tích phân cna phan áo trong cũng bang 0 và đ%nh lý đưoc chúng
minh.
Đ%nh lí 1.2.8. (Công thNc tích phân Cauchy). Neu f (z) là hàm chsnh
hình trong m®t mien D và z0 ∈ D. Khi đó, vói moi chu tuyen đóng bat kỳ γ ⊂
D mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì
f
(ζ) dζ,
ζ−
z0

f (z) ¸1
=

vói moi z0 ∈ Dγ
.

Hơn nua, neu f (z) liên tnc trên
D¯
z ∈ D ta có

2πi

γ

vói ∂D là m®t chu tuyen đóng thì vói moi


¸
f (z0) =

1
2πi ∂D

f (ζ)
dζ.
ζ−z


Chúng minh. Giá sú γ là chu tuyen tuỳ ý vây quanh điem z0 sao cho Dγ ⊂ D.
Chon ρ đn bé sao cho đĩa đóng S(z0, ρ) tâm z0 bán kính ρ chúa trong Dγ .
Ký hi¾u Cρ là biên cna đĩa S(z0, ρ) và Dγ, ρ = Dγ\S(z0, ρ). Bói vì f (ζ)/ζ −
z0 là hàm chính hình vói moi z ∈ Dγ\S(z0, ρ) nên chúng ta có
¸
dζ = 0.
γ+C
ρ

f
(ζ)

ζ−
z0

−

Tù đó, chúng ta suy ra

¸

f (ζ)
γ

ζ − z0

¸
dζ =
Cρ

dζ.
f
(ζ)
ζ−
z0

Thnc hi¾n phép đoi bien đoi vói tích phân ó ve phái ζ − z0 = ρeit, 0 ≤ t <
2π, thì
dζ = iρeitdt và chúng ta nh¾n đưoc
¸

¸2π

f (ζ ) dζ
ζ − z0 =

iρeitdt

f (z0 +

ρeit)

Cρ

ρeit

0
2π

¸

f (z0 + ρeit) dt

=i

0

¸2π

.

.

f (z0 + ρeit) − f (z0) dt − 2πif (z0).

=i
0

Bói vì f (z) liên tuc, nên khi ρ → 0 thì
¸
lim

ρ→0

Cρ

f
(ζ) dζ = 2πif (z0 ).
ζ−
z0

Tù đó, chúng ta suy ra
f (z) =

f
(ζ) dζ.
ζ−
z0

¸1
2πi

γ

Trưòng hop f (z) liên tuc trên thì ta có the thay ∂D cho γ trong chúng minh
D¯

trên và nh¾n đưoc ket quá mong muon.
Đ%nh lí 1.2.9. (Công thNc tích phân Cauchy đoi vái đao hàm). Neu f
(z) là hàm chsnh hình trong m®t mien D hì f (z) khá vi vô han lan trong
D. Hơn nua, neu γ là chu tuyen đóng nam trong D, thì