KIẾN THỨC HÌNH học môn TOÁN lớp 9

ÔN TẬP HÌNH HỌC – CHƯƠNG I
A. Kiến thức cơ bản
1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có :
AH = h, BC = a, AB = c, AC = b, BH = c ' , CH = b '
khi đó :
2
'
2
'
1) b = a.b ;
c = a.c
2) h 2 = b' .c '
3) b.c = a.h
1
1 1
4) 2 = 2 + 2
h
b c
2
5) a = b 2 + c 2 ( Pitago)

A

b
c

h

c'

B

b'
C

H
a

2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn
∠ABC = α (00 < α < 900 )
Cho
ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC, CA của tam giác
ABC vuông tại A như sau :
C

AC
;
BC
AC
tgα =
;
AB
sin α =

AB
BC
AB
cot gα =
AC

β

cos α =

Huyền
Đối
α

A

Kề
3. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác
cos α = sin β
sin α = cos β ;

cot gα = tg β
α + β = 900
tgα = cot g β ;
- Nếu
thì ta có :
00 < α < 900
- Cho
. Khi đó
+ 0 < sin, cos < 1
sin 2 + cos 2 = 1
+
sin α
cos α
1
tgα =

;cot gα =
;cot gα =
; tgα .cot gα = 1
cos α
sin α
tgα
+

B


4. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
- Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a; AB = c; AC = b, ta
có:
b = a.sin B = a.cos C
b = c.tgB = c.cot gC
( 1) 
( 2) 
c = a.sin C = a.cos B
c = b.tgC = b.cot gB

C

a

b

A

B

c

B. Bài tập áp dụng

α

Bài 1 : Chứng minh rằng : với
là góc nhọn tương ứng trong tam giác ABC,
4
4
2
a ) cos α − sin α = 2 cos α − 1

∠A = 900

thì:

b) sin α − sin α .cos 2 α = sin 3 α
c) tg 2α − sin 2 α .tg 2α = sin 2 α
d ) cos 2 α + tg 2α .cos 2 α = 1
LG
a ) VT = ( cos α + sin α ) . ( cos α − sin α ) = cos 2 α − sin 2 α = cos 2 α − ( 1 − cos 2 α ) = 2 cos 2 α − 1 = VP
2

2

2

2

b) VT = sin α . ( 1 − cos 2 α ) = sin α .sin 2 α = sin 3 α = VP
c) VT = tg 2α .(1 − sin 2 α ) = tg 2α .cos 2 α =

sin 2 α
.cos 2 α = sin 2 α = VP
cos 2 α

 sin 2 α 
cos 2 α + sin 2 α
2
d ) VT = cos 2 α . 1 + tg 2α = cos 2 α . 1 +
=
cos
α
.
= 1 = VP
÷
2
cos 2 α
 cos α 

(

)

Bài 2 : Cho tam giác ABC, biết AB = 21 ; AC = 28 ; BC = 35
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
b) Tính sinB, sinC, góc B, góc C và đường cao AH vủa tam giác ABC
LG

2
AB + AC 2 = 212 + 282 = 1225
2
2
2
 ⇒ BC = AB + AC
2
2
BC = 35 = 1225

a) ta có:
do đó theo
định lý đảo của định lý Pi-ta-go tam giác ABC vuông tại A
b)


AC 28
=
= 0,8 ⇒ ∠B ≈ 530
BC 35
AB 21
sin C =
=
= 0, 6 ⇒ ∠C ≈ 370
BC 35

B

sin B =
H

35

21

Xét tam giác AHB vuông tại H, áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam
giác vuông ta có:
AH = AB.sin B = 21.sin 530 21.0,8 = 16,8
(hoặc AH.BC = AB.AC)
Bài 3: Giải tam giác vuông tại A, biết
∠B = 420
a) a = 12;
b) b = 13; c = 20
LG
- ta có:
C
∠C = 900 − ∠B = 900 − 420 = 480
A

C

28

AB = BC.cos B = 12.cos 420 ≈ 9

12

AC = BC.cos C = 12.cos 480 ≈ 8

420

B

A
C

13

A

B

20

- ta có:
BC = AB 2 + AC 2 = 202 + 132 ≈ 23,85
AC 13
tgB =
=
= 0, 65 ⇒ ∠B ≈ 330
AB 20
∠C = 900 − ∠B = 570
∠B = 600

Bài 4: Cho tam giác ABC có
các hình chiếu vuông góc của AB, AC lên BC theo thứ tự
bằng 12; 18. Tính các cạnh, các góc và đường cao của tam giác ABC
LG
+ ta có: BC = BH + CH = 12 + 18 = 30
+ xét tam giác AHB vuông tại H
A

AH = BH .tgB = 12.tg 600 = 12 3
- ta có :
1 2
- mặt khác :
BH
12
BH = AB.cos B ⇒ AB =
=
= 24
cos B cos 600
∠A1 = 900 − ∠B = 900 − 600 = 300
600
B

12

H

18

C

+ xét tam giác AHC vuông tại H, ta có :


AC = AH 2 + CH 2 = ... = 756 ≈ 27,5
tgC =

AH 12 3
=

⇒ ∠C ≈ 490
HC
18

∆

+ xét ABC, tcó:

∠A = 1800 − ( ∠B + ∠C ) = 710