1300 math formulas by golden art (1)

/>

1300 Math Formulas

fp_k VVQVNMTTQN
`ỗộúờỏệĩớ ô OMMQ ^KpợỏờỏồK ^ọọ oỏệĩớở oẫởẫờợẫầK

/>

Preface

qĩỏở ĩ~ồầỗỗõ ỏở ~ ỗóộọẫớẫ ầẫởõớỗộ ờẫẹẫờẫồẫ ẹỗờ ởớỡầẫồớở ~ồầ ẫồệỏồẫẫờởK fớ ĩ~ở ẫợẫờúớĩỏồệ ẹờỗó ĩỏệĩ ởĩỗỗọ
ó~ớĩ ớỗ ó~ớĩ ẹỗờ ~ầợ~ồẫầ ỡồầẫờệờ~ầỡ~ớẫở ỏồ ẫồệỏồẫẫờỏồệI
ẫỗồỗóỏởI ộĩúởỏ~ọ ởỏẫồẫởI ~ồầ ó~ớĩẫó~ớỏởK qĩẫ ẫỗỗõ
ỗồớ~ỏồở ĩỡồầờẫầở ỗẹ ẹỗờóỡọ~ởI ớ~ọẫởI ~ồầ ẹỏệỡờẫở ẹờỗó
kỡóẫờ pẫớởI ^ọệẫờ~I dẫỗóẫớờúI qờỏệỗồỗóẫớờúI j~ớờỏẫở
~ồầ aẫớẫờóỏồ~ồớởI sẫớỗờởI ^ồ~ọúớỏ dẫỗóẫớờúI `~ọỡọỡởI
aỏẹẹẫờẫồớỏ~ọ bốỡ~ớỏỗồởI pẫờỏẫởI ~ồầ mờỗ~ỏọỏớú qĩẫỗờúK
qĩẫ ởớờỡớỡờẫầ ớ~ọẫ ỗẹ ỗồớẫồớởI ọỏồõởI ~ồầ ọ~úỗỡớ ó~õẫ
ẹỏồầỏồệ ớĩẫ ờẫọẫợ~ồớ ỏồẹỗờó~ớỏỗồ ốỡỏõ ~ồầ ộ~ỏồọẫởởI ởỗ ỏớ
~ồ ẫ ỡởẫầ ~ở ~ồ ẫợẫờúầ~ú ỗồọỏồẫ ờẫẹẫờẫồẫ ệỡỏầẫK

ii
/>

Contents

1 krj_bo pbqp
NKN
pẫớ fầẫồớỏớỏẫở 1
NKO

pẫớở ỗẹ kỡóẫờở 5
NKP
_~ởỏ fầẫồớỏớỏẫở 7
NKQ
`ỗóộọẫủ kỡóẫờở 8
2 ^idb_o^
OKN
c~ớỗờỏồệ cỗờóỡọ~ở 12
OKO
mờỗầỡớ cỗờóỡọ~ở 13
OKP
mỗùẫờở 14
OKQ
oỗỗớở 15
OKR
iỗệ~ờỏớĩóở 16
OKS
bốỡ~ớỏỗồở 18
OKT
fồẫốỡ~ọỏớỏẫở 19
OKU
`ỗóộỗỡồầ fồớẫờẫởớ cỗờóỡọ~ở 22
3 dbljbqov
PKN
oỏệĩớ qờỏ~ồệọẫ 24
PKO
fởỗởẫọẫở qờỏ~ồệọẫ 27
PKP
bốỡỏọ~ớẫờ~ọ qờỏ~ồệọẫ 28
PKQ

p~ọẫồẫ qờỏ~ồệọẫ 29
PKR
pốỡ~ờẫ 33
PKS
oẫớ~ồệọẫ 34
PKT
m~ờ~ọọẫọỗệờ~ó 35
PKU
oĩỗóỡở 36
PKV
qờ~ộẫũỗỏầ 37
PKNM fởỗởẫọẫở qờ~ộẫũỗỏầ 38
PKNN fởỗởẫọẫở qờ~ộẫũỗỏầ ùỏớĩ fồởờỏẫầ `ỏờọẫ 40
PKNO qờ~ộẫũỗỏầ ùỏớĩ fồởờỏẫầ `ỏờọẫ 41

iii
/>

PKNP
PKNQ
PKNR
PKNS
PKNT
PKNU
PKNV
PKOM
PKON
PKOO
PKOP
PKOQ

PKOR
PKOS
PKOT
PKOU
PKOV
PKPM
PKPN
PKPO
PKPP
PKPQ
PKPR
PKPS
PKPT
PKPU
PKPV
PKQM

hỏớẫ 42
`úọỏ nỡ~ầờỏọ~ớẫờ~ọ 43
q~ồệẫồớỏ~ọ nỡ~ầờỏọ~ớẫờ~ọ 45
dẫồẫờ~ọ nỡ~ầờỏọ~ớẫờ~ọ 46
oẫệỡọ~ờ eẫủ~ệỗồ 47
oẫệỡọ~ờ mỗọúệỗồ 48
`ỏờọẫ 50
pẫớỗờ ỗẹ ~ `ỏờọẫ 53
pẫệóẫồớ ỗẹ ~ `ỏờọẫ 54
`ỡẫ 55
oẫớ~ồệỡọ~ờ m~ờ~ọọẫọẫộỏộẫầ 56
mờỏởó 57
oẫệỡọ~ờ qẫớờ~ĩẫầờỗồ 58

oẫệỡọ~ờ múờ~óỏầ 59
cờỡởớỡó ỗẹ ~ oẫệỡọ~ờ múờ~óỏầ 61
oẫớ~ồệỡọ~ờ oỏệĩớ tẫầệẫ 62
mọ~ớỗồỏ pỗọỏầở 63
oỏệĩớ `ỏờỡọ~ờ `úọỏồầẫờ 66
oỏệĩớ `ỏờỡọ~ờ `úọỏồầẫờ ùỏớĩ ~ồ lọỏốỡẫ mọ~ồẫ c~ẫ 68
oỏệĩớ `ỏờỡọ~ờ `ỗồẫ 69
cờỡởớỡó ỗẹ ~ oỏệĩớ `ỏờỡọ~ờ `ỗồẫ 70
pộĩẫờẫ 72
pộĩẫờỏ~ọ `~ộ 72
pộĩẫờỏ~ọ pẫớỗờ 73
pộĩẫờỏ~ọ pẫệóẫồớ 74
pộĩẫờỏ~ọ tẫầệẫ 75
bọọỏộởỗỏầ 76
`ỏờỡọ~ờ qỗờỡở 78

4 qofdlkljbqov
QKN
o~ầỏ~ồ ~ồầ aẫệờẫẫ jẫ~ởỡờẫở ỗẹ ^ồệọẫở 80
QKO
aẫẹỏồỏớỏỗồở ~ồầ dờ~ộĩở ỗẹ qờỏệỗồỗóẫớờỏ cỡồớỏỗồở 81
QKP
pỏệồở ỗẹ qờỏệỗồỗóẫớờỏ cỡồớỏỗồở 86
QKQ
qờỏệỗồỗóẫớờỏ cỡồớỏỗồở ỗẹ `ỗóóỗồ ^ồệọẫở 87
QKR
jỗởớ fóộỗờớ~ồớ cỗờóỡọ~ở 88

iv
/>

QKS
QKT
QKU
QKV
QKNM
QKNN
QKNO
QKNP
QKNQ
QKNR
QKNS
QKNT
QKNU
QKNV
QKOM
QKON

oẫầỡớỏỗồ cỗờóỡọ~ở 89
mẫờỏỗầỏỏớú ỗẹ qờỏệỗồỗóẫớờỏ cỡồớỏỗồở 90
oẫọ~ớỏỗồở ẫớùẫẫồ qờỏệỗồỗóẫớờỏ cỡồớỏỗồở 90
^ầầỏớỏỗồ ~ồầ pỡớờ~ớỏỗồ cỗờóỡọ~ở 91
aỗỡọẫ ^ồệọẫ cỗờóỡọ~ở 92
jỡọớỏộọẫ ^ồệọẫ cỗờóỡọ~ở 93
e~ọẹ ^ồệọẫ cỗờóỡọ~ở 94
e~ọẹ ^ồệọẫ q~ồệẫồớ fầẫồớỏớỏẫở 94
qờ~ồởẹỗờóỏồệ ỗẹ qờỏệỗồỗóẫớờỏ bủộờẫởởỏỗồở ớỗ mờỗầỡớ 95
qờ~ồởẹỗờóỏồệ ỗẹ qờỏệỗồỗóẫớờỏ bủộờẫởởỏỗồở ớỗ pỡó 97
mỗùẫờở ỗẹ qờỏệỗồỗóẫớờỏ cỡồớỏỗồở 98
dờ~ộĩở ỗẹ fồợẫờởẫ qờỏệỗồỗóẫớờỏ cỡồớỏỗồở 99

mờỏồỏộ~ọ s~ọỡẫở ỗẹ fồợẫờởẫ qờỏệỗồỗóẫớờỏ cỡồớỏỗồở 102
oẫọ~ớỏỗồở ẫớùẫẫồ fồợẫờởẫ qờỏệỗồỗóẫớờỏ cỡồớỏỗồở 103
qờỏệỗồỗóẫớờỏ bốỡ~ớỏỗồở 106
oẫọ~ớỏỗồở ớỗ eúộẫờỗọỏ cỡồớỏỗồở 106

5 j^qof`bp ^ka abqbojfk^kqp
RKN
aẫớẫờóỏồ~ồớở 107
RKO
mờỗộẫờớỏẫở ỗẹ aẫớẫờóỏồ~ồớở 109
RKP
j~ớờỏẫở 110
RKQ
lộẫờ~ớỏỗồở ùỏớĩ j~ớờỏẫở 111
RKR
púởớẫóở ỗẹ iỏồẫ~ờ bốỡ~ớỏỗồở 114
6 sb`qlop
SKN
sẫớỗờ `ỗỗờầỏồ~ớẫở 118
SKO
sẫớỗờ ^ầầỏớỏỗồ 120
SKP
sẫớỗờ pỡớờ~ớỏỗồ 122
SKQ
p~ọỏồệ sẫớỗờở 122
SKR
p~ọ~ờ mờỗầỡớ 123
SKS
sẫớỗờ mờỗầỡớ 125
SKT

qờỏộọẫ mờỗầỡớ 127
7 ^k^ivqf` dbljbqov
TKN
lồẫ -aỏóẫồởỏỗồ~ọ `ỗỗờầỏồ~ớẫ púởớẫó 130

v
/>

TKO
TKP
TKQ
TKR
TKS
TKT
TKU
TKV
TKNM
TKNN
TKNO

qùỗ -aỏóẫồởỏỗồ~ọ `ỗỗờầỏồ~ớẫ púởớẫó 131
pớờ~ỏệĩớ iỏồẫ ỏồ mọ~ồẫ 139
`ỏờọẫ 149
bọọỏộởẫ 152
eúộẫờỗọ~ 154
m~ờ~ỗọ~ 158
qĩờẫẫ -aỏóẫồởỏỗồ~ọ `ỗỗờầỏồ~ớẫ púởớẫó 161
mọ~ồẫ 165
pớờ~ỏệĩớ iỏồẫ ỏồ pộ~ẫ 175
nỡ~ầờỏ pỡờẹ~ẫở 180

pộĩẫờẫ 189

8 afccbobkqf^i `^i`rirp
UKN
cỡồớỏỗồở ~ồầ qĩẫỏờ dờ~ộĩở 191
UKO
iỏóỏớở ỗẹ cỡồớỏỗồở 208
UKP
aẫẹỏồỏớỏỗồ ~ồầ mờỗộẫờớỏẫở ỗẹ ớĩẫ aẫờỏợ~ớỏợẫ 209
UKQ
q~ọẫ ỗẹ aẫờỏợ~ớỏợẫở 211
UKR
eỏệĩẫờ lờầẫờ aẫờỏợ~ớỏợẫở 215
UKS
^ộộọỏ~ớỏỗồở ỗẹ aẫờỏợ~ớỏợẫ 217
UKT
aỏẹẹẫờẫồớỏ~ọ 221
UKU
jỡọớỏợ~ờỏ~ọẫ cỡồớỏỗồở 222
UKV
aỏẹẹẫờẫồớỏ~ọ lộẫờ~ớỗờở 225
9 fkqbdo^i `^i`rirp
VKN
fồầẫẹỏồỏớẫ fồớẫệờ~ọ 227
VKO
fồớẫệờ~ọở ỗẹ o~ớỏỗồ~ọ cỡồớỏỗồở 228
VKP
fồớẫệờ~ọở ỗẹ fờờ~ớỏỗồ~ọ cỡồớỏỗồở 231
VKQ
fồớẫệờ~ọở ỗẹ qờỏệỗồỗóẫớờỏ cỡồớỏỗồở 237

VKR
fồớẫệờ~ọở ỗẹ eúộẫờỗọỏ cỡồớỏỗồở 241
VKS
fồớẫệờ~ọở ỗẹ bủộỗồẫồớỏ~ọ ~ồầ iỗệ~ờỏớĩóỏ cỡồớỏỗồở 242
VKT
oẫầỡớỏỗồ cỗờóỡọ~ở 243
VKU
aẫẹỏồỏớẫ fồớẫệờ~ọ 247
VKV
fóộờỗộẫờ fồớẫệờ~ọ 253
VKNM aỗỡọẫ fồớẫệờ~ọ 257
VKNN qờỏộọẫ fồớẫệờ~ọ 269

vi
/>

VKNO
VKNP

iỏồẫ fồớẫệờ~ọ 275
pỡờẹ~ẫ fồớẫệờ~ọ 285

10 afccbobkqf^i bnr^qflkp
NMKN cỏờởớ lờầẫờ lờầỏồ~ờú aỏẹẹẫờẫồớỏ~ọ bốỡ~ớỏỗồở 295
NMKO pẫỗồầ lờầẫờ lờầỏồ~ờú aỏẹẹẫờẫồớỏ~ọ bốỡ~ớỏỗồở 298
NMKP pỗóẫ m~ờớỏ~ọ aỏẹẹẫờẫồớỏ~ọ bốỡ~ớỏỗồở 302
11 pbofbp
NNKN ^ờỏớĩóẫớỏ pẫờỏẫở 304
NNKO dẫỗóẫớờỏ pẫờỏẫở 305
NNKP pỗóẫ cỏồỏớẫ pẫờỏẫở 305

NNKQ fồẹỏồỏớẫ pẫờỏẫở 307
NNKR mờỗộẫờớỏẫở ỗẹ `ỗồợẫờệẫồớ pẫờỏẫở 307
NNKS `ỗồợẫờệẫồẫ qẫởớở 308
NNKT ^ọớẫờồ~ớỏồệ pẫờỏẫở 310
NNKU mỗùẫờ pẫờỏẫở 311
NNKV aỏẹẹẫờẫồớỏ~ớỏỗồ ~ồầ fồớẫệờ~ớỏỗồ ỗẹ mỗùẫờ pẫờỏẫở 312
NNKNM q~úọỗờ ~ồầ j~ọ~ỡờỏồ pẫờỏẫở 313
NNKNN mỗùẫờ pẫờỏẫở bủộ~ồởỏỗồở ẹỗờ pỗóẫ cỡồớỏỗồở 314
NNKNO _ỏồỗóỏ~ọ pẫờỏẫở 316
NNKNP cỗỡờỏẫờ pẫờỏẫở 316
12 mol_^_fifqv
NOKN mẫờóỡớ~ớỏỗồở ~ồầ `ỗóỏồ~ớỏỗồở 318
NOKO mờỗ~ỏọỏớú cỗờóỡọ~ở 319

vii
/>

Chapter 1

Number Sets

1.1 Set Identities
pẫớởW ^I _I `
rồỏợẫờở~ọ ởẫớW f
`ỗóộọẫóẫồớ W ^
mờỗộẫờ ởỡởẫớW ^ _
bóộớú ởẫớW
rồỏỗồ ỗẹ ởẫớởW ^ _
fồớẫờởẫớỏỗồ ỗẹ ởẫớởW ^ _
aỏẹẹẫờẫồẫ ỗẹ ởẫớởW ^ y _

1.

^f

2.

^^

3.

^ = _ ỏẹ ^ _ ~ồầ _ ^ .

4.

bóộớú pẫớ
^

5.

rồỏỗồ ỗẹ pẫớở
` = ^ _ = {ủ ử ủ ^ ỗờ ủ _}

1
/>

CHAPTER 1. NUMBER SETS

Figure 1.

6.

`çããìí~íáîáíó
^∪_ = _∪^

7.

^ëëçÅá~íáîáíó
^ ∪ (_ ∪ ` ) = (^ ∪ _ ) ∪ `

8.

fåíÉêëÉÅíáçå çÑ pÉíë
` = ^ ∪ _ = {ñ ö ñ ∈ ^ ~åÇ ñ ∈ _}

Figure 2.

9.

`çããìí~íáîáíó
^∩_ = _∩^

10.

^ëëçÅá~íáîáíó
^ ∩ (_ ∩ ` ) = (^ ∩ _ ) ∩ `

2
/>

CHAPTER 1. NUMBER SETS

11.

aỏởớờỏỡớỏợỏớú
^ (_ ` ) = (^ _ ) (^ ` ) I
^ (_ ` ) = (^ _ ) (^ ` ) K

12.

fầẫóộỗớẫồú
^^ = ^I
^^= ^

13.

aỗóỏồ~ớỏỗồ
^ = I
^f= f

14.

fầẫồớỏớú
^ = ^ I
^f= ^

15.

`ỗóộọẫóẫồớ
^ = {ủ f ử ủ ^}

16.

`ỗóộọẫóẫồớ ỗẹ fồớẫờởẫớỏỗồ ~ồầ rồỏỗồ
^ ^ = f I
^ ^ =

17.

aẫ jỗờệ~ồở i~ùở
(^ _ ) = ^ _ I
(^ _ ) = ^ _

18.

aỏẹẹẫờẫồẫ ỗẹ pẫớở
` = _ y ^ = {ủ ử ủ _ ~ồầ ủ ^}

3
/>

CHAPTER 1. NUMBER SETS

Figure 3.

19.

_ y ^ = _ y (^ ∩ _ )

20.

_ y ^ = _ ∩ ^′

21.

^y^=∅

22.

^ y _ = ^ áÑ ^ ∩ _ = ∅ .

Figure 4.

23.

(^ y _) ∩ ` = (^ ∩ `) y (_ ∩ `)

24.

^′ = f y ^

25.

`~êíÉëá~å mêçÇìÅí
` = ^ × _ = {(ñ I ó ) ö ñ ∈ ^ ~åÇ ó ∈ _}

4
/>

CHAPTER 1. NUMBER SETS

1.2 Sets of Numbers
k~ớỡờ~ọ ồỡóẫờởW k
tĩỗọẫ ồỡóẫờởW kM
fồớẫệẫờởW w
mỗởỏớỏợẫ ỏồớẫệẫờởW w +
kẫệ~ớỏợẫ ỏồớẫệẫờởW w
o~ớỏỗồ~ọ ồỡóẫờởW n
oẫ~ọ ồỡóẫờởW o
`ỗóộọẫủ ồỡóẫờởW `

26.

k~ớỡờ~ọ kỡóẫờở
`ỗỡồớỏồệ ồỡóẫờởW k = {NI OI PI K} K

27.

tĩỗọẫ kỡóẫờở
`ỗỡồớỏồệ ồỡóẫờở ~ồầ ũẫờỗW k M = {MI NI OI PI K} K

28.

fồớẫệẫờở
tĩỗọẫ ồỡóẫờở ~ồầ ớĩẫỏờ ỗộộỗởỏớẫở ~ồầ ũẫờỗW
w + = k = {NI OI PI K}I
w = {KI PI OI N} I
w = w {M} w + = {KI PI OI NI MI NI OI PI K} K

29.

o~ớỏỗồ~ọ kỡóẫờở
oẫộẫ~ớỏồệ ỗờ ớẫờóỏồ~ớỏồệ ầẫỏó~ọởW
~


n = ủ ử ủ = ~ồầ ~ w ~ồầ w ~ồầ M K




30.

fờờ~ớỏỗồ~ọ kỡóẫờở
kỗồờẫộẫ~ớỏồệ ~ồầ ồỗồớẫờóỏồ~ớỏồệ ầẫỏó~ọởK

5
/>

CHAPTER 1. NUMBER SETS

31.

oẫ~ọ kỡóẫờở
rồỏỗồ ỗẹ ờ~ớỏỗồ~ọ ~ồầ ỏờờ~ớỏỗồ~ọ ồỡóẫờởW oK

32.

`ỗóộọẫủ kỡóẫờở
` = {ủ + ỏú ử ủ o ~ồầ ú o}I

ùĩẫờẫ ỏ ỏở ớĩẫ ỏó~ệỏồ~ờú ỡồỏớK

33.

kwno`

Figure 5.

6
/>

CHAPTER 1. NUMBER SETS

1.3 Basic Identities
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Å

34.

^ÇÇáíáîÉ fÇÉåíáíó
~+M=~

35.

^ÇÇáíáîÉ fåîÉêëÉ
~ + (− ~ ) = M

36.

`çããìí~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå
~ +Ä= Ä+~

37.

^ëëçÅá~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå
(~ + Ä) + Å = ~ + (Ä + Å )

38.

aÉÑáåáíáçå çÑ pìÄíê~Åíáçå
~ − Ä = ~ + (− Ä)

39.

jìäíáéäáÅ~íáîÉ fÇÉåíáíó
~ ⋅N = ~

40.

jìäíáéäáÅ~íáîÉ fåîÉêëÉ
N
~ ⋅ =NI ~ ≠ M
~

41.

jìäíáéäáÅ~íáçå qáãÉë M
~ ⋅M = M

42.

`çããìí~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå
~ ⋅Ä = Ä⋅~

7
/>

CHAPTER 1. NUMBER SETS

43.

^ởởỗỏ~ớỏợẫ ỗẹ jỡọớỏộọỏ~ớỏỗồ
(~ ) = ~ ( )

44.

aỏởớờỏỡớỏợẫ i~ù
~ ( + ) = ~ + ~

45.

aẫẹỏồỏớỏỗồ ỗẹ aỏợỏởỏỗồ
~
N
= ~



1.4 Complex Numbers
k~ớỡờ~ọ ồỡóẫờW ồ
fó~ệỏồ~ờú ỡồỏớW ỏ

`ỗóộọẫủ ồỡóẫờW ũ
oẫ~ọ ộ~ờớW ~I
fó~ệỏồ~ờú ộ~ờớW ỏI ầỏ
jỗầỡọỡở ỗẹ ~ ỗóộọẫủ ồỡóẫờW ờI ờN I ờO
^ờệỡóẫồớ ỗẹ ~ ỗóộọẫủ ồỡóẫờW I N I O

46.

ỏN = ỏ
ỏ O = N
ỏ P = ỏ
ỏQ = N

ỏR = ỏ
ỏ S = N
ỏ T = ỏ
ỏU = N

47.

ũ = ~ + ỏ

48.

`ỗóộọẫủ mọ~ồẫ

ỏ Q ồ +N = ỏ
ỏ Q ồ+ O = N
ỏ Q ồ + P = ỏ
ỏ Qồ = N

8
/>

CHAPTER 1. NUMBER SETS

Figure 6.

49.

(~ + Äá ) + (Å + Çá ) = (~ + Å ) + (Ä + Ç )á

50.

(~ + Äá ) − (Å + Çá ) = (~ − Å ) + (Ä − Ç)á

51.

(~ + Äá )(Å + Çá ) = (~Å − ÄÇ ) + (~Ç + ÄÅ )á

52.

~ + Äá ~Å + ÄÇ ÄÅ − ~Ç
=
+
⋅á
Å + Çá Å O + Ç O Å O + Ç O

53.

`çåàìÖ~íÉ `çãéäÉñ kìãÄÉêë
|||||||

~ + Äá = ~ − Äá
54.

~ = ê Åçë ϕ I Ä = ê ëáå ϕ

9
/>

CHAPTER 1. NUMBER SETS

Figure 7.

55.

mỗọ~ờ mờẫởẫồớ~ớỏỗồ ỗẹ `ỗóộọẫủ kỡóẫờở
~ + ỏ = ờ(ỗở + ỏ ởỏồ )

56.

jỗầỡọỡở ~ồầ ^ờệỡóẫồớ ỗẹ ~ `ỗóộọẫủ kỡóẫờ
fẹ ~ + ỏ ỏở ~ ỗóộọẫủ ồỡóẫờI ớĩẫồ
ờ = ~ O + O EóỗầỡọỡởFI

= ~ờớ~ồ E~ờệỡóẫồớFK
~

57.

mờỗầỡớ ỏồ mỗọ~ờ oẫộờẫởẫồớ~ớỏỗồ
ũ N ũ O = ờN (ỗở N + ỏ ởỏồ N ) ờO (ỗở O + ỏ ởỏồ O )
= ờNờO [ỗở(N + O ) + ỏ ởỏồ(N + O )]

58.

`ỗồỡệ~ớẫ kỡóẫờở ỏồ mỗọ~ờ oẫộờẫởẫồớ~ớỏỗồ
|||||||||||||||||||||

ờ(ỗở + ỏ ởỏồ ) = ờ[ỗở( ) + ỏ ởỏồ( )]

59.

fồợẫờởẫ ỗẹ ~ `ỗóộọẫủ kỡóẫờ ỏồ mỗọ~ờ oẫộờẫởẫồớ~ớỏỗồ
N
N
= [ỗở( ) + ỏ ởỏồ( )]
ờ(ỗở + ỏ ởỏồ ) ờ

10
/>

CHAPTER 1. NUMBER SETS

60.

nỡỗớỏẫồớ ỏồ mỗọ~ờ oẫộờẫởẫồớ~ớỏỗồ
ũ N ờN (ỗở N + ỏ ởỏồ N ) ờN
=

= [ỗở(N O ) + ỏ ởỏồ(N O )]
ũ O ờO (ỗở O + ỏ ởỏồ O ) ờO

61.

mỗùẫờ ỗẹ ~ `ỗóộọẫủ kỡóẫờ
ồ
ũ ồ = [ờ(ỗở + ỏ ởỏồ )] = ờ ồ [ỗở(ồ) + ỏ ởỏồ(ồ)]

62.

cỗờóỡọ~ aẫ jỗỏợờẫ
(ỗở + ỏ ởỏồ )ồ = ỗở(ồ) + ỏ ởỏồ(ồ)

63.

kớĩ oỗỗớ ỗẹ ~ `ỗóộọẫủ kỡóẫờ
+ Oõ
+ Oõ

ồ
ũ = ồ ờ(ỗở + ỏ ởỏồ ) = ồ ờ ỗở
+ ỏ ởỏồ
I
ồ
ồ

ùĩẫờẫ
õ = MI NI OI KI ồ N K

64.

bỡọẫờở cỗờóỡọ~
ẫ ỏủ = ỗở ủ + ỏ ởỏồ ủ

11
/>

Chapter 2

Algebra

2.1 Factoring Formulas
oẫ~ọ ồỡóẫờởW ~I I
k~ớỡờ~ọ ồỡóẫờW ồ

65.

~ O O = (~ + )(~ )

66.

~ P P = (~ )(~ O + ~ + O )

67.

~ P + P = (~ + )(~ O ~ + O )

68.

~ Q Q = (~ O O )(~ O + O ) = (~ )(~ + )(~ O + O )

69.

~ R R = (~ )(~ Q + ~ P + ~ O O + ~P + Q )

70.

~ R + R = (~ + )(~ Q ~ P + ~ O O ~P + Q )

71.

fẹ ồ ỏở ỗầầI ớĩẫồ
~ ồ + ồ = (~ + )(~ ồN ~ ồ O + ~ ồ P O K ~ồ O + ồ N ) K

72.

fẹ ồ ỏở ẫợẫồI ớĩẫồ
~ ồ ồ = (~ )(~ ồ N + ~ ồ O + ~ ồ P O + K + ~ồO + ồ N ) I

12
/>

CHAPTER 2. ALGEBRA

~ ồ + ồ = (~ + )(~ ồN ~ ồ O + ~ ồ P O K + ~ồO ồ N ) K

2.2 Product Formulas
oẫ~ọ ồỡóẫờởW ~I I
tĩỗọẫ ồỡóẫờởW ồI õ

73.

(~ )O = ~ O O~ + O

74.

(~ + )O = ~ O + O~ + O

75.

(~ )P = ~ P P~ O + P~O P

76.

(~ + )P = ~ P + P~ O + P~O + P

77.

(~ )Q = ~ Q Q~ P + S~ O O Q~P + Q

78.

(~ + )Q = ~ Q + Q~ P + S~ OO + Q~P + Q

79.

80.
81.

_ỏồỗóỏ~ọ cỗờóỡọ~
(~ + )ồ = ồ` M~ ồ + ồ`N~ ồN + ồ` O~ ồOO + K + ồ` ồN~ồN + ồ` ồ ồ I
ồ>
~ờẫ ớĩẫ ỏồỗóỏ~ọ ỗẫẹẹỏỏẫồớởK
ùĩẫờẫ ồ ` õ =
õ> (ồ õ )>

(~ + + )O = ~ O + O + O + O~ + O~ + O
(~ + + + K + ỡ + ợ )O = ~ O + O + O + K + ỡ O + ợ O +
+ O(~ + ~ + K + ~ỡ + ~ợ + + K + ỡ + ợ + K + ỡợ )

13
/>

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.3 Powers
_~ëÉë EéçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëFW ~I Ä
mçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã

82.

~ ã ~ å = ~ ã+å

83.

~ã
= ~ ã −å
å
~

84.

(~Ä)ã = ~ ã Äã

85.

~ã
~
  = ã
Ä
 Ä

86.

(~ )

87.

~M = N I ~ ≠ M

88.

~N = N

89.

~ −ã =

ã

90.

ã å

= ~ ãå

N
~ã

ã
å

~ = å ~ã

14
/>

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.4 Roots
_~ëÉëW ~I Ä
mçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã
~ I Ä ≥ M Ñçê ÉîÉå êççíë E å = Oâ I â ∈ k F

91.

å

~Ä = å ~ å Ä

92.

å

~ ã Ä = åã ~ ã Äå

93.

å

~ å~
=
I Ä≠M
Ä åÄ

94.

~ åã ~ ã åã ~ ã
=
=
I Ä≠MK
ã
Äå
Ä åã Äå
å

95.

(~ )

96.

( ~)

å

ã

å

å

é

= å ~ ãé

=~
åé

97.

å

~ã =

98.

å

~ =~

99.

ã å

100.

ã

ã
å

~ = ãå ~

( ~)
å

~ ãé

ã

= å ~ã

15
/>

CHAPTER 2. ALGEBRA

101.

N ồ ~ ồ N
=
I ~ MK
ồ
~
~
~ + ~O
~ ~O

O
O

102.

~ =

103.

N
~m
=
~
~

2.5 Logarithms
mỗởỏớỏợẫ ờẫ~ọ ồỡóẫờởW ủI úI ~I I õ
k~ớỡờ~ọ ồỡóẫờW ồ
104. aẫẹỏồỏớỏỗồ ỗẹ iỗệ~ờỏớĩó
ú = ọỗệ ~ ủ ỏẹ ~ồầ ỗồọú ỏẹ ủ = ~ ú I ~ > M I ~ N K

105. ọỗệ ~ N = M
106. ọỗệ ~ ~ = N

ỏẹ ~ > N
107. ọỗệ ~ M =
+ ỏẹ ~ < N
108. ọỗệ ~ (ủú ) = ọỗệ ~ ủ + ọỗệ ~ ú
109. ọỗệ ~

ủ
= ọỗệ ~ ủ ọỗệ ~ ú
ú

16
/>

CHAPTER 2. ALGEBRA

110. ọỗệ ~ (ủ ồ ) = ồ ọỗệ ~ ủ
111. ọỗệ ~ ồ ủ =

N
ọỗệ ~ ủ
ồ

112. ọỗệ ~ ủ =

ọỗệ ủ
= ọỗệ ủ ọỗệ ~ I > M I N K
ọỗệ ~

113. ọỗệ ~ =

N
ọỗệ ~

114. ủ = ~ ọỗệ ~ ủ
115. iỗệ~ờỏớĩó ớỗ _~ởẫ NM
ọỗệ NM ủ = ọỗệ ủ
116. k~ớỡờ~ọ iỗệ~ờỏớĩó
ọỗệ ẫ ủ = ọồ ủ I
õ

N
ùĩẫờẫ ẫ = ọỏó N + = OKTNUOUNUOUK
õ
õ
117. ọỗệ ủ =

118. ọồ ủ =

N
ọồ ủ = MKQPQOVQ ọồ ủ
ọồ NM

N
ọỗệ ủ = OKPMORUR ọỗệ ủ
ọỗệ ẫ

17

/>