Chương 6 Bùn cát lơ lửng

Chương 6 Bùn cát lơ lửng
Chương 6
BÙN CÁT LƠ LỬNG
Là bùn cát chuyển động trong lòng chất chất lỏng trong một thời giandài. Bùn cát lơ
lửng được phân bố từ mặt nước đến đáy, mật độ tăng dần tính từ mặt nước đến đáy (càng
ở dưới sâu độ thô của các hạt càng lớn).
Có nhiều mô hình tính toán bùn cát lơ lửng, tuy nhiên lý thuyết được áp dụng nhiều
nhất là lý thuyết khuếch tán.
6.1. Lý thuyết khuếch tán cổ điển:
Lý thuyết khuế
ch tán dựa trên hai giả thiết: vận tốc chuyển động của bùn cát bằng
vận tốc chuyển động của phần tử nước, dựa vào hệ số hỗn hợp trong chảy rối người ta có
thể xác định được hệ số khuếch tán của bùn cát.
6.1.1. Hệ số khuếch tán của bùn cát
z
x
y
dz
dy
M
s

Hình vẽ 6-1. Sơ đồ tính lượng bùn cát đi qua một mặt cắt.
Gọi S là mật độ bùn cát tại một điểm M bất kỳ trong dòng chảy rối, khi đó nồng độ
bùn cát có tính chất như vận tốc trong chảy rối, nồng độ bùn cát tức thời được biểu diễn
như sau:
'SSS +=

S
- mật độ bùn cát trung bình theo thời gian;
S' - nồng độ mach động của bùn cát.

Xét lưu lượng bùn cát đi qua một diện tích, gọi m
x
là thể tích bùn cát đi qua diện
tích dydz trong một thời gian dt, ta có:
dydzdtuSm
x
=
(6- 1)
Thay giá trị vận tốc và nồng độ bùn cát tức thời theo lý thuyết chảy rối ta được:
()
()
dydzdtSSuum
x
′
+
′
+=

dydzdtSuSuSuSu '''' +++=

(
)
dydzdtSuSuSuSu
′
+
′
++= ''


6-1

Chương 6 Bùn cát lơ lửng
Do
0' =u
và
0' =S
nên ta có:
0'' == uSuS

0'' == SuSu

Suy ra:
( )
dydzdtSuSum
x
''+=
(6- 2)
Hai đại lượng S' và u' là hai đại lượng tương quan với nhau, hệ số tương quan giữa
chúng ký hiệu là
được xác định theo công thức:
x
β
22
''
''
uS
Su
x
=
β
(6- 3)

Hoặc:
22
'''' uSSu
x
β
=

Để đơn giản khi xây dựng lý thuyết khuếch tán, chấp nhận công thức đơn giản hoá
sau:
dx
Sd
LS
x
=
2
'

L
x
- tương tự như chiều dài hỗn hợp theo phương x;
dx
Sd
- biến thiên nồng độ bùn cát theo chiều x.
Khi đó:
2
''' u
dx
Sd
LSu
xx

β
−=
(6- 4)
Dấu (-) thể hiện bùn cát có xu hướng khuếch tán về hướng có nồng độ nhỏ.
dydzdt
dx
Sd
uLSum
xxx
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=⇒
2
'
β

Đặt
2
'uLAs
xxx
β
=
- hệ số khuếch tán bùn cát theo phương x.
dydzdt

dx
Sd
AsSum
xx
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=⇒
(6- 5)
Tương tự ta có lưu lượng bùn cát đi qua diện tích dzdx (theo phương y), dxdy (theo
phương z) trong thời gian dt là:
dzdxdt
dy
Sd
AsSvm
yy
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=

(6- 6)
Với phương z do bùn cát chịu ảnh hưởng của trọng lực theo phương ngược chiều
nên lượng bùn cát cần trừ đi một lượng bằng
dxdydtS
0
ω
, do đó:

6-2
Chương 6 Bùn cát lơ lửng
dxdydtS
dz
Sd
AsSwm
zz
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
0
ω
(6- 7)
6.1.2. Phương trình khuếch tán bùn cát trong không gian:
Để thiết lập phương trình khuếch tán trong không gian ta thiết lập mối quan hệ giữa
lượng bùn cát đi vào và đi ra với sự biến thiên nồng độ bùn cát bên trong một phân tố

chất lỏng dạng khối hộp chữ nhật.
Gọi:
n
1
- lượng bùn cát đi vào khối hộp chữ nhật thể tích ;
dxdydz
n
2
- lượng bùn cát đi ra khối hộp.
Ta có:
dxdydtS
z
S
AsSw
dzdxdt
y
S
AsSvdydzdt
x
S
AsSun
z
yx
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
−
∂
∂
−+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
0
1

.
ω
(6- 8)
()
dxdydtSdz
z
S
dxdydtdz
z
S
As
z
dz
z
Sw
z
S
AsSw
dzdxdtdy
y
S
As
y
dy
y
Sv
y
S
AsSv
dydzdtdx

x
S
As
x
dx
x
Su
x
S
AsSun
zz
yy
xx
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−=
0
0
2
)(
.
)(
.
)(
ω
ω
(6- 9)
Độ chênh của lượng bùn cát đi vào và đi ra là:
()
dxdydzdt

z
S
z
Sw
z
S
As
z
y
Sv
y
S
As
yx
Su
x
S
As
x
nn
z
yx
⎥
⎥
⎦
⎤
∂
∂
+
∂

∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂

∂
+
∂
∂
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=−
0
21
)(
)()(
ω
(6- 10)
Mặt khác ta có lượng biến thiên bùn cát trong khối hộp dxdydz trong thời gian dt:
dxdydzdt

t
S
nnn
∂
∂
=−=∆
21

Suy ra:
()
dxdydzdt
z
S
z
Sw
z
S
As
zy
Sv
y
S
As
yx
Su
x
S
As
x
dxdydzdt

t
S
z
yx
⎥
⎥
⎦
⎤
∂
∂
+
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂

∂
∂
=
∂
∂
0
)()(
)(
ω


6-3
Chương 6 Bùn cát lơ lửng
()
z
S
z
S
As
zy
S
As
yx
S
As
x
z
w
y
v

x
u
S
z
S
w
y
S
v
x
S
u
t
S
zyx
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
⇒
0
ω

Áp dụng phương trình liên tục của dòng chảy rối:
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
=0
Kết quả cuối cùng ta được phương trình khuếch tán của bùn cát trong không gian:
()
z
S
z
S
As
zy

S
As
yx
S
As
x
z
S
w
y
S
v
x
S
u
t
S
zyx
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂

∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=

∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
0
ω
(6- 11)
6.1.3. Phương trình khuếch tán bùn cát của dòng chảy phẳng:
Xét dòng chảy phẳng chảy trong mặt phẳng xoz, ổn định và đều ta có nồng độ bùn
cát không đổi theo t, x, y:
0=
∂
∂
t
S
;
0=
∂
∂
x
S
;
0=

∂
∂
y
S

Do
0=w
nên:
0=
∂
∂
z
S
w

Vậy phương trình khuếch tán bùn cát của dòng chảy phẳng là:
( )
0
0
=
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
∂
∂
∂
∂
z
S
z
S
As
z
z
ω
(6- 12)
Để xác định được sự phân bố nồng độ bùn cát theo chiều sâu ta giải phương trình
trên:
CS
z
S
As
z
=+
∂
∂
0
ω

Trên mặt nước có thể coi nồng độ
0=S
nên C=0

()
()
∫
∫∫
−=⇔
−=⇔
−=⇔
z
C
z
z
C
z
C
z
z
As
dz
CS
zS
As
dz
S
dS
dz
AsS
dS
0
0
0

ln
ω
ω
ω


6-4
Chương 6 Bùn cát lơ lửng
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=⇔
∫
z
C
z
As
dz
CSzS
0
exp)(
ω
(6- 13)
6.1.4. Sự phân bố bùn cát lơ lửng theo chièu sâu:

Nếu coi vận tốc chuyển động của hạt bùn cát bằng vận tốc chuyển động của phần tử
nước, khi đó hệ số khuếch tán của bùn cát bằng hệ số hỗn hợp của nước:
xzz
AAAs ==
,
mặt khác:
dz
ud
A
x
ρτ
=

dz
ud
AAs
xz
ρ
τ
==⇒

Do:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
H

z
1
0
ττ
(
0
τ
- ứng suất dưới đáy, )
ργτ
2
*0
uHI ==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⇒
H
z
u 1
2
*
ρτ

dz
ud
H
z

u
As
z
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=⇒
1
2
*
(6- 14)
Dựa vào các công thức phân bố lưu tốc khác nhau mà ta có các công thức tính hệ số
khuyêch tán bùn cát cũng như công thức tính mật độ bùn cát lơ lửng khác nhau:
6.1.5. Các công thức tính mật độ bùn cát lơ lửng:
6.1.5.1. Công thức Levi:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦

⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
−
1
0
1
1
1
2
*

max0
1
1
1
exp)(
n
n
C
H
z
H
cz
n
n
u
u
SzS
ω
(6- 15)
Trong đó:
30
0
d
z =
,
d
đường kính trung bình hạt bùn cát;
6
1
8

1
1
÷=n
;
max
u
- vận tốc trên bề mặt.
6.1.5.2. Công thức Rouse:
m
C
cH
c
z
zH
S
zS
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
)(
(6- 16)
*
0
Ku

m
ω
=
(K - hằng số Kacman)

6-5