cac dang toan thi dh

Lý thuyết chun đề đại số
Chuyền đề : Hàm số
Vấn đề 1: Khảo sát hàm số
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
 Tìm tập xác đònh của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác đònh.
 Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
 Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò của
hàm số.
 Vẽ đồ thò của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thò (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
– Tính y.
– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò.
+ Xác đònh một số điểm đặc biệt của đồ thò như giao điểm của đồ thò với các trục
toạ độ (trong trường hợp đồ thò không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ
giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thò
để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thò: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thò.
2. Hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d (a  0) :

1


Lý thuyết chun đề đại số
Các dạng đồ thò:
a>0

a<0

y’ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt
 ∆′ = b2 – 3ac > 0

y

y

I
0

0

x

I

x

y’ = 0 có nghiệm kép
∆′ = b2 – 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm
 ∆′= b2 – 3ac < 0

y

y
I

I

0

0

x

x

3. Hàm số trùng phương y  ax 4  bx 2  c (a  0)
Các dạng đồ thò:
a>0

a<0
y

y

y’ = 0 có 3 nghiệm
phân biệt
 ab < 0

0

x

0

x

x

y

y’ = 0 chỉ có

0

y

0

x

1 nghiệm
 ab > 0

2


Lý thuyết chun đề đại số
4. Hàm số nhất biến y 

ax  b
(c  0, ad  bc  0) :
cx  d

 d

- Tập xác đònh D = R \   .
 c

- Đồ thò có một tiệm cận đứng là x  

d
a
và một tiệm cận ngang là y  .
c
c

- Các dạng đồ thò:
y

y

0

0

x

ad – bc > 0

x

ad – bc < 0

Vấn đề 2: Tính đơn điệu hàm số
Đinh nghóa:

Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghòch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)
Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại.
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến,
nghòch biến của hàm số.
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên TXĐ – trên một khoảng
3


Lý thuyết chun đề đại số
1) Lý thuyết :
+) Nếu y '  ax 2  bx  c thì:

 a  b  0
 c  0
 y '  0, x  R   
 a  0
   0
 a  b  0
 c  0
 y '  0, x  R   
 a  0
   0
+) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c :
 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 

b
)
2a

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì
g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
+) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c với số 0:

  0

 x1  x2  0   P  0
S  0
  0

 0  x1  x2   P  0
S  0
 x1  0  x2  P  0 .
2) Bài tốn 1:
Cho hàm số y  f ( x, m) , m là tham số, có tập xác đònh D.
 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.
4


Lý thuyết chun đề đại số
 Hàm số f nghòch biến trên D  y  0, x  D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
3) Bài tốn 2:
Tìm đk để hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝐷 có độ dài khoảng đồng biến (nghòch
biến) (x1; x2) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:
 Tính y.

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến:
a  0

  0

(1)

 Biến đổi x1  x2  d thành ( x1  x2 )2  4 x1x2  d 2

(2)

 Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Vấn đề 3: Cực trị hàm số
Lý thuyết
1)

Khái niệm cực trò của hàm số
Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D  R) và x0  D.

a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho
f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) được gọi là giá trò cực đại (cực đại) của f.
b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) được gọi là giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f.

5

Lý thuyết chun đề đại số
c) Nếu x0 là điểm cực trò của f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trò của đồ thò
hàm số f.
2) Điều kiện cần để hàm số có cực trò
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trò tại điểm đó thì f (x0) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc không có đạo hàm.
3) Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò
Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo
hàm trên (a; b)\{x0}
a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.
Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0
và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.
 Tìm f (x).
 Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
 Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trò tại xi.
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
6


Lý thuyết chun đề đại số

 Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).
Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
Dạng 2: Đường thẳng đi qua các điểm cực trị
1) Hàm số bậc ba y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d .
 Chia f(x) cho f (x) ta được:

f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.

 Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trò thì:

 y1  f ( x1 )  Ax1  B

 y2  f ( x2 )  Ax2  B
 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
P( x ) ax 2  bx  c
2) Hàm số phân thức y  f ( x ) 
.

Q( x )
dx  e

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trò ấy là:

y

P '( x ) 2ax  b

.

Q '( x )
d

Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1) Hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d có cực trò  Phương trình y = 0 có hai
nghiệm phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x 0) bằng hai cách:
+ y( x0 )  ax03  bx02  cx0  d
+ y( x0 )  Ax0  B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.

7


Lý thuyết chun đề đại số
2) Hàm số y 

ax 2  bx  c P ( x )
=
(aa 0) có cực trò  Phương trình y = 0 có
Q( x )
a' x  b'

hai nghiệm phân biệt khác 

b'
.
a'

Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x 0) bằng hai cách:

y( x0 ) 

P ( x0 )

Q( x0 )

hoặc

y( x0 ) 

P '( x0 )

Q '( x0 )

Chú ý:
+) Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để
loại bỏ nghiệm ngoại lai.
+) Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng đònh lí Vi–et.

Vấn đề 4: Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số
Lý thuyết
1. Đònh nghóa:
Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D  R).

 f ( x )  M , x  D
a) M  max f ( x )  
D
x0  D : f ( x0 )  M
 f ( x )  m, x  D
b) m  min f ( x )  

D
x0  D : f ( x0 )  m
2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max f ( x )  f (b), min f ( x )  f (a) .
[a;b]

[a;b]

b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì max f ( x )  f (a), min f ( x )  f (b) .
[a;b]

Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất- nhỏ nhất của hàm số

8

[a;b]


Lý thuyết chun đề đại số
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
 Tính f (x).
 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn
[a; b].
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có).
 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
 So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.

M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ),..., f ( xn )
[a;b]

m  min f ( x )  min  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ),..., f ( xn )
[a;b]

Dạng 2: Ứng dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min f ( x)  m; max f ( x)  M .
D

Khi đó:
 f (x)  
1) Hệ phương trình 
có nghiệm  m    M.
x  D
 f (x)  
2) Hệ bất phương trình 
có nghiệm  M  .
x  D
 f (x)  
3) Hệ bất phương trình 
có nghiệm  m  .
x  D

4) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  m  .
5) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  M  .

9

D


Lý thuyết chun đề đại số
Vấn đề 5: Giới hạn, tiệm cận
1. Đònh nghóa:
 Đường thẳng x  x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số y  f ( x )
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim f ( x )   ;

lim f ( x )   ;

x  x0 

x  x0 

lim f ( x )   ;

x  x0 

lim f ( x )  

x  x0 

 Đường thẳng y  y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số y  f ( x )
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x )  y0 ;

x 

lim f ( x )  y0

x 

 Đường thẳng y  ax  b, a  0 được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số
y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim  f ( x )  (ax  b)  0 ;

x 

lim  f ( x )  (ax  b)  0

x 

2. Chú ý:
a) Nếu y  f ( x ) 

P( x )
là hàm số phân thức hữu tỷ.
Q( x )

 Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thò có tiệm cận đứng x  x0 .
 Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thò có tiệm cận ngang.
 Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thò có tiệm cận xiên.
b) Để xác đònh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp
dụng các công thức sau:

a  lim

x 

hoặc

f ( x)
;
x

a  lim

x 

b  lim  f ( x )  ax 
x 

f ( x)
;
x

b  lim  f ( x )  ax 
x 

10


Lý thuyết chun đề đại số
Vấn đề 6: Biện luận số nghiệm của PT bằng đồ thị
+) Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình:

f(x) = g(x)

(1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
(nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y =
g(x))
+) Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thò ta biến
đổi (*) về một trong các dạng sau:
1) F(x, m) = 0  f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:

y
yCĐ

(C): y = f(x)

(C)
(d) : y = m

m
c.

A

c.

c.

c.
c.

xA

d: y = m

yCT

x

c.

 d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
 Dựa vào đồ thò (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm củ a (1)
2) F(x, m) = 0  f(x) = g(m)

(2)
y

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.

c.

d1
b1

y = kx
d

c.

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.

d

M1

3) F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3)
(k: không đổi)
Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ

O
M2

(C)

m

c.

c. c.

A

b2

giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)

11

x


Lý thuyết chun đề đại số
d: y = kx + m
 Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương
với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m).
 Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)
có hệ số góc k.
 Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, …
để biện luận.
Chú ý:
+ Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:   x   thì ta chỉ vẽ đồ thò (C):
y = f(x) với   x  .
+Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo
m.

Vấn đề 7: Sự tương giao
1) Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp
xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:
 f ( x )  g( x )

 f '( x )  g '( x )

( Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó).
2) Cho hai đồ thò (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Để tìm hoành độ giao
điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương

trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thò.
3) Đồ thò hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d (a  0) cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt

12


Lý thuyết chun đề đại số
 Phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0 có 3 nghiệm phân biệt.
 Hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có cực đại, cực tiểu và yCĐ .yCT  0 .
4) Sự tương giao hàm bậc 3
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3  bx 2  cx  d  0 (a  0) (1)
Gọi (C) là đồ thò của hàm số bậc ba: y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3
 Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm  (C) và Ox có 1 điểm chung
 f khô ng có cự c trò
   f có 2 cự c trò

  yCĐ .yCT  0

(h.1a)
(h.1b)

y

y

(C)

(C)
yCĐ
A
x0

O

(h.1a)

A
x0

x

yCT
x1 o

 Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm

x2

(h.1b)

x

 (C) tiếp xúc với Ox

 f có 2 cự c trò
 

 yCĐ .yCT  0

(h.2)

y

y

(C)

(C)
yCĐ
A
x0 o

yCĐ

(H.2)
B
x1

x'0

x

(yCT = f(x0) = 0)

13

B x2

A
x0 x1 x'0 o
yCĐ

C
x"0

x
(H.3)


Lý thuyết chun đề đại số

 Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

 f có 2 cự c trò
 
 yCĐ .yCT  0

(h.3)

Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu
 Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt
 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

 f có 2 cự c trò
 y .y  0
  CĐ CT
 xCĐ  0, xCT  0
a. f (0)  0 (hay ad  0)

y

y

a>0

(C)
yCĐ

yCĐ
B x2

A
o

xA x1 xB

yCT

a<0

C
xC

f(0)
x

o

A x1 B
xA
xB x2

C
xC

x

yCT
f(0)

(C)

 Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt
 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

 f có 2 cự c trò
 y .y  0
  CĐ CT
 xCĐ  0, xCT  0
a. f (0)  0 (hay ad  0)

14


Lý thuyết chun đề đại số
a>0

y

a<0

(C)
(C)

f(0)
yCĐ
A

B x2
xA x1 xB

C
xC o

y

yCĐ
A x1 B
C
xA
xB x2 xC o
yCT
f(0)

x

yCT

x

Vấn đề 8: Tiếp tuyến
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm

M0  x0 ; y0  :

 Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).
Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.
 Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0).
 Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0 = f (x0).(x – x0)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số
góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f (x0).
  có hệ số góc k  f (x0) = k (1)
 Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương
trình của .
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
 Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m.
  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
 f ( x )  kx  m

 f '( x )  k

(*)

15

Lý thuyết chun đề đại số
 Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của .
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau:
+  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan
+  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k = 
+  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc  thì

1
a

k a
 tan 
1  ka

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua
điểm A( x A ; y A ) .
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0).
 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y0 = f (x0).(x – x0)
  đi qua A( x A ; y A ) nên: yA – y0 = f (x0).(xA – x0)

(2)

 Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của .
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
 Phương trình đường thẳng  đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k:
y – yA = k(x – xA)
  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

 f (x)  k(x  x A )  yA

 f '( x )  k

(*)

 Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến .
Bài tốn 4: Tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số y=f(x) (𝑪𝟏 ), y=g(x) (𝑪𝟐 ).

16


Lý thuyết chun đề đại số
1. Gọi : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
𝑓 𝑥
𝑓′
Vì tiếp tuyến tiếp xúc với hai đồ thị nên hệ:
𝑔 𝑥
𝑔′

= 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥 =𝑎
giải hệ suy ra a, b.
= 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥 =𝑎

2. Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến
chung của (C1) và (C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.
Bài tốn 5: Tìm điểm thuộc đường thẳng d mà từ đó kẻ được 1, 2, 3…tiếp tuyến tới đồ thi
(C): y=f(x).

Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM)  d.
 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

 f ( x )  k ( x  x M )  yM

 f '( x )  k
 Thế k từ (2) vào (1) ta được:

(1)
(2)

f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)

 Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
Bài tốn 6: Tìm điểm M mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thi (C): y=f(x) sao cho 2 tiếp
tuyến đó vng góc với nhau.
Gọi M(xM; yM).
 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

 f ( x )  k ( x  x M )  yM

 f '( x )  k
 Thế k từ (2) vào (1) ta được:

(1)
(2)

f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)

 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f (x1).f (x2) = –1
17


Lý thuyết chun đề đại số
Từ đó tìm được M.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía

(3) có 2 nghiệ m phâ n biệ t
với trục hoành thì 
 f ( x1 ). f ( x2 )  0

Vấn đề 9: Hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò.
 Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trò tuyệt đối.
 Chia miền xác đònh thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trò
tuyệt đối.
 Vẽ đồ thò hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác đònh.
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thò.
Dạng 1: Vẽ đồ thò hàm số y  f ( x ) .
Đồ thò (C) của hàm số y  f ( x ) có thể được suy từ đồ thò (C) của hàm số y = f(x)
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thò (C) ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thò của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
+ Đồ thò (C) là hợp của hai phần trên.
Dạng 2: Vẽ đồ thò của hàm số y  f  x  .
Đồ thò (C) của hàm số y  f  x  có thể được suy từ đồ thò (C) của hàm số y = f(x)
như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thò (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
+ Đồ thò (C) là hợp của hai phần trên.

18


Lý thuyết chun đề đại số
Vấn đề 10: Điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số
Dạng 1: Điểm có tọa độ ngun
Tìm các điểm trên đồ thò hàm số hữu tỉ y 

 Phân tích y 

P( x )
có toạ độ là những số nguyên:
Q( x )

P( x )
a
thành dạng y  A( x ) 
, với A(x) là đa thức, a là số
Q( x )
Q( x )

nguyên.
 Khi đó

𝑥∈𝑍
 Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trò x nguyên để Q(x)

𝑦∈𝑍

là ước số của a.
 Thử lại các giá trò tìm được và kết luận.
Dạng 2: Tìm cặp điểm thuộc đồ thị (C ): y=f(x) đối xứng nhau qua đường thẳng d: y=ax+b.
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn
AB
 Phương trình đường thẳng  vuông góc với d: y = ax = b có dạng:

1
: y   x  m
a

(C)

(d)

 Phương trình hoành độ giao điểm của  và (C):

1
f(x) =  x  m
a

B
A

(1)

 Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1).

 Tìm toạ độ trung điểm I của AB.
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm
được m  xA, xB  yA, yB  A, B.

19

I

()


Lý thuyết chun đề đại số
Chú ý:

 x  xB
 A, B đối xứng nhau qua trục hoành   A
 y A   yB
 x   xB
 A, B đối xứng nhau qua trục tung   A
 y A  yB

 x  xB
 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b   A
 y A  yB  2 b
 x  x B  2a
 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a   A
 y A  yB
Dạng 3: Tìm cặp điểm thuộc đồ thị (C ): y=f(x) đối xứng nhau qua I(a, b).
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm của AB.
 Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),

có hệ số góc k có dạng: y  k( x  a)  b .

I

A

B

 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
f(x) = k( x  a)  b

(1)

 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1).
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm được
k  xA, xB.

 x   xB
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O   A
 y A   yB
Dạng 4: Điểm cố định của họ đồ thị 𝑪𝒎 : 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒎)
Cách 1:
 Gọi M(x0; y0) là điểm cố đònh (nếu có) của họ (Cm).
M(x0; y0)  (Cm), m


20

y0 = f(x0, m), m

(1)


Lý thuyết chun đề đại số
 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
A  0
 
B  0

+ Dạng 1: (1)  Am + B = 0, m

+ Dạng 2: (1)  Am2  Bm  C  0 , m

A  0

 B  0
C  0

 Giải hệ ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố đònh.
Chú ý: Các hệ trên là các hệ phương trình có 2 ẩn x0, y0.
Cách 2:
 Gọi M(x0; y0) là điểm cố đònh (nếu có) của họ (Cm).
M(x0; y0)  (Cm), m



y0 = f(x0, m), m

(1)

 Đặt F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 không đổi.
 F (m) = 0

(3)

 Giải (3) tìm được x0. Thay x0 vào (1) tìm được y0. Từ đó suy ra được các
điểm cố đònh
Dạng 5: Điểm mà của họ đồ thị 𝑪𝒎 : 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒎) khơng bao giờ đi qua
 Gọi M(x0; y0) là điểm mà không có đồ thò nào của họ (Cm) đi qua.
M(x0; y0)  (Cm), m



y0 = f(x0, m) vô nghiệm m

 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
A  0
+ Dạng 1: (1)  Am + B = 0 vô nghiệm m  
B  0

 A  B  0
 C  0
2
+ Dạng 2: (1)  Am  Bm  C  0 vô nghiệm m   
 A  0
  B 2  4 AC  0


Chú ý:

21

(1)


Lý thuyết chun đề đại số
 Kết quả là một tập hợp điểm.
 Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố đònh của hàm hữu tỷ là những điểm đồ
thò không đi qua.

Vần đề 11: Tập hợp (quỹ tích) điểm
Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất .
Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của
tập hợp điểm đó.
Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M.
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M.
Bước 2: Tính toạ độ điểm M theo tham số m.
Có các trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1:

 x  f (m )
M
 y  g(m)

Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng:
F(x, y) = 0
Trường hợp 2:

(gọi là phương trình q tích)

 x  a (hằ ng số )
M
 y  g(m)

Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng x = a.
Trường hợp 3:

 x  f (m )
M
 y  b (hằ ng số )

Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng y = b.
Bước 3: Giới hạn q tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bước 1), ta tìm
được điều kiện của x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y). Đó là giới hạn của q tích.
Bước 4: Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a,
hoặc y = b) với điều kiện của x hoặc y (ở bước 3).
22


Lý thuyết chun đề đại số
Dạng 2: Trong trường hợp ta không thể tính được toạ độ của điểm M theo tham
số m mà chỉ thiết lập được một hệ thức chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử
tham số m trong hệ thức để tìm được hệ thức dạng F(x, y) = 0.
Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương
trình
F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của q tích.

Vấn đề 12: Bài tốn khoảng cách
Lý thuyết:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B:

AB =

( xB  x A )2  ( yB  y A )2

2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0:
d(M, ) =

ax0  by0  c
a2  b2

3) Diện tích tam giác ABC:
S=

2
1
1
AB.AC.sin A 
AB2 . AC 2   AB. AC 
2
2

Chun đề 2: Mũ- logarit
Lý thuyết
I. CT Mũ


𝑎0 = 1

𝑚

1

𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎 … 𝑎 (có n số a)

𝑎−𝑛 = 𝑎 𝑛

𝑎𝑛 =

𝑛

𝑎𝑚

 Với mọi a > 0, b > 0 ta có:





a .a  a

 

;

a
 a 

a







; (a )  a

23

 .





; (ab)  a .b



a
a
;    
b
b


Lý thuyết chun đề đại số


a > 1 : a  a     ;

0 < a < 1 : a  a    

 Với 0 < a < b ta có:

am  bm  m  0 ;

am  bm  m  0

Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
II. Đònh nghóa và tính chất của căn thức
 Căn bậc n của a là số b sao cho bn  a .
 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:
n

n

n

ab  a . b ;

Nế u

n

a na


(b  0) ;
b nb

n

p

a p   n a  (a  0) ;

p q
n
m
 thì a p  aq (a  0) ; Đặc biệt
n m

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì

n

n

a

mn

mn

a  mn a

am

anb.

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì

n

anb.

n

a.

Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
III. CT Logarit
1. Đònh nghóa
 Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: loga b    a  b

24


Lý thuyết chun đề đại số
a  0, a  1
Chú ý: loga b có nghóa khi 
b  0
 Logarit thập phân:

lg b  log b  log10 b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe):

ln b  loge b (với

n

 1
e  lim  1    2,718281 )
 n
2. Tính chất
 loga 1  0 ;

loga ab  b ;

loga a  1 ;

 Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì loga b  loga c  b  c
+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b  loga c  b  c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có:
 loga (bc)  loga b  loga c

b
 loga    loga b  loga c
c
 loga b   loga b
4. Đổi cơ số

Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có:
 logb c 

 loga b 

loga c

loga b

hay

loga b.logb c  loga c

1
logb a
25

a

loga b

 b (b  0)