TÍNH CÔNG SUẤT hấp THỤ CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON TRONG hố LƯỢNG tử với THẾ PARABOL BẰNG kỹ THUẬT CHIẾU độc lập TRẠNG THÁI (tt)

TÍNH CÔNG SUẤT HẤP THỤ CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON TRONG HỐ
LƯỢNG TỬ VỚI THẾ PARABOL BẰNG KỸ THUẬT CHIẾU ĐỘC LẬP
TRẠNG THÁI
Trần Ngọc Bích
Trường Đại học Quảng Bình
Tóm tắt: Công suất hấp thụ cộng hưởng cyclotron (Cyclotron Resonance Absorption Power CRAP) trong hố lượng tử với thế parabol đã được tính toán lý thuyết. Ở đây, vật liệu được đặt trong từ
trường không đổi và điện trường biến thiên với tần số cao. Công cụ tính toán là kỹ thuật chiếu độc lập
trạng thái. Kết quả thu được thể hiện đặc trưng vật lý của bán dẫn khảo sát.
1. GIỚI THIỆU
Điểm khác biệt của bán dẫn thấp chiều so với bán dẫn khối là sự có mặt thế phụ giam giữ ngoài
thế tuần hoàn của mạng tinh thể. Điều đó dẫn đến nhiều tính chất vật lý ưu việt của vật liệu thấp chiều.
Trong bán dẫn hố lượng tử, thế phụ giam giữ một chiều làm cho phổ năng lượng điện tử theo phương hố
thế bị lượng tử hóa thành các mức con [1]. Vì thế, các dịch chuyển quang của điện tử trong hố lượng tử
sinh ra khi tương tác với trường ngoài phải thỏa mãn các quy tắc lọc lựa lượng tử khác biệt so với trong
các bán dẫn thấp chiều khác và so với trong bán dẫn khối. Việc khảo sát phản ứng của hệ điện tử trong hố
lượng tử đặt trong trường ngoài sẽ cho phép nghiên cứu các tính chất vật lý đặc trưng của vật liệu.
Gần đây, kỹ thuật chiếu toán tử phát triển và trở thành công cụ hữu hiệu để khai triển tenxơ độ
dẫn quang trong gần đúng phản ứng tuyến tính. Trong số đó, kỹ thuật chiếu độc lập trạng thái mà nhóm
Kang N. L. giới thiệu [2] được quan tâm chú ý. Tính toán đối với bán dẫn khối Ge, kết quả mà nhóm thu
được khi sử dụng các toán tử chiếu độc lập trạng thái được xem là phù hợp thực nghiệm hơn so với kết
quả tương tự mà kỹ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái mang lại [3].
Ở đây, áp dụng kỹ thuật chiếu độc lập trạng thái, tính toán CRAP trong bán dẫn hố lượng tử với
thế parabol khi có mặt từ trường không đổi và điện trường biến thiên với tần số cao. Trước hết, tính cho
bán dẫn khối, sau đó áp dụng vào mô hình thấp chiều khảo sát.
2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA HÀM SUY GIẢM
Xét hệ điện tử tương tác với phonon trong bán dẫn hố lượng tử với thế parabol khi có mặt từ
trường không đổi B phân cực dọc theo trục z, B   0, 0, B  . Hamiltonian của hệ trong trạng thái

cân bằng nhiệt động, khi giới hạn chỉ xem xét tương tác điện tử - phonon, có dạng

H 0  H e  H ph   E a a   qbqbq ,

1
 2

U   C ,  (q)a a  bq  b

 3

H  H0  U ,


q



q  ,


q

,


trong đó H e , H ph và U tương ứng là Hamiltonian của hệ điện tử bị giam giữ trong hố, của hệ
phonon và thế tán xạ do tương tác điện tử - phonon. Ở đây a  a  là toán tử sinh (hủy) điện tử
trong trạng thái  với năng lượng E ; bq  bq  là toán tử sinh (hủy) phonon có năng lượng q
với q   s, q  , trong đó s là chỉ số mode (phonon âm, quang có cực, quang không có cực, áp
điện,…) và q là vectơ sóng của phonon; C ,  q    Vq eiqr  là yếu tố ma trận của tán xạ

Vq eiqr , gọi là yếu tố ma trận tương tác điện tử - phonon. Do Vq là hằng số khi tính yếu tố ma trận,

nên

C ,  q   Vq  eiqr   Vq M ,  q  ,

(4)

với Vq là hằng số tương tác điện tử phụ thuộc vào loại phonon, M  ,   q  là hệ số dạng của điện
tử trong hố lượng tử khi có mặt từ trường.
Khi chưa có từ trường, phổ năng lượng của điện tử trong hố thế parabol bị lượng tử hóa
thành các vùng con, chỉ số vùng con n . Khi có mặt từ trường phân cực theo phương z , phổ
năng lượng của điện tử bị lượng tử theo các mức Landau N . Vì vậy, trạng thái của điện tử
trong hố lượng tử với parabol đặt trong từ trường có dạng

  N , n , k y  N , k y n ,

(5)

trong đó k y là vectơ sóng theo phương y của điện tử trong hố thế,

N , k y 

1
exp  i  X  / r02  y  N  x  ,
Ly

  x  X  2 
 x  X
N  x  
exp 
 H N 

2
 2r0

 r0
2 N N !r0 
1

| n  

 m0 2 
exp  
z  H n
 2

2n n ! 
1

 m0 
z  ,




6

,


7
8

với X   r02 k y , r02  /  mc  , c  eB / m gọi là tần số cyclotron, e và m tương ứng là điện
tích và khối lượng hiệu dụng của điện tử; 0 là tần số đặc trưng của hố parabol; H n  x  là đa
thức Hermite bậc n của x . Tương ứng với các hàm riêng (5), phổ các giá trị riêng có dạng

1
1


E   N   c   n   0 .
2
2



(9)


Khi hệ nói trên được đặt trong điện trường biến thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số
góc  , E  E0eit , phản ứng của hệ sinh ra độ dẫn quang - từ. Trong gần đúng phản ứng tuyến
tính, biểu thức tenxơ độ dẫn có dạng [3].
i
1
 kl    lim    L  J k ,

10 

 a 0
trong đó     ia, a  0 ; L là toán tử Liouville tương ứng với Hamiltonian H ; J k là thành
phần theo phương k của vectơ mật độ dòng J .

Sử dụng các toán tử chiếu độc lập trạng thái được định nghĩa bởi [2]

PX  X J k / J k ,

11

P  1  P,

trong đó
X  TR 0  X , J l  ,

12

chúng tôi tìm được thành phần     của độ dẫn quang - từ trong một bán dẫn khối đặt trong
từ trường như sau

    
với

E    J 

1



i

lim

 a 0

J
,
  c  E  



1
TR d  Lv J  ,    LP  Lv J  



13
được gọi là hàm suy giảm [4];

J    j  1, ( f 1  f ), f  1  exp ( E  E F ) / K BT 
2

1

là hàm phân bố Fermi-Dirac

của điện tử ở trạng thái  , EF là năng lượng Fermi, K B là hằng số Boltzmann ở nhiệt độ T ;

  1  N 1 , k .
Tiếp tục khai triển phương trình 13 bằng cách tính trung bình thống kê. Hàm suy giảm

E   phụ thuộc vào     ia nên là một đại lượng phức và có thể phân tích thành
E        i   , trong đó     Re  E   và     Im  E   tương ứng là
phần thực và phần ảo của E   . Trong giới hạn lượng tử,    có thể bỏ qua khi so sánh với c

[3], [5], vì vậy ở đây ta chỉ quan tâm đến đóng góp của phần ảo    . Sử dụng đồng nhất thức
x  is)1 (1/ x)  i ( x) , trong đó ( x) và  ( x) tương ứng là các giá trị chính và hàm
Dirac lim(

s 0

Delta - Dirac của x , chúng tôi thu được


( f  f 1 ) ( )
   C 1,  (q ) C, 1 (q )  C1, (q ) j,  1 j1, 



q,

 1  N q  f (1  f  )  N q f  (1  f )   (   E  E  q )



  N q f (1  f  )  1  N q  f  (1  f )   (   E  E  q )

(14)

  C , (q) C,  (q)  C1,  1 (q ) j 1,  j1, 



q,

 1  N q  f  (1  f 1 )  N q f 1 (1  f  )   (   E 1  E  q )



  N q f  (1  f 1 )  1  N q  f 1 (1  f  )   (   E 1  E  q )
3. BIỂU THỨC CỦA CÔNG SUẤT HẤP THỤ
Công suất hấp thụ được xác định theo biểu thức

P( )  E02 Re[  ( )] ,
Re   ( )  

(15)
J   ( )

1

 (  c ) 2   ( ) 2

.

(16)

2

Cộng hưởng cyclotron xảy ra khi   c . Với j1,  2e2 ( N  1) c m , ta được

P( ) 

e2 E02
m




( N  1)( f  f 1 )
.
 ( )

(17)

Để tính CRAP trong mô hình hố lượng tử với thế parabol, ta phải tìm biểu thức giải tích
tường minh của  ( ) trong mô hình này. Để làm được điều này, ta cần tính các yếu tố ma trận
tương tác điện tử - phonon C ,  (q) trong biểu thức (14), sau đó tính tổng theo trạng thái

 ,   ...   N ,n  k ... , trong đó tổng theo k  y có thể chuyển thành tích phân theo k  y ; và
y

tổng theo q trong hệ chuẩn hai chiều được tính bởi công thức [5]




AL
AL
q ...  (20 )z3  dqz  2 q dq ...  40 2z

0





 dq  q dq ...,


z





0

ở đây A0  Lx Ly , q2   qx2  q y2  .
Giả sử q 2  q2 và xét tương tác điện tử - phonon quang dọc không có cực, có tính đến
hiệu ứng chắn [5],

e2 l
V (q) 
2 A0 Lz
2

 1
q2
1 
 
,

2
    0   q2  qd2 

(18)


trong đó  ,   và  0 lần lượt là hằng số điện môi trong chân không, hằng số điện môi cao tần và
hằng số điện môi tĩnh; l là năng lượng của phonon quang dọc, qd là nghịch đảo độ dài chắn
Debye. Từ đó các phép tính toán cho kết quả

 1
1
1 
    f N ,n  f N 1,n 

    0  N , N  , n , n

 e2 l
   
2 L2y




  dqz F (n, n; qz )  dq

q2

K ( N , N ; )

q  q 
1  N  f 1  f   N f 1  f     ( N , N , n, n) 

  N f 1  f   1  N  f 1  f     ( N , N , n, n) 
 1  N  f 1  f
  N f 1  f    ( N , N , n, n) 
  N f 1  f
  1  N  f 1  f    ( N , N , n, n)  ,


0

q

q

N  , n

N  , n

q

N 1, n

N 1, n

N  , n

q

q

()

1

N ,n

N  , n

q

N  , n

q

q

N  , n

N ,n

N ,n

2 2
d

2


(19)

()
1

N ,n

N 1, n

N , n

()
2

N 1, n

N  , n

()
2

trong đó để đơn giản ta đã chọn N  N , n  n, N   N , n  n;

 1(  ) ( N , N , n, n)        N  N   c   n  n  0  l  ,
  2(  ) ( N , N , n, n)        N   N  1 c   n  n  0  l  ;
các ma trận K ( N , N ; ) và hàm F (n, n, qz ) được xác định như [6].

(20)

Để thực hiện tính số hai tích phân theo q z và q trong (19) ta giới hạn chỉ xét các dịch
chuyển với n  0, N  N   0 , nghĩa là các chỉ số Landau ở mức thấp nhất và dịch chuyển giữa
các vùng con thấp nhất. Cuối cùng chúng tôi thu được các kết quả như sau:

   

2 e 2 l
4 L2y

 1
1
1 
   f 0,0  f1,0 

  0 

2 n



  1 (i ) (n!) 1   2n  1 2   d
n

n

0



  q r / 2 
   (0, 0, 0, n) 
   (0, 0, 0, n)
   (0, 0, 0, n) 
   (0, 0, 0, n)  ,

 1  N q  f 0,0 1  f 0,n   N q f 0, n 1  f 0,0
  N q f 0,0 1  f 0,n   1  N q  f 0,n 1  f 0,0
 1  N q  f 0,n 1  f1,0   N q f1,0 1  f 0,n

  N q f 0,n 1  f1,0   1  N q  f1,0 1  f 0, n
trong đó (n) là hàm Gamma.

 2 e
2 2
d 0

()
1

()
1

()
2

()
2

2

(21)


Thay biểu thức  ( ) thu được ở trên vào (17) ta thu được biểu thức CRAP trong mô
hình bán dẫn hố lượng tử với thế parabol. Tích phân trong (21) có thể nhận được bằng phương

pháp số.
Biểu thức CRAP có chứa các hàm phân bố điện tử và phonon thể hiện tất cả các dịch
chuyển có thể có của điện tử sau tương tác với phonon và với trường ngoài. Vì phổ năng lượng
của điện tử trong hố lượng tử bị lượng tử hoá thành các mức gián đoạn, nên các dịch chuyển khả
dĩ của điện tử sau tương tác phải thoả mãn bảo toàn năng xung lượng. Từ đó, chỉ có một số các
dịch chuyển cho đóng góp khác không vào công suất hấp thụ. Điều này thể hiện rõ ở việc xuất
hiện các hàm delta trong biểu thức giải tích thu được.
4. KẾT LUẬN
Qua nghiên cứu, bằng việc sử dụng kỹ thuật chiếu độc lập trạng thái, chúng tôi tìm được
biểu thức giải tích của CRAP trong bán dẫn hố lượng tử với thế parabol khi có mặt từ trường
không đổi và điện trường biến thiên tuần hoàn với tần số cao.
Sử dụng các phương pháp số, cho phép khảo sát sự phụ thuộc của CRAP vào nhiệt độ, từ
trường, tần số điện trường ngoài và tần số đặc trưng của hố thế. Kết quả tính số sẽ được trình bày
trong các bài viết tiếp theo.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Mark F. (2001), Optical Properties of Solids, Department of Physics and Astronomy University of Sheffield,
Oxford University Press.
[2] Kang N. L., Lee H. J. and Choi S. D. (2000), "Calculation of cyclotron resonance linewidths in Ge by using a
many-body State-Independent Projection Technique", J. Korean. Phys. Soc. 37, 339-342.
[3] Kang N. L., Cho J. C. and Choi S. D. (1996), "A many-body theory of quantum-limit cyclotron transition lineshapes in electron-phonon systems based on projection technique", Progr. of Theor. Phys. 96, 307-316.
[4] Kang N, L. and Choi S. D. (2009), "Optical transition linewidths due to piezoelectric phonon scattering in twodimensional electron systems", J. Phys. Soc. Japan 78, 24710-24713.
[5] Kang N. L., Lee J. H. and Choi S. D. (2004), "Derivation of the DC conductivity in a quantum well by using an
operator algebra technique", J. Korean. Phys. Soc. 44(6), 1535-1541.
[6] Jo S. G. et. al. (1997), "Modeling of the cyclotron transition theory for quasi-two-dimensional electron systems
by the Isolation-Projection Technique", J. Korean. Phys. Soc. 30, 103-110.


CALCULATION OF CYCLOTRON RESONANCE ABSORNANCE
ABSORPTION POWER IN PARABOLIC QUANTUM WELLS BY USING
THE STATE - INDEPENDENT PROJECTION TECHNIQUE

Tran Ngoc Bich
Quang Binh University
Abstracts: Cyclotron Resonance Absorption Power in parabolic quantum wells has been
theorecally calculated. In the article the sample is subjected by a constant magnetic field and a variable
electric field with high frequency. The calculation method in this paper is the State - Independent
Projection Technique. The obtained results showed the physical characteristics of studying
semiconductor sample.