PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ (Khóa luận tốt nghiệp)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.46 MB, 37 trang )
:
- Tin K56
/2017
Nhiên
Sinh viên
1.
2.
3.
4.
5.
2
3
liên quan.
và THPT
-2017.
1.1
nhau.
a)
n
b)
n
c)
f ( x) =a.
f ( x) =g(x).
n
f ( x) = n g ( x) .
1.2
:
Ta có các công th
1. A2 = A .
2.
AB =
3.
A
B
4.
A2 B = A
5. A
=
B=
A. B
A
B
0.
0 và B > 0.
.
A2 B
B.
0.
6.
A
B
=
AB
B
7.
A
B
=
A B
B
0 và B 0.
C
= C ( A 2B )
A B
A B
8.
C
9.
A
1.
B
a
2.
=
b
a
b
0 và A
C( A
B)
A B
B2 .
0 và A
a
a2 b
2
a
a2 b
2
.
a
a2 b
2
a
a2 b
2
.
B.
:
1.
n
2.
m n
3.
n
4.
n
5.
nk
Am
mn
A
n
AB
n
A
B
n
A
Amk
n
m
.
A
A. n B
A
B
n
Am
1.3
: Bi
Ví d 1: Gi
iv d
trình sau:
n.
3x 2 9 x 1 x 2 0.
Ví d 2: Gi
2 x 1 x 2 3x 1 0.
Ví d 3: Gi
2
x 2 2 x 1
x 1 4.
u ki n (n
th
kh
c.
Ví d 1: Gi i ph
2x 9
4 x
3x 1.
t n ph .
t n ph
c 2: Chuy
n ph . Gi
ki n n ph
u ki n c a n ph ( n u có).
a n ph
i chi u v
tìm nghi m thích h p c
trình này.
c 3: Tìm nghi m c
th
t n ph .
u theo h
Ví d 1: Gi
1.
2.
( x 5)(2 x) 3 x 2 3x .
x 1
4 x
( x 1)(4 x)
5.
a
u
Ví d 2: Gi
3
:
2 x 6 2 x 4 4 x2
10 3x
(x
R ).
Ví d 3: Gi
(x+4) 2 - 6
x3 3x 13.
: Bi
A.B=0 ho c A.B.C=0.
d ng tích s
Ví d 1: Gi
1.
2.
sau:
x2
3x 2
3x 2 1 x.
x 2 7 x
2 x 1
x 2 8x 7 1.
Ví d 2: Gi
1.
10 x 1
2.
3x 1
3.
x 2 2 x 22
3x 5
9x 4
2 x 2.
6 x 3x 2 14 x 8 0.
x
x 2 2 x 3.
x
x2 1
x
x 0.
x2 1 .
x
t=
x
x 2 1 =1.
x2 1
x
t
2.
4x 5
t 4 10t 2 25
16
2
4
.
5
x
t
1
t
(t
0)
thì
x
t2 5
4
6 2
(t 5) 1 t.
4
(t 2 2t 7).(t 2 2t 11) 0.
t
1 2 2
t
1 2 2
t 1 2 3
t 1 2 3
Do t
0
t
1 2 2
t 1 2 3
x2 1
2.(1)
nh
x
x 1
5
6.
1 x 6.
y
y2
x 1 y 0
y 4 10 y 2
y 5 5
( y2
y 4)( y 2
1
y
21
y 5) 0
i) ; y
2
5)
y 20 0
1
17
2
x
11
17
2
x (2004
x ).(1
1
0 x 1.
y
PTTT
1
x
2(1 y )2 .( y 2
y 1.
Thay y=1 vào pt
y 1002) 0.
x 0.
x2 2 x x
1 x 0.
1
x
3x 1.
x )2 .
x 1
2
x
3
2
1
x
x 2 x
t
1
x
x
x2
3
Ta có:
x
3
2 x 1.
1
x
x
2.
1
x
x
3
x4 x2
1
x
x
t
t3 t 2 0
1
t 1
x
1
5
2
.
5
2
2 2x 4 4 2 x
x
9 x 2 16.(1)
2.
2(4 x 2 ).
t
(1)
4(2 x 4) 16 2(4 x 2 ) 16(2 x) 9 x 2 16
8(4 x 2 ) 16 2(4 x 2 )
x 2 8 x.
x
và t
2
t
Do
1
.
x
3
x
2 nên t
t
x
2
x
thì
2. )
x
4 0
2
x
2(4 x 2 )
2
t
x 0
2
8(4 x )
x
2
x
4 2
3
0.
x
4.
2
x2
x
t
x 12 x 1 36.
1.
x 1 0
xt 2 12t 36 0
6 6t
.
x
t
t
VT
6 6t
,
x
ta có:
(6 x)t
6
6 6t
,
x
ta có:
(6 x)t
6.
0, VP<0).
t
Do
t
6
x 1
6 x
6
6 x
.
3( 2 x 2 1 1)
x(1 3x 8 2 x 2 1).
2 x 2 1 t 1.
x 3(t 2 1) 3x 2 8 xt
3(t 1)
3t 2 (8x 3)t 3x 2
t
x 0
x
3
2008 x 2 4 x 3 2007 x 4 x 3.
3
.
4
t 0.
x
4x 3
x t
x
t
2008
x t
ta có:
x 1
x 3
x2 4 x 3 0
x 1, x 3
hoàn toàn
( x) và
t
f ( x)
heo u,v.
( x)
3
u
3
v
3
x 34
u 3 v3
37 1
u v 1
u
3
2
v 1 3
v3
1
37
v 3
v
4
v 3
v
4
37
x 3
u 3 v3
v 1
3
u v 1
*
2
x 34
3
x 3
3
x 3
x 30
3
4
x
61
ta có:
x 3 1
*
7 4 x 2 5 x 1 14 x 2 3x 3 17 x 13
7 4 x 2 3x 3
*
17 x 13 14 x 2 3x 3 17 x 13
x
u 17 x 13
x 2 3x 3 v 0
v
v
u 13
17
u 13
17
2
7 4v 2 u 14v u
*
7 4v 2 u
v2
u2
49 4v 2 u
1
49u
u u 28v 49
u
u
0
49 28v
u
0
x
u
49 28v
13
17
Thay vào 2 :
14v u 1
25u 373
289
14v u
28uv u 2
0
*
2
2
2
u 13
3
17
3
u 2 25u 373
289
v
2
49 28v
289v 2
25 49 28v 373
289
2
784v 2044v 1549
495v 2
2044v 1549
2
v 1
x 1
x 2
x2 3x 3 1
1549
495
v
0
x
2
3x 3
746
495
2231
495
x
1549
495
x
x
746
495
2, x
746 13
; ;2
495 17
S
.
x 3 35 x3 ( x
y
3
35 x3
x3
y3
3
35 x3 ) 30.
35.
x (2;3).
2 1 x
2 1 x u
4
0 u
x
v
2 1;0 v
4
2 1.
4
x
1
.
2
4
u v
u
2
v
2
1
2
u
1
4
2
1
4
2
2 1
v
4
2
v
v4
v
2 1
2
1
x
2
v
1
4
2
x 1
5
2
0.
6.
x 1.
u
x 1; v
5
x 1(u 0, v 0)
0
u v 1 0
x v 5
v2 u 5
u v u v 1
x 1 1
x
11
17
2
5
x 1
u
v 1
x 1 5 x
.
Gi
3x 2 6 x 1
2 x 2 4 x 3 1.
(1.1)
u
3x 2 6 x 1
v
2x2 4x 3
u, v 0
thành
u v 1
2u
2
u
3v
u
2
v 1
2(v 1) 2 3v 2 11
11
v 1
5u 2 4v 9 0
4
5
9
5
u
u 2
v 1
v
Thay u=2 vào ta gi
(lo i vì u,v
0 ).
c nghi m c
X= -1
u là:
2
Bây gi chúng ta xét bài toán t ng quát: Gi
m
t
m
ax 2 bx c
u
m
ax 2 bx c
v
m
a ' x2 b ' x c '
a ' x2 b ' x c ' d
(1.2)
V
t ra là tìm nghi m thêm m t bi u th c liên h gi a u và v không
thu c vào x. Ta có:
kum + lvm
2
Bi u th c này không ph thu c vào x khi và ch khi:
T
a
b
a'
b'
y nh
thì có th
ng (1.2) có
h :
u v d
ku m lv m
kc lc '
(*) v i
V i m 3 h (*) hoàn toàn gi
iv im
h
c bi t.
c b ng ph
gi i h
.
c cao trong m t s
ng
.
ng d n:
t
g trình tr thành
2u 5v 1
u 3 v3
7
2u 5v 1
117v3 75v 2 15v 57 0
2u 5v 1
(v 1)(117v 2 42v
2u 5v 1
(*)
v 1 0
57) 0
2u 5v 1
117v 2 42v
57 0
(**)
D th y (**) vô nghi m
H (*) có nghi m
u
2
suy ra nghi m c
v 1
V i
f(x) + g(x) = k
t
ta có h
ng h
cl
c bi t.
c bi
12 .
(k R).
i
V i m,n 3, h này hoàn toàn gi
ng h
ng h
x
gi
cb
. Trong
c cao trong m t s
thành
3
Ví d 8: . Gi
3
x 1
x
1
3
thi tuy n sinh l
Hóa 2003).
Ta nh n th y x=0 là m t nghi m c
Xét v i x 0, chia c hai v c
x 1
5x
3
3
ng trình cho
x
1
5x
5x
1.
t
u v 1
thành
Ta suy ra u,v là nghi m c
Gi
V
(2.1)
- Thanh
ng d n:
3
5x
u 3 v3
2/5
2
- 5X+1 = 0.
5
c hai nghi m X =
m là x =
5
10
2
3
5
; x = 0.
Ta xét bài toán t ng quát: Gi
(2.2)
V i
f(x) +g(x) = kh(x).
(2.3)
ng h p h(x) 0
(2.2)
t
thành:
Ví d 9: Gi
au bv c
un vn
k
(2.4)
ng d n:
Cách 1: Ta th y x=-1/2 là 1nghi m c
t
u v 1
thành
u
Gi i h
c
u 3 v3 1
0
v 1
ho c
u 1
v 0
c nghi m c a (2.4) là x=2 ho c x=-3; x
t
1
.
2
thành
u v w
(u v)uv 0
u 3 v3
5
Gi i h này r i tha
1/2
c ba nghi m là x=2 ho c x=-3 ,x=-
y, nh
ng (2.2) v i n=3 th a mãn
(2.5)
Thì ta có thêm cách gi i:
t
u
3
f ( x)
v
3
g ( x)
w
3
h( x )
u v
ih :
w
u 3 v3
w3
u 3 v3
k
Ví d 10: Gi
3
x2 7 x 8
3
x2 6x 7
3
2 x 2 13x 12 3
ngh Olympic 30.4 THPT chuyên KonTum).
ng d n:
u
t v
w
3
x2 7 x 8
3
x2 6 x 7
3
2 x 2 13 x 12
u v w
3
u 3 v3 w 3
27
thành
(2.6)
u v w=3
u 3 v3 w 3
(u v w)3
u v w=3
3(u v)(v w)(w u ) 0
Gi i h này và th
x
3
; x 5; x
2
c nghi m c
7 5 5
;x 3
2
29.
Nh n xét. Ta có th t ng quát hóa bài toán trên thành bài toán:
Gi
(2.7)
V i
f(x) + g(x) + h(x) = a3
(2.8)
Gi
8x 1
3x
5
7x
4
2x
2
ng d n:
t
thành
(3.1)
