ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN HAY CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

ĐỀ SỐ 25

x
1   1
2 
−
:
+

÷
÷
÷
 x −1 x − x   x + 1 x −1 

Câu 1. Cho biểu thức A =
1) Rút gọn biểu thức A.

x = 2 2 +3

2) Tính giá trị của A khi

x + ax + b + 1 = 0

.
a, b

2

Câu 2. Cho phương trình

1) Giải phương trình khi

a=3

và

với a > 0, a ≠ 1

với

b = −5

là tham số.
.

a, b

2) Tìm giá trị của

để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt

 x1 − x 2 = 3
 3
3
 x1 − x 2 = 9

x1 , x 2

thoả

mãn điều kiện:

.
Câu 3. Một chiếc thuyền chạy xuôi dòng từ bến sông A đến bên sông B cách nhau 24km.
Cùng lúc đó, từ A một chiếc bè trôi về B với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi về đến B
thì chiếc thuyền quay lại ngay và gặp chiếc bè tại địa điểm C cách A là 8km. Tính vận
tốc thực của chiếc thuyền.
Câu 4. Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A,
B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là
các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác MCD.
3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị
trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.
a+b+c =

Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
abc

( a + b) ( a + c)

ĐÁP ÁN

.

.


x −1

 x x −1


(

Câu 1.1) Ta có A =

x = 2 2 +3 ⇔ x =

2)

Câu 2. 1) Khi

a=3

(

và

)

)

 

÷:  x + 1 ÷
÷  x − 1 ÷




x = 2 +1

ta có phương trình:

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có

Từ hệ (2) ta có:

( x1 + x2 )

x + 3x − 4 = 0

.

. Do a + b + c = 0 nên

x1 , x 2 ⇔ ∆ = a 2 − 4(b + 1) > 0

 x1 + x2 = − a

 x1 x2 = b + 1

 x1 − x 2 = 3
 3
3
 x1 − x 2 = 9 ⇔
2

2 2 +2
=2
2 +1

.

2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài toán yêu cầu

nên A =

.

2

x1 = 1, x 2 = −4

phương trình có nghiệm

=

2

2 +1 ⇔

b = −5

x +1 x − 1 x −1

.
=
x
x +1
x

(*)

(1).

 x1 − x 2 = 3

3
( x1 − x 2 ) + 3x1x 2 ( x1 − x 2 ) = 9 ⇔

= ( x1 − x2 ) + 4 x1 x2 = 3 + 4( −2) = 1
2

 x1 − x 2 = 3

 x1 x 2 = −2

2

a = 1
 a = 1, b = −3
⇔

b + 1 = −2
 a = −1, b = −3

, kết hợp với (1) được

2

.
Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm.
Câu 3.
Gọi x (km/h) là vận tốc thực của chiếc thuyền (x > 4).
Vận tốc của chiếc thuyền khi xuôi dòng là x + 4 (km/m).
Vận tốc của chiếc thuyền khi ngược dòng là x – 4 km.

Thời gian chiếc thuyền đi từ A đến B là

24
x+4

Thời gian chiếc thuyền quay về từ B đến C là

Thời gian chiếc bè đi được

8
=2
4

(giờ).

.
16
x−4

.

(2).


24
x+4

Ta có phương trình:

+

16
x−4

Biến đổi phương trình: (1) ⇔
x( x − 20) = 0

= 2 (1).

12( x − 4) + 8( x + 4) = ( x − 4 ) ( x + 4 )

⇔

x 2 − 20 x = 0

x = 0
 x = 20


⇔
⇔
.
Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có nghiệm x = 20 thoả mãn. Vậy vận tốc thực của
chiếc thuyền là 20km/h.
Câu 4.
OH ⊥ AB

1) Vì H là trung điểm của AB nên
OD ⊥ DM

·
ODM
= 900

hay

·
OHM
= 900

. Theo tính chất của tiếp

tuyến ta lại có
hay
. Suy ra các điểm M, D, O, H cùng nằm trên
một đường tròn.
2) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD ⇒ ∆MCD cân tại M ⇒ MI là một đường
phân giác của

1
2

sđ

º
CI

=

·
CMD

. Mặt khác I là điểm chính giữa cung nhỏ

»
CD

nên

1
·
DCI
=
2

sđ

»
DI

=

·
MCI
·
MCD

⇒ CI là phân giác của
. Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.
3) Ta có tam giác MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên diện tích của nó được tính:
1
S = 2SOQM = 2. .OD.QM = R (MD + DQ )
2

. Từ đó S nhỏ nhất ⇔ MD + DQ nhỏ nhất. Mặt

khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMQ ta có
nên MD + DQ nhỏ nhất ⇔ DM = DQ = R. Khi đó OM =
với đường tròn tâm O bán kính

R 2

.

DM .DQ = OD 2 = R 2

R 2

không đổi

hay M là giao điểm của d


P
C
A
d

H
B
I

O

M

D
Q

Câu 5.
Từ giả thiết ta có:
P=

( a + b) ( a + c)

abc ( a + b + c ) = 1

=

a 2 + ab + ac + bc

Đẳng thức xảy ra ⇔

. Do đó, áp dụng bất đẳng thức Côsi,
=

a ( a + b + c ) = bc


1
a + b + c =
abc


a ( a + b + c ) + bc

⇔

≥

2 a ( a + b + c ) bc

a ( a + b + c ) = 1

bc = 1

= 2.

.

Hệ này có vô số nghiệm dương, chẳng hạn ta chọn b = c = 1 ⇒ a =
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2.

2 −1

.