Báo cáo Thiết kế phương trình toán PID Hệ lò xo -ma sát - khối lượng

Đồ án: Điện công nghiệp
cho hệ lò xo

Thiết kế phương trình toán và PID

MỤC LỤC
Trang

SV Dương Thiện Tú

1


Đồ án: Điện công nghiệp
cho hệ lò xo

Thiết kế phương trình toán và PID

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN
…………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
Cần Thơ,tháng 12 năm 2017
Giảng viên hướng dẫn

Ph.D. Nguyễn Hoàng Dũng
LỜI NÓI ĐẦU

SV Dương Thiện Tú

2


Đồ án: Điện công nghiệp
Thiết kế phương trình toán và PID
cho hệ lò xo
Một bộ điều khiển vi tích phân tỉ lệ (bộ điều khiển PID- Proportional
Integral Derivative) là một cơ chế phản hồi vòng điều khiển (bộ điều
khiển) tổng quát được sử dụng rộng rãi trong các hệ thống điều
khiển công nghiệp – bộ điều khiển PID là bộ điều khiển được sử dụng
nhiều nhất trong các bộ điều khiển phản hồi, ứng dụng nhiều trong điện
công nghiệp. Bộ điều khiển PID sẽ tính toán giá trị "sai số" là hiệu số gi ữa
giá trị đo thông số biến đổi và giá trị đặt mong muốn. Bộ điều khiển sẽ
thực hiện giảm tối đa sai số bằng cách điều chỉnh giá trị điều khiển đầu
vào. Trong trường hợp không có kiến thức cơ bản (mô hình toán học) về
hệ thống điều khiển thì bộ điều khiển PID là sẽ bộ điều khiển tốt nh ất.
Tuy nhiên, để đạt được kết quả tốt nhất, các thông số PID sử dụng trong

tính toán phải điều chỉnh theo tính chất của hệ thống-trong khi kiểu điều
khiển là giống nhau, các thông số phải phụ thuộc vào đặc thù của h ệ
thống.

SV Dương Thiện Tú

3


Đồ án: Điện công nghiệp
cho hệ lò xo

Thiết kế phương trình toán và PID

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CHUNG

1.1 Đặt vấn đề
Hệ thống cơ có thể được mô hình hóa khi hệ là khối rắn hoặc trọng
lượng phân bố. Loại khối lượng phân bố có thể được mô hình hóa bởi các
phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong khi vật rắn được biểu diễn thông
qua các phương trình vi phân thường. Trong thực tế đa phần các cơ hệ có
dạng khối lượng phân tán, nhưng trong hầu hết các trường hợp để dễ thực mô
hình hóa hơn người ta sử dụng mô hình xấp xỉ khi coi là khối rắn và dùng
phương trình vi phân thường.
Các phương trình của hệ cơ học tuyến tính được viết bằng việc trước tiên
xây dựng mô hình hệ chứa các phần tử tuyến tính liên kết trong với nhau và
sau đó áp dụng định luật 2 Newton cho các sơ đồ vật rắn chuyển động tự do.
Chuyển động các các phần tử cơ học có thể được mô tả theo các loại
khác nhau như chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay hay tổ hợp của hai
chuyển động này. Các phương trình chuyển động của hệ cơ học thường nhận

được bằng việc sử dụng trực tiếp hoặc gián tiếp định luật Newton 2.
Ngoài ra trong chương này cũng trình bày việc sử dụng phương pháp
năng lượng vô hướng - phương trinh Lagrange 2 để xây dựng mô hình toán
của cơ hệ.
1.2 Xây dựng mô hình hệ lò xo dựa trên định luật newton 2
Trong hệ lò xo là hệ chuyển động tịnh tiến là chuyển động mà sự thay
đổi vị trí của vật theo một đường thẳng hay một đường cong. Các đ ại
lượng (biến) được sử dụng để mô tả chuyển động tịnh tiến là: gia tốc, vận
tốc, và độ dịch chuyển

SV Dương Thiện Tú

4


Đồ án: Điện công nghiệp
cho hệ lò xo

Thiết kế phương trình toán và PID

Trong hệ này:
- Hai biến trạng thái có thể là tốc độ và vị trí của vật có kh ối
lượng m
- Tín hiệu điều khiển vào u(t) chính là lực F
-

Và ta có hàm f(.) của hệ là :

Định luật Newton 2 về chuyển động khẳng định rằng tổng đại số của
ngoại lực tác dụng lên một vật rắn theo hướng đã cho bằng tích của khối

lượng vật rắn và gia tốc của vật rắn đó theo cùng hướng. Định luật Newton 2
có thể được biểu diễn bởi phương trình dưới đây:

Ở đây:
- Fi : các ngoại lực theo hướng cho trước
- m : khối lượng vật rắn
- a : gia tốc vật rắn theo phương đã cho
y(t)
M
f(t)

Hình1. 2. Hệ khối lượng – lực.

SV Dương Thiện Tú

5


Đồ án: Điện công nghiệp
Thiết kế phương trình toán và PID
cho hệ lò xo
Trên hình 1.2 minh họa một trường hợp mà ở đây lực tác dụng lên vật
có khối lượng M. Áp dụng định luật Newton 2 cho cơ hệ hình 1.2 ta có
phương trình lực như sau:

Trong đó :
-

a(t) : gia tốc

-

v(t) : vận tốc truyền tính

-

y(t) : độ dịch chuyển chủa vật rắn khối lượng M
Đối với chuyển động tịnh tiến, ngoài khối lượng, những phần tử hệ thống

sau đây thường gắn liền với các bài toán phân tích cơ hệ:
-

Lò xo tuyến tính

-

Các loại lực ma sát

1.2.1 Lò xo tuyến tính

Trong thực tế lò xo tuyến tính có thể được mô hình hóa bởi một lò xo
thực hoặc dạng kết cấu cáp. Nói chung lò xo được xem như là phần tử chứa
đựng thế năng và nó được biểu diễn bởi phương trình sau: F(t)=Ky(t)

(*)

Trong đó, K là hằng số lò xo hay đơn giản là độ cứng. Phương trình (*)
thể hiện lực tác dụng lên lò xo tỷ lệ thuận với độ dịch chuyển của lò xo. Mô
hình biểu diễn một lò xo tuyến tính được trình bày trên hình 1.3

Hình 1.3
Nếu lò xo được đặt sẵn một lực với một lực nén T thì phương trình (*) sẽ
được viết lại như sau: F(t) - T=Ky(t)

SV Dương Thiện Tú

6


Đồ án: Điện công nghiệp
cho hệ lò xo
1.2.2
Lực ma sát nhớt

Thiết kế phương trình toán và PID

Lực ma sát nhớt biểu diễn lực làm chậm mà nó có quan hệ tuyến tính
giữa lực tác dụng và vận tốc. Phần tử ma sát nhớt thường được biểu diễn bởi
một cơ cấu giảm sóc như được biểu trên hình 1.4 dưới

Hình 1.4 Lực ma sát nhớt.
f

Ở đây B là hệ số nhớt. Trên hình 1.5a minh họa mối quan hệ chức
năng giữa lực và tộc độ.
dy/dt

f

f

+Fs

+Fc

dy/dt

dy/dt

-Fs

(a)

-Fc

(b)

(c)

Hình 1.5 Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa lực và tốc độ của các lực ma sát:
(a). Lực ma sát nhớt; (b). Lực ma sát tĩnh; (c). Lực ma sát Coulomb.
1.3 Cấu trúc hệ thống điều khiển
Gồm 3 thành phần chơ bản:

SV Dương Thiện Tú

7


Đồ án: Điện công nghiệp
cho hệ lò xo

Thiết kế phương trình toán và PID
Hình 1.6

r(t) : tín hiệu vào, chuẩn (reference input), giá trị đặt trước (SetPoint)
y(t) : tín hiệu ra (output), biến được điều khiển (controlled variable), giá trị
thực (Process Value)
yht(t) : tín hiệu hồi tiếp (feedback)
e(t) : tín hiệu sai lệch, sai số (error)
u(t) : tín hiệu điều khiển
z(t): tín hiệu nhiễu
* ghi chú: yht=K.y; e=r-yht; nếu K=1 thì e=r-y
1.3.1 Các nguyên tắc điều khiển
-

Nguyên tắc điều khiển giữ ổn định : duy trì đáp ứng y = hằng số định
trước

-

Điều kiện bù nhiễu (feedforward)

-

Điều khiển san bằng sai lệch (feedback)

-

Điều khiển phối hợp

-

Nguyên tắc điều khiển theo chương trình : tạo đáp ứng y(t) có đặc tính
thời gian định trước.

-

Nguyên tắc điều khiển thích nghi : Điều khiển các đối tượng có mô hình
toán và thông số động (thay đổi trong quá trình làm việc do ảnh hưởng
của môi trường).
1.3.2 Hàm truyền

Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh
Laplace của tín hiệu vào khi các điều kiện đầu bằng 0

SV Dương Thiện Tú

8


Đồ án: Điện công nghiệp
cho hệ lò xo

Thiết kế phương trình toán và PID

- Ta có hàm truyền của các khâu vật lý điển hình của hệ lò xo:

Hình 1.7 Hệ lò xo – khối lượng – giảm chấn
*Nhận xét
-

Khái niệm hàm truyền chỉ dùng cho hệ thống (hay phần tử) tuyến

tính bất biến.
-

Hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thông số và bậc của hệ thống mà

không phụ thuộc vào loại và giá trị của tín hiệu vào , tín hiệu ra.
-

Giả thiết các ĐKĐ =0 nhằm mục đích dùng hàm truyền để nghiên

cứu bản chất động học của hệ thống.
-

Dùng hàm truyền để mô tả và phân tích hệ thống thuận lợi hơn

PTVP vì hàm truyền là phân thức đại số.
*Đánh giá ổn định :
SV Dương Thiện Tú

9


Đồ án: Điện công nghiệp
Thiết kế phương trình toán và PID
cho hệ lò xo
Ổn định BIBO: (Bound Input- Bound Output, vào chặn ra chặn). Hệ thống
được gọi là ổn định BIBO nếu với tín hiệu vào hữu hạn thì tín hiệu ra cũng hữu

hạn.

Hình 1.8
Ổn định tiệm cận (Lyapunov): Hệ ổn định tiệm cận nếu như khi có nhiễu
tức thời đánh bật hệ ra khỏi trạng thái cân bằng thì sau đó hệ có khả năng tự
quay về trạng thái cân bằng ban đầu.

Hình 1.9
1.3.3 Bộ điều khiển PID

Bộ điều khiển tỉ lệ P giúp giảm thời gian đáp ứng; giảm sai lệch tĩnh nhưng
không triệt tiêu được sai lệch tĩnh. Bộ điều khiển tích phân I có khả năng triệt
tiêu sai lệch tĩnh; nhưng nó có thể làm cho đáp ứng quá độ tồi tệ hơn. Bộ điều
khiển vi phân D giúp giảm độ quá điều chỉnh; cải thiện đáp ứng quá quá độ của
hệ thống, tuy nhiên đôi khi làm hệ mất độ ổn định do khá nhạy cảm với nhiễu.
Các ảnh hưởng của bộ điều khiển P, I, D với hệ kín được tổng hợp trong bảng
dưới đây.

SV Dương Thiện Tú

10


Đồ án: Điện công nghiệp
cho hệ lò xo

Thiết kế phương trình toán và PID

-Sơ đồ khối

Hình 1.10
- Đồ thị biểu diễn các thông số cần chỉnh sửa

Hình 1.11
a) Mục tiêu điều khiển
- Triệt tiêu sai số xác lập
- Giảm thời gian xác lập và độ vọt lố
- Hạn chế giao động
b) Các phương pháp tìm thông số PID (Kp,Ki,Kd)
- Chỉ định bằng tay

SV Dương Thiện Tú

11


Đồ án: Điện công nghiệp
Thiết kế phương trình toán và PID
cho hệ lò xo
+ Đặt Ki = Kd = 0. Tăng Kp đến khi hệ thống dao động tuần hoàn.
+ Đặt thời gian tích phân bằng chu kỳ dao động
+Điều chỉnh lại giá trị Kp cho phù hợp.
+Nếu dao động thì điều chỉnh lại giá trị Kd
- Phương pháp Ziegler-Nichols
+ Đặt Ki=Kd=0. Tăng Kp cho đến khi hệ thống dao động tuần
hoàn
+ Đặt giá trị Kp=Kc
+ Đo chu kỳ dao động Pc và dựa vào bảng sau để tìm PID

- Chỉnh định dùng phần mềm

+Dùng phần mềm để tự động chỉnh định thông số PID (thực hiện
trên mô hình toán, kiểm nghiệm trên mô hình thực).
+ Dùng phần mền matlap
-Cohen-coon và Phương pháp phản hồi rơle (Relay feedback). Các bạn
tự tham khảo thêm

SV Dương Thiện Tú

12


Đồ án: Điện công nghiệp
Thiết kế phương trình toán và PID
cho hệ lò xo
CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN VÀ PID CHO
HỆ LÒ XO-KHỐI LƯỢNG-MA SÁT

2.1 Thiết kế mô hình hệ lò xo .
Xét hệ “khối lượng – lò xo – ma sát” trên hình 2a. Chuyển động tuyến
tính xét đến có hướng theo phương ngang. Sơ đồ thân tự do của hệ được
biểu diễn trên hình 2.b.
Với :
-K=M=1.
-B là 2 số cuối của mã số sinh viên chia 100
*MSSV: 14D520201017. Vậy B= 0.27

Xây dựng phương trình toán

2.1.1

Trên hình 2b minh họa trường hợp mà ở đây là lực tác động lên vật có khối
lượng M. Áp dụng định luật newton 2. Cho hệ hình 2b ta có phương trình lực

<=>

Đặt

Biểu diễn tốc độ và gia tốc

tương ứng

SV Dương Thiện Tú

13


Đồ án: Điện công nghiệp
Thiết kế phương trình toán và PID
cho hệ lò xo
Viết lại dưới dạng các thong tin vào/ra ta có:

Ở đây đầu ra là y(t) đầu vào là
Với điều khiện đầu băng không. Hàm truyền đạt giữa Y(s) và F(s) nhận
được bằng phép chuyển đổi Laplace cho cả hai vế phương trình:

=>

(*)

Từ phương trình(*) ta có thể biểu diễn bằng sơ đồ khối

Thiết kế bộ PID bằng phương pháp thử sai dùng phần mềm

2.1.2

Matlap
B1: vào Matlap thực hiện đoạn code sau, và xem đồ thị biểu diễn
của hàm truyền khi chưa được có sự tác động của PID:
num=1;
den=[1 0.27 1];
Gp=tf(num, den)
H=[ 1 ]
M=feedback(Gp, H)
step(M)

Hình 2.1

B2: Ta tiến hành gõ thêm đoạn code để đưa bộ điều chỉnh PID vào
num=1;
SV Dương Thiện Tú

14


Đồ án: Điện công nghiệp
cho hệ lò xo
den=[1 0.27 1];

Thiết kế phương trình toán và PID

Gp=tf(num, den)
H=[ 1 ]
M=feedback(Gp, H)
step(M)
hold on
%%
%Thiết kế bộ PID
Kp=1
Ki=0
Kd=0
Gc = pid(Kp, Ki, Kd)
Mc = feedback( Gc*Gp, H)
step (Mc)
Grid on
B3: Ta tiến hành hiệu chỉnh các thông số Kp,Ki,Kd. Bằng cách bôi đen
thông số của Ki hoặc Kp hoặc Kd sau đó click chuột phải chọn “Increment
Value and Run Section” sẽ xuất hiện biêu đồ cho phép ta vẽ chồng lên nhau. Cứ
thế lần lượt hay đổi thông số Ki,Kp,Kd cho đến khi như mong muốn.

SV Dương Thiện Tú

15


Đồ án: Điện công nghiệp
cho hệ lò xo

Thiết kế phương trình toán và PID

Hình 2.2

B4: Chỉnh sử bộ PID hoàn thiện với thông số:
• Kp=0.8255
• Ki=3
• Kd=2.98927

Hình 2.3
B5:Ta vào Simulink thiết kế bộ PID cho hàm truyền của hệ lò xo

SV Dương Thiện Tú

16


Đồ án: Điện công nghiệp
cho hệ lò xo

Thiết kế phương trình toán và PID

Hình 2.4
Thay thông số Ki,Kp,Kd vào bộ PID. Sau đây là đồ thị so sánh khi chưa
qua bộ PID hình 2.5b và khi qua bộ PID hình 2.5a

a

b

Hình 2.5
CHƯƠNG 3: KẾT LUẬN
3.1 Kiến thức thu được

Qua đồ án trên đã giúp em hiểu rõ hơn về các thông số PID để chọn thông
số phù hợp và ứng dụng của nó. Biết được hoạt động của hệ lò xo. Từ đó làm
nền tản kiến thức để phát triển và tìm hiểu các hệ thống mô hình hóa khác và
thiết kế bộ PID cho hệ thống như: thiết kế PID cho nhiệt độ lò, thiết kế PID cho
motor…..
3.2 Nhận xét
-

Kp càng lớn thì tốc độ đáp ứng càng nhanh.

-

Kp càng lớn thì sai số xác lập càng nhỏ (nhưng không thể triệt tiêu).

-

Kp càng lớn thì các cực của hệ thống có xu hướng di chuyển ra xa trục
thực => Hệ thống càng dao động và độ vọt lố càng cao.

-

Nếu Kp tăng quá giá trị giới hạn thì hệ thống sẽ dao động không tắt dần
SV Dương Thiện Tú

17


Đồ án: Điện công nghiệp
cho hệ lò xo
=> mất ổn định

-

Thiết kế phương trình toán và PID

Tín hiệu ngõ ra được xác định bởi sai số. KI càng lớn thì đáp ứng quá độ
càng chậm.

-

Ki càng lớn thì sai số xác lập càng nhỏ. Đặc biệt hệ số khuyếch đại của
khâu tích phân bằng vô cùng khi tần số bằng 0 => triệt tiêu sai số xác lập
với hàm nấc

-

KI càng lớn thì độ vọt lố càng cao.

-

K càng lớn thì đáp ứng quá độ càng nhanh. K càng lớn thì độ vọt lố
D
D
càng nhỏ.

-

Hệ số khuếch đại tại tần số cao là vô cùng lớn nên khâu hiệu chỉnh D rất
nhạy với nhiễu tần số cao.

-

Khâu vi phân không thể sử dụng một mình mà phải dùng kết hợp với các
khâu P hoặc I.

3.3 Ưu điểm

Thiết kế đơn giản và có độ chính xác cao, cho ta nhìn thấy được sự thay đổi của
các thông số Kp,Ki,Kd được biểu diễn bằng đồ thị
3.4 Khuyết điểm

Việc thiết kế mất nhiều thời gian và nhàm chán. Phương pháp phổ biến nhất
hiện nay là phương pháp Ziegler-Nichols
Tài liệu tham khảo
-

/>
-

/>
-

Nguyễn Thị Phương Hòa,Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động,Đại học
quốc gia TPHCM

SV Dương Thiện Tú

18


Đồ án: Điện công nghiệp

cho hệ lò xo

SV Dương Thiện Tú

Thiết kế phương trình toán và PID

19