Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm nguyên hàm – tích phân dùng casio

Nhóm Casio - Latex biên tập

TUYỂN TẬP CÂU HỎI
TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN DÙNG CASIO

Biên tập: Nguyễn Bình Nguyên

Tháng 02 - 2018


Mục lục
1

Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1

Phương pháp bấm máy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1

Cơ sở lí thuyết giải nguyên hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2

Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II . .

6

3

Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm . . . . . . . . . . . . . . .

12

4

Nguyên hàm dạng cho f (x) và F (a). Tính F (b) - Thầy Học Toán . . . . . . . . .

20

5

Tích phân dạng đặc biệt- Thầy Huỳnh Văn Quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

6

Tích phân hàm hữu tỉ- Thầy Triệu Minh Hà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

7

Tích phân của hàm lượng giác- Thầy Nguyễn Hữu Nhanh Tiến . . . . . . . . . . .

41

8

Đổi biến chứa ex - Thầy Nguyễn Vân Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

9

Tích Phân Casio liên quan đến ln x - Thầy Nguyễn Tài Tuệ . . . . . . . . . . . . .

52

10

Tích phân từng phần - Thầy Trần Hiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2

1


Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng

1

2

Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng

1.1 PHƯƠNG PHÁP BẤM MÁY
Phương pháp tìm nguyên hàm
Như chúng ta đã biết, nếu:

f (x)dx = F (x) + C thì khi đó ta có ngay: F (x) = f (x) hay có thể

nói f (x) − F (x) = 0, ∀x.
Từ đây ta có một cách để tính nguyên hàm bằng máy tính casio như sau:
d
Ta nhập vào máy như sau: f (X) −
(F (X)) |x=X , ở đây F (X) chính là các đáp án của đề.
dx
d
để bấm được
(F (X)) |x=X ta bấm tổ hợp phím sau: qy

dx
Sau khi nhập xong bấm = để lưu biểu thức vừa nhập. Tiếp tục bấm r để tính toán với một
số giá trị khác nhau. Nếu kết quả đều bằng 0 hoặc sấp xỉ bằng 0 thì chọn đáp án đó.
Lưu ý: có thể dùng chế độ fix - 9 để dò đáp án bằng cách bấm: qw69.
Xác định nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0 ) = C
Cú pháp trên máy casio:
X

F (X) − C −

f (X)dx
x0

Trong đó: x0 và C là những hằng số cho trước.
Chú ý: Cần chuyển đơn vị từ DEG sang RAD bằng cách bấm: qw4
1.2 CÁC VÍ DỤ
√
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x 1 + x2 .
ä
ä3
1 Ä 2√
1 Ä 2√
A.
x 1 + x2 + C.
B.
x 1 + x2 + C.
2
3
ä3
ä

1 Ä 2√
1 Ä√
2
C.
1 + x + C.
D.
x 1 + x2 + C.
3
3
Lời giải. Chọn đáp án C
Phân tích: Theo định nghĩa nguyên hàm ta có:
f (x) dx = F (x) + C, suy ra F (x) = f (x).
Thao tác bấm máy như sau:
d
Nhập vào màn hình
F (X)
− f (x), với F (X) là các kết quả.
x=X
dx
Tiếp tục bấm r cho X bằng giá trị tùy ý thuộc tập xác định. Nếu kết quả nào bằng 0 thì chọn.
Giả sử ta thử đáp án A.
Bấm máy:

Kết quả:

qy1a2$(Q)ds1+Q
)d$)$Q)$pQ)s1+
Q)dr5=
Làm tương tự với các đáp án còn lại.
x2 − 1

Câu 2. Nguyên hàm
dx bằng
x(x2 + 1)
1
1
A. ln x − 2 + C.
B. ln x − + C.
x
x

C. ln x +

1
+ C.
x

D. ln x2 −

1
+ C.
x


Các ví dụ

3

Lời giải. Chọn đáp án C
Thử đáp án A. Nhập vào màn hình
Ç

d
1
ln x − 2
dx
x

å
x=X

−

X2 − 1
X(X 2 + 1)

bấm r nhập vào 2 bấm = được kết quả: −0.549, suy ra loại đáp án A. Tương tự thử lại cho
các đáp án khác.

A. F (x) = ex + ln(ex + 1) + C.

e2x
?
ex + 1
x
B. F (x) = e + 1 − ln(ex + 1) + C.

C. F (x) = ex − ln |x| + C.

D. F (x) = ex + ln |x| + C.

Câu 3. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số y =

Lời giải. Chọn đáp án B
Ç
å
ex d(ex + 1)
1
e2x
dx =
=
1− x
d(ex + 1) = ex + 1 − ln(ex + 1) + C.
Ta có
x
x
e +1
e +1
e +1
Cách bấm máy: Ta thử với đáp án B.
ä
d Ä X
e2X
Nhập vào
e + 1 − ln(eX + 1)
− X
bấm r2= được kết quả 0.
x=X
dx
e +1
4x + 2

Câu 4. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2
và F (−2) = ln 81. Tính
x +x+1
F (2).
A. F (2) = ln 9.

B. F (2) = 2 ln 7 − ln 9.

C. F (2) = ln 7 − ln 9.

D. F (2) = 2 (ln 7 + ln 3).

Lời giải. Chọn đáp án D
Đặt t = x2 + x + 1, khi đó ta được F (x) = 2 ln |x2 + x + 1| + C.
Ta có F (−2) = ln 81 =⇒ C = 2 ln 3. Do đó F (2) = 2 (ln 7 + ln 3).
2

Cách bấm máy: Ta có
−2

4x + 2
dx = F (2)−F (−2), suy ra F (2) =
2
x +x+1

2

−2

4x + 2

dx+F (−2).
+x+1

x2

Sử dụng MTCT và so sánh với các phương án ta được F (2) = 2 (ln 7 + ln 3).
x
Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số y = √
.
1 + x4
√
√
ä
ä
1 Ä
1 Ä
A. f (x) dx = ln x2 − 1 + x4 + C.
B. f (x) dx = ln x2 + 1 + x4 + C.
2
2
√
ä
1 √
1 Ä
C. f (x) dx = ln 1 + x4 + C.
D. f (x) dx = ln x − 1 + x4 + C.
4
4
Lời giải. Chọn đáp án B
Ta có:

√
ä
x dx
d(x2 )
dt
1
1 Ä 2 √
2 +C =
4 + C.
√
√
√
=
=
=
ln
t
+
1
+
t
ln
1
+
x
x
+
2
2
1 + x4

2 1 + x4
2 1 + t2
Dùng
máy
tính:
Thử
đáp
án
A,
bấm:
Ç
å
√
d 1
x
2
4
ln(x − 1 + x )
−√
.
x=X
dx 2
1 + x4
Bấm r3= được kết quả Math ERROR, suy ra đáp án A sai. Sửa biểu thức để thử đáp
án B và thử với r3= được kết quả −1, 606 · 10−12 ≈ 0, suy ra chọn B đúng.
x
1
Câu 6. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
và f (1) = ln 2. Tính F (2).
2

1+x
2
1
1 5
5
A. F (2) = ln 5.
B. F (2) = ln .
C. F (2) = ln 5.
D. F (2) = ln .
2
2 4
4
Lời giải. Chọn đáp án A


Các ví dụ

4
2

Bấm máy
1

X
1
+ ln 2 bấm =.
2
1+X
2

Đối chiếu với các kết quả ta được F (2) =

1
ln 5.
2
1
1
, biết F (1) = − ln 6 + 4.
+ 5)
10
x2
1
ln
B. F (x) =
− 4.
10 5 + x2
x2
1
D. F (x) = − ln
− 4.
10 5 + x2

Câu 7. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) =

x(x2

1
x2
ln
+ 4.

10 5 + x2
x2
1
+ 4.
C. F (x) = − ln
10 5 + x2
Lời giải. Chọn đáp án A
x2 + 5 − x2
1
x
1
=
=
−
.
Ta có: f (x) =
2
2
2
x(x + 5)
5x(x + 5)
5x 5(x + 5)
d(x2 + 5)
1
x2
dx
−
=
ln
+ C.

Do đó: f (x) dx =
5x
10(x2 + 5)
10 x2 + 5
1
1
1
1
F (1) = − ln 6 + 4 ⇔ − ln 6 + 4 =
ln + C ⇔ C = 4.
10
10
10 6
1
x2
Vậy F (x) =
ln
+ 4.
10 5 + x2
Cách dùng máy tính:
A. F (x) =

Thử đáp án A. Nhập vào máy như sau:
X
Ç
å
x2
1
1
1

ln
+ 4 − − ln 6 + 4 −
dx.
2
10 5 + x
10
X(X 2 + 5)
1

Bấm r3= thấy kết quả bằng 0.
√
x4 − 1
1
Câu 8. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6
, biết F ( 3) = 4 − √ ln 7.
x +1
2 3
√
√
x2 − 3x + 1
1
x2 − 3x + 1
1
+ 4.
B. − √ ln 2 √
− 4.
A. √ ln 2 √
2 3 x +√ 3x + 1
2 3 x +√ 3x + 1
1

x2 − 3x + 1
1
x2 − 3x + 1
C. √ ln 2 √
+ 4.
D. − √ ln 2 √
− 4.
3 x + 3x + 1
3 x + 3x + 1
Lời giải. Chọn đáp án A
(x2 − 1)(x2 + 1)
x2 − 1
f (x) = 2
=
.
(x + 1)(x4 − x2 + 1)
x4 − x2 + 1
Do đó:
Ä
ä
√
d x + x1
1 − x12
x + x1 − 3
x2 − 1
1
√ +C
dx =
dx = Ä
dx = √ ln

ä2
x4 − x2 + 1
x2 + x12 − 1
2 3 x + x1 + 3
x + x1 − 3
√
1
x2 − 3x + 1
= √ ln 2 √
+ C.
2 3 x + 3x + 1
√
√
1
1
x2 − 3x + 1
F ( 3) = 4 − √ ⇔ C = 4. Do đó: F (x) = √ ln 2 √
+ 4.
2 3
2 3 x + 3x + 1
Cách dùng máy casio:
Nhập

√
X
Ç
å
1
X 2 − 3X + 1
1

X4 − 1
√ ln
√
√ ln 7 −
+
4
−
4
−
dx
6
2 3 X 2 + 3X + 1
2 3
√ X +1
3

bấm r3=, được kết quả 0, suy ra đáp án A đúng.
Câu 9. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) =

1
x(2x50

+ 7)

, biết F (1) = −

1
ln 9 − 6.
350

Các ví dụ

5

1
x50
1
x50
A. F (x) =
ln
− 6.
B. F (x) =
ln
+ 6.
350 2x50 + 7
350 2x50 + 7
50
50
1
x
1
x
C. F (x) =
ln 50
− 6.
D. F (x) = − ln 50
− 6.
50 2x + 7
50 2x + 7

Lời giải. Chọn đáp án A
(2x50 + 7) − 2x50
1
2x49
Ta có f (x) =
=
−
. Suy ra:
50 + 7)
50 + 7)
7x(2x
7x
7(2x
Ç
å
Ç
å
1
1
1
1
1
2x49
x50
50
f (x) dx =
−
dx =
ln |x| −
ln(2x + 7) + C =

ln
+ C.
7
x 2x50 + 7
7
50
350 2x50 + 7
1
1
x50
Với F (1) = −
ln 9 − 6 ⇒ C = −6, nên F (x) =
ln 50
− 6.
350
350 2x + 7
Bấm máy tính: Thử với đáp án A.
Nhập
1
X 50
1
ln
−6− −
ln 9 − 6 −
50
350 2X + 7
350
Ç

bấm r2=, kết quả bằng 0.

å

X

1

1
X(2x50

+ 7)

dx


Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức

2

6

Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức

2.1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT GIẢI NGUYÊN HÀM HỮU TỶ
P (x)
dx
Q(x)

I=

a) Nếu bậc P (x) ≥ bậc Q(x) thì ta chia đa thức:

TS
Dư
= Thương +
.
MS
MS

b) Nếu bậc P (x) < bậc Q(x):



x1 , x2 , ..., xn





là nghiệm đơn

1) Tìm nghiệm Q(x) = 0: giả sử  x0 là nghiệm bội k




 ax2

+ bx + c là bậc hai vô nghiệm

P (x)
theo các tình huống sau:
Q(x)
B1
B2
Bn
• Với nghiệm đơn thì viết ở dạng
+
+ ... +
.
x − x1 x − x2
x − xn
A1
A2
Ak
• Với nghiệm bội x0 (bội k) ta viết ở dạng
+
+ ... +
.
2
x − x0 (x − x0 )
(x − x0 )k
Ax + B
.
• Với tam thức bậc hai ax2 + bx + c ta phân tích ở dạng 2
ax + bx + c
3) Tìm các hệ số Ai , Bi bằng phương pháp đồng nhất thức.

2) Phân tích

2.2 THỰC HIỆN PHÉP CHIA ĐA THỨC- SỬ DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570 ES PLUS II
Trường hợp nghiệm đơn
2x2 − x + 3
.
x+2
B. 2x2 − 5x + 13 ln |x + 2| + C.
x2
D.
− 5x + 13 ln |x + 2| + C.
2

Câu 1 (2D3B1). Tìm nguyên hàm của biểu thức f (x) =
A. x2 − 5x + 13 ln |x + 2| + C.
C. x2 − 13x + 5 ln |x + 2| + C.
Lời giải. Chọn đáp án A

• Ta thực hiện phép chia đa thức q612[dp[+3q) [+2)r10
• Kết quả:
– Thương là 195 = 200 − 5 = 2x − 5.
– Dư là 13.
• Nguyên hàm

2x2 − x + 3
dx =
x+2

Câu 2 (2D3B1). Tính nguyên hàm
A. x − 4 ln |x + 1| + C.
C. x + 4 ln |x + 1| + C.
Lời giải. Chọn đáp án A

Ç

å

13
2x − 5 +
dx = x2 − 5x + 13 ln |x + 2| + C.
x+2

x−3
dx.
x+1

B. x − ln |x + 1| + C.
D. −x + 4 ln |x + 1| + C.


Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II

7

Ta thấy tử số và mẫu số có bậc bằng nhau, tuy nhiên tử số nhỏ hơn mẫu số nên khi thực hiện
phép chia như trên ta sẽ có kết quả (sai) như sau
• Ta thực hiện phép chia đa thức q61[p3 q) [+1)r100
• Kết quả:
– Thương là 0 = 0x.
– Dư là 97.
Muốn thực hiện được phép chia trong trường hợp tử số nhỏ hơn mẫu số, ta phải thêm một giá trị
vào tử số sao cho tử số lớn hơn mẫu số (giả sử ta thêm 10)

• Ta thực hiện phép chia đa thức q6110+[p3q)[+1)r100
• Kết quả:
– Thương là 1.
– Dư là 6: do ta thêm 10 vào tử số nên dư sẽ phải bớt đi 10, tức là phần dư đúng trong
phép chia là 6 − 10 = −4.
• Nguyên hàm

x−3
dx =
x+1

å

Ç

4
dx = x − 4 ln |x + 1| + C.
1−
x+1

Chú ý: Trong trường hợp tử số nhỏ hơn mẫu số (cùng bậc), ta thường phải cộng thêm một số
vào tử số để thực hiện phép chia cho chính xác, số cần cộng thêm vào tử là hiệu giữa mẫu số và
tử số.
Câu 3 (2D3B1). Tính nguyên hàm
1
5
A. ln |x − 1| + ln |x + 2| + C.
3
3
1

5
C. ln |x − 1| − ln |x + 2| + C.
3
3
Lời giải. Chọn đáp án A

2x − 1
dx.
+x−2
1
5
B. ln |x + 2| + ln |x − 1| + C.
3
3
1
5
D. − ln |x + 2| + ln |x + 2| + C.
3
3

x2

Ta thấy mẫu số có hai nghiệm đơn 1 và −2 nên ta có thể phân tích

2x − 1
A
B
=
+
.

+x−2
x−1 x+2

x2

• Tìm A:
– Ta nhập a2[p1R[+2r1
1
1
– Kết quả ⇒ A =
3
3
• Tìm B:
– Ta nhập a2[p1R[p1rp2
5
5
– Kết quả ⇒ B =
3
3
Như vậy

2x − 1
dx =
2
x +x−2

Ç

å

1
5
1
5
+
dx = ln |x − 1| + ln |x + 2| + C.
3(x − 1) 3(x + 2)
3
3


Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II

8

B1
B2
Bn
+
+ ... +
,
x − x1 x − x2
x − xn
muốn tìm các hệ số Bi ta làm như sau: nhập biểu thức cần tính nguyên hàm (bỏ biểu thức x − xi )
Chú ý: Khi tách phân thức trong trường hợp nghiệm đơn ở dạng

và sử dụng chức năng r, thay giá trị xi vào ta sẽ tìm được Bi .
x2 + x − 4
dx.
Câu 4 (2D3K1). Tính nguyên hàm

(x − 1)(x + 2)(x − 3)
1
2
4
A. ln |x − 1| +
ln |x + 2| + ln |x − 3| + C.
3
15
5
1
2
4
B. − ln |x − 1| +
ln |x + 2| + ln |x − 3| + C.
3
15
5
4
2
1
ln |x + 2| + ln |x − 3| + C.
C. ln |x − 1| +
3
15
5
1
2
4
D. ln |x − 1| +
ln |x + 2| − ln |x − 3| + C.

3
15
5
Lời giải. Chọn đáp án A
a) Thực hiện phép tách

x2 + x − 4
A
B
C
=
+
+
.
(x − 1)(x + 2)(x − 3)
x−1 x+2 x−3

• Tìm A:
– Ta nhập a[d+[p4R([+2)([p3)r1
1
1
– Kết quả ⇒ A =
3
3
• Tìm B:
– Ta nhập a[d+[p4R([p1)([p3)rp2
2
2
⇒B=
– Kết quả

15
15
• Tìm C:
– Ta nhập a[d+[p4R([p1)([+2)r3
4
4
– Kết quả ⇒ C =
5
5
x2 + x − 4
1
2
4
b) Vậy
dx =
+
+
dx
(x − 1)(x + 2)(x − 3)
3(x − 1) 15(x + 2) 5(x − 3)
1
2
4
= ln |x − 1| +
ln |x + 2| + ln |x − 3| + C
3
15
5
Ç

Câu 5 (2D3B1). Tính nguyên hàm
A. −

x2
− x + ln |x| + C.
2

x2
+ x + ln |x| + C.
2
Lời giải. Chọn đáp án A
C.

å

x3 − 2x + 1
dx.
x − x2
x2
B.
− x + ln |x| + C.
2
x2
D. − − 2x + ln |x| + C.
2

Nhận thấy hệ số của x2 (ở mẫu) là −1 nên ta phải đảo dấu của phân thức để hệ số của x2 trở
x3 − 2x + 1
thành 1, tức là −
.

x2 − x
a) Phép chia đa thức q61[Dp2[+1q)[dp[)r1000
• Thương là 1000.
• Dư là 998001 ⇒ ta phải điều chỉnh phép chia để dư nhỏ hơn 1000 (số chia).


Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II

9

b) Điều chỉnh phép chia đa thức
q612[+[Dp2[+1q)[dp[)r1000
• Thương là 1001 ⇒ thương là x + 1.
• Dư là 1001 ⇒ dư là x+1−2x = −x+1 ⇒
c) Thực hiện phép tách

x3 − 2x + 1
dx =
x − x2

x−1
dx.
−x − 1 + 2
x −x

Ç

å

x−1

A
B
=
+ .
2
x −x
x−1
x

• Tìm A:
– Ta nhập a[p1R[r1
– Kết quả 0 ⇒ A = 0
• Tìm B:
– Ta nhập a[p1R[p1r0
– Kết quả 1 ⇒ B = 1
d) Vậy

x3 − 2x + 1
dx =
x − x2

1
x2
−x − 1 +
dx = − − x + ln |x| + C.
x
2

Ç

å

Chú ý: Trường hợp hệ số bậc cao nhất ở mẫu là số âm thì ta phải đổi dấu biểu thức dưới mẫu
để đảm bảo phép chia đa thức được chính xác.
x3 + 2x2 + x + 1
Câu 6 (2D3K1). Tính nguyên hàm
dx.
3x2 + 4x + 1
23
x2 2x 1
23
x2 2x 1
+
− ln |x + 1| +
ln |3x + 1| + C. B.
+
− ln |x + 1| +
ln |3x + 1| + C.
A.
6
9
2
54
3
9
2
54
x2 2x 1
23
x2 2x

23
C.
−
− ln |x + 1| +
ln |3x + 1| + C. D.
+
− ln |x + 1| +
ln |3x + 1| + C.
6
9
2
54
6
9
54
Lời giải. Chọn đáp án A
Vì mẫu số bậc hai (ta phải chia hai lần) và hệ số của x2 là 3 nên ta sẽ nhân thêm 9 vào tử số để
thực hiện phép chia cho đơn giản.
a) Phép chia
q619([D+2[d+[+1)q)3[d+4[+1
r1000
• Thương là 3001.
• Dư là 3002008 ⇒ mẫu số là một bậc hai (bằng với bậc của số chia) nên ta phải điều
chỉnh phép chia để dư thành một bậc nhất.
Nhận thấy mẫu số là 3004001 nên phần dư đang thiếu 2000 = 2x ⇒ ta thêm 2x vào
tử số.
b) Điều chỉnh phép chia đa thức
q619(2[+[D+2[d+[+1)q)
3[d+4[+1)r1000
• Thương là 3002 ⇒ thương là 3x + 2.

Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II

10

• Dư là 16007 ⇒ dư là 16x + 7 − 18x = −2x + 7.
Vì ta nhân 9 vào tử số nên thương và dư trong phép chia lần lượt là
c) Thực hiện phép tách

x 2
2
7
+ và − x + .
3 9
9
9

−2x + 7
A
B
=
+
.
2
3x + 4x + 1
x + 1 3x + 1

• Tìm A:
– Ta nhập ap2[+7R3[+1rp1

9
9
– Kết quả − ⇒ A = −
2
2
• Tìm B:
– Ta nhập ap2[+7R[+1rpa1R3
23
23
– Kết quả
⇒B=
2
2
x 2
x3 + 2x2 + x + 1
1
23
dx
=
+
−
+
dx
d) Vậy
3x2 + 4x + 1
3 9 2(x + 1) 18(3x + 1)
x2 2x 1
23
=
+

− ln |x + 1| +
ln |3x + 1| + C
6
9
2
54
Ç

å

Chú ý: Trường hợp hệ số k của bậc cao nhất của mẫu số khác 1 thì ta thường phải điều chỉnh
bằng cách: nhân tử số với k m (trong đó m là bậc của mẫu số) để thực hiện phép chia chính xác
hơn.
Trường hợp nghiệm bội
f (x)
M
N
=
Q(x)
+
+
thì việc tìm M giống trường hợp nghiệm
(ax + b)2
(ax + b)2 ax + b
đơn, còn tìm N có thể có một số cách sau:
Chú ý: Nếu tách

a) N =

A

(cần xem cơ sở lí thuyết).
a

f (x) − M
b) Thực hiện phép trừ N =
− Q(x) .(ax + b) và gán số tùy ý (sao cho mẫu số khác
(ax + b)2
0).
ñ

Câu 7 (2D3B1). Tính nguyên hàm
1
1
+ ln |2x + 1| + C.
4(2x + 1) 4
1
1
C.
+ ln |2x + 1| + C.
4(2x + 1) 4
Lời giải. Chọn đáp án A
A. −

a) Thực hiện phép tách

ô

x+1
dx.
(2x + 1)2

1
1
+ ln |2x + 1| + C.
4(2x + 1) 2
1
1
D.
+ ln |2x + 1| + C.
2(2x + 1) 4
B. −

x+1
A
B
=
+
.
(2x + 1)2
(2x + 1)2 2x + 1

• Tìm A:
– Ta nhập [+1rpa1R2
1
1
– Kết quả ⇒ A =
2
2


Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II

11

• Tìm B:
– Ta nhập
a[+1pa1R2R(2[+1)dr1000
1
1
1
– Kết quả
⇒B=
.2001 =
4002
4002
2
b) Vậy

x+1
dx =
(2x + 1)2

Ç

å

1
1
1
1
dx = −

+ ln |2x + 1| + C.
+
2
2(2x + 1)
2(2x + 1)
4(2x + 1) 4

x3 + 3x2
dx.
Câu 8 (2D3K1). Tính nguyên hàm
x3 − 4x2 + 5x − 2
4
A. x + 20 ln |x − 2| +
− 13 ln |x − 1| + C.
x−1
4
B. x + 20 ln |x − 2| +
+ 13 ln |x − 1| + C.
x−1
4
C. x + 20 ln |x − 2| −
− 13 ln |x − 1| + C.
x−1
4
D. x + 10 ln |x − 2| +
− 13 ln |x − 1| + C.
x−1
Lời giải. Chọn đáp án A
Ta thấy mẫu số có nghiệm 2 (đơn) và 1 (kép), do vậy
A

B
C
x3 + 3x2
=1+
+
+
.
3
2
2
x − 4x + 5x − 2
x − 2 (x − 1)
x−1
a) Tìm A:
• Ta nhập a[D+3[dR([-1)dr2
• Kết quả 20 ⇒ A = 20
b) Tìm B:
• Ta nhập a[D+3[dR[-2r1
• Kết quả −4 ⇒ B = −4
c) Tìm C:
• Ta nhập a[D+3[dR([-2)([-1)d-1a20R[-2E+a4R([-1)dr1000
13
⇒ C = −13
• Kết quả −
999
d) Vậy

x3 + 3x2
dx =
x3 − 4x2 + 5x − 2

4
− 13 ln |x − 1| + C.
x−1

Ç

å

20
4
13
1+
−
−
dx = x + 20 ln |x − 2| +
2
x − 2 (x − 1)
x−1


Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm

3

12

Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm

√

Câu 1. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x x2 + 1 biết F (0) = 3.
»
1»
8
A. F (x) =
(1 + x2 )3 + .
B. F (x) = 3 (1 + x2 )3 .
3 »
3
»
1
10
8
3
2
C. F (x) = −
D. F (x) = 3 (1 + x2 )3 + .
(1 + x ) + .
3
3
3
Lời giải. Chọn đáp án A
Phương pháp chung:
• Bước 1: Nhập F (x) vào máy tính Calc 0 =
d
(F (x))
−f (x)
dx
x=X
trùng với các giá trị đặc biệt).

• Bước 2: Nhập

Calc

giá trị X thuộc miền xác định của hàm số (không

Cụ thể như sau:

nhấn Calc 2 =. Kết quả bằng 3 thỏa.
Nhập tiếp:

Màn hình kết quả như sau:

Chọn đáp án: F (x) =

1»
8
(1 + x2 )3 + .
3
3

1
10
Câu 2 (2D3B2-10). Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x (1 + x2 ) biết F (0) = .
22
1
1
1
2 11

2 11
A. F (x) =
(1 + x ) .
B. F (x) =
(1 + x ) − .
22
11
22
21
1
21
2 11
2 11
C. F (x) = (1 + x ) − .
D. F (x) =
(1 + x ) − .
22
22
22
Lời giải. Chọn đáp án A
Ç
å
d
1
10
2 11
Calc 2 = kết quả bằng 0.
Nhập vào
(1 + x )
− X (1 + X 2 )

dx 22
x=X
1
11
Vậy F (x) =
(1 + x2 ) .
22
ln3 x
Câu 3 (2D3B2-10). Cho f (x) =
. Tìm nguyên hàm F (x), biết F (e2 ) = 3.
x


Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm
ln4 x
ln4 x
− 1. B. F (x) =
+ 1.
A. F (x) =
4
4
Lời giải. Chọn đáp án A

13

ln4 x
C. F (x) =
.
4

D. F (x) = ln4 x − 13.

Bước 1: nhập từng đáp án Calc e2 vào ta loại được phương án B, C.
Nhập
sau:
Ç vào máy
å tính biểu thức
d ln(X)4
ln(X)3
Calc 2 = ta được kế quả bằng 0.
−
dx
4
X
x=X
ln4 x
Vậy F (x) =
− 1.
4
Å ã
π
5
Câu 4. Cho f (x) = sin2 x · cos x. Tìm nguyên hàm F (x), biết F
=− .
2
3
sin3 x
sin3 x
A. F (x) =
+ 2.

B. F (x) =
− 2.
3
3
14
8
D. F (x) = 3 sin3 x − .
C. F (x) = sin3 x − .
3
3
Lời giải. Chọn đáp án B
Chuyển máy tính sang chế độ Radian ( Shift Mode 4).
ta loại được phươngÇán A. å
d sin(X)3
− sin(X)2 × cos(X) Calc 3 = ta được kết quả như
Nhập vào máy tính
dx
3
x=X
sau:
Calc

xấp xỉ với số 0.
3

Vậy F (x) =

sin x
− 2.
3

x3
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) có f (x) = 4
. Biết f (1) = ln 2. Tính f (2).
x +1
1
3
1
1
A. f (2) = ln 17 − ln 2.
B. f (2) = ln 17 + ln 2.
4
4
4
4
1
1
1
3
C. f (2) = ln 17 − ln 2.
D. f (2) = ln 17 + ln 2.
4
4
4
4
Lời giải. Chọn đáp án D
2

2

f (x)dx = f (2) − f (1) ⇒ f (2) =

Ta biết
1

f (x)dx + f (1).
1

Nhập vào máy tính:

nhấn phím =

Shift

RCL

z (lưu kết quả vào biến A.)

Lấy A trừ từng phương án để chọn đáp án đúng. (khi giá trị xấp xỉ số 0.) Chẳng hạn:


Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm

Như vậy ta chọn đáp án đúng là f (2) =

14

3
1
ln 17 + ln 2.

4
4

Câu 6. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3−5 sin x và F (0) = 10. Tính F
3π
3π
3π
3π
A.
+ 5.
B.
− 5.
C.
+ 10.
D.
.
2
2
2
2
Lời giải. Chọn đáp án A

π
.
2

Å ã

Nhấn Shift Mode 4 (chế độ Radian) và nhập:

nhấn = Shift RCL z
Nhập tiếp vào màn hình:

Chọn phương án đúng là F

3π
π
=
+ 5.
2
2

Å ã

Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + 1)ex là F (x) và F (0) = 1.
Tính F (ln 5).
B. 5 ln 5 − 1.

A. ln 5 + 5.

C. 5(ln 5 + 1).

D. 5 ln 5 + 1.

Lời giải. Chọn đáp án D
ln(5)

(X + 1)eX dx + 1.

Nhập vào máy tính

1

So sánh với các đáp số ta chọn được phương án: 5 ln 5 + 1.
2x + 1
và F (1) = 1. Tìm giá trị của F (2).
Câu 8. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) = 2
(x + x)2
2
4
5
1
A. .
B. .
C.
.
D. − .
3
3
36
6
Lời giải. Chọn đáp án B
Nhập vào máy tính:

. Ta chọn phương phương án
Câu 9. Tìm hàm số f (x) biết f (x) =

2x + 3
và f (0) = 1.
x+1

4
.
3


Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm

15

A. f (x) = x + ln |x + 1| + 1.

B. f (x) = 2x + ln |2x + 1| − 1.

C. f (x) = 2x + ln |x + 1| + 1.

D. f (x) = x2 + ln |x + 1|.

Lời giải. Chọn đáp án C
Nhập vào máy tính:

. Kết quả bằng 0.
Ta chọn phương phương án f (x) = 2x + ln |x + 1| + 1.
Câu 10. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
0.
1
1
1
1
A. F (x) = ln2 x + x2 ln x − x2 + .
2

2
4
4
1 2
1 2
1 2 1
C. F (x) = ln x + x ln x + x − .
2
2
4
4
Lời giải. Chọn đáp án A

(1 + x2 ) ln x
. Tìm F (x), biết F (1) =
x

1
1
1
1
B. F (x) = ln2 x + x2 ln x − x2 + .
2
2
4
2
ä
1Ä 2
2
2

D. F (x) =
ln x + x ln x − x + 1 .
2

Tương tự Calc ta loại được phương án B.
1
1
d
(F (X)) |x=X − f (x) Calc X = 3 ta chọn được phương án F (x) = ln2 x + x2 ln x −
Nhập
dx
2
2
1 2 1
x + .
4
4
x + (x + 1) ln x
. Biết f (1) = −1, tính
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) =
x (1 + ln x)
f (e).
A. e − 1 − ln 2.

B. e − 2 − ln 2.

C. e + ln 2.

D. 4ee − ln 2.

Lời giải. Chọn đáp án A
e

Nhập
1

X + (X + 1) ln(X)
dx + (−1) =
X(1 + ln(X))

So với phương án e − 1 − ln 2 có giá trị bằng nhau.
1
dx = a ln |x − 2| + b ln |x − 1| + C, với a, b, C ∈ R. Tính S = a + b.
Câu 12. Biết I =
2
x − 3x + 2
2
3
A. 0.
B. 3.
C. .
D. −2.
2
Lời giải. Chọn đáp án A
1
a
b
Biểu thức 2
=
+

. Tìm a, b.
x − 3x + 2
x−2 x−1
Nhập vào máy tính:

Calc nghiệm
Calc 2

= được kết quả là 1 ⇒ a = 1.

Calc 1

= được kết quả là −1 ⇒ b = −1.

mẫu ta tìm được a, b.


Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm

16

Suy ra a + b = 0.
2x + 3
dx = a ln |x − 1| + b ln |x + 2| + C. Tính S = a + b.
+x−2
4
4
C. −2.
D. − .
A. 2.

B. .
3
3
Lời giải. Chọn đáp án A
2x + 3
2x + 3
a
b
Ta có 2
=
=
+
x +x−2
(x − 1)(x + 2)
x−1 x+2
Nhập vào máy tính:
Câu 13. Biết I =

x2

(bỏ mẫu nào thì Calc nghiệm của mẫu đó)

Calc 1

5
=⇒a= ;
3

tương tự nhập

Calc p2

Vậy S = a + b = 2.

1
=⇒b= .
3

2x3 + 5x2 + 2x + 1
dx = ax3 + bx2 + c ln |x + 2| + D. (với a, b, c là phân số
x+2
5
tối giản; D là hằng số) và F (−1) = . Tính S = 3a + 2b + c − 2D.
6
13
13
A. 2.
B.
.
C. −2.
D. − .
6
6
Lời giải. Chọn đáp án A
2x3 + 5x2 + 2x + 1
a
Ta có
= P (x) +
. Tìm a bằng cách nhấn
x+2

x+2

Câu 14. Biết I =

Calc p2

= ⇒ a = 1.

Tìm P (x) bằng cách nhấn

Calc

Màn hình xuất hiện

1 0 0 0 =


Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm

17

Suy ra P (x) = 2x2 + x.
1
2
1
2
Do đó I = x3 + x2 + ln |x + 2| + D hay a = , b = , c = 1.
3
2
3

2
5
Do F (−1) = ⇒ D = 1.
6
Vậy S = 2.
x−1 2
b
Câu 15. Biết I =
dx = ax +
+ c ln |x + 2| + D. (với a, b, c là phân số tối giản;
x+2
x+2
D là hằng số) và F (−3) = 2. Tính S = a + 2b − c + D.
Ç

A. −8.

å

B. −6.

C. −15.

D. 4.

Lời giải. Chọn đáp án C
Ç
å
x−1 2
A

B
Ta có
=
+ C. Tìm A bằng cách nhấn
+
2
x+2
(x + 2)
x+2

Calc p2 p0 . 000000001

= ta được màn hình kết quả

⇒A=9.
Tìm B bằng cách nhập

Calc p2 p0 . 000000001

=
Suy ra B = −6
Tìm C bằng cách nhập


Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm

Calc 1000

Ta được C = 1.

=

−9
− 6 ln |x + 2| + x + D. ⇒ a = 1, b = −9, c = −6.
x+2
Mà F (−3) = 2 ⇒ D = −4.
Suy ra F (x) =
Vậy S = −15.

18


Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm

19

ĐÁP ÁN
1 A

3 A

5 D

7 D

9 C

11 A

13 A

2 A

4 B

6 A

8 B

10 A

12 A

14 A

15 C


Nguyên hàm dạng cho f (x) và F (a). Tính F (b) - Thầy Học Toán

20

Nguyên hàm dạng cho f (x) và F (a). Tính F (b) - Thầy

4

Học Toán
Câu 1. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
F (2).
5

1
+ 2 ln 2.
B. 2 ln 2 + .
2
2
Lời giải. Chọn đáp án B
A.

2x + 3
(x = 0) với F (1) = 1. Tính
x2

C. 2 ln 2.

D. 1 + ln 2.
b

Phân tích: Xét hàm F (x) là nguyên hàm của hàm f (x) trên đoạn [a; b], khi đó

f (x) dx =
a

b

= F (b) − F (a). Từ đây nếu đề bài cho F (a) (hoặc F (b)) thì ta sẽ tính được F (b) (hoặc

F (x)
a

F (a)) bằng CASIO.

2

Bước 1. Lưu kết quả tích phân
1

2x + 3
dx vào A
x2

ya2Q)+3RQ)d$$1E2qJz
2

Bước 2. Từ
1

2x + 3
dx = F (2) − F (1) ⇒ F (2) =
x2

2

1

2x + 3
dx + F (1) = A + F (1) = A + 1. Do
x2

đó ta có được F (2) = A + 1 và lưu kết quả này vào biến B.
Vậy ta nhấn như sau Qz+1=qJx
Bước 3. Lấy từng đáp án trừ đi B kết quả nào ra 0 là đúng.

Quan sát màn hình ta thấy ứng với đáp án B cho kết quả 0.
Do đó ta chọn phương án B.
Å ã
π
π
Câu 2. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = cot x và F
= 1. Tính F
·
2
6
A. − ln 2.
B. ln 2.
C. 1 − ln 2.
D. 1 + ln 2.
Å ã

Lời giải. Chọn đáp án C
Bước 1. Tương tự như ví dụ trên với lưu ý rằng chọn a tương ứng với giá trị F (a) đã biết và b
π
6

tương ứng với giá trị F (b) cần tính do đó trước hết ta lưu kết quả tích phân

cot x dx,
π
2

vì máy tính không có hàm cot x nên ta sẽ sử dụng biến đổi cot x =

cos x
và thay vào
sin x


Nguyên hàm dạng cho f (x) và F (a). Tính F (b) - Thầy Học Toán
π
6

đó sẽ lưu tích phân
π
2

21

cos x
dx vào A với lưu ý chuyển về chế độ tính rađian.
sin x

ykQ))ajQ))$$qKP2EqKP6qJz
Å ã
π
π
=A+F
= A + 1 và lưu kết quả tích phân này vào B.
6
2
Qz+1qJx

Bước 2. Từ đó F

Å ã

Bước 3. Lấy từng đáp án trừ đi B kết quả nào ra 0 là đúng

Quan sát màn hình ta thấy ứng với đáp án C cho kết quả 0.
Do đó ta chọn phương án C.
Câu 3. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1 và F (1) = 3. Tính F (0).
A. 0.

B. 5.

C. 1.

D. 2.

Lời giải. Chọn đáp án C
0

Bước 1. Chọn a = 1 và b = 0, lưu tích phân

(2x + 1) dx vào biến A.
1

y(2Q)+1)$1E0qJz
Bước 2. Từ đó F (0) = A + F (1) = A + 3 = −2 + 3 = 1: Qz+3=

ln2 x
Câu 4. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
thỏa mãn F ( e3 ) = 8. Tính

x
√
3
F e 9 .
√
√
√
√
√
√
3
3
3
3
A. F e 9 = 10.
B. F e 9 = 3 9 + 7. C. F e 9 = 3 9 − 1. D. F e 9 = 2.
Lời giải. Chọn đáp án D
Bước 1. Ta chọn a = e3 và b = e

√
3

e
9

√
39

và lưu tích phân
e3

ln2 x
dx được kết quả là −6.
x

yahQ))dRQ)$$qh3Eqhqs9qJz


Nguyên hàm dạng cho f (x) và F (a). Tính F (b) - Thầy Học Toán
Từ đó F e

√
3

9

22

= −6 + F (e3 ) = −6 + 8 = 2.

Do đó ta chọn phương án D.
Câu 5. Biết F (x) là một nguyên hàm của
7
A. F (4) = 3.
B. F (4) = e2 −
4
Lời giải. Chọn đáp án C

x

f (x) = xe 2 và F (0) = −1. Tính F (4).
3
.
C. F (4) = 4e2 + 3.
D. F (4) = 4e2 − 3.
4
4
x

Bước 1. Ta chọn a = 0 và b = 4, lưu tích phân

xe 2 dx vào A
0

yQ)qhQ)P2$$0E4qJz
Bước 2. Từ đó F (4) = A+F (0) = A+(−1) = A−1 và lưu kết quả vào B Qzp1qJx
Bước 3. Lấy các đáp án trừ đi B kết quả nào ra 0 thì chọn

Nhìn màn hình ta thấy đáp án C cho kết quả phép trừ ở trên là 0.
Do đó ta chọn phương án C.
√
Câu 6. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x x + 1 thỏa mãn F (0) = 2. Tính
F (3).
146
116
.
B.
.
15
15

Lời giải. Chọn đáp án A
A.

C.
3

Chọn a = 0 và b = 3, Tính tích phân

886
.
105

D.

164
.
15

√
x x + 1 dx, rồi lưu vào A.

0

yQ)sQ)+1$$0E3qJz
3
√
146
Do đó F (3) = F (0) + x x + 1 dx = 2 + A =
·
15

0

Rồi so sánh với đáp án, ta chọn đáp án A.

Câu 7. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
Tính F 2 (e).
8
2
A. .
B. .
9
3
Lời giải. Chọn đáp án A

C.

4
.
9

»

ln2 x + 1 ·

ln x
1
thỏa mãn F (1) = .
x
3
D.

4
.
3

Vì bài yêu cầu tính F 2 (e) nên trước hết ta tính F (e) sau đó bình phương được kết quả


Nguyên hàm dạng cho f (x) và F (a). Tính F (b) - Thầy Học Toán
e

»

ln2 x + 1 ·

Bước 1. Chọn a = 1 và b = e, lưu tích phân
1

23

ln x
dx vào biến A.
x

yshQ))d+1$OhQ))aQ)$$1
EQKqJz
Bước 2. Do đó F (e) = A +

1
= 0,94280904 . . .: Qz+1a3=

3

Bước 3. Lấy kết quả trên rồi bình phương lên ta sẽ được F 2 (e): Md=

Nhìn màn hình ta chọn đáp án A.
Å ã
π
= 1. Tính F (π).
Câu 8. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x−1 và F
6
4 5π
4 π
4 5π
4 5π
A. F (π) = − −
. B. F (π) = + .
C. F (π) = −
.
D. F (π) = +
.
3
6
3 6
3
6
3
6
Lời giải. Chọn đáp án C

π

Bước 1. Chọn a = và b = π, lưu tích phân
6

π

(sin 3x − 1) dx vào biến A và nhớ rằng để chế
π
6

độ rađian.
y(j3Q))p1)$qKP6EqKqJz
π
= A + 1 và lưu vào biến B.
6
Qz+1qJx

Bước 2. Do đó F (π) = A + F

Å ã

Bước 3. Lấy các đáp án trừ đi biến B, kết quả nào ra 0 là đúng.

Quan sát màn hình ta thấy ứng với đáp án C cho kết quả là 0.
Do đó ta chọn đáp án C.
(x + 1)2
Câu 9. Cho hàm số f (x) =
· Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn
x+2
1
F (−1) = . Tính F (2).

2
A. F (2) = 2(1 − ln 2). B. F (2) = 1 + ln 2.
C. F (2) = 3 − ln 2.
D. F (2) = 2(1 + ln 2).
Lời giải. Chọn đáp án D


Nguyên hàm dạng cho f (x) và F (a). Tính F (b) - Thầy Học Toán
2

Bước 1. Chọn a = −1 và b = 2, lưu tích phân
−1

(x + 1)2
dx vào biến A.
x+2

ya(Q)+1)dRQ)+2$$p1E2qJz
1
Bước 2. Từ đó F (2) = A + F (−1) = A + · và lưu kết quả vào biến B.
2
Qz+1a2qJx
Bước 3. Lấy các đáp án trừ đi B, kết quả nào ra 0 thì ta chọn

Quan sát màn hình máy tính ta thấy ứng với đáp án D cho kết quả 0, do đó ta chọn đáp án D.
3
Câu 10. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x và F (1) =
· Tính F (2).
ln 2
3

7
9
8
A. F (2) =
.
B. F (2) =
.
C. F (2) =
.
D. F (2) =
.
ln 2
ln 2
ln 2
ln 2
Lời giải. Chọn đáp án C
2

4x dx vào biến A.

Bước 1. Chọn a = 1 và b = 2, lưu tích phân
1

y4;Q)$$1E2qJz
3
và lưu kết quả vào biến B.
ln 2
Qz+3ah2)qJx

Bước 2. Từ đó F (2) = A + F (1) = A +

Bước 3. Lấy các đáp án trừ B, đáp án nào cho kết quả 0 thì ta chọn đáp án đó

Quan sát màn hình máy tính ta thấy ứng với đáp án C cho kết quả 0 nên ta chọn đáp án C.
Å ã
Å ã
1
π
5
π
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y = sin 2x, biết f
= · Tính f
·
2
2
4
4
A. −2.
B. −1.
C. 2.
D. 1.
Lời giải. Chọn đáp án D
Ta có f (x) =

f (x) dx hay f (x) là nguyên hàm của hàm số f (x).

24