Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ (Khóa luận tốt nghiệp)

ÒN

TOÁN

1


ÒN

i


L
u c a chúng tôi, các s li u và k t
qu nghiên c u nêu trong lu
d

ng tác gi cho phép s

c công b trong b t kì m t công trình nào khác.

TP.H
TÁC GI LU
Nguy n Thu Th o
Hu nh Th Ng c Luy n

ii


L IC
Trong quá trình nghiên c u và th c hi n khóa lu

h ts

g ng n l c

hoàn thành t t khóa lu

cs

t n tình c a Quý th
l ic

ng viên,
cg i

t.
u tiên, chúng tôi xin g i l i c

Toán

ng d

n Quý th y, cô trong Khoa

ih

n tình gi ng d y su t b

c n n t ng tri th

m cu c s ng quý báu làm hành

trng cho chúng tôi sau này.
c bi t, chúng tôi xin chân thành c

ng. Th

i

ng d y nh ng ki n th c n n t ng, t n tình giúp chúng tôi hoàn thành khóa lu n
m t cách t t nh t. Ti p xúc v i th y chúng tôi h c h

c cách th c làm vi c khoa

h c, s nhi t tình, tính c n th n trong nghiên c u và nh ng bài h c b ích trong cu c
s ng.
cg il ic
ng viên, khích l tinh th n chúng tôi trong su t th i gian th c hi n khóa lu n.
Cu i cùng, chúng tôi xin g i l i c

n Quý th y, cô trong h i

ng ch m khóa lu
còn thi

xem xét và góp ý cho nh
c kinh nghi m cho khóa lu

nghiên c u sau này. R t mong nh

c s ch b o t n tình c a Quý th

góp ý chân thành c a các b n. Xin chân thành c
TP. H
Tác gi khóa lu n

Nguy n Thu Th o

iii

Hu nh Th Ng c Luy n

m


M CL C
Trang
Trang ph bìa ............................................................................................................... i
L

............................................................................................................... ii

L ic

................................................................................................................. iii

M c l c........................................................................................................................ 1
U .................................................................................................................... 3

M

TS

KI N TH C CHU N B

1. Hàm s ................................................................................................................... 6
1.1. Hàm s liên t c ............................................................................................... 6
1.2. Hàm s

u............................................................................................. 6

1.3. Giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s ................................................ 7
1.4. Tính l i lõm c
2.

th hàm s .................................................................... 7

.......................................................................................................... 7
2.1

...................................................................................................... 7
............................................................................. 8
qu ........................................................................................ 8

3.

.................................................................................................. 8

4. M t s

nh lý........................................................................................................ 8

nh lý v

..................................................... 8

nh lý v s t n t i nghi m c

........................................ 9

4.2.1

nh lí 1 .................................................................................................. 9

4.2.2

nh lí 2 ................................................................................................ 10

5

Các b

ng th c.............................................................................................. 10

6

Ti u k

............................................................................................. 11

1.

.................................................................... 12
1


2.

qu ........................................................... 15

3.

d ng tích ...................................................... 17
3.1.

d ng các bi

3.2.

i v tích .................................................... 17

ng liên h p ................................................................. 20

3.2.1. Bi u th c liên h p xu t hi
3.2.2. Nh

........................... 20

c nghi m, thêm b

xu t hi n bi u th c liên h p.............. 23

v h t m........................................................... 31
4.

t n ph ...................................................................................... 32
4.1. Các d

t n ph

n ........................................................................ 33

4.2.

t n ph không hoàn toàn .......................................................................... 35

4.3.

t n ph

v h

.................................. 38

4.4.

t n ph

v

ng c p b c hai .......... 44

4.5.

t n ph d

5.

ng giác ........................................................................... 47

hàm s ........................................................................................... 51
5.1.

d ng tính ch t c a hàm s

5.2.

d ng tính l i

lõm c

u.................................... 51
th hàm s ................................. 56

6.

......................................................................................... 58

7.

.............................................................................................. 61

8. Gi

b ng nhi u cách ............................................................ 64

9. Ti u k

............................................................................................... 81
PH N K T LU N

1. Nh ng k t qu
2.

c....................................................................................... 88

ng m r ng cho nghiên c u.......................................................................... 88

TÀI LI U THAM KH O ...................................................................................... 89

2


M
1. Lý do ch

U

tài
là m t n i dung quan tr

ng xuyên xu t hi

thông

thi tuy

g

ih c

c làm quen v

ng nh ng

t

p 9 và ti p c n

nhi

có r t nhi u

d ng nên trong khi gi i h

ng t ra lúng túng và v p ph i nh ng sai l m do

không n m v ng các quy t

n v bi

v n d ng phù h

tài

c n m v ng các ki n th c và

i là vô cùng quan tr ng. Vì v y, chúng tôi ch n
h th ng l i các ki n th c

ts

v cách gi

c v n d ng vào gi i toán

hi v ng có th giúp h c sinh phát tri

o, rèn luy n kh

t ng h p nh m nâng cao hi u qu h c t

ng th i t o thêm tài li u tham kh o cho

giáo viên.
2. M

u

Nghiên c

.

Nghiên c u gi

b ng nhi u cách.

3. Khách th

ng nghiên c u

Khách th nghiên c u: H c sinh các kh i l p 10, 12.
ng nghiên c

pháp gi

.

4. Gi thuy t nghiên c u
là m t n i dung quan tr
sinh có th g p nhi

i nhi

c

c n m v ng lí thuy t và v n d

gi i bài

t p.
Do th

ng dành cho n i dung này có h n nên trong quá trình d y h c, các giáo
ng g p và phép bi

ti p c n t

gi

c a h c sinh còn nhi
3

c


N u h th ng l i t ng d ng, t

ng pháp thì vi c gi

h c sinh tr nên d
luy n kh

c sinh phát tri

c a
o, rèn

ng h p nh m nâng cao hi u qu h c t p.

5. Nhi m v nghiên c u
Nghiên c

ình vô t .

6. Ph m vi nghiên c u
N

b c trung h c ph thông.

7.

u lí lu n
S d

ng h p và h th ng hóa lí thuy

nghiên c u các tài li

n n i dung

.

8. C u trúc lu
M

u
1. Lí do ch

tài

2. M

u

3. Khách th

ng nghiên c u

4. Gi thuy t khoa h c
5. Nhi m v nghiên c u
6. Ph m vi nghiên c u
7.

u

8. C u trúc lu
N i dung nghiên c u
t s ki n th c chu n b
n th c chu n b v ánh x , hàm
s

nh lí liên quan.

4


ng tâm c a lu
thông qua các ví d . Trong m i ví d ,
chúng tôi có ph

i gi

t

cd n mb t

th ng các bài t p có l i gi i nh m

rèn luy

t khi s d ng, ph i h p t

i.

Ph n k t lu n
Chúng tôi trình bày các k t qu

ng m r ng cho nghiên c u.

Tài li u tham kh o

5


TS

KI N TH C CHU N B

1. Hàm s
Gi s X và Y là hai t p h p tùy ý. Quan h
x )t

X vào Y , ký hi u là f : X

ph n t y Y sao cho y
nt y
ph n t x

c g i là m t hàm (hay ánh

Y, n u v i m i

, t n t i duy nh t m t

f (x) .
c g i là nh c a ph n t x (giá tr c a hàm

t

m x),

c g i là t o nh c a ph n t y.

T ph p X

c g i là t p ngu n hay t p (mi

nh, t p Y g i là t

c af
T pf X

{y Y | x X, y f (x)}

N u X, Y là các t p h p s thì hàm

c g i là hàm s .

Trong lu

p ngu n và t

c a t p s th c

1.1.

ng t p con

.
nh trên X . T p h p G {(x,f (x)) | x

Cho hàm s
th c a hàm s

c g i là mi n giá tr c a hàm .

X}

cg

.

Hàm s liên t c
nh trên (a ;b) .

Cho hàm s f

Hàm f liên t c t i x 0

(a, b) n u lim f (x) f (x 0 ) .
x

x0

m x 0 thu c a ;b .

Hàm f liên t c trên (a ;b) n u f liên t c t i m
Hàm f liên t c trên [a ;b] n u f liên t c t i m

m x 0 thu c

a ; b và

lim f (x) f a , lim f (x) f b .

x

1.2.

a

x

Hàm s

b

u

Gi s K là m t kho ng, m

n ho c m t n a kho ng và f là hàm s xác

nh trên K.
Hàm s f

cg

ng bi

K n u
6


x1 , x 2
Hàm s

K, x1

Giá tr l n nh t

x2

M f (x 0 )

m x0

max f (x) .
x D

m f (x 0 )

c g i là giá tr nh

D sao cho f (x) f (x 0 ) v i m i x 0

D thì s

nh t c a hàm s f trên D.

min f (x) .
x D

lõm c

Gi s hàm s f

D thì s

c g i là giá tr l n nh t c a hàm s f trên D.

m x0

Tính l i

).

D sao cho f (x) f (x 0 ) v i m i x 0

ii. N u t n t i m

Ký hi u: m

f (x1 ) f (x 2 ).

nh trên t p h p D(D

i. N u t n t i m

Ký hi u: M

K, x1

giá tr nh nh t c a hàm s

Gi s hàm s f

1.4.

f (x1 ) f (x 2 ).

c g i là ngh ch bi n (hay gi m) trên K n u

x1 , x 2
1.3.

x2

th hàm s
o hàm trên kho ng K.Ta nói r ng

th (C) c a hàm s f l i trên kho ng K n u ti p tuy n c a C

i.

mc

un

th (C) c a hàm s

ii.

mc

t im i

th .
lõm trên kho ng K n u ti p tuy n c a (C) t i m i

un

th .

nh lý
Gi s hàm s

o hàm c p hai trên kho ng K

i. N u f "(x) 0 v i m i

th (C) c a hàm s f l i trên K.

ii. N u f "(x)

th (C) c a hàm s

0 v im i

2.
2.1.

7

lõm trên K.


Cho hai hàm s

f và g có t

nh l

ch a bi n "f (x) g(x)"

M

(hay n) và D

x0

S

D

c g i là t

t là D f và D g

cg

t

t n; x g i là n s

nh c

f (x) g(x)

g i là m t nghi m c

n u

"f (x 0 ) g(x 0 )" là m
Gi i m

p h p các nghi m c a nó.

2.2.
cg

u chúng có cùng m t t p

f1 (x) g1 (x)

nghi m. N

f 2 (x) g 2 (x) thì ta vi t
f1 (x) g1 (x)
2.3.

f 2 (x) g 2 (x).

trình h qu

f1 (x) g1 (x) g

qu

f (x) g(x) n u t p nghi m c a nó ch a t p nghi m c

c

f (x) g(x) .

t

f (x) g(x)
3.

f1 (x) g1 (x).

trình vô t

f (x) g(x)
i s vô t (ch

is

cg

n u f ho c g là hàm s
c và không th bi u di n b ng m t công th c

ch ch a b n phép tính s h c).
4. M t s

nh lý

4.1.

nh lý v

nh lý

8


f (x) g(x) có t
D (h có th là hàm h

nh D, h là m t hàm s

D

nh trên
im i

i. f (x) h(x) g(x) h(x)
ii. f (x).h(x) g(x).h(x) n u h(x)

0 v i m i x D.

nh lý
Khi nâng hai v c a m

ab cl

[f (x)]2n

f (x) g(x)

1

[g(x)]2n

1

(n

cm t

*)

nh lý
Khi nâng hai v c a m

a b c ch

c

qu c

f (x) g(x)

f (x)

2n

g(x)

2n

(n

*)

N u hai v c a m

c a

nó, ta nh
nh lý v

4.2.
4.2.1.

a d u giá tr tuy

f (x)

a (a

f (x)

g x

f (x)

g(x)

0)

f (x) a
f (x)
a
f x

g x

hay

g(x) 0

f x
g x

f (x) g(x)
f (x)
g(x)

nh lý v s t n t i nghi m c
nh lý 1
Cho hàm s f

i

nh và liên t c trong (a;b) .
9

g x
0

u trong (a ;b) và t n t i x 0

N u hàm s f

f (x) 0 trong (a ;b) .

x 0 là nghi m duy nh t c
4.2.2.

(a ;b) sao cho f (x 0 ) 0 thì

nh lý 2
nh và liên t c trong (a;b) .

Cho hàm s f và g
N u hàm s f

ng bi n trong (a ;b) và hàm s g ngh ch bi n (ho c là hàm

h ng) trong (a ;b) và t n t i x 0

(a ;b) sao cho f (x 0 ) g(x 0 ) thì trong (a ;b)

f (x) g(x) có nghi m duy nh t x 0 .
H qu 1
liên t c trên [a ;b] và f (a).f (b) 0 thì t n t i c (a ; b) sao cho

N u hàm s

f (c) 0.
H qu 2
N u hàm s f

th l i ho c lõm trên mi n D

f (x) 0 có

không quá hai nghi m thu c D.
4.3.

nh lý Lagrange
Cho hàm s f liên t c trên [a ;b]

o hàm trong (a ;b)

c (a ; b) sao cho
f '(c)

5.

Các b

5.1.

B

ng th c
ng th c Cauchy

Cho 2 s không âm x, y. K
Cho 3 s
5.2.

f (b) f (a)
.
b a

:

x y
xy
2
x y z
3

B
ng th c Bunhiacopxki
Cho 4 s
10

3

xyz

nt i


6. Ti u k t
qu

t l i các ki n th c v ánh x , hàm s
nh lí liên quan.

11


gi

c tiên ta c n tìm t
n hóa, ta ch c

u ki

u ki

nh c

nh D c

thu c D

u ki

nl

i là
p

d

ts
ng dùng.
1.
Khi gi

,

trình v d

ng ta ph i làm m

n và d gi

M t s quy t c bi

f (x)
Hay

f (x)

f (x)

g(x) 0

g(x)

f (x)

f (x)
3

ng dùng

f (x) [g(x)]2
2

g(x)

g(x)

g(x)

g x

f (x) 0 (hay g(x) 0)
f (x) g(x)

g(x)
3

f x

f (x) g(x)
f (x) 0
g(x) 0
h(x) 0

h(x)

f (x) g(x) 2 f (x)g(x)

h(x)

x 1 x 3

Ví d 1. Gi
Phân tích
ng

f (x)

g(x) ,

n nên ta có th th c hi n phép bi

12

f ,g là nh ng hàm b c nh t


g(x) 0
f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

2

.

Gi i

x 1 x 3
x 3 0
x 1 (x 3) 2
x

3

x 1 x 2 6x 9
x

3

x 2 7x 10
x
x
x
K t lu n S

0

3
x

2
5

5

5 .

Ví d 2. Gi
Phân tích
a ba d
có b c m t. N

id
c

ch a m t d

c ngoài d

c cao nh t là m t. Ta có th bình

tl nn

c hai.

Gi i
u ki n x

i ch

5

13


x 5 x 7 2 (x 5)(x 7)

2x 14

(x 5)(x 7) 1
(x 5)(x 7) 1
x 2 12x 34 0

K th

x

6

2

n

x

6

2

l

S

u ki n, t p nghi m c

6

2 .

Vi c bi

i g p nhi u
c có b

c nghi m

nguyên c a chúng, ch ng h n ta xét ví d sau:
Ví d 3. Gi
Phân tích
áp d ng công th c

f (x)

g(x)

g(x) 0
f (x) [g(x)]2

c 4, vi c gi i s
M t khác, d th y bi u th
d ng h
tuy

id

A2

ng th c

a m t nh th

A

d ng b c hai ch a d u giá tr

i.
Gi i

(x 2) 2

x2

x 2

x2

x 2

x2

x 2

x

4

4
4
2

4

14


x2

x 2

x2
x
x
x

0

x 6

0

1
2

3

K t lu n S

1; 2; 3 .

2.

qu
Khi gi

c phép bi
ng h p, ta th c hi n các phép bi

th

qu

th l i t t c các nghi m c

c,

lo i b nghi m ngo i lai, ta

qu

x3 1
x 2

Ví d 1.

x 1

i

u.

x2

x 1

x 2.

Phân tích
N

c

i

ph c t
Nh n th y

x3 1
. x 2
x 2

x 3 1 và

th c hi n chuy n v r

cs

, nên ta
c

qu c

n
u.

Gi i
u ki n:

x3 1
x 2

x 1

x2

x 1

x 2

x3 1
x 2

x 2

x2

x 1

x 1

15


x3 1
x3 1
2
. x 2 x 2
x 2
x 2
x3 1
x 2

x2

x 1 2 x 2 x 1. x 1 x 1

x2 x

x 2 2x 1 0
x 1

2

x 1

2

Th l i, ta th y ch có nghi m x 1
trình là S

1

2 .

f (x)

N
ho c f (x) h(x)

2 th a mãn nên t p nghi m c

g(x)

k(x) g(x) thì ta bi

h(x)

k(x) có f (x).h(x) k(x).g(x)

i thành

f (x)

và gi

h(x)

k(x)

g(x) ,

qu .

Vi c s d ng h n

khai tri

a m t t ng (hi u) r t quen

thu c so v i h c sinh, tuy nhiên vi c v n d

khai tri n các l

c a m t t ng (hi u) l i gây ra cho h c sinh nhi u lúng túng. Giáo viên c n giúp h c
sinh c ng c và kh c sâu các h

ng th

v n d ng linh ho t.

Ví d 2. Gi
Phân tích
ng
kh b t d
3

f x

f x

3

f x

g x

3

h x .

3

c ba, ta s d
3

g x

g x

3

a.

h x

3 3 f x .g x
l i xu t hi n

3

3

f x

f x

16

3

3

g x

g x

.

h x


Thay

f x

3

m td

3

g x

h x vào

3

i ch ch a

,

c ba. Ti p t c th c hi n

a b c ba

i không còn d

hai v , ta s thu

c ba.

Gi i
3

x 1

3

3

x 2

2x 3

2x 3 3. 3 x 1. 3 x 2( 3 x 1

3

x 2)

2x 3

3. 3 x 1. 3 x 2. 3 2x 1 0
(x 1)(x 2)(2x 1) 0
x 1
x 2
1
x
2
Th l i, ta k t lu n t p nghi m c
3.

S

1; 2;

1
.
2

d ng tích

3.1.

pháp s d ng các bi

i v tích

iv

d

t nhân t chung và các h
M ts

ng th

A2

ng th c.

ng dùng:

u v 1 uv
au bv

ng s d

u 1. v 1

ab uv

0

u b v a

0

B2
3

Ví d 1. Gi

x 2

3

x 3 1

3

x 2 5x 6

Phân tích
Nh n th y r ng

3

x 2 5x 6 có th phân tích thành tích c
s d

t nhân t

d ng tích.
17

c

v


Gi i
3

3

x 2
3

x 2 1

3

1

x 2 5x 6

x 3

( 3 x 2 1).(1
3

3

x 3 1
3

3

(x 2)(x 3)

0

x 3) 0

x 2 1 0
3

x 3

0

x 2 1
x 3 1
x

1

x

2

K t lu n S

1;0 .

x 2 x 7

Ví d 2. Gi

2 x 1

x 2 8x 7 1.

Phân tích
a ba d

c hai. N u th c hi n các phép nâng lên

a, ta s

ph c t
d ng tích.

Ta th y x 2 8x 7

x 7 x 1

x 1 nên ta có th

a x 7

t nhân t

d ng tích.

Gi i
u ki n 1 x

7

x 2 x 7

x 2 8x 7 1

2 x 1

x 1 2 x 1 2 x 7

x 1

x 1 2

x 1 2

x 1

x 7 x 1

x 7 2
x 7

x 1
0

18

và

0

0


x 1 2 0
x 1

x 7

0

x 1 4
x 1 x 7
x
0x

5
6 (VL)

x 5
K th pv

S

u ki n, t p nghi m c

3 x

Ví d 3. Gi

x

5 .

3 x.

Phân tích
ta

. Ta không

c nghi m nguyên c
ng th

s d ng h ng

d ng tích.

Gi i
u ki n

3

x

3

3 x

x

3 x

2

x

3

3
3x
3x
3
2

3
3

3

3
3

3

x

3
3
3

x

10 3
9
3

10 1
3

19

3

3

3

3

0


3
K th pv

S

u ki n, t p nghi m c

3.2.

3

10 1
3

.

ng liên h p
Khi gi

, ta có th nhóm, thêm, b

vào các bi u th c ch

xu t hi

ng phù h p

c. Nh vi

thành nhân t , ta s

c

d ng tích b

t nhân t chung.

3.2.1. D ng 1. Bi u th c liên h p xu t hi
ng s d ng các qui t c bi

P(x)

3

P(x)

3

i

P(x) Q(x)
P(x) m Q(x)

Q(x)

P(x) Q(x)

Q(x)
3

2

P (x) m 3 P(x).Q(x)

3

Q 2 (x)

Ví d 1. Gi
Phân tích
N

c hai v c

b c cao r t khó gi i.
Ta th th c hi n tr
ng th i

c

v trái 3x 4
c 2x 2 3x 5

v ph

x 1

2x 5 x 1 .

trình s xu t hi n nhân t chung là 2x 5 .
Gi i
u ki n x

4
3

20

2x 5
,
3x 4
x 1


2x 5
3x 4
x 1

2x 5 x 1

1
3x 4

2x 5

0

5
2

x
1
3x 4

x 1

x 1

x 1

x 1

Nh n xét r ng v i m i x

1
4
, ta có
3
3x 4

1
1 x 1.
x 1

x 1

vô nghi m.
K th pv

u ki n, t p nghi m c

Ví

d

2x 2 5x 4

x2 2

S

5
2

Gi

2.

2 x2 x 1

x 2 x 4.

Phân tích

Ta th y

2x 2 5x 4
x2

và tr

2

2x 2 2x 2
x2 x 4

3 x 2

chuy n v

x 2

xu t hi n nhân t chung.

Gi i
u ki n: x

1

5
2

2x 2 5x 4
2x 2 5x 4

ho c x

1

x2 2

5
2

2 x2 x 1

2 x2 x 1

x2 x 4

21

x2 x 4
x2 2

0