Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử schrödinger trong một số trường hợp

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

NGUYEN CHÍ HÁI

ƯéC LƯeNG SO CÁC GIÁ TR± RIÊNG
ÂM CÚA TOÁN TÚ SCHRO¨ DINGER TRONG M®T SO TRƯèN

Chuyên ngành: Toán giái tích
Mã so: 60.46.01

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS. Ta Ngoc

Hà N®i-2012

Trí


LèI CÁM ƠN
Lu¾n văn này đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i
2 dưói sn hưóng dan cna TS. Ta Ngoc Trí.
Em xin đưoc chân thành cám ơn TS. Ta Ngoc Trí. Sn t¾n tình chí
báo cna Thay trong suot quá trình hoc t¾p và làm lu¾n văn đã giúp em
trưóng thành hơn rat nhieu ve cách tiep c¾n m®t van đe mói.
Xin chân thành cám ơn các thay cô giáng day chuyên ngành Toán
Giái tích đã nhi¾t tình cung cap các tri thúc khoa hoc giúp em nâng cao
trình đ® tư duy, hoàn thành tot quá trình hoc t¾p và làm lu¾n văn.
Tôi cũng xin đưoc cám ơn Phòng Sau đai hoc Trưòng Đai hoc Sư

pham Hà N®i 2, trưòng Cao đang Kinh te-Ky thu¾t Trung ương, đã
luôn quan tâm giúp đõ và tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi trong suot
quá trình hoc t¾p và nghiên cúu.
Cuoi cùng, tôi bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ban bè đã giúp đõ,
đ®ng viên k%p thòi đe tôi hoàn thành bán lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Nguyen Chí Hái


LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan cna TS. Ta Ngoc Trí.
Trong khi thnc hi¾n lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành quá khoa
hoc cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Nguyen Chí Hái


Mnc lnc
Má đau.................................................................................................6
Chương 1. Kien thNc chuan b% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
8
1.1. Không gian Banach.......................................................................8
1.2. Không gian Lebesgue Lp.............................................................11
1.3. Không gian Lp yeu......................................................................12

1.4. Bat đang thúc Sobolev.............................................................13
1.5. Không gian Hilbert......................................................................16
1.6. Toán tú tn liên hop...................................................................18
1.7. Toán tú Schr¨odinger..................................................................20
1.8. Ket lu¾n chương 1......................................................................21
Chương 2. Đieu ki¾n Rollnik...............................................................22
2.1. Quan h¾ vói không gian Lp.............................................................23
2.2. Dang p-không gian......................................................................26
2.3. Quan h¾ vói chuoi Born...................................................................30
2.4. Hach tích phân..........................................................................35
2.5. The năng mien huu han............................................................38
2.6. M®t so ví du.....................................................................................39
2.7. Ket lu¾n chương 2......................................................................40
Chương 3. Ưác lưang so các giá tr% riêng âm cúa toán tN
Schro¨ dinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...

41

3.1. Phương trình tích phân cho trang thái tói han........................42
3.2. C¾n trên cna so các giá tr% riêng âm.............................................46
3.3. Ket lu¾n chương 3......................................................................49
3


4

Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
50

Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
51


BÁNG KÝ HIfiU
inf M
R
Rn
C
H
(x, y)
""

c¾n dưói đúng cna t¾p so thnc M
đưòng thang thnc
không gian Euclid n - chieu
trưòng so phúc
không gian Hilbert
tích vô hưóng x và y
chuan trong không gian

|x|
z

giá tr% tuy¾t đoi cna so x
liên hop cna so phúc z
..

n

|x|
=

i=1

x i2

chuan Euclid cna x

1

1

V 2 (x) = V (x) 2
|
||
12
V (x) =| V1 2 (x)[sgnV (x)]
T −1
D(A)
∂f (x)

||

căn cna toán tú năng lưong
ngh%ch đáo cna toán tú T
mien xác đ%nh cna toán tú A
đao hàm riêng cna f tai theo xi

∂x
i

∇f (x)n.
∆ =

gradient cna f tai x

∂2

toán tú Laplace

∂x2i
H = Ho + V
A∗
i=1

toán tú Schr¨odinger
toán tú liên hop cna toán tú A

f:X→Y
suppf
f∗g
Lp(X) 1 ≤ p < ∞¸
"f"Lp = "f"p = [ |f (x)|pdµ]1/p
X

ánh xa tù X vào Y
giá cna hàm f
tích ch¾p cna f và g

các hàm đo đưoc p - khá tích
chuan trong Lp(X)

"f"L∞ = "f"∞
"f"∞ = inf{C : |f (x)| ≤ C h.k.n} chuan trong L∞(X)
L∞(X) 1 ≤ p < ∞
các hàm đo đưoc b% ch¾n h.k.n
h.k.n
hau khap nơi
ρ(T )
t¾p giái thưc cna toán tú T
σ(T )
pho cna toán tú T


Mé ĐAU
1. Lí do chon đe tài
Lý thuyet pho cna toán tú Schr¨odinger đã thu hút đưoc sn quan
tâm và nghiên cúu cna nhieu nhà toán hoc. Nó là sn ket hop ch¾t che
cna giái tích hàm, phương trình đao hàm riêng và bien đoi Fourier, và có
vai trò quan trong trong v¾t lý.
Trong cơ hoc lưong tú chúng ta g¾p toán tú Schr¨odinger −∆ + V
.
Trong rat nhieu các trưòng hop cna V , pho cna toán tú −∆ + V có
m®t phan giong như pho cna toán tú Schr¨odinger "tn do" −∆, túc
là [0, ∞) và m®t so các giá tr% riêng âm. M®t so trưòng hop ta có the
ưóc lưong đưoc so các giá tr% riêng âm đó. Vi¾c làm này có ý nghĩa
trong v¾t lý (xem [4], [8], [12] và nhung tài li¾u trích dan trong đó).
Lu¾n văn này nghiên cúu m®t so ưóc lưong ve so giá tr% riêng âm
cna toán tú Schr¨odinger khi toán tú the năng V đưoc xét trong m®t so

lóp hàm đ¾c bi¾t.
Sau khi đưoc hoc nhung kien thúc ve giái tích hàm, phương trình đao
hàm riêng và bien đoi Fourier, cùng vói sn đ%nh hưóng cna thay TS.Ta
Ngoc Trí, vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve nhung kien thúc đã hoc,
moi quan h¾ và úng dung cna chúng, tôi đã chon đe tài nghiên cúu:
“ Ưóc lưong so các giá tr% riêng âm cúa toán tú Schro¨dinger trong m®t
so trưòng hop” đe làm lu¾n văn tot nghi¾p cna mình.
2. Mnc đích nghiên cNu
Nam đưoc các khái ni¾m và úng dung cna “Ưóc lưong so các giá tr%
riêng âm cna toán tú Schr¨odinger trong m®t so trưòng hop” đe bo
sung kien thúc, cnng co và hieu biet sâu hơn ve toán giái tích , lý thuyet
toán tú.


7

3. Nhi¾m vn nghiên cNu Tìm hieu ve “Ưóc lưong so các giá tr% riêng
âm cna toán tú Schr¨odinger trong m®t so trưòng hop”.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
• Đoi tưong: Nghiên cúu ve “Ưóc lưong so các giá tr% riêng âm cna
toán tú Schr¨odinger trong m®t so trưòng hop”.
• Pham vi: Các bài báo, các tài li¾u trong và ngoài nưóc nghiên cúu
ve “Ưóc lưong so các giá tr% riêng âm cna toán tú Schr¨odinger
trong m®t so trưòng hop”.
5. Phương pháp nghiên cNu
• Tìm hieu các thông tin trong sách báo liên quan đen n®i dung nghiên
cúu;
• Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu thu th¾p
đưoc qua nhung tài li¾u liên quan đen đe tài, sú dung các phương
pháp nghiên cúu cna giái tích hàm, lý thuyet toán tú.

• Tham kháo ý kien cna chuyên gia.
6. NhÑng đóng góp cúa đe tài
• Trình bày đưoc m®t cách có h¾ thong nhung kien thúc cơ bán ve
“Ưóc

lưong

so

các

giá

tr%

riêng

âm

cna

toán

tú

Schr¨odingertrong m®t so trưòng hop” và các tính chat cna nó.
• Tong hop, h¾ thong m®t so ket quá đã đưoc các nhà khoa hoc
nghiên cúu và công bo ve “Ưóc lưong so các giá tr% riêng âm cna
toán tú Schr¨odinger trong m®t so trưòng hop”.

Chương 1
Kien thNc chuan b
%
Chương này dành cho vi¾c trình bày m®t so khái ni¾m và ket quá can
thiet ve nhung không gian và nhung toán tú mà chúng ta can dùng đen
trong các chương sau. Nhung kien thúc trình bày trong chương này đưoc
chon tù các tài li¾u [1], [2], [5], [12].

1.1. Không gian Banach
Cho X là m®t không gian vectơ trên trưòng so phúc C .
Đ%nh nghĩa 1.1.1. M®t chuan, kí hi¾u || · ||, trong X là m®t ánh xa đi
tù X vào R thóa mãn các đieu ki¾n:
1) ||x|| ≥ 0 vói moi x ∈ X ;
2) ||x|| = 0 khi và chí khi x = θ (θ là kí hi¾u phan tú không);
3) ||λx|| = |λ|||x|| vói moi so λ ∈ C và moi x ∈ X;
4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| vói moi x, y ∈ X.
So ||x|| đưoc goi là chuan (hay đ® dài) cna vectơ x ∈ X. M®t
không gian vectơ X cùng vói m®t chuan xác đ%nh trong không gian
ay, đưoc goi là m®t không gian đ%nh chuan.
M¾nh đe 1.1.2. Giá sú X là m®t không gian đ%nh chuan. Vói moi
x, y ∈ X, đ¾t
ρ(x, y) = ||x − y||
Khi đó, ρ là m®t metric trên X.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. Dãy (xn) trong không gian đ%nh chuan X đưoc goi
là h®i tu đen x0 ∈ X neu limn→∞ ||xn − x0|| = 0.
8


11

Khi đó, ta kí hi¾u
lim

x
n→∞ n

= x0 ho¾c xn → x0, khi n → ∞.

Đ%nh nghĩa 1.1.4. Dãy (xn) trong không gian đ%nh chuan X đưoc goi
là m®t dãy cơ bán, hay dãy Cauchy, neu
lim
m,n→∞

||xm − xn|| = 0.

Đ%nh nghĩa 1.1.5. Giá sú không gian đ%nh chuan X là m®t không gian
metric đay đn (vói khoáng cách ρ(x, y) = ||x− y||). Khi đó X đưoc goi là
m®t không gian đ%nh chuan đay đn, hay còn goi là không gian Banach.
Đ%nh nghĩa 1.1.6. Cho X và Y là hai không gian véc tơ trên trưòng C.
Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y đưoc goi là toán tú tuyen
tính neu A thóa mãn:
1) A(x + y) = Ax + Ay ∀x, y ∈ X;
2) A(αx) = αAx ∀x ∈ X, α ∈ C.
Khi X = Y thì A goi là toán tú trên X. Khi Y = C thì toán tú
tuyen tính A đưoc goi là phiem hàm tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.1.7. Cho X và Y là hai không gian Banach. Cho toán
tú tuyen tính A : D(A) ⊂ X → Y xác đ%nh trên không gian véc tơ con
D(A) cna X vào không gian Y . T¾p D(A) goi là mien xác đ%nh cna
A. T¾p

KerA = N (A) = {x ∈ D(A) : Ax = 0} ⊂ X
goi là hach cúa A. Ta nói A b% ch¾n trên X neu D(A) = X và ton
tai hang so c ≥ 0 sao cho:
||Ax|| ≤ c||x|| ∀x ∈ X.


M¾nh đe 1.1.8. Giá sú toán tú tuyen tính A ánh xa không gian đ%nh
chuan X vào không gian đ%nh chuan Y . Khi đó, các m¾nh đe sau là
tương đương:
1) A b% ch¾n;
2) A liên tnc;
3) A liên tnc tai 0.
Đ%nh nghĩa 1.1.9. Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y . Kí
hi¾u L(X, Y ) là t¾p tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không
gian X vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:
• Tong cna hai toán tú A, B ∈ L(X, Y ) là toán tú, kí hi¾u A + B,
xác đ%nh bói bieu thúc
(A + B)(x) = Ax + Bx, vói moi x ∈ X;
• Tích vô hưóng cna α ∈ C vói toán tú A ∈ L(X, Y ) là toán tú,
kí hi¾u αA, đưoc xác đ%nh bói bieu thúc
(αA)(x) = α(Ax).
De kiem tra đưoc rang A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và
hai phép toán trên thóa mãn các tiên đe cna không gian véc tơ. Khi đó,
t¾p L(X, Y ) tró thành m®t không gian véc tơ trên trưòng C. Trong
trưòng hop Y = C, thì L(X, C) đưoc goi là không gian liên hop cna X,
kí hi¾u X∗ . Neu Y = X thì L(X, Y ) đưoc kí hi¾u gon lai là L(X)
Vói moi A ∈ L(X, Y ), đ¾t
||A|| = sup
xƒ=0

||Ax||

.

||x||

Ta có || · || xác đ%nh như trên là m®t chuan trong L(X, Y ). Như the,
không gian L(X, Y ) vói chuan vùa nêu tró thành m®t không gian đ%nh
chuan.


11

M¾nh đe 1.1.10. Neu Y là m®t không gian Banach thì L(X, Y ) cũng
là không gian Banach.
Tù đ%nh lý trên suy ra X ∗ luôn là không gian Banach.

1.2. Không gian Lebesgue Lp
Cho (X, S, µ) là m®t không gian đo đưoc, nghĩa là X là m®t t¾p và
(i) S là m®t σ−đai so trong X, nghĩa là S là m®t ho nhung t¾p con
cna X sao cho:
(a) ∅ ∈ S,
(b) A ∈ S ⇒ Ac ∈ S,
(c) Neu An ∈ S ∀n thì

.∞
n=
1

An ∈ S,

(ii) µ là m®t đ® đo xác đ%nh trên S, nghĩa là µ : S → [0, ∞] thóa
mãn:
(a) µ(∅) = 0,
(b) Neu (An) là m®t ho đem đưoc các phan tú ròi nhau cna S, thì
∞
. .∞ n. = . µ(An).
µ n= A
n=
1

1

Phan tú cna S goi là t¾p đo đưoc. Đôi khi ta viet |A| thay cho µ(A).
T¾p A ∈ S vói tính chat µ(A) = 0 goi là t¾p có đ® đo không. Ta
nói rang, m®t tính chat nào đó đúng hau khap nơi trên X neu tính
chat đó đúng khap nơi trên X ngoai trù m®t t¾p có đ® đo không nào
đó cna X.
Hàm f : X → R goi là đo đưoc trên A neu
∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) < a} ∈ S.
Trong trưòng hop X = Rn và S là nhung t¾p hop đo đưoc theo
nghĩa Lebesgue thì ta nói tat f (x) là hàm đo đưoc (xem [2], t¾p 1,
tr. 125]). Khi đó tích phân Lebesgue cna hàm f (x) trên t¾p đo
đưoc A đưoc kí


14

¸

hi¾u
là

¸
f (x)dµ(x) ho¾c

A

¸
f (x)dnx.

f (x)dx ho¾c
A

A

Neu ¸ f (x)dx < ∞ thì ta nói f (x) khá tích trên A (xem [2], t¾p 1, tr.
A

163]). Ta luôn quy ưóc hai hàm f và g đo đưoc trên X là bang nhau
neu chúng bang nhau hau khap nơi trên X, nghĩa là µ{x ∈ X : f (x)
ƒ= g(x)} = 0.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho (X, S, µ) là m®t không gian đo đưoc. Kí hi¾u
L1(X, µ) (hoăc L1) là không gian các hàm khá tích trên X vói
"f"L1 = ||[f ]||1
=

¸

¸

|f |dµ =

|f |.

X

Cho p ∈ R vói 1 < p < ∞, kí hiêu Lp là không gian các hàm so f (x)
có lũy thùa b¾c p khá tích trên X, nghĩa là|f (x)|p ∈ L1 vói
¸
.
.
"f"Lp = ||[f ]||p =
|f |pdµ 1/p.
X

Kí hi¾u L∞ là không gian các hàm đo dưoc trên X sao cho ton tai
hang so C đe |f (x)| ≤ C hau khap nơi trên X vói
"f"L∞ = "f"p = inf{C : |f (x)| ≤ C hau khap nơi trên X}.
Đ%nh lý 1.2.2. (xem [2], t¾p 2, tr. 21] ho¾c [4], pp. 89-92) Các không
gian Lp vói chuan cho bói "f"Lp như trong đ%nh nghĩa trên là nhung
không gian Banach.

1.3. Không gian Lp yeu
Trong muc này chúng ta trình bày sơ lưoc ve không gian Lp yeu, m®t
loai không gian đưoc dùng nhieu trong V¾t lý.


Hàm phân bo mf (t) (ho¾c đơn gián là m(t)) cna hàm đo đưoc f trên
không gian đo đưoc (M, µ) đưoc đ%nh nghĩa:
mf (t) = µ{x |f (x)| > t}.

Bo đe 1.3.1. (xem [12], chương 1) f ∈ Lp(µ) khi và chí khi
0
∞(1 p
¸∞
và "f" = p
tp−1m(t)dt.
p

¸

∞ p−1

t

m(t)dt <

0

Không gian Lp yeu đưoc kí hi¾u là (Lp)W và đưoc đ%nh nghĩa như sau:
Đ%nh nghĩa 1.3.2. f ∈ (Lp)W khi và chí khi mf (t) ≤ c/tp vói m®t
c < ∞.
Như v¾y Lp ⊂ (Lp)W , nhưng có the chúng minh đe thay rang Lp
là t¾p con thnc sn cna (Lp)W . Ví du (Lp)W (R) chúa các hàm có dang
x−1/p. M®t tính chat quan trong đoi vói không gian Lp yeu là bat
đang thúc khác nhau vói f ∈ Lp có the mó r®ng thành f ∈ (Lp)W . Vì
v¾y các tích phân ban đau có the là logarit phân kì lai tró thành h®i
tu. M®t đ¾c trưng rat cơ bán cna (Lp)W ó dang không tưòng minh có
trong nghiên cúu cna Calderon, Lions và Peetre, Stein và Weiss (xem
[12], Chương I).
Bo đe 1.3.3. Cho p0 < p < p1. Khi đó f ∈ (Lp)W khi và chí khi ton tai

c0, c1 sao cho vói moi λ, f = f0,λ + f1,λ vói
"fi,λ"pi <

1−(p/pi)

i = 0, 1.

Ci(λ)
Chúng minh. Chúng minh sơ cap có the tìm thay trong [9]. Ý tưóng cna
p

chúng minh, theo ngôn ngu cna muc 2.1, là f ∈ (LW ), thì f> ∈ Lq vói
q < p và f< ∈ Lq vói q > p.

1.4. Bat đang thNc Sobolev
Trong muc này ta điem qua m®t so n®i dung ve bat đang thúc
Sobolev se dùng đen trong chương sau:

Q


¸
C

|f (x)||h(y )|

dn xdn y ™

p,r,λ,n|"

"p "h"r ,

f

|x − y|λ

vói f ∈ Lp(Rn), h ∈ Lr(Rn) và
1
p

+

1
r

+

λ
n

= 2, λ < n.

Chúng minh đau tiên cna ket quá này thu®c ve Hardy và Littlewood
cho trưòng hop n = 2, và Sobolev quy tù trưòng hop tong quát ve n =
1. Sau đó, Du Plessis tìm đưoc chúng minh hoàn toàn sơ cap bang thn
thu¾t quy tù n bat kì ve n = 1 (xem [12], chương I và các tài li¾u
trích trong đó). Chúng minh ket quá này cna Stein và Weiss khá lí thú
bang cách sú dung mó r®ng đ%nh lý n®i suy cna Marcinkiewicz. Ta
trình bày m®t chúng minh đơn gián bang cách dùng hai công thúc n®i
suy:

i) Đ%nh lý n®i suy Marcinkiewicz (xem [12]):
Cho pi < qi, i = 1, 2. Cho
T : Lpi → (Lqi )w ,
b% ch¾n, i = 1, 2. Giá sú q1 ƒ= q2. Khi đó, vói bat kì 0 < t < 1, T : Lp
→
Lq là ánh xa b% ch¾n, trong đó
1
t
.
(1.1)
1
t
=
(1 −
(1
−
= +
p
p1 +
q
t)
t)
;
q1
p2
q2
é đây, ta nói rang có cùng m®t ánh xa trên các không gian Lp nghĩa
là ta có m®t ánh xa trên các tong huu han cna các hàm đ¾c trưng cna
các t¾p có đ® đo huu han mà ta thác trien nhò tính liên tuc. Ta nói ánh
xa T : Lp → (Lq)W là ánh xa b% ch¾n neu ton tai so C không phu thu®c

"f "
vào t sao cho mTf (λ) < C[ p ]q vói moi f ∈ Lp.
λ
i) Đ%nh lý n®i suy (xem [12]):
Cho q1 ƒ= q2, p1 ƒ= p2. Cho
T : Lpi → Lqi


b% ch¾n, i = 1, 2. Khi đó, vói 0 < t < 1, T : (Lp)W → (Lq)W là b%
ch¾n,
trong đó p và q cho bói (1.1).
Trong phan còn lai cna, q, qr (ho¾c q, qr) là c¾p chí so liên hop: p−1
+ (pr)−1 = 1.
Bo đe 1.4.1. Cho f ∈ Lp. Neu g ∈ Lpr, thì f ∗ g ∈ L∞, và "f ∗ ∞
g"
≤
"f"p "g"p . Neu f ∈ Lp và g ∈ L1, thì f ∗ g ∈ Lp và "f ∗ g"p ≤
"f"p "g"1 .
Chúng minh. Neu g .∈ Lpr , vì bat đang. thúc H¨older:
.¸
.
f
(x)g(y
−
x)dx
.
. ≤ "f"p "g"pr
.
.
có chúng minh trong m¾nh đe đau. Cho g ∈ L1 và h ∈ Lpr là tùy ý. Khi

đó:

.. ¸
.. ¸
. h(x)(f ∗ g)(x). ≤ |h(x)| |f (x − y)| |g(y)| dxdy
.
.
.¸
.
¸
|g(y)|
|h(x)f (x − y)| dx
≤ dy
≤ "g"1"|h| ∗ |f|"∞ ≤ "g"1 "h"pr "f"p .

Vì v¾y f ∗ g ∈ Lp và "f ∗ g"p ≤ "g"1 "f"p
Q
p
q
Bo đe 1.4.2. (xem, [12], tr. 11). Cho f ∈ L . Cho g ∈ (L )W trong
đó 1 < q < pr. Khi đó f ∗ g ∈ (Ls)W trong đó p−1 + q−1 = 1 +
s−1.
Bo đe 1.4.3. (xem, [12], tr. 11) Cho f ∈ Lp. Cho g ∈ (Lq)W trong đó
1 < q < pr < ∞. Khi đó f ∗ g ∈ Ls trong đó p−1 + q−1 = 1 + s−1.
Nh¾n xét 1.4.4. Sú dnng đ%nh lý Hunt, ta có the chúng minh đ%nh lý
Young yeu, túc là (Lp)W + (Lq)W ∩ (Ls)W .
Bo đe 1.4.3 tương đương vói
Đ%nh lý 1.4.5. Cho f ∈ Lp, g ∈ (Lq)W , h ∈ Lr vói p−1 + q−1 + r−1 =
2,
p, q, r < ∞. Khi đó

.. ¸
..
. f (x)g(x − y)h(y)
. < Cg "f"p "h"r .
.
.


Chúng minh. p−1 + q−1 > 1 nên 1 < q < pr < ∞. Vì v¾y f ∗ g ∈ Lrr .
Q
H¾ quá 1.4.6. Cho p > 1, r > 1, λ < n, p−1 + r−1 + (λ/n) = 2.
Cho
f ∈ Lp(Rn), h ∈ Lr(Rn). Khi đó
¸
|f (x)| |h(y)|
dnxdny
λ
|x − y|

≤
Cp,r,λ,n"f

"p "h"r .

Chúng minh. Cho g(z) = 1/|z|λ. Khi đó mg(t) bang giá tr% m®t hình cau
có bán kính t−1/λ = Cnt−n/λ. Vì v¾y g ∈ (Ln/λ)W và Đ%nh lý 1.4.5 suy
ra
ket quá.
Q

1.5. Không gian Hilbert
Đ%nh nghĩa 1.5.1. ([7], pp. 201-222) Cho H là m®t không gian véc tơ
trên trưòng C(goi tat là không gian véc tơ phúc). Ánh xa B : H×H → C
đưoc goi là m®t dang tuyen tính rưõi (sesqiulinear form) neu B(x0, ·) là
tuyen tính, B(·, y0) là liên hop tuyen tính:
B(x + y, z + w) = B(x, y) + B(x, w) + B(y, z) +
(y, w), B(ax, by) = a¯bB(x, y),
vói moi x, y, z, w ∈ H, a, b ∈ C.
Đ%nh nghĩa 1.5.2. Không gian véc tơ phúc H đưoc trang b% m®t dang
tuyen tính rưõi (·, ·) thóa mãn (x, x) > 0 vói moi x ∈ H \ {0}, đưoc
goi là không gian có tích vô hưóng (0 kí hi¾u phan tú không trong H ).
Khi đó, (·, ·) goi là tích vô hưóng trên H, so (x, y) goi là các tích vô
hưóng cna hai phan tú x và y. Không gian có tích vô hưóng còn đưoc
goi là không gian tien Hilbert.
Nh¾n xét 1.5.3. Tích vô hưóng (·, ·) thóa mãn các đieu ki¾n sau:
1. (y, x) = (x, y) vói moi x, y ∈ H ;


2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z) vói moi x, y, z ∈ H;
3. (αx, y)(αx, y) = α(x, y) vói moi so α ∈ C và moi x, y ∈ H;
4. (x, x) > 0 vói moi x ∈ H \ {0};
5. (x, x) = 0, neu x = θ.
,

Cho H là m®t không gian tien Hilbert. Vói moi x ∈ H, ta đ¾t ||x|| =
(x, x). Khi đó, ta có bat đang thúc (Bat đang thúc Cauchy-Schwarz):
|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ H.

Tù bat đang thúc trên ta suy ra ket quá sau:
M¾nh đe 1.5.4. Moi không gian tien Hilbert đeu là không gian đ%nh

,
chuan, vói chuan ||x|| = ( x, x).
Tù đây ve sau, neu không nói khác đi, ta luôn hieu không gian tien
Hilbert là không gian đ%nh chuan, vói chuan ||x|| = ( x, x).
,
Đ%nh nghĩa 1.5.5. Neu không gian tien Hilbert H vói metric cho bói
ρ(x, y) = "x, y" là m®t không gian metric đn, thì H đưoc goi là
không gian Hilbert.
Tù đây tró đi, H se luôn đưoc hieu là không gian Hilbert.
Đ%nh lý 1.5.6. (Riesz, xem [12]). Moi phiem hàm tuyen tính liên tnc
f
trên H đeu có dang
f (φ) = (ψ, φ),
vói m®t ψ ∈ H xác đ%nh. Moi dang tuyen tính rưõi b% ch¾n B trên H
(nghĩa là B thoá mãn |B(ψ, φ)| ™ c"ψ""φ") đeu có dang B(ψ, φ) =
(ψ, Aφ), vói A là toán tú b% ch¾n xác đ%nh m®t cách duy nhat.
Úng dung trnc tiep cna đ%nh lý trên ta có đ%nh nghĩa toán tú liên
hop b% ch¾n: Neu A là toán tú b% ch¾n, B(ψ, φ) = (Aψ, φ) thoá
mãn
|B(ψ, φ)| ™ "A""ψ""φ", thì ta có the:


Đ%nh nghĩa 1.5.7. Cho toán tú b% ch¾n A, ta đ%nh nghĩa toán tú A∗,
goi là liên hop cúa A, bói đang thúc sau
(ψ, A∗φ) = (Aψ, φ).
Đ%nh nghĩa 1.5.8. Ta nói rang trong không gian Hilbert H, ψn h®i tu
đen ψ theo chuan khi và chí khi "ψn − ψ" → 0.

1.6. Toán tN tN liên hap
Không phái tat cá các toán tú v¾t lý đeu b% ch¾n. Nhung toán tú

không b% ch¾n không the xác đ%nh khap nơi trên toàn b® không gian. Ta
có
Đ%nh lý 1.6.1. (Hellinger-Toeplitz, [7], p. 203). Toán tú A xác đ%nh
khap nơi thóa mãn (φ, Aψ) = (Aφ, ψ) thì b% ch¾n.
Như v¾y, ket quá trên nói rang, ngay cá vói toán tú đoi xúng A,
D(A) không the là cá không gian Hilbert H. Tuy v¾y, ton tai m®t
lóp quan trong các toán tú A mà D(A) trù m¾t trong H: D(A) = H.
(Xem [7], p. 204). Đe nghiên cúu nhung toán tú không b% ch¾n, ta
dùng đ%nh nghĩa sau
Đ%nh nghĩa 1.6.2. ([7], Def. A.9.) Cho A vói D(A). Ta nói rang ψ ∈
D khi và chí khi ánh xa φ → (ψ, Aφ) xác đ%nh vói φ ∈ D(A) là ánh xa
liên tuc, và có thác trien (mó r®ng) lên tat cá các φ ∈ H. Toán tú liên
hơp cuá A là toán tú A∗ xác đ%nh vói D(A∗) = D sao cho (A∗ψ, φ) =
(ψ, Aφ)
Có the thay rang, A∗ là toán tú tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.6.3. Ta nói rang A là toán tú Hermit neu (φ, Aψ) =
(Aφ, ψ) vói moi φ, ψ ∈ D(A).
Đ%nh nghĩa 1.6.4. Cho A là m®t toán tú. Ta nói A là tn liên hop neu
A = A∗ .


21

Đ%nh nghĩa 1.6.5. Cho A là m®t toán tú tn liên hop. T¾p giái thúc cna
A, kí hi¾u là ρ(A), gom tat cá nhung so phúc z sao cho {((A − z))φ, φ) :
φ ∈ D(A)} là đo th% cna m®t toán tú b% ch¾n, nghĩa là: ton tai toán tú
b% ch¾n A˜ đe
{(φ, ψ) ∈ H × H : φ ∈ D(A˜), ψ = A˜φ} = {((A − z))φ, φ) : φ ∈
D(A)}.
T¾p σ(A) = C \ ρ(A) goi là pho cna A.

Đ%nh nghĩa 1.6.6. ([7], tr. 206) Cho Avà B là hai toán tú trên H vói
B là toán tú Hermit. Neu
(i) D(A) ⊂ D(B)
(ii) Ton tai a < 1 và b > 0 sao cho
"Bψ" ≤ a"ψ" + b"ψ"
vói moi ψ ∈ D(A), thì ta nói B nhó hơn A theo nghĩa Kato(Kato-small
relative to A). Neu trong (ii) ta có the chon a nhó tùy ý và b không phu
thu®c a thì khi đó ta nói B bé hơn A theo nghĩa Kato(Kato-tiny relative
to A).
Đ%nh nghĩa 1.6.7. Neu H = L2(X, dµ) và toán tú A trên H có dang
¸
(Af )(x) = A(x, y)f (x)dµ(y)
X

thì A(x, y) goi là hach cna A. Toán tú A có hach A(x, y) thóa mãn
¸
|A(x, y)|2dµ(x)dµ(y) < ∞
X

đưoc goi là toán tú Hilbert-Schmidt.
Đ%nh nghĩa 1.6.8. Toán tú A đưoc goi là compact neu nó liên tuc và
bien moi t¾p b% ch¾n thành t¾p compact tương đoi, nghĩa là: Neu M là
t¾p b% ch¾n thì A(M ) là compact tương đoi (A(M ) compact) .


22

Đ%nh lý 1.6.9. (Đ%nh lý giái tích Fredholm, xem [12], tr.218) Cho A(z)
là toán tú compact (z ∈ D ), giái tích trên mien D cúa m¾t phang phúc
(mien đưoc hieu là t¾p mó, liên thông). Khi đó, m®t trong các khang

đ%nh sau thóa mãn:
(a) (1 − A(z))−1 không ton tai vói bat kỳ z ∈ D.
(b) Ton tai m®t t¾p ròi rac S trong D sao cho (1 − A(z))−1 ton tai neu
z ∈/ S và A(z)φ = φ có m®t nghi¾m z ∈ S. Hơn the, (1 − A(z))−1 là
giái tích trong D\S và có cnc tai nhung điem cúa S.

1.7. Toán tN Schro¨dinger
Đ%nh nghĩa 1.7.1. Cho V , H0 là toán tú nhân vói V và Schr¨odinger
tn do trên L2(Rn). Toán tú H = H0 +V trên không gian Hilbert L2(Rn)
cho bói Hψ = H0 ψ + V ψ vói ψ ∈ L2 (Rn ), đưoc goi là toán tú
Schro¨dinger ho¾c toán tú Hamilton.
Lưu ý rang, trong.v¾t lý hoc toán tú H0 đưoc cho dưói dang H0 = −∆,
n ∂2
có tên là toán tú Laplace; V : Rn → R là m®t
trong đó ∆ = ∇2 =
hàm so.

i=
1

∂xi2

Ve mien xác đ%nh cna toán tú H và tính tn liên hop cna nó đưoc
khang đ%nh trong đ%nh lý sau:
Đ%nh lý 1.7.2. (Kato-Rellich, [11], Theorem 1). Cho H0 là toán tú tn
liên hop và giá sú rang V là m®t toán tú đoi xúng vói D(H0) ⊂ D(V )
sao cho có a < 1 và so b đe
"V (φ)" ≤ a"H0φ" + b"φ"
vói moi φ ∈ D(H0). Khi đó H0 +V xác đ%nh trên D(H0)∩D(V ) ≡
D(H0)

là tn liên hop.
Toán tú H0 thưòng đưoc go% là toán tú đ®ng năng, hàm so V thưòng
đưoc goi là toán tú the năng. Toán tú Schr¨odinger và úng dung cna
nó


23

đã và đang đưoc nghiên cúu bói nhieu tác giá (xem [4], [8], [11], [12] và
nhung tài li¾u trích dan trong đó).
Đ%nh nghĩa 1.7.3. M¾t phang cat chính tac là t¾p m¾t phang so phúc
bó đi nhung điem có phan thnc không âm.

1.8. Ket lu¾n chương 1
Chương 1 đã trình bày h¾ thong m®t kien thúc cơ bán trong giái tích
hàm se dùng đen trong các chương sau.


Chương 2
Đieu ki¾n Rollnik
Nhieu tác giá đã nghiên cúu toán tú Schr¨odinger H = H0 + V
dưói nhung khía canh khác nhau. Trong moi trưòng hop ngưòi ta thưòng
đ¾t m®t so đieu ki¾n lên toán tú V . Chương này dành cho vi¾c nghiên
cúu m®t cách chi tiet các tính chat khác nhau cna hàm đo đưoc V (x)
thóa mãn đieu ki¾n Rollnik:
¸

|V (x)| |V (y)|

<

|x − y|

d3xd3y

∞.

(2.1)

2

Nhung the năng thóa mãn đieu ki¾n (2.1) đưoc Rollnik nghiên cúu
đau tiên. Ta goi (2.1) là đieu ki¾n Rollnik. T¾p hop các the năng
thóa mãn (2.1) đưoc kí hi¾u là R. Moi phan tú cna R đưoc goi là the
năng Rollnik. Ta đ%nh nghĩa chuan Rollnik trong R như sau:
¸
"V "R = |V (x)| |V
y < ∞.
2
d3xd
(y)|
3
|x − y|

(2.2)

2

Trong phan 2.2, chúng ta se chí ra rang R vói ""R là m®t không gian
đ%nh chuan đn. Lưu ý rang, ý nghĩa cna (2.1) là nó đám báo cho ta rang

1
−1
toán tú giói han cna V 2 (E H0) V1 2 là m®t toán tú Hilbert - Schmidt
−
||
trong khi E ↑ 0 (và cho moi E!); khía canh này cna đieu ki¾n Rollnik se
đưoc khang đ%nh trong phan 2.4. Trong chương này và trong suot lu¾n
văn ta se dùng kí hi¾u
1

V 2 (x) = V (x) 12 ,
|
||
1 |
V 12 (x) = V 2 (x)[sgnV (x)].
||


25

2.1. Quan h¾ vái không gian Lp
Trong phan này, ta nghiên cúu moi liên h¾ cna the năng Rollnik
cho đieu ki¾n Lp. Nhac lai rang, không gian Lp đưoc đ%nh nghĩa: f ∈
¸
p
Lp khi và chí khi |f (x)| d3x < ∞. Trong trưòng hop này "f" p =
.¸
.1
p
|f (x)| dx p (1 ≤ p < ∞). L∞ đưoc xác đ%nh là t¾p cna nhung hàm b%

ch¾n hau khap nơi vói "f"∞ = inf{L ||f (x)| < L } hau khap nơi.
Ket quá cơ bán liên ket Lp và R là:
Đ%nh lý 2.1.1. (Kato [12]) Neu V ∈ L3/2, thì V ∈ R. Cn the là :
"V "R ≤ C"V "3/2,

(2.3)

trong đó hang so C không phn thu®c vào V .
Chúng minh. Đây là h¾ quá trnc tiep cna bat đang thúc Sobolev, đã
trình bày trong Chương 1.
Q
Trong phan 2.6, ta se trình bày m®t ví du ve toán tú V thu®c R nhưng
không thu®c L3/2.
Cho m®t hàm f , ta có the đ%nh nghĩa f>(x) = f (x) khi |f (x)| >
1 và bang 0 neu trái lai. Đ¾t f< = f − f>. Thì f> ∈ Lq vói q ≤ p
và f< ∈ Lr vói r ≥ p. Vì v¾y Đ%nh lý 2.1.1 có hai h¾ quá trnc tiep.
H¾ quá 2.1.2. Neu p ≥ 3/2, Lp + L∞ ⊂ R + L∞, đ¾c bi¾t
L2 + L∞ ⊂ R + L∞
Chúng minh. Cho V = f + g; f ∈ Lp, g ∈ L∞. Thì f> ∈ L3/2
và
f < + g ∈ L∞ .

Q

H¾ quá 2.1.3. Neu p ≤ 3/2 ≤ q, thì Lp ∩ Lq ⊂ R, đ¾c bi¾t
L1 ∩ L2 ⊂ R ∩ L1