bài tập ôn luyện thi đại học

Bài tập ôn tập lần 1(thời gian 1 tuần,5 bài/ngày)
1)Cho tứ giác ABCD có AD=CD và
·
·
BEC
= DAC

·
DAB
= ·ABC < 900

.Đường thẳng nối D và trung điểm BC cắt AB tại E.

Chứng minh rằng

2)Cho tam giác ABC và R là điểm tùy ý trên cạnh AB.Gọi P là giao điểm cuả đường thẳng BC và đường
thẳng qua A song song CR.Giả sử Q là giao điểm của AC vs đường thẳng qua B song song CR.Chứng minh

rằng

1
1
1
+
=
AP BQ CR

3)Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và CD của tứ giác lồi ABCD.Chứng minh rằng
1
S ABCD < ( AM + AN ) 2
2

4)Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH,trung tuyến BM,phân giác CD đồng quy tại O.Chứng
BC BH
=
AC CH
minh rằng :

và BH=AC

5)Cho hình bình hành ABCD(ADđiểm của BN và DM.Đường thẳng CO cắt AB,AD tại I và K.Chứng minh rằng CD=DK.

6)(Định lí Van Oben):Cho M là điểm trong tam giác ABC.Gọi D,E,F thứ tự là giao điểm của AM,BM,CM với
AM AE AF
=
+
MD EC FB
các cạnh BC,AC,AB.Khi đó thì

7)Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M là trung điểm AD,N là trung điểm BC.Trên tia đối của tia DC lấy P,đường
thẳng PM cắt AC tại Q cắt BC tại S.Đường thẳng QN cắt CD tại R.Chứng minh rằng

a)Tam giác NPR cân

b)

MQ SQ
=
MP SP

8)Cho tam giác ABC có AM,BN,CP là các tia phân giác.Đặt BC=a,AC=b,AB=c.Chứng minh rằng

S MNP
2abc
=
S ABC ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )

9)Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có

1
1
1
27
+
+
≥
b ( a + b) c ( b + c) a ( c + a) 2( a + b + c) 2


10)Cho

x1, x2, ......, xn

là các số thực dương có tổng bằng 1.Chứng minh rằng

x1
x
x
n
+ 2 + .... + n ≥
2 − x1 2 − x2
2 − xn 2n − 1

11)Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn

a 2 + b2 + c2 + d 2 = 1

.Chứng minh rằng

(

a
b
c
d
4
+ 2
+ 2
+ 2
≥ . a a +b b +c c +d d
+1 c +1 d +1 a +1 5

b2

)

2

12)Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ac=1.Chứng minh rằng:

( a + b + c)
a3

b3
c3
+
+
≥
18
1 + 9b 2 ac 1 + 9c 2ba 1 + 9a 2cb

3

13)Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có
a3
b3
c3
a +b+c
+
+
≥
2
2
2
2
2
2
3
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a

14)Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 6 và chia hết cho 2003.

15)Gọi A là tập tất cả các số nguyên dương có thể biểu diễn dưới dạng
nguyên và b khác 0.Chứng minh rằng nếu
( ví dụ:

22 = 22 + 2.32 ⇒ 22 ∈ A

p2 ∈ A

a 2 + 2b2

với p là số nguyên tố thì

trong đó a,b là các số

p∈ A

)

16)Cho p là số nguyên tố .Chứng minh rằng

( xy p − yx p )Mp

với mọi số nguyên x,y.

17)Tứ giác lồi ABCD có AC=8,BD=6.Chứng minh rằng
a)Tồn tại một cạnh của tứ giác nhỏ hơn 7
b)Tồn tại một cạnh của tứ giác lớn hơn hoặc bằng 5

18)Cho năm điểm ở bên trong một tam giác đều cạnh bằng 2.Chứng minh rằng trong năm điểm đó,tồn
tại hai điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1.

19)Cho sáu điểm trong đó ba điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác có độ dài ba cạnh khác
nhau.Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng nối 2 điểm vừa là cạnh nhỏ nhất của một tam giác,vừa là
cạnh lớn nhất của một tam giác.

20)Tồn tại hay không 50 điểm sao cho với bất kì hai điểm A,B nào trong 50 điểm ấy cũng tồn tại một
·ACB > 600
điểm C trong các điểm còn lại sao cho

21)Cho một đa giác lồi 16 cạnh.Tại mỗi đỉnh của đa giác,viết một số tự nhiên nhỏ hơn 100.Chứng minh
rằng tồn tại hai đường chéo của đa giác sao cho hiệu hai số viết ở hai đầu đường chéo là bằng nhau.

22)Bên trong một đường tròn có bán kính 6,cho năm điểm.Chứng minh rằng trong năm điểm đó tồn tại
hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 9.

a3

23)Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng :

( b + 3c )

24)Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1.Chứng minh

25)Cho x,y,z là các số thực dương ta có
x+
26)Cho x là số thực sao cho

1
x

3

+

b3

( c + 3a )

3

+

c3

( a + 3b )

3

≥

3
64

1
1
1
2
+
+

≥
+1
a +1 b +1 c +1 a + b + c +1

1
1
1
xy + yz + xz
+
+
≤
2 x + y + z 2 y + z + x 2z + x + y
4 xyz
xn +

là số nguyên.Chứng minh rằng

1
xn

là số nguyên với mọi số

nguyên dương n.

27)Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

28)Cho x,y là các số nguyên dương thỏa mãn
x + y + z = xyz
nguyên z sao cho

( 2 x + 5 y + 1) ( 2014 x + y + x 2 + x ) = 105

x3 + x
xy − 1

là số nguyên dương.Chứng minh rằng tồn tại số

.

29)Cho a,b,c,x,y là các số thực dương.Chứng minh rằng:

a
b
c
3
+
+
≥
bx + cy cx + ay ax + by x + y


30) Cho a,b là các số tự nhiên lớn hơn 2 và p là số tự nhiên thỏa mãn
minh rằng p là hợp số.

1
1
1
=
+
p a 2 b2

.Chứng

Bài tập tự giải:
1) Cho tam giác ABC có BC là cạnh dài nhất.Trên BC lấy hai điểm D và E sao cho
BD=BA,CE=CA.Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại M.Đường thẳng qua E song song
với AC cắt AB tại N.Chứng minh rằng AM=AN.

2)Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn

1 1 2
+ =
x y z
P=

.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x+ z
z+y
+
2x − z 2 y − z

3)Cho n là số nguyên dương.Chứng minh rằng

(

)

2 12013 + 2 2013 + ... + n 2013 M( n ( n + 1) )

4)Xét 20 số nguyên dương đầu tiền 1,2,…,20.Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính
chất:Với mỗi cách lấy ra k phần tử phân biệt từ 20 số trên,đều tồn tại hai số phân biệt a,b sao
cho a+b là một số nguyên tố
5)Tìm nghiệm nguyên của phương trình

5 x 2 + y 2 = 17 + 2 xy

.

Hướng dẫn vắn tắtcó thể có lỗi,cần đọc kĩ
1)Gọi M là trung điểm BC.CE cắt AN tại P.Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác DMN với 2 cát tuyến
PCE và ABE ta chứng minh được CP là tia phân giác của góc DCN.

2)Áp dụng định lí Talet.
3)Ta có
S ABCD = S ABC + S ACD = 2 S AMC + 2 S ANC = 2 ( S AMC + S ANC ) = 2 S AMCN = 2 S AMN + 2 SCMN


Gọi I là giao điểm AM và BD.kẻ NH là đường cao tam giác AMN.ta có MN là đường trung bình nên

SCMN = S IMN < S AMN ⇒ S ABCD < 4S AMN
⇒ S ABCD <

1
( AM + AN ) 2 ( dpcm )
2

( AM + AN )
1
= 4. . AM .NH ≤ 2 AM . AN ≤ 2

2
4

2

4)ÁP dụng định lí Ce-Va cho tam giác ABC với 3 đường AH,BM,CD đồng quy ta có
BH CM AD
BH BD BC
CH AC
.
.
=1⇒
=
=
CH .BC = AC 2 ⇒
=
⇒ AC = BH
CH AM BD
CH AD AC
AC BC
Mà ta có
5)Cách 1:Áp dụng đinh lí Menelaus cho tam giác ADM với cát tuyến NOB ta có

DN AB MO
AB MO
AB IM
.
.
=1⇒
.

=1⇒
.
= 1 ⇒ IM = AN ⇒ BI = AD = BC
AN BM DO
AN DO
AN CD
·
·
·
·
⇒ BIC
= BCI
= DKC
= DCK
⇒ DK = DC
Cách 2:Gọi E là giao điểm của đường thẳng BN và CD.

Ta có BM//DE nên

Ta có DN//BC nên

BM BO
=
ED OE

mà BM=DN nên

DN BC
BO BC
=

⇒
=
ED CE
OE CE

BO DN
=
OE ED

nên CO là tia phân giác góc BCD

Sau này chứng minh tương tự như cách 1.

6)Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CM và BM lần lượt tại P và Q
AQ / / BC ⇒
Ta có

PQ / / BC ⇒
Mà

AF AQ
AE AP
AF AE AQ + AP PQ
=
; AP / / BC ⇒
=
⇒
+
=
=

FB BC
EC BC
FB EC
BC
BC

PQ PM AM
AF AE MA
=
=
⇒
+
=
BC MB MD
FB EC MD

7)Gọi O là giao điểm của MN và AC

a)Ta có MN//RP nên

OQ MO ON
=
=
⇒ CP = CR
QC CP CR

mà

NC ⊥ RP ⇒VRNP

cân

b)Chứng minh MN,NS lần lượt là tia phân giác ngoài và phân giác trong của tam giác RNP nên ta có

MQ QN QS
MQ QS
=
=
⇒
=
( dpcm )
MP PN SP
MP SP


S ABC =
8)Áp dụng công thức

1
·
AB. AC .sin BAC
2

Theo tính chất tia phân giác ta có

AN AB
AN
AB
AN
c

bc
=
⇒
=
⇒
=
⇒ AN =
NC BC
NC + AN BC + AC
b
c+a
c+a

Tương tự ta có

Tương tự ta có

bc
AP =
a+b

S ANP
S ABC
.Mặt khác ta có

1
·
. AN .NP.sin NAP
AN .NP
bc

2
=
=
=
1
AB. AC ( a + b ) ( a + c )
·
. AB. AC .sin BAC
2

S BMP
ac
S
ab
=
; CMN =
S ABC ( a + b ) ( b + c ) S ABC ( c + a ) ( c + b )

.

Khi đó ta có:

S MNP
S
S
S
bc
ac
ab
2abc

= 1 − ANP − BMP − CMN = 1 −
−
−
=
S ABC
S ABC S ABC S ABC
( a + b) ( a + c) ( a + b) ( b + c) ( c + a ) ( c + b) ( a + b) ( b + c ) ( c + a )
(Nhớ cách tính này,ứng dụng khá nhiều)

9)
1
1
1
1
1
27
+
+
≥ 33
≥3
≥
3
2
b ( a + b) c ( b + c) a ( c + a )
abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )
3 ( a + b + c) 3 ( 2( a + b + c) )
2( a + b + c)
.
27
27

10) ta có
x1
x
x
x
x
x
+ 2 + .... + n = 1 + 1 + 2 + 1 + .... + n + 1 − n
2 − x1 2 − x2
2 − xn 2 − x1
2 − x2
2 − xn
2
2 ( 1 + 1 + ... + 1)
2
2
2
2n 2
n
+
+ .... +
−n≥
−n =
−n =
2 − x1 2 − x2
2 − xn
2n − ( x1 + x2 + ... + xn )
2n − 1
2n − 1

11)
≥

a
b
c
d
a3
b3
c3
d3
+
+
+
=
+
+
+
b 2 + 1 c 2 + 1 d 2 + 1 a 2 + 1 a 2b 2 + a 2 b 2 c 2 + b 2 c 2 d 2 + c 2 d 2 a 2 + d 2

(a

a +b b +c c +d d

)

2

a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 d 2 + d 2 a 2 + a 2 + b 2 + c 2 + d 2

(a
≥

a +b b +c c +d d

)

2

(

4
≥ . a a +b b +c c +d d
5

2

 a2 + b2 + c2 + d 2 
1+ 
÷
2



3

12) ta có bổ đề

a 3 b3 c 3 ( a + b + c )

+ + ≥
x
y
z 3( x + y + z )

với a,b,c,x,y,z là các số thực dương.

Áp dụng bổ đề ta có
3

3

( a + b + c)
( a + b + c)
( a + b + c)
a3
b3
c3
1
1
+
+
≥
.
≥
.
≥
18
1 + 9b 2 ac 1 + 9c 2ba 1 + 9a 2cb 3 3 + 9abc ( a + b + c ) 3 3 + 3 ( ab + bc + ac ) 2

13) Ta sẽ chứng minh

a3
2a − b
2
≥
⇔ ( a + b) ( a − b) ≥ 0
2
2
3
a + ab + b

b3
2b − c
c3
2c − a
≥
;
≥
2
2
2
2
3
3
b + bc + c
c + ca + a

.tương tự ta sẽ có

.Khi đó ta có

a3
b3
c3
2a − b 2b − c 2c − a a + b + c
+
+
≥
+
+
=
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a

14)Xét 2004 số có dạng 6;66;666;….;666…6.Theo định lí Dirichlet thì tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia
A = 666..66; B = 666...6 ( k < n )
cho 2003.Giả sử 2 số đó là:

n

k

A − B = 666...6.10k
Khi đó ta có

n− k

chia hết cho 2003.Mà ta có

15)Ta thấy p=2 không thỏa mãn bài toán.Xét p>2.khi đó p lẻ.Vì
p 2 = a 2 + 2b2 ⇒ ( p − a ) ( p + a ) = 2b 2

M2003
( 2003;10k ) = 1 ⇒ 666...6
n−k
p2 ∈ A

nên tồn tại a,b sao cho

3

)

2


Gọi

d = ( p − a; p + a ) ⇒ d / 2 p ⇒ d ∈ { 1; 2; p; 2 p}

d Mp ⇒ a Mp ⇒ a > p ⇒ a 2 > p 2 = a 2 + 2b 2

.Giả sử

(vô lí).Mà

{ pp −+ aa == 22xy ( x; y ) = 1 ⇒ ( p + a ) ( p − a ) = 4xy = 2b
2
n
2
2
2
⇒ 2 p = n + 2m ⇒ p = m + 2  ÷

( p − a ) ( p + a ) M2 ⇒ d = 2

do đó ta có

2
2
2 ⇒ 2 xy = b2 ⇒  x = m ⇒  p + a = n


2
2
2 y = n
 p − a = 2m

2

Do n chẵn nên tồn tại bộ số (m;n/2) thỏa mãn nên

16) Ta có

p∈ A

 x p ≡ x [ p]
 x p y ≡ xy [ p ]
⇒ p
⇒ xy p − xy p Mp
 p
y
≡
y
p
xy
≡
xy
p
[
]
[
]



17)a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.Khi đó ta có
OA + OB > AB ⇒ OA + OB + OC + OD > AB + CD ⇒ AC + BD > AB + CD ⇒ 14 > AB + CD

OC + OD > CD

{

Khi đó sẽ tồn tại một trong hai cạnh AB,CD có độ dài nhỏ hơn 7(dpcm)

·AOB ≥ 900

b)Ta có thể giả sử
khi đó kẻ BK vuông góc với AC ta sẽ có
AB 2 = KA2 + BK 2 ≥ OA2 + OB 2
Tương tự ta có

KA ≥ OA

.Ta có

CD 2 ≥ OC 2 + OD 2 ⇒ AB 2 + CD 2 ≥ OA2 + OC 2 + OB 2 + OD 2
1
2 1
2 AC 2 + BD 2
≥ ( OA + OC ) + ( OB + OD ) ≥
= 50
2
2
2

Khi đó ta có thể giả sử

AB 2 ≥ 25 ⇒ ΑΒ ≥ 5

.(Thử tự dự đoán dấu bằng xảy ra khi nào nhé!!!!)

18)Gọi tam giác đó là ABC và F,D,E là trung điểm BC,AB,AC.Khi đó tam giác ABC được chia làm 4 tam giác
đều bằng nhau có cạnh là 1.Theo định lí Dirichlet ta có sẽ tồn tại ít nhất 2 điểm thuộc 1 tam giác.
Giả sử 2 điểm đó là M,N và nằm trong tam giác BDF và M,N không trùng với các đỉnh B,D,F.Ta sẽ chứng
·
·
BGH
+ BHG
= 1200
minh MN<1.Giả sử MN cắt BD,BF tại G và H.Ta có
khi đó tồn tại 1 góc lớn hơn
·
BGH
≥ 600 ⇒ ΗΒ ≥ HG ⇒ BF > HB ≥ HG ≥ MN ⇒ 1 > MN
hoặc bằng 60.giả sử là


19)Xét từng đoạn thẳng,ta sẽ tô đỏ nếu nó là cạnh nhỏ nhất của một tam giác,tô màu xanh nếu nó
không là cạnh nhỏ nhất của một tam giác nào.Như vậy mỗi tam giác phải có ít nhất một cạnh màu
đỏ.Khi đó ta cần chứng minh tồn tại một tam giác mà ba cạnh tô màu đỏ.Khi đó cạnh lớn nhất của tam
giác này sẽ là cạnh nhỏ nhất của tam giác khác(vì nó được tô màu đỏ)

20)Giả sử tồn tại 50 điểm thỏa mãn bài toán.
Vì số điểm là hữu hạn nên tồn tại 2 điểm A,B sao cho AB là đoạn thẳng có độ dài bé nhất.

·ACB > 60

Chọn 2 điểm là A,B.Khi đó tồn tại điểm C sao cho

.Vì AB là cạnh nhỏ nhất nên ra sẽ có
µA > 60; B
µ > 60 ⇒ µA + B
µ +C
µ > 1800
là góc nhỏ nhất khi đó ta có
(vô lý).

·ACB

Vậy không tồn tại 50 điểm thỏa mãn bài toán

( n − 3) n
21)Ta sẽ chứng minh rằng tứ giác có n cạnh thì có

2

đường chéo.Khi đó ta có

16.13
= 104
2

đường chéo.
Hiệu hai số ở hai đầu đường chéo có giá trị nhỏ nhất là 0(khi hai số ở đầu bằng nhau) và hiệu lớn nhất là
99(vì 99-0).Có 100 hiệu mà có 104 đường chéo.Khi đó tồn tại hai đường chéo có hiệu bằng nhau.

22)Chia đường tròn làm 4 phần bằng nhau khi đó tồn tại 2 điểm thuộc chung một phần.Chứng minh
khoảng cách 2 điểm đó nhỏ hơn 9.

( x + y + z)
x3 + y 3 + z 3 ≥
23)Ta có bổ đề:Cho x,y,z là các số thực dương khi đó ta có:
a3
Áp dụng bổ đề ta có

Ta sẽ chứng minh

+

b3

+

c3

( b + 3c ) 3 ( c + 3a ) 3 ( a + 3b ) 3

3

9

3

1 a
b
c 
≥ 
+

+
÷
9  b + 3c c + 3a a + 3b 

a
b
c
3
+
+
≥
b + 3c c + 3a a + 3b 4

24)
ab + bc + ac + 2 ( a + b + c ) + 3
1
1
1
2
2
+
+
≥
+1 ⇔
≥
+1
a +1 b +1 c +1 a + b + c +1
a + b + c +1
( a + 1) ( b + 1) ( c + 1)
ab + bc + ac + 2 ( a + b + c ) + 3

2
a + b + c +1
2
⇔
−1 ≥
⇔
≥
a + b + c +1
2 + ab + bc + ac + a + b + c a + b + c + 1
( a + 1) ( b + 1) ( c + 1)
2
⇔ ( a + b + c + 1) ≥ 2 ( 2 + ab + bc + ac + a + b + c ) ⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3


25)ta có
1
1
1
1 1
1  1 1
1  1 1
1 
+
+
≤ 
+
+
+
÷+ 
÷+ 

÷
2x + y + z 2 y + z + x 2z + x + y 4  x + y x + z  4  x + y y + z  4  z + x z + y 
1 1
1
1  1  1  1 1  1  1 1  1  1 1   1  1 1 1  xy + yz + xz
≤ 
+
+
÷ ≤   + ÷+  + ÷+  + ÷÷ ≤  + + ÷ =
2  x + y y + z z + x  2  4  x y  4  y z  4  z x  4  x y z 
4 xyz
Sn = x n +

26)Đặt

1
xn

.Ta có

Sn +1 + Sn −1 = x n +1 + x n −1 +

Từ

S0 = 1, S1

27)Vì
Vì

1

x n +1

+

1
x n −1

1 
1 

=  x + ÷ x n +
÷ = S1.S n
x 
xn 


là số nguyên,bằng quy nạp ta chứng minh được

( 2 x + 5 y + 1) ( 2014 x + y + x 2 + x ) = 105

2014 x + y + x 2 + x

lẻ mà y chẳn và

Nhưng chỉ có trường hợp

2014 x = 1

Sn

là số nguyên với mọi n nguyên dương.

và 105 lẻ nên ta có 2x+5y+1 lẻ nên ta có y chẳn.

x 2 + x = x ( x + 1)

chẵn nên ta sẽ có

2014 x

lẻ

là lẻ nên x=0.Thay x=0 vào ta có

y = 4

( 5 y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5 y 2 + 6 y − 104 = 0 ⇔  y = −26 ⇒ y = 4


5

28)Theo giả thiết ta có

( x3 + x ) M( xy − 1) ⇒ x ( x2 + 1) M( xy − 1) ⇒ ( x 2 + 1) M( xy − 1) ⇒ ( x2 + 1 + xy − 1) M( xy − 1)
⇒ x ( x + y ) M( xy − 1) ⇒ ( x + y ) M( xy − 1)

Khi đó tồn tại

z∈Z+

sao cho

x + y = z ( xy − 1) ⇒ x + y + z = xyz

29) Ta có
2

( a + b + c)
a
b
c
a2
b2
c2
+
+
=
+
+
≥
bx + cy cx + ay ax + by abx + acy bcx + aby acx + bcy ( x + y ) ( ab + bc + ac )
3 ( ab + bc + ac )
3
≥
=
( x + y ) ( ab + bc + ac ) x + y


(

30) Ta có
Trong đó

1
1
1
=
+
⇒ a 2b 2 = p a 2 + b 2
2
2
p a
b

( x; y ) = 1

)
.Gọi

(

d = ( a, b ) ⇒ a = dx, b = dy

)

(

)

d 2 x 2 y 2 = p x 2 + y 2 ⇒ p x 2 + y 2 Mx 2 ⇒ py 2 Mx 2 ⇒ p Mx 2

.Khi đó ta có