CÁCH xác ĐỊNH SAI số của các đại LƯỢNG vật lý

CÁCH XÁC ĐỊNH SAI SỐ CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ
1. SAI SỐ CỦA CÁC PHÉP ĐO CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ
1.1. Phép đo các đại lượng Vật lý.
1.1.1 Phép đo các đại lượng Vật lý.
Vật lý học là một ngành khoa học định lượng, liên quan đến thế giới hiện thực.
Vật lý học là một khoa học chính xác, vì vậy trong Vật lý học để đặc trưng cho một
hiện tượng, hoặc tính chất của sự vật người ta dùng các đại lượng đo được (vận tốc,
khối lượng, nhiệt độ, năng lượng,…).
Mọi đại lượng Vật lý đều đo được qua các phép đo.
Phép đo một đại lượng Vật lý là phép so sánh đại lượng cần đo với một đại
lượng cùng loại được quy ước chọn làm đơn vị đo.
Phép đo một đại lượng Vật lý như độ dài 5,2 m bao gồm một thứ nguyên, một
đơn vị và một độ chính xác. Ký hiệu “m” cho ta biết thứ nguyên là độ dài, đơn vị
đo là mét, số 5,2 đặc trưng cho độ chính xác của phép đo.
Phép đo các đại lượng Vật lý được chia thành hai loại: Phép đo trực tiếp và phép
đo gián tiếp.
* Phép đo trực tiếp: Đại lượng cần đo được so sánh trực tiếp với đại lượng được
chọn làm đơn vị, kết quả đo được đọc trực tiếp ngay trên dụng cụ đo.
Thí dụ: Đo chiều dài của một vật bằng thước mét, đo cường độ dòng điện bằng
ampe kế,…
* Phép đo gián tiếp: Đại lượng cần đo được xác định thông qua các công thức
Vật lý diễn tả mối quan hệ giữa đại lượng cần đo với đại lượng khác được đo trực
tiếp.
Ví dụ: Vận tốc của một vật chuyển động thẳng đều được xác định gián tiếp
thông qua công thức v =

s
trong đó s là quãng đường vật đi được có thể đo trực
t

tiếp bằng thước mét và t là thời gian chuyển động của vật được đo trực tiếp bằng

đồng hồ bấm giây hoặc đồng hồ đo thời gian hiện số.


1.1.2. Đơn vị đo lường.
Kết quả của một phép đo một đại lượng Vật lý được biểu diễn bởi một giá trị
bằng số kèm theo đơn vị đo lường tương ứng.
Ví dụ: Chiều dài của cạnh bàn là L = 1,22 mét, cường độ dòng điện trong một đoạn
mạch là I = 0,5 Ampe,…
Về nguyên tắc có thể chọn đơn vị cho từng đại lượng Vật lý, nhưng do các đại
lượng được liên hệ với nhau bằng các công thức, các định luật cho nên người ta chỉ
cần chọn đơn vị cho một số đại lượng cơ bản còn đơn vị đo các đại lượng khác đều
có thể suy ra từ các đơn vị đã chọn ở trên.
Những đơn vị đã chọn cho các đại lượng cơ bản gọi là các đơn vị cơ bản còn các
đơn vị khác gọi là đơn vị dẫn xuất.
Tập hợp tất cả các đơn vị cơ bản và đơn vị dẫn xuất thành hệ đơn vị đo lường.
Hiện nay, chúng ta dùng các đơn vị đo được quy định trong bảng đơn vị đo
lường hợp pháp của nước Việt nam dựa trên cơ sở của hệ đo lường quốc tế SI
(System International d’Unites) bao gồm:
+ Các đơn vị cơ bản: độ dài mét (m), khối lượng kilogram (kg), thời gian giây
(s), nhiệt độ Kenvin (K), cường độ dòng điện Ampe (A), cường độ sáng cadenla
(Cd), lượng chất kilômol (kmol) và đơn vị phụ góc khối steradian (Sr).
+ Các đơn vị dẫn xuất: vận tốc m/s, đơn vị lực (N), đơn vị cường độ điện trường
(V/m),…
Có thể nói, đơn vị của các đại lượng đo gián tiếp đều là đơn vị dẫn xuất.
1.2. SAI SỐ CỦA PHÉP ĐO CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ
1.2.1. Định nghĩa
Khi đo các đại lượng Vật lý, vì nhiều lý do khách quan và chủ quan ta không đo
được chính xác tuyệt đối giá trị của đại lượng Vật lý cần đo. Độ sai lệch giữa giá trị
thực và giá trị đo được của đại lượng cần đo gọi là sai số.
∆x = |x1 – x|

(1)

Trong đó: ∆x là sai số của phép đo


x1 là giá trị đo được qua phép đo
x là giá trị thực của đại lượng cần đo.
1.2.2. Phân loại sai số.
a. Sai số dụng cụ.
Là sai số do bản thân dụng cụ gây ra.Dụng cụ càng hoàn thiện,sai số dụng
cụ càng nhỏ,nhưng nguyên tắc không khử được sai số dụng c,chỉ có thể khắc phục
bằng cách thay dụng cụ có độ chính xác cao hơn.
Ví dụ: Trên thước đo nhiệt biểu ghi 0,05 0, trên thước đo chiều dài ghi 0,001m
nghĩa là sai số cực đại của nhiệt biểu là 0,050 của thước là 0,001m.v.v....
b. Sai số ngẫu nhiên
Gây ra bởi những nguyên nhân chủ quan và khách quan rất khác nhau, tác
động một cách ngẫu nhiên lên kết quả đo. Sai số ngẫu nhiên có cả dấu và cả độ lớn
khác nhau trong các lần đo nói cách khác nó làm cho kết quả đo khi thì lớn hơn,
khi thì nhỏ hơn giá trị thực của đại lượng cần đo.
Ví dụ: Dùng đồng hồ bấm giây để đo nhiều lần chu kỳ của con lắc. Do bấm,
ngắt đồng hồ không đúng lúc, do gió ảnh hưởng tới sự dao động của con lắc, một
số các kết quả đo sẽ có giá trị lớn hơn, một số khác lại có giá trị nhỏ hơn chu kỳ
dao động thực của con lắc.
Không thể khử được sai số ngẫu nhiên, nhưng có thể giảm nhỏ giá trị của nó
bằng cách thực hiện đo cẩn thận, nhiều lần trong cùng điều kiện và xác định giá trị
trung bình của nó dựa trên cơ sở của phép tính xác suất thống kê.
c. Sai số hệ thống.
Sai số hệ thống do dụng cụ: Là sai số làm cho kết quả đo, hoặc luôn lớn
hơn, hoặc luôn nhỏ hơn giá trị thực của đại lượng cần đo. Có thể khử được sai số

hệ thống bằng cách hiệu chỉnh lại các dụng cụ đo, hoặc thay mới dụng cụ đo.
Sai số hệ thống do tính chất vật đo:


Thí dụ: Khi đo khối lượng riêng một chất rắn dựa theo công thức ρ =

V
m

trong đó m và V là khối lượng và thể tích của chất đó. Nhưng nếu bên trong vật do
khuyết tật, có một khoảng trống nào đó dẫn đến thể tích V đo được lớn hơn thể tích
thực của vật. Do đó khối lượng riêng xác định được chắc chắn nhỏ hơn khối lượng
riêng thực của vật.
Loại sai số hệ thống này không thấy rõ bản chất và độ lớn. Người ta khắc
phục loại sai số này bằng cách đo trên nhiều mẫu vật khác nhau, lấy giá trị trung
bình và loại mẫu có sai số nhỏ.
Tóm lại: Khi làm thí nghiệm để thực hiện các phép đo, chúng ta cần biết cách
xác định hai loại sai số: sai số ngẫu nhiên của phép đo và sai số dụng cụ.
2. CÁCH XÁC ĐỊNH SAI SỐ CỦA PHÉP ĐO TRỰC TIẾP
2.1. Phép đo trực tiếp các đại lượng vật lý
Phép đo trực tiếp các đại lượng vật lý là phép đo mà kết quả được đọc trực
tiếp trên dụng cụ đo.
Ví dụ: Độ dài đọc trên thước milimet, thời gian đọc trên đồng hồ bấm giây,
nhiệt độ đọc trên nhiệt kế.v.v....
2.2. Cách xác định sai số của phép đo trực tiếp
2.2.1.Sai số ngẫu nhiên (∆An).
Giả sử đại lượng cần đo là F có giá trị thực là A. Khi tiến hành đo đại lượng
này n lần trong cùng một điều kiện, với cùng một phương pháp ta thu được các giá
trị A1, A2, …An khác với giá trị A, nghĩa là mỗi lần đo đều có sai số. Loại sai số này
tuân theo quy luật thống kê đối với hiện tượng ngẫu nhiên: Nếu ta đo nhiều lần (n

là số lớn) thì các giá trị A 1, A2, …An được phân bố đều đặn về cả hai phía lân cận giá
trị thực của A. Khi đó giá trị trung bình số học (gọi tắt là giá trị trung bình) ký hiệu
là A sẽ gần đúng với giá trị thực A.
- Giá trị trung bình xác định theo công thức:


A=

A 1 + A 2 + A 3 + ... + A n 1 n
= ∑ Ai
n
n i =1

(1)

Sai số ngẫu nhiên được tính theo các bước sau:
- Sai số tuyệt đối của đại lượng cần đo trong mỗi lần đo (∆Ai).
Sai số tuyệt đối trong mỗi lần đo là giá trị tuyệt đối của các hiệu số giữa các giá trị
đo được A1, A2, A3, … , An và giá trị trung bình A .
∆A 1 = A 1 − A sai số của lần đo thứ nhất
∆A 2 = A 2 − A sai số của lần đo thứ hai

(2)

….
∆A n = A n − A sai số của lần đo thứ n
- Sai số tuyệt đối trung bình ∆A
Sai số tuyệt đối trung bình của n lần đo là giá trị trung bình số học của sai số tuyệt
đối trong mỗi lần đo.
∆A 1 + ∆A 2 + ∆A 3 + ... + ∆A n 1 n

∆A =
= ∑ ∆A i
n
n i =1

(3)

Sai số tuyệt đối trung bình chính là sai số ngẫu nhiên của phép đo.
2.2.2. Sai số dụng cụ (∆Adc)
Sai số dụng cụ nhỏ nhất bằng độ chính xác (hay sai số) của dụng cụ. Độ
chính xác của dụng cụ là giá trị nhỏ nhất của đại lượng cần đo mà dụng cụ đó có
thể đo được.
- Thông thường độ chính xác của mỗi dụng cụ đo được ghi ngay trên dụng cụ.
Thí dụ: Thước kẹp có độ chính xác là 0,1mm (được ghi ở trên thước) thì chỉ có thể
dùng thước đó đo được kích thước của các vật l ≥ 0,1mm và sai số dụng cụ ∆A dc =
0,1mm.
Tương tự, cân phân tích có độ chính xác là 0,001g (1mg) thì sai số dụng cụ ∆A dc
= 0,001g. v.v…


- Trường hợp dụng cụ không ghi rõ độ chính xác sai số dụng cụ được lấy bằng
giá trị một độ chia nhỏ nhất của dụng cụ. Thí dụ, một độ chia trên đồng hồ bấm
giây là 0,2s thì sai số dụng cụ sẽ là ∆Adc = 0,2s. Nhưng nếu độ chia nhỏ nhất của
dụng cụ nào đó có kích thước lớn hơn nhiều so với khả năng phân giải của mắt
người làm thí nghiệm thì có thể lấy sai số dụng cụ bằng 1/2 độ chia nhỏ nhất của
dụng cụ đó. Thí dụ, nhiệt kế có độ chia là 1 0 khoảng cách giữa 2 vạch liên tiếp lớn
(hơn 1mm) sai số dụng cụ của nhiệt kế đó sẽ được lấy là 0,50.
- Đối với các đồng hồ đo điện (ampe kế, vôn kế…), sai số hệ thống được xác
định dựa trên cấp chính xác của dụng cụ và được ghi rõ trên đồng hồ của dụng cụ.
Cấp chính xác của dụng cụ khác với độ chính xác của dụng cụ. Cấp chính xác của

dụng cụ biểu thị sai số tương đối, được tính ra phần trăm của giá trị cực đại A max mà
thang đó đo được.
Trong trường hợp này sai số của dụng cụ được tính theo công thức:
∆A dc = δA max

(4)

Thí dụ 1: Một mili Ampe kế có cấp chính xác δ = 1% và thang đo sử dụng có
giá trị cực đại Imax = 100mA, thì sai số tuyệt đối của bất kỳ giá trị nào mà nó đo
được trên thang này cũng có giá trị bằng:
∆I dc = 1%.100 = 0,01.100 = 1mA
Nếu thang đo có 100 vạch chia thì độ chia nhỏ nhất trên thang đo của mili
ampe kế có giá trị bằng 1mA. Trong trường hợp này sai số tính theo cấp chính xác
bằng sai số dụng cụ lấy theo giá trị độ chia nhỏ nhất.
Thí dụ 2: Một mili ampe kế có cấp chính xác δ = 1,5% và thang đo sử dụng
có giá trị cực đại Imax = 100mA, thì sai số dụng cụ (sai số của mili ampe kế) khi
dùng thang đo này là:
∆I dc = 1,5%.100 = 0,015.100 = 1,5mA
Nếu thang đo có 100 vạch chia thì độ chia nhỏ nhất trên thang đo có giá trị
bằng 1mA. Khi đó không được phép lấy sai số dụng cụ bằng một độ chia nhỏ nhất


trên thang đo của mili ampe kế (bằng 1mA) mà phải lấy sai số dụng cụ bằng
1,5mA.
- Sai số dụng cụ của các thiết bị đo hiện số được xác định bằng tổng của sai số
được tính theo cấp chính xác và tuỳ thuộc vào thang đo như đối với đồng hồ đo
điện (công thức (4)) cộng với một đơn vị của chữ số có cấp nhỏ nhất hiện trên màn
hình. Thí dụ, một vôn kế hiện số có cấp chính xác δ = 1%, ta dùng thang đo có giá
trị cực đại Um = 10V, giá trị hiệu điện thế hiện trên màn hình là 5,7V. Một đơn vị
của chữ số cuối cùng (số 7) tương ứng với 0,1V. Sai số dụng cụ bằng ∆U dc = 1%.10

+ 0,1 = 0,2V.
2.2.3. Sai số tuyệt đối của phép đo (∆A)
Sai số tuyệt đối của phép đo trực tiếp ∆A được xác định bằng tổng số học
của sai số tuyệt đối trung bình của các lần đo ∆A và sai số dụng cụ ∆Adc.
∆A = ∆A + ∆A dc (đơn vị)

(5)

2.2.4. Viết các kết quả của phép đo
Kết quả của phép đo được viết dưới dạng:
A = ( A ± ∆A ) (đơn vị)

(6)

Công thức (6) được hiểu: giá trị thực A sẽ nằm trong khoảng từ A − ∆A đến
A + ∆A , nghĩa là:

A − ∆A ≤ A ≤ A + ∆ A

(7)

2.2.5. Sai số tương đối của phép đo
Dùng để đánh giá mức độ chính xác của kết quả phép đo.
Sai số tương đối của phép đo được định nghĩa bằng tỉ số giữa sai số tuyệt đối
∆A với giá trị trung bình A : ε =

∆A
(%)
A

(8)

Trong thí nghiệm, sai số tương đối ε càng nhỏ phép đo càng chính xác.
2.2.6. Thí dụ về tính sai số của phép đo trực tiếp
Dùng thước kẹp có độ chính xác là 0,1mm đo 5 lần đường kính D của một
ống hình trụ kim loại, ta được các giá trị ghi trong bảng sau (Bảng 1):


Lần đo
D(mm)
∆Di(mm)
1
21,5
0,02
2
21,4
0,08
3
21,4
0,08
4
21,6
0,12
5
21,5
0,02
- Giá trị trung bình của đường kính D tính theo công thức (1):
D=

21,5 + 21,4 + 21,4 + 21,6 + 21,5

= 21,48mm
5

- Sai số tuyệt đối của từng lần đo (∆Di) tính theo công thức (2) được ghi trong cột 3
Bảng 1.
- Sai số tuyệt đối trung bình của đường kính D tính theo công thức (4).
∆D =

0,02 + 0,08 + 0,12 + 0,02 + 0,08
= 0,064mm
5

- Sai số dụng cụ bằng độ chính xác của thước kẹp bằng ∆D dc = 0,1mm
- Sai số tuyệt đối của phép đo xác định theo công thức (5):
∆D = 0,064 + 0,1 = 0,164mm
Sau khi làm tròn ta được ∆D = 0,2mm.
- Kết quả của phép đo: D = (21,5 ± 0,2)mm
- Sai số tương đối của phép đo tính theo công thức (8):
ε=

0,2
= 0,0093 ⇒ ε = 0,009 = 0,9%
21,5

Kết quả: Giá trị thực của đường kính D nằm trong khoảng giá trị:
21,3mm ≤D ≤ 21,7mm
3. NGUYÊN TẮC LÀM TRÒN SỐ
3.1. Bậc một số
Số A bất kỳ có thể viết dưới dạng: A = a.10n
Trong đó 0 < a <10, n là số nguyên dương, âm hoặc bằng 0.

Ta nói A có bậc n và đã được viết dưới dạng chuẩn hoá.
Ví dụ 1250 = 1,25.103 có bậc 3


9,21 = 9,21.100 có bậc 0.
0,026 = 2,6.10-2 có bậc -2.
3.2. Những nguyên tắc làm tròn số.
Trong thực hành, khi tính sai số tuyệt đối của phép đo hoặc giá trị trung bình
của các kết quả đo chúng ta có thể nhận được những con số gồm nhiều chữ số khi
đó chúng ta phải làm tròn số. Việc làm tròn số phải tuân theo các nguyên tắc và quy
tắc sau:
a. Nguyên tắc làm tròn số.
+ Sai số tuyệt đối của phép đo trực tiếp không thể chính xác hơn sai số của
dụng cụ. Bởi vậy, khi tính sai số ta chỉ giữ lại những chữ số có bậc bằng hoặc lớn
hơn bậc của sai số dụng cụ và gọi các chữ số đó là các chữ số có nghĩa. Các chữ số
có bậc nhỏ hơn bậc của sai số dụng cụ gọi là các chữ số không tin cậy nên được bỏ
đi.
Việc bỏ những chữ số không tin cậy (những chữ số ở cuối con số) được gọi
là việc làm tròn số. Trong thí dụ trên thước kẹp chỉ đo với độ chính xác 0,1mm nên
kết quả sai số chỉ cần giữ lại số đầu tiên sau dấu phẩy: ∆D = 0,164 mm thì hai chữ
số 6 và 4 không tin cậy do đó cần phải làm tròn thành 0,2mm.
+ Giá trị trung bình của đại lượng cần đo phải quy tròn đến chữ số có nghĩa
cùng bậc với sai số tuyệt đối của nó.
Trong thí dụ trên, sai số tuyệt đối là 0,2mm, giá trị trung bình là D =21,48 thì
số 8 ở cuối chữ số là không tin cậy phải bỏ đi và D được làm tròn bằng 21,5mm.
Kết quả của phép đo sẽ được viết là: D = D + ∆D = ( 21,5 ± 0,2) mm
b. Quy tắc làm tròn số.
Khi đã xác định được giá trị trung bình số học A của đại lượng A và sai số
∆A của nó thì kết quả sẽ được viết tuân theo quy tắc Brađixơ: Tất cả các chữ số tính

từ trái qua phải, kể từ chữ số khác 0 đầu tiên đều là các chữ số có nghĩa. Chỉ giữ lại
những số có nghĩa trong kết quả. Sai số tuyệt đối được làm tròn đến chữ số có
nghĩa đầu tiên nếu số này > 2 và được làm tròn đến chữ số có nghĩa thứ 2 nếu chữ


số có nghĩa đầu tiên ≤ 2 . Giá trị trung bình a được làm tròn đến chữ số cùng hàng
với chữ số có nghĩa của sai số tuyệt đối ∆A . Kết quả phải được viết dưới dạng lũy
thừa của 10 để không có chứa những số 0 vô nghĩa đứng đầu số.
4. CÁCH XÁC ĐỊNH SAI SỐ CỦA PHÉP ĐO GIÁN TIẾP
4.1. phép đo gián tiếp các đại lượng vật lý
Phép đo gián tiếp các đại lượng vật lý, là phép đo mà kết quả của nó được
tính gián tiếp thông qua công thức biểu diễn mối quan hệ hàm số giữa đại lượng
cần đo với các đại lượng được đo trực tiếp.
Thí dụ: Vận tốc v của chuyển động thẳng đều được xác định gián tiếp qua
công thức v = s t , trong đó đường đi s đo trực tiếp bằng thước milimet, thời gian
chuyển động t đo trực tiếp bằng đồng hồ bấm giây. Thể tích V của một hình trụ kim
ρ D2 h
loại dược xác định gián tiếp qu a công thức V =
trong đó đường kính D và độ
4

cao h được đo bằng thước kẹp..v.v.....
4.2. Cách tính sai số của phép đo gián tiếp.
Giả sử đại lượng cần đo (gián tiếp) y liên hệ với các đại lượng đo trực tiếp x 1,
x2,…,xn theo hàm số(thể hiện bằng công thức Vật lý):
Y = f(x1,x2,…,xn) (*)
Sai số của phép đo đại lượng Y được tính bằng các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Xác định sai số tuyệt đối của đại lượng đo theo phép tính vi phân.
Phương pháp này áp dụng đối với các công thức của đại lượng đo y là một
tổng hoặc một hiệu của các đại lượng đo trực tiếp x1, x2,…, xn. Với phương pháp

này ta tính sai số tuyệt đối trung bình trước sau đó mới tính sai số tương đối trung
bình. Cụ thể:
+ Lấy vi phân toàn phần hàm (*), ta có:
dy =

δf
δf
δf
dx 1 +
dx 2 + ... +
dx n
δx 1
δx 2
δx n

(1)


+ Thay dấu vi phân “d” bằng dấu sai số (cũng có nghĩa là sai số) “∆” và lấy giá trị
tuyệt đối của các vi phân riêng phần, ta có:
∆y =

δf
δf
δf
∆x 1 +
∆x 2 + ... +
∆x n (2)
δx 1
δx 2

δx n

Hay

∆y = ∑

n

i =1

δf
∆x i (3)
δx i

Việc lấy giá trị tuyệt đối các vi phân riêng phần cho ta sai số cực đại phù hợp
với số lần đo có thể thực hiện được tại phòng thí nghiệm.
Trong công thức (3) giá trị các đại lượng đo trực tiếp là các giá trị trung bình
của các lần đo nên ∆y được gọi là sai số tuyệt đối trung bình, còn ∆x i là sai số của
các đại lượng đo trực tiếp có trong công thức được tính từ phần III.
n

+ Tính sai số tương đối:

δf

∑ δx

∆x i
i =1
(4)

∆y
i
ε=
=
y f ( x 1 , x 2 ,..., x n )

Phương pháp 2: Nếu đại lượng cần đo y là tích hoặc thương của đại lượng đo trực
tiếp ta xác định sai số tương đối trước sau đó tính sai số tuyệt đối theo các bước
sau:
+ Tính lôga nêpe hàm số (*): Lny = lnf(x1, x2, …,xn)
+ Tính vi phân toàn phần của lny:

d(ln y) =

dy
y

(5)
(6)

dy

+ Rút gọn biểu thức của vi phân toàn phần y bằng cách gộp những vi phân
riêng phần chứa cùng vi phân của biến số dx1, dx2,…
+ Lấy tổng giá trị tuyệt đối của các vi phân riêng phần. Thay dấu vi phân
riêng phần “d” bằng dấu sai số “∆”,đồng thời thay x 1, x2,…bằng các giá trị trung
bình của chúng. Kết quả ta được sai số tương đối trung bình, sau đó tính sai số
tuyệt đối trung bình:

∆y = εy (7)

Ví dụ: Đo lực ma sát của ổ trục theo công thức: Fms = mg

h1 − h 2
h1 + h 2

Trong công thức này x1 = m; x2 = g; x3 = h1; x4 = h2.
Theo quy tắc trên trước hết ta tính:
lnFms = lnm + lng + ln(h1 – h2) – ln(h1 + h2)
Tính vi phân toàn phần của lnFms ta có:
dFms dm dg dh 1 − dh 2 dh 1 + dh 2
=
+
+
−
Fms
m
g
h1 − h 2
h1 + h 2
Rút gọn biểu thức vi phân toàn phần trên đây, ta có:
dFms dm dg 2(h 2 dh 1 − h 1 dh 2 )
=
+
+
Fms
m
g
h 12 − h 22

Chuyển dấu “d” thành dấu “∆”,đồng thời lấy giá trị tuyệt đối của các vi phân riêng
phần bằng cách thay dấu “-“ trước dh 2 thành dấu “+” và thay các đại lượng đo trực
tiếp bằng các giá trị trung bình của chúng:
ε=

Fms ∆m ∆g 2( h 2 ∆h 1 + h 1 ∆h 2 )
=
+
+
F
m
g
h 12 − h 22

Các đại lượng trong công thức này được xác định bằng phép đo trực tiếp.
Tính sai số tuyệt đối theo công thức: ∆Fms = εFms
Chú ý:
1. Trong công thức tính sai số tương đối, nếu có một số hạng lớn gấp 10 lần
một số hạng khác thì ta có thể bỏ qua số hạng nhỏ đó, với điều kiện tổng tất cả các
số hạng bỏ đi vẫn nhỏ hơn nhiều so với số hạng lớn giữ lại.
2. Nếu trong công thức tính đại lượng cần đo y có chứa những con số cho
trước mà không ghi sai số kèm theo hoặc chứa những hằng số (vật lý, toán) thì sai
số của chúng được xác định theo quy tắc sau:
+ Sai số tuyệt đối của đại lượng cho trước sẽ lấy bằng một đơn vị của chữ số
cuối cùng của nó.
Ví dụ: D = 12mm thì lấy ∆D = 1mm


nếu cho D = 12,1mm thì lấy ∆d = 0,1mm.
lấy sai số như vậy để đảm bảo con số đã cho gồm các chữ số có nghĩa (có bậc lớn

hơn hoặc bằng bậc sai số).
+ Đối với những hằng số như π , g, e,… thì lấy giá trị của hằng số đó đến
chữ số mà sai số tương đối của hằng số ấy nhỏ hơn hoặc bằng 1/10 giá trị của ít
nhất một sai số tương đối khác trong công thức tính và do đó ta có thể bỏ qua sai
số của hằng số.
Ví dụ: Thể tích của khối trụ tính theo công thức V = πR 2 h , tính sai số của
phép đo biết bán kính R = 30,2 ± 0,1 mm và chiều cao h = 50,01 ± 0,1 mm.
+ Tính: ln V = ln π + 2 ln R + ln h
+ Tính vi phân của biểu thức thu được:

dV dπ
dR dh
=
+2
+
V
π
R
h

+ Chuyển dấu vi phân thành dấu sai số ta có công thức tính sai số tương đối:
ε=

∆V ∆π
∆R ∆h ∆π
0,1
0,1 ∆π
=
+2
+

=
+2
+
=
+ 0,0086
V
π
R
h
π
30,2 50,1 π

Nếu lấy π = 3,14 ⇒ ∆π = 0,01 &

∆π 0,01
=
= 0,0032
π 3,14

sẽ cùng bậc với

0,0086. vậy trường hợp này không được lấy π = 3,14
Nếu lấy π = 3,141 ⇒ ∆π = 0,001 &

∆π 0,001
=
= 0,00032 nhỏ hơn 0,0086 là 10 lần
π
3,141

do đó có thể bỏ qua ∆π lấy π = 3,141 và lấy ε = 0,0086 .
Thể tích trung bình của hình trụ là:
V = 3,141.( 30,2) .50,1 = 143522,35mm 3
2

Sai số tuyệt đối trung bình của hình trụ là:
∆V = ε.V = 0,0086.143522,35 = 1234,2922mm 3 ≈ 1,234.10 3 mm 3 ≈ 1,2.10 3 mm 3 Viế
t kết quả: V = V ± ∆V = (143,5 ± 1,2).10 3 mm 3
5. PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ BIỂU DIỄN KẾT QUẢ PHÉP ĐO.
5.1. Mục đích và ý nghĩa.


Phương pháp biểu diễn kết quả các phép đo bằng đồ thị được ứng dụng rộng
rãi trong thí nghiệm Vật lý. Phương pháp này cho phép:
+ Thể hiện một cách trực quan sự phụ thuộc hàm số của một đại lượng Vật lý
này vào một đại lượng vật lý khác, đồng thời có thể tìm ra các hệ số tỷ lệ và các
quy luật Vật lý.
+ Nội suy các giá trị của hàm số ( của đại lượng phụ thuộc) ứng với giá trị
của đối số ( của đại lượng Vật lý được chọn làm biến số) không có trong bảng số
liệu mà do điều kiện thời gian chúng ta không đo được hoặc do điều kiện thiết bị
không thể đo được các giá trị đối số đó.
+ Tìm điểm cắt nhau của đồ thị của hai hàm số ứng với một giá trị của đối số
(tức tìm hai hàm số khác nhau mà bằng nhau).
5.2. Phương pháp vẽ đồ thị trong thí nghiệm Vật lý.
Thí dụ: Nghiên cứu sự phụ thuộc của điện trở (R) của dây dẫn vào nhiệt độ
(t0), trong đo lường ta thu được các kết quả sau:
T0C
0
10
20

30
40
R(Ω)
100,02
100,40
100,82
101,23
101,68
Căn cứ vào bảng số liệu trên chúng ta vẽ đồ thị biểu diễn hàm số R = f(t) như sau:
+ Vẽ một hệ trục toạ độ vuông góc trên tờ giấy kẻ ô milimét. Chọn tỷ lệ thích
hợp trên các trục để vẽ đồ thị rõ ràng, chính xác, cân đối và chiếm hết khổ giấy. Ghi
các giá trị của R trên trục tung và các giá trị của t0 trên trục hoành.
+ Với mỗi cặp giá trị của R và t0, vẽ một điểm tương ứng trên đồ thị nằm
trong ô vuông sai số có kích thước ngang bằng 2∆t và có kích thước dọc bằng 2∆R.
+ Vẽ đường biểu diễn thành một đường liên tục (thẳng hoặc cong) sao cho
tâm của các ô vuông sai số phân bố đều về cả hai phía của đường biểu diễn. Đường
biểu diễn như vậy là đường trung bình của các điểm đo được.
+ Vẽ đường bao sai số: Vẽ hai đường đi qua các đỉnh của các ô vuông sai số
và song song với đường biểu diễn. Hai đường vẽ thêm này không vẽ liền nét mà vẽ
bằng các chấm chấm và được gọi là đường bao sai số.


+ Đoạn nội suy của đồ thị là đoạn được kéo dài thêm theo quy luật tương
quan hàm số, đoạn này không được vẽ liền nét.
Chú ý:
Trường hợp các số liệu thu được bị phân tán so với quy luật lý thuyết đã cho,
nếu có điểm nào đó lệch quá xa so với các điểm khác và ra ngoài đường bao sai số
thì ta có thể bỏ qua điểm này, những điểm như vậy gọi là điểm kỳ dị.