Toán ứng dụng trong Kinh doanh

Chương I

ÑOÀ THÒ
1.

HỆ TỌA ĐỘ: (Coordinates System)

1.1

Hệ toạ độ vuông góc: (Cartersian Coordinates System)
Hệ toạ độ vuông góc trong một mặt phẳng được cấu tạo bởi hai trục số thực vuông
góc với nhau. Trục nằm ngang (Horizontal axes) gọi là trục hoành x’ox, trục thẳng
đứng (Vertical axes) gọi là trục tung y’oy. Giao điểm của hai trục gọi là gốc tọa độ
(Origin) O. Hệ tọa độ vuông góc chia mặt phẳng làm 4 vùng I, II, III và IV.
y

M(x,y)

y

x'

x

x

y'

1.2

Tọa độ của một điểm trong mặt phẳng:

Vị trí của một M trong mặt phẳng được xác định bằng hoành độ x (Abscisga) và
tung độ (Ordinade) y.
(x,y) được gọi là tọa độ của điểm M và được ký hiệu M(x,y).

1.3

Khoảng cách giữa hai điểm:
Cho hai điểm M1(x1,y1) và M2(x2,y2) trong mặt phẳng khoảng cách giữa hai điểm
M1,M2 được tính theo công thức sau:

Cao Hào Thi

1


y

y2

M2(x2,y2)

∆ y = y2-y1
y1

M1(x1,y1)
x

x'
x1

0
y'

d = M1 M 2 =
d=

x2

∆x = x2-x1

( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

=

(6 − 2) 2 + (4 − 1) 2

d=5
1.4

Gia số:
Gia số của

x là ∆x = x2 -x1
y là ∆y = y2 -y1

2.

ĐƯỜNG THẲNG

2.1

Phương trình của đường thẳng
-

Dạng tổng quát (Dạng chuẩn):

Ax + By = C
Là phương trình bậc nhất theo x và y. A, B, C là các hằng số
-

Dạng thông dụng:

y = mx + b
m: độ dốc (slope)
b: tung độ gốc (intercept): x = 0 ⇒ y = b

Cao Hào Thi

2


2.2

Độ dốc:
y

(D)

M2(x2, y2)

y2
x
∆y = y2 - y1

M1(x1, y1)

α

y1

∆x = x2 - x1

b
0

x1

x2

Gọi m là độ dốc của đường thẳng (D)

m=

∆y y 2 − y1
= tgα
=
∆x x 2 − x1

Ý nghĩa của độc dốc: Khi thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi m đơn vị.

Cao Hào Thi

3


Nhận xét:
Đường thẳng (D)

Dạng đồ thị

+ Đi lên
(Đồng biến)

Độ dốc m

(D)

y

x

0
+ Đi xuống
(Nghịch biến)

m>0

y

m<0

x
0

(D)

+ Nằm ngang
(∆y = 0)

(D)

m=0

x
0

+ Thẳng đứng
(∆x = 0)

y

M=∞

(D)

0
x
2.3

Xác định phương trình đường thẳng:

Xác định phương trình đường thẳng khi biết độ dốc m và tung độ gốc b (Slope Intercept form).
y = mx + b
Ví dụ:
a)
b)

Xác định độ dốc, tung độ gốc và vẽ đồ thị của đường thẳng có phương trình :
y = -2/3x - 3.
Viết phương trình của đường thẳng có độ dốc là 2/3 và tung độ gốc là -2.
Giải.

y

a). m = -2/3, b = -3.

x
-5 -4

0
-3
(D)

Cao Hào Thi

4

b. y = 2/3 x - 2

Xác định phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x1, y1) và biết trước độ dốc m
(Point-Slope Form).

y

y1

(D)

M(x,y)
M1(x1,y1)

0

x
x1
y − y1
x − x1
Phương trình đường thẳng có dạng: y - y1 = m(x - x1)

x

Ta có: m =

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng có độ dốc là 1/2 và đi qua điểm (-4,3).
Giải: Phương trình đường thẳng có dạng: y -y1 = m(x - x1)

1

, x1 = -4, y1 = 3
2
1
1
y -3 = (x + 4) = x +2
2
2
1
Vậy: y = x + 5
2
m=

Xác định phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M1(x1,y1) và M2 (x2,y2).

Độ dốc của đường thẳng là:
y − y1
m= 2
x 2 − x1
Phương trình đường thẳng có dạng:
y − y1
y - y1 = 2
( x − x1 )
x 2 − x1
hay

∆y = y2 - y1

y

M2 (x2,y2)

y2

y − y1
x − x1
=
y 2 − y1 x 2 − x1

M1(x1,y1)
y1
∆x = x2 - x1

0

Cao Hào Thi

x1

x2

x

5


Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm có tọa độ (-3,2) và (-4,5).
Giải: Phương trình đường thẳng có dạng:
y − y1
x − x1
=

y 2 − y1 x 2 − x1
⇔

y−2
x − ( −3)
x+3
=
=
−1
5 − 2 −4 − ( −3)

⇔
⇔

-y + 2 = 3x + 9
y = -3x - 7

Đường thẳng nằm ngang và đường thẳng thẳng đứng.

+ Phương trình đường thẳng nằm ngang: y = b
+ Phương trình đường thẳng thẳng đứng: x = b
Ví dụ: Phương trình đường thẳng đứng và đường nằm ngang đi qua điểm có tọa độ (2,3).
y

Giải:
3

-2

y=3

+

Phương trình đường thẳng nằm ngang y=3

+

Phương trình đường thẳng thẳng đứng x= -2

x

0

x=-2
Đường thẳng song song và thẳng góc

Cho 2 đường thẳng (D1) và (D2) có độ dốc tương ứng là m1 và m2
+ Nếu (D1) // (D2) thì m1 = m2
+ Nếu (D1) ⊥ (D2) thì m1*m2 = -1
Ví dụ: Cho đường thẳng (D) có phương trình y =

1
x - 2 và điểm A(2,-3). Viết phương
2

trình của đường thẳng
a. (D1) đi qua diểm A và song song với đường thẳng (D)
b. (D2) đi qua điểm A và thẳng góc với đường thẳng (D)
Giải:
a. Gọi m1 là độ dốc của đường thẳng (D1)

Cao Hào Thi

6


1
2
y - y1 = m1 (x-xA)
(D1):
1
y-(-3) = (x-2)
2
1
y+3= x–1
⇔
2
b. Gọi m2 là độ dốc của đường thẳng (D2)
(D1) // (D) ⇒ m1 = m =

(D2) ⊥ (D) ⇒ m2* m = -1

(D2):

→

y=

1
x-4

2

m2 = −

1
1
= − = −2
1
m
2

y - yA = m2 (x - xA)
y + 3 = -2(x - 2)
y = -2x +1

3.

HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

3.1

Hàm số;

a. Định nghĩa hàm số:
Một hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một qui tắc sao cho với mỗi phần tử x∈X
có tương ứng với nhiều nhất một phần tử y∈Y.
Y
X
f
= f(x)

y

D

V

X: tập hợp nguồn
Y: tập hợp đích
x: biến số (tạo ảnh)
y: hàm số (ảnh)

f: X
x

Y
y = f(x)

b. Miền xác định và miền gía trị của hàm số:
Miền xác định D (Domain)
D = { x ∈ X / y = f ( x )}

Cao Hào Thi

7


D là tập hợp gồm những phần tử x có tương ứng với phần tử y.
Miền giá trị V

V= { y ∈ Y / y = f ( x )}

V là tập hợp gồm những phần tử y có tương ứng với phần tử x.
Ghi chú: Hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp Y chính là một ánh xạ từ D đến Y, có ý
nghĩa f là một qui tắc sao cho mỗi phần tử x∈ D đều tương ứng với một và chỉ một phần
tử y∈Y.
c. Miền xác định của một số hàm số cơ bản
Hàm đa thức:
y = Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + ........... + a2x2 + a1x1 + a0
Miền xác định D = R có nghĩa là y = f(x) được xác định với mọi x∈R
Ví dụ: Hàm số y = f(x) = 3x2 - 2x + 1
D = R = (- ∞ , ∞ )
Hàm hữu tỉ:
y=

Pn ( x )
Qm ( x )

y=

Pn ( x )

y = được xác định khi Qm(x) ≠ 0

Hàm vô tỉ

y = f(x) được xác định khi Pn(x) ≥ 0
Ví dụ: Tìm miền xác định của các hàm số sau:

x2 + 1
y=

x −1

y=

x−3

Giải
a. y được xác định khi x-1 ≠ 0 hay x ≠ 1: D = R\ {1}
b. y được xác định khi x-3 ≥ 0 hay x ≥ 3:
3.2

Đồ thị

a.

Định nghĩa:

D = [3, ∞)

Để nghiên cứu hàm số f(x) ta thường biểu diễn cặp số (x, f(x)) lên mặt phẳng tọa độ.
Tập họp các điểm biểu diễn các cặp số này gọi là đồ thị hàm số f.
b. Sự biến thiên của hàm số f.
Hàm số đồng biến.
Hàm f đồng biến trên khoảng (a,b)

Cao Hào Thi

8

⇔ [∀ x1, x2 ∈ (a,b), x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)]
⎡
⎤
f ( x 2 ) − f ( x1 )
⇔ ⎢∀x1 , x 2 ∈ (a , b),
> 0⎥
x 2 − x1
⎣
⎦
y

y = f(x)
f(x2)
y

f(x1)
x

x2

x1

0

b

Hàm số nghịch biến:
Hàm số f nghịch biến trên (a,b)
⇔ [∀x1 , x 2 ∈ (a , b), x1 p x 2 ⇒ f ( x1 ) f f ( x 2 )]
⎡

⎤
f ( x 2 ) − f ( x1 )
⇔ ⎢∀x1 , x 2 ∈ (a , b),
p 0⎥
x 2 − x1
⎣
⎦
y

y = f(x)
f(x2)
∆y
f(x1)
x

0

a

x1

x2

b

c. Sự dịch chuyển đồ thị của hàm số:
Dịch chuyển theo phươngđứng Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x)
(C) dịch lên trên: y = f(x) + k, k > 0
(C) dịch xuống dưới: y = f(x) - k, k > 0

Cao Hào Thi

9


Dịch chuyển theo phương ngang
Dịch qua phải: y = f(x - h), h > 0
Dịch qua trái: y = f(x + h), h>0
y

y = f(x)+h

y = f(x)
y = f(x+k)

x

Đối xứng qua trục X:
y = -f(x)
y

y = f(x)

x

y = -f(x)

Giãn và co đồ thị:
Giãn đồ thị:

y = C f(x), C > 1

Co đồ thị:

y = C f(x), 0 < C < 1

Cao Hào Thi

10


y
30

y = k*f(x)

20

y = f(x)
10

y = f(x)/k
0

1

3

4

y

Vấn đề: Chuyển Hệ Trục Tọa Độ.

y

Đối xứng oxy: M(x,y), O’(a,b)
Đối xứng O’XY: M(X,Y)
⎧x = a + X
⎨
⎩ y = b+Y

x
2

b

⎧X = x − a
hay ⎨
⎩Y = y − b

Y
Y

M
X

0’
x

0

a

x

x

Ưng dụng: Vẽ đô thị
+ Cho đồ thị y = f(x)
+ Vẽ đồ thị y = f(x-K) và y = f(x+K)
⎧X = x − k
⎧x = X + K
⇒⎨
⎨
⎩ Y=y
⎩ y=K
Kết Luận:
+ Đồ thị y = f(x-K) là đồ thị y = f(x) dịch qua phải K đơn vị
+ Đồ thị y = f(x+K) là đồ thị y = f(x) dịch qua trái K đơn vị

Vấn đề: Chi Phí

Chi Phí

•

Tổng Chi Phí (Total Cost - TC):

Chi phí cố định (Fixed Cost - FC)

Chi phí biến đổi (Variable Cost - VC)

•

TC = f(Q), Q: Sản lượng

•

FC là chi phí mà một xí nghiệp nhất thiết phải chi trả dù không sản xuất gì cả.

•

VC là chi phí tăng lên cùng với mức tăng của sản lượng.

Cao Hào Thi

11


•

Chi phí cận biên (Marginal Cost - MC): là chi phí gia tăng để sản xuất thêm một đơn
vị sản phẩm.

•

Chi phí Bình Quân (Average Cost - AC)
TC
AC =
C

Q

AFC =

FC
Q

AVC =

VC
Q

TC
VC
VC

FC
FC

Q

Ví dụ: Một công ty sản xuất giầy nhận thấy rằng chi phí cố định là 300 USD mỗi ngày và
tổng chi phí là 4300 USD mỗi ngày ứng với tổng sản lượng mỗi ngày là 100 đôi giầy. Giả
sử rằng tổng chi phí TC (USD) có quan hệ tuyến tính với sản lượng x (đôi giầy).
a. Xác định phương trình của chi phí cố định FC theo sản lượng x.
b. Xác định phương trình của chi phí biến đổi VC theo sản lượng x.
c. Xác định phương trình của tổng chi phí TC theo sản lượng x
Giải:
a. Xác định phương trình của chi phí cố định TC:
FC = 300

b. Xác định phương trình của chi phí biến đổi VC theo sản lượng x: VC = f(x).
VC = f(x) = mx + b
x=0

⇒ VC = 0 ⇒ b = 0

x = 100

⇒ VC = TC - FC = 4300 - 300 = 4000

m=

4000 − 0
= 40
100 − 0

Vậy: VC = 40x
c. Xác định phương trình của tổng chi phí TC theo sản lượng x:
TC = FC + VC = 300 + 40x

Cao Hào Thi

12


C

TC
VC

FC

300

x

Vấn đề: Thu Nhập

Bộ phận nghiên cứu thị trường của công ty sản xuất linh kiện điện tử cho máy vi tính đã
xác định phương trình đường cầu của linh kiện điện tử là:
x = 10000 - 50p
Trong đó x là só lượng linh kiện được bán ở mức giá $p mỗi linh kiện .
a. Trình bày thu nhập R dưới dạng hàm của x
b. Tìm miền xác định của hàm R.
Giải:
1
x
50
1
1 2
R = px = (200 - x) = 200x x
50
50
b. Tìm miền xác định của R
Điều kiện x ≥ 0
1
x ≥0 →
p ≥ 0 ⇒ 200 50
⇒ 0 ≤ x ≤ 10000 hay D = [0, 10000]

a. x = 10000 - 50p ⇔ p = 200 -

x ≤ 10000

Vấn đề: Điểm Hòa Vốn (Break - Even point Analysis).

Cao Hào Thi

13


$

TR

TC

TR=TC

FC

300

x

QBE

TC = FC + VC = FC + v*x
TR = p*x
Ở điểm hòa vốn x = xBE Ta có TC = TR:

FC + v*xBE = xBE*p

→ x BE =

FC
p−v

Ví dụ: Một công ty sản xuất bưu thiếp nhận thấy rằng chi phí cố định để sản xuất bưu
thiếp là 9000$ và chi phí biến đổi là 3,5$ mỗi bưu thiếp và giá mỗi bưu thiếp là 5$. Tìm
sản lượng hòa vốn của công ty.
Giải:
TC = 9000 + 3,5x và R = 5x
TC = R ⇒ 9000 +3,5 x = 5x ⇔ xBE =

Cao Hào Thi

9000
= 6000 bưu thiếp
5 − 35
.

14


Lưu ý:

Vấn đề: Mô Hình Khấu Hao Tuyến Tính (Deppreciation)
(Mô Hình Khấu Hao Đều)
(Mô Hình Sản Lượng - Straight Line)

Giá trị tài sản
P

BVt
SV
1

2

t

n

t năm

Theo mô hình hấu hao đều. Chi phí khấu hao D cho mỗi năm sẽ là:
P − SV
D=
n
Trong đó:
P: giá trị của tài sản.
SV: giá trị còn lại
n: thời kỳ hấu hao
P-SV: Giá trị tài sản đầu tư bị giảm
Giá trị bút toán của tài sản ở cuối năm t là Bvt

Cao Hào Thi

15

BVt = P − D × t = P −

P − SV
×t
n

Ví dụ: Một tài sản có giá trị ban đầu là 50 triệu đồng. Giá trị còn lại sau 5 năm là 10 triệu
đồng. Tính chi phí khấu hao hằng năm và chi phí bút toán vào cuối năm thứ hai.
Giải:

50 − 10
= 8 trĐ/năm
5
BV2 = 50-8*2 = 34 trĐ/năm.
D=

Vấn đề: Đường Cung và Cầu .
1. Đường Cầu: (Demand Curve)

-

Đường cầu là sự tương quan giữa giá và lượng cầu của một mặt hàng (khi các giá
trị khác được giữ không đổi).

-

Phân biệt giữa Cầu và lượng cầu: (Demand and Quantity Demanded).
+ Cầu mô tả hành vi của người mua ở tất cả mức giá.
+ Lượng cầu chỉ có ý nghĩa trong mối quan hệ với một mức giá cụ thể.

Nói cách khác, danh từ Cầu chỉ toàn bộ đường cầu trong khi danh từ lượng cầu
chỉ một điểm cụ thể nào đó trên đường cầu.

-

Điều kiện một đường cầu: tương quan giữa giá và lượng cầu là nghịch biến nghĩa
là giá tăng ⇒ lượng cầu giảm.

-

Độ dốc của đường cầu phản ánh mức đáp ứng của lượng cầu đối với các thay đổi
về giá.
Giá
(P)

Giá
(P)

Đơn giản

Po
P1

Lượng cầu (Q)

Q0D

Q1D

Lượng cầu (Q)

2. Đường Cung: (Supply Curve)

-

Đường cung là sự tương quan giữa giá và lượng cầu của một mặt hàng (khi các
giá trị khác được giữa nguyên)

-

Phân biệt giữa Cung và lượng cầu. (Supply and Quantity Supplied)
+ Cung mô tả toàn diện về số lượng mà người bán muốn bán ở mọi mức giá.
+ Lượng cung có ý nghĩa trong mối quan hệ với mức giá cụ thể.

Cao Hào Thi

16


Nói cách khác, danh từ Cung chỉ toàn bộ đường cung trong khi danh từ lượng
cung chỉ một điểm cụ thể nào đó trên đường cung.
-

Điều kiện một đường cung, tương quan giữa giá và lượng cung là đồng biến,
nghĩa là giá tăng ⇒ lượng cung giảm.

-

Độ dốc đường cung phản ánh mức đáp ứng của lượng cung đối với các thay đổi về
giá.

P

P

P1
P0
Q

Q0S

Q1S

Q

Ví dụ: Cung và cầu về gạo.
Lượng Cầu QD
(triệu kg/tháng)
9
10
12
15
20

Giá P
(1000đ/kg)
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1

P

Lượng Cung QS
(triệu kg/tháng)
18
16
12
7
2

D

S

2.5
2.4
P0 2.3
2.2
2.1

0

Q
10 Q =12
0

20

3. Sự cân bằng giữa Cung và Cầu:
- Một thị trường tồn tại khi có sự giao tiếp giữa các người mua và người bán trong

niệc bán một mặt hàng hay dịch vụ.

Cao Hào Thi

17


- Thị trường cân bằng khi đường cung gặp đường cầu. Giao điểm của đường cung
và đường cầu là điểm cân bằng. Ở điểm cân bằng ta có giá cân bằng và lượng cân
bằng.
Trên thực tế, Cung và Cầu không phải lúc nào cũng trong trạng thái cân bằng, nhưng xu
hướng các thị trường đều tiến tới cân bằng.

4. Sự dịch chuyển của đường Cung và Cầu:
P

P

S

D

S

D

S

D
P0

P1

P1

P0

D
1

Q

S
1

Q0 Q

Q1S Q0 Q1S

Q

Q

Q project

Q project
P

D

Dư Cung

S

P0
Dư Cầu
Q0

Cao Hào Thi

Q

18


Chương 1

XÁC SUẤT
(Probability)
1.1. THÍ NGHIỆM NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ:
1.1.1. Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random Experiment)
Thí nghiệm ngẫu nhiên là một thí nghiệm có hai đặc tính :
-

Không biết chắc hậu quả nào sẽ xảy ra.

-

Nhưng biết được các hậu quả có thể xảy ra

Ví dụ:
Tung một con xúc sắc là một thí nghiệm ngẫu nhiên vì :
-

Ta không biết chắc mặt nào sẽ xuất hiện

-

Nhưng biết được có 6 trường hợp xảy ra (xúc sắc có 6 mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6)

Ràng buộc:
-

Con xúc sắc đồng chất để 6 mặt đều có thể xuất hiện như nhau.

-

Cách tung xúc sắc không cố ý thiên vị cho mặt nào hiện ra.

1.1.2. Không gian mẫu (Sample Space)
Tập hợp các hậu quả có thể xảy ra trong thí nghiệm ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu của
thí nghiệm đó.
Ví dụ:
Không gian mẫu của thí nghiệm thảy một con xúc xắc là: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Không gian mẫu của thí nghiệm thảy cùng một lúc hai đồng xu là:
E = {SS, SN, NS, NN} với S: Sấp, N: Ngửa
1.1.3. Biến cố (Event)
a) Biến cố
-

Mỗi tập hợp con của không gian mẫu là một biến cố

-

Biến cố chứa một phần tử gọi là biến cố sơ đẳng

Ví dụ:
Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc :
-

Biến cố các mặt chẵn là : {2, 4, 6}. Biến cố các mặt lẻ: {1, 3, 5}

-

Các biến cố sơ đẳng là : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

Cao Hào Thi

1


b) Biến cố xảy ra (hay thực hiện)
Gọi r là một hậu quả xảy ra và A là một biến cố
-

nếu r ∈ A ta nói biến cố A xảy ra

-

nếu r ∉ A ta nói biến cố A không xảy ra

Ví dụ:
Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc nếu mặt 4 xuất hiện thì:
-

Biến cố {2,4,6} xảy ra vì 4 ∈ {2, 4, 6}

-

Biến cố {1,3,5} không xảy ra vì 4 ∉ {1, 3, 5}

Ghi chú:
-

φ ⊂ E => φ là một biến cố
∀ r, r ∉ φ => φ là một biến cố vô phương (biến cố không)

-

E ⊂ E => E là một biến cố
∀ r, r ∈ E => E là một biến cố chắc chắn

1.1.4. Các phép tính về biến cố
Cho 2 biến cố A, B với A ⊂ E và B ⊂ E
a)

Biến cố hội A ∪ B (Union)

Biến cố hội của 2 biến cố A và B được ký hiệu là A ∪ B:
A ∪ B xảy ra Ù (A xảy ra HAY B xảy ra)

E
A
B
A∪B
b) Biến cố giao A ∩ B (Intersection)
A ∩ B xảy ra Ù (A xảy ra VÀ B xảy ra)
E
A
B
A∩B

Cao Hào Thi

2


c) Biến cố phụ A (Biến cố đối lập, Component of A)
A xảy ra Ù A không xảy ra
A

E
A

d) Biến cố cách biệt ( biến cố xung khắc, mutually exclusive event)
A cách biệt với B Ù A ∩ B = φ
A cách biệt với B Ù A với B không cùng xảy ra
E
A

A∩B=φ

B

Ví dụ:
Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, ta có không gian mẫu: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
-

Gọi A là biến cố mặt lẻ xuất hiện => A = {1, 3, 5}

-

Gọi B là biến cố khi bội số của 3 xuất hiện => B = {3, 6}

-

Gọi C là biến cố khi mặt 4 xuất hiện => C = {4}, biến cố sơ đẳng.

Ta có:
A ∪ B = {1, 3, 5, 6}
A ∩ B = {3}
A = {2,4,6} : biến cố khi mặt chẵn xuất hiện.
A ∩ C = φ => A và C là 2 biến cố cách biệt.
e) Hệ đầy đủ (Collectively Exhaustive)
Gọi A1, A2…, Ak là k biến cố trong không gian mẫu E
Nếu A1∪ A2∪… ∪Ak = E thì K biến cố trên được gọi là một hệ đầy đủ.

Cao Hào Thi

3

1.2. XÁC SUẤT (Probability).
1.2.1. Định nghĩa:
Nếu thơng gian mẫu E có N biến cố sơ đẳng và biến cố A có n biến cố sơ đẳng thì xác
suất của biến cố A là :
P(A) =

n(A)
N

Một cách khác ta có thể viết :
P(A) =

Số trường hợp A xảy ra
Số trường hợp có thể xảy ra

Ví dụ:
Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, xác suất biến cố các mặt chẵn xuất hiện là :
P(A) =

n(A) 3 1
= =
N
6 2

1.2.2. Tính chất:
a. Gọi A là một biến cố bất kỳ trong khơng gian mẫu E
0 ≤ P(A) ≤ 1
b. P (φ) = 0 => φ
P (E) = 1 => E

là Biến cố vơ phương
là Biến cố chắc chắn

1.2.3. Cơng thức về xác suất :
a)

Xác suất của biến cố hội:
P (A ∪ B) = P (A) + P(B) - P( A ∩ B)
Chứng minh:
Gọi N : là số phần tử của khơng gian mẫu E
n1: là số phần tử của (A - B)
n2: là số phần tử của (A∩B)
n3: là số phần tử của (B - A)
E
A

n1

n2

n3
B

Cao Hào Thi

4


n(A ∪ B)

= n1 + n2 + n3
= n1 + n2 + n2 + n3 - n2
- n(A ∩ B)

= n(A) + n(B)

Do đó : n( A ∪ B)/N = n(A)/N + n(B)/N - n(A ∩ B )/N
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Ghi chú :
Nếu A và B là 2 biến cố cách biệt, ta có:
A ∩ B = φ => P(A ∩ B) = P(φ) = 0
==>

P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

b) Xác suất của biến cố phụ (biến cố đối lập)
Biến cố phụ của biến cố A trong không gian mẫu E là A :

P(A) + P ( A ) = 1

Chứng minh:
A∪ A = E
P (A∪ A ) = P(E)
P(A) + P( A ) - P(A ∩ A ) = 1 vì P(A∩ A ) = P(φ) = 0
1.2.4. Công thức nhân về xác suất :
a) Xác xuất có điều kiện :
Gọi P (B / A) là xác suất có điều kiện của biến cố B sau khi biến cố A đã thực hiện.
P(B/A) = P(A ∩ B)/ P(A)

Với P(A) > 0 ; P(B) > 0

hay
P(A/B) = P(A ∩ B)/ P(B)
Chứng minh :

•

Gọi E là không gian mẫu chứa hai biến cố A,B

•

Giả sử A thực hiện rồi thì A là biến cố chắc chắn, ta có thể chọn A làm không gian
mẫu thu gọn.

•

Biến cố B thực hiện sau khi biến cố A xảy ra trở thành biến cố B/A.

•

Trong không gian mẫu biến cố B/A thực hiện nếu và chỉ nếu A ∩ B thực hiện.
r ∈ B/A Ù r ∈ A ∩ B
A

E
B

Cao Hào Thi

A∩B

5


Theo định nghĩa, ta có:
n (A ∩ B)
n (A ∩ B)
P(A ∩ B)
N
P( B / A ) =
=
=
n (A)
n (A)
P( A)
N

b) Công thức nhân về xác suất:
Cho hai biến cố A và B trong không gian mẫu E, xác suất của biến cố giao được tính:
P(A∩B) = P(B/A) * P(A)

P(A∩B) = P(A/B) * P(B)

hay

c) Biến cố độc lập :
Biến cố gọi là độc lập với biến cố A về phương diện xác suất nếu xác suất của biến cố B
không thay đổi cho dù biến cố A đã xảy ra, nghĩa là:
P(B/A) = P(B) ngược lại: P(A/B) = P(A)

Trong trường hợp hai biến cố độc lập, công thức nhân trở thành:
P(A∩B) = P(A) * P(B)
1.2.5. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
a) Công thức xác suất đầy đủ :
Giả sử biến cố B xảy ra khi và chỉ khi một trong các biến cố của hệ đầy đủ cách biệt nhau
từng đôi một A1, A2…, Ak xảy ra.
Biết xác suất P(Ai) và P(B/Ai) hãy tìm P(B)

A1

A2

Ak

E

B

B∩A1

Cao Hào Thi

B∩A2

B∩Ak

6


Theo giả thiết bài toán thì

B

= (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ … ∪ (B∩Ak)

P(B)= P[(B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪…∪ (B∩Ak)] = P(B∩A1) + P(B∩A2) + … + P(B∩Ak)
Vì: P(B∩Ai) = P(B/Ai) * P(Ai)
P(B) =

k

∑ P ( B / A i ) * P (A i )
i =1

Công thức này được gọi là công thức xác xuất đầy đủ.
Ví dụ:
Trong nhà máy có 4 phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất chiếm 1/3 tổng sản lượng của
nhà máy; Phân xưởng II chiếm 1/4; Phân xưởng III chiếm 1/4; Phân xưởng IV chiếm 1/6.
Tỷ lệ phế phẩm tương ứng với các phân xưởng là 0,15; 0,08; 0,05; 0,01.
Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho sản phẩm của nhà máy thì sản
phẩm đó là phế phẩm
Giải :
Gọi A1, A2, A3, A4 là biến cố lấy đúng một sản phẩm của phân xưởng I,II,III,IV.
Gọi B là biến cố lấy được một phế phẩm
B = (B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪ (B∩A3) ∪ (B∩A4)
==> P(B) =

4

∑ P(B / A i ) * P(A i )
i =1

Theo đề bài:
P(A1) = 1/3, P(A2) = 1/4, P(A3)= 1/4, P(A4) = 1/6,

∑ P(Ai) = 1

P(B/A1) = 0,15, P(B/A2) = 0,08, P(B/A3) = 0,05, P(B/A4) = 0,01
Vậy P(B) =1/3 * 0,15 + 1/4 * 0,08 + 1/4 * 0,05 + 1/6 * 0,01 = 0,0816
b) Công thức Bayes:
Giải bài toán ngược của bài toán trên, tức là biết các P(Ai), P(B/Ai) và biến cố B đã xảy
ra, tìm P(Ai/B)
Ta có : B = (B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪ (B∩A3) ∪ (B∩A4)
và P(Ai∩B) = P(Ai/B) * P(B) = P(B/Ai) * P(Ai)

P(B/A i ) * P(A i )
P(B)

P(Ai /B) =
P(Ai /B) =

k

P(B/A i ) * P(A i )

∑ P(B/A i ) * P(A i )
i =1

Cao Hào Thi

7