Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)

TR

B GIÁO D
O
NG
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

NT

H UH N

I V I BÀI TOÁN D M LIÊN T C CH U
T I TR NG PHÂN B

U

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T

NG D N KHOA H C

GS.TS. TR N H U NGH

H i Phòng, 2017


L
u c a riêng tôi. Các s li u,

k t qu trong lu n

là trung th

c ai công b trong b t k

công trình nào khác.
Tác gi lu n


L IC
Tác gi lu

ng bày t lòng bi

Tr n H u Ngh

ng d n và t

giá tr

c nh

i v i GS.TS.

và cho nhi u ch d n khoa h c có
ng viên, t o m

u ki n thu n l

tác

gi trong su t quá trình h c t p, nghiên c u hoàn thành lu
Tác gi xin chân thành c
và ngoài

c, các chuyên gia trong

i h c Dân l p H i phòng

góp ý cho b n lu n

i h c và
ng nghi

, quan tâm

c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c
Phòng

u ki

, giáo viên c a Khoa xây d ng,
i h c-

u ki n thu n l

nghiên c u và hoàn thành lu n

i h c Dân l p H i phòng, và
tác gi trong quá trình

.

Tác gi lu n


M CL C
L

............................................................................................. i

L IC

................................................................................................. iii

M C L C....................................................................................................... iv
.......................................................................................................... 1
C K T C U VÀ
GI I.................................................................................................................. 3
1.1. Phép tính bi n phân -

........ 3

......................................................................................... 3
1.1.2. C c tr c a phi
1.1.3. Bài toán c c tr

....................... 4
u ki n -

a s Lagrange .............. 7

c ti p trong bài toán bi n phân h u h n [ 13] ..................................................................................................... 7
............................................................................ 10
................................................................ 10
................................................................................... 10
......................................................................... 11
.................................. 11
............................................................. 11
......................................... 12
NT H UH N

I V I D M CH U

U N ................................................................................................................ 13
NT

H U H N ............................................... 13

2.1.1. Hàm n i suy c a ph n t ....................................................................... 15
2.1.2. Ma tr

c ng c a ph n t ................................................................. 17

2.1.3. Ma tr

c ng t ng th ...................................................................... 18

2.1

u ki n ngo i l c ......................................................................... 20

2.1

nh n i l c .................................................................................... 20
NG 3.
..................................................................................................... 21

3.1. Lý thuy t d m Euler Bernoulli.............................................................. 21
3.1.1. D m ch u u n thu n túy ph ng ............................................................. 21
3.1.2. D m ch u u n ngang ph ng .................................................................. 24
3.2.Gi i bài toán d m liên t c b

n t h u h n ............... 31
.................................................................. 31
...................................................................... 58

..................................................................................................... 58
.................................................................................................... 58
Danh m c tài li u tham kh o .......................................................................... 59


:

P

có:

và c

-

:

.

P
c hóa côn
thông qua

theoba mô hình g m:Mô hình chuy n v , xem chuy n v
và hàm n i suy bi u di n g

ng phân b c a chuy n v trong ph n t ;

Mô hình cân b ng,hàm n i suy bi u di n g

ng phân b c a ng su t

hay n i l c trong ph n t và mô hình h n h p, c
ng su t là hai y u t

ng c n tìm

ng chuy n v và

c l p riêng bi t. Các hàm n i suy bi u di n g

d ng phân b c a c chuy n v l n ng su t trong ph n t .

Trong

theo mô

.

"
"


1.
nay.
2.
3. Trình bày

- Bernoulli,
,

.
4.

phân


1.
BÀI TOÁN

C K T C U VÀ
I

Tr

,t

phân,

c tiên trình bày các v

ch trình bày các khái ni

n

toán c c tr có ràng bu c
c n thi t

v phép tính bi n

as

iv

c.

c

ng v n

gi i thi

háp gi

ck t

ng dùng hi n nay.

1.1. Phép tính bi n phân 1.1.
Bi n phân y c a hàm y(x) c a bi

c l p x là m t hàm c

c

nh t i m i giá tr c a x và b ng hi u c a m t hàm m
y(x):

. y gây ra s

i quan h hàm gi a y và x và không

c nh m l n v i s gia y khi có s gia x.
N u cho hàm F

y1 ( x), y2 ( x),.. yn ( x); x

bi n phân yi c a các hàm
F

F y1

y1 , y2

N u hàm y(x) và
dy
dx

y'

thì s gia c

c vi

y2 ,.., yn

yn ; x

F

y là kh vi thì
d
dx

y

(1.1)

y1, y2 ,.. yn ; x
y' c a

do

Y ' ( x) y ' ( x )

(1.2)

N u cho hàm
nó

c xác

y

thì gia s c a

ng v i các bi n phân yi là:
F

F y1

y1 , y2

y2 ,.., yn

F

y1 , y2 ,.. yn ; y ,1 , y , 2 ,.. y , n , x

yn ; y ,1

y ,1 , y , 2

y , 2 ,.., y , n

y ,n , x

(1.3)


N

o hàm riêng liên t c b c 2 thì s gia c

nh theo (1.3) có th vi

c xác

i d ng chu i TayR

2

(1.4)
R

ng vô cùng bé b c cao v i

2

(1.5)

T

ng v i b c m t c a

yi và

phân b c m t c a hàm F có ký hi u F, t ng th
chúng và b ng m t n a bi n phân b c hai

2

y 'i

c g i là bi n
ng v i tích c a

F c a F.

1.1.2. C c tr c a phi

. [ 2,3,12,13]
ng c a phép tính bi n phân là tìm nh

bi t y(x)

m b o c c tr

nh sau:
x2

F y ( x), y ' ( x), x .dx (1.6a)

I
x1

x2

F y1 ( x), y2 ( x),.., yn ( x), y1' ( x), y2 ' ( x),.., yn ' ( x), x .dx

ho c là I

(1.6b)

x1

[Phép ánh x

t m i hàm (h

nh trên m t t

ng v i m

c g i là phi m hàm].

Phi m hàm I có c c ti
yi(x) n u

i v i hàm y(x) ho c h hàm

nt is
x2

Z

s gia Z.

x2

Fdx

Fdx

x1

(1.7)

0

x1

i v i t t c các bi n phân y ho c t t c h bi n phân yi th

ho c

0

y12

ki n

0

yi2

y '12

y22

y '22 ...

y 'i2
yn2

y '2n

khi x1 x x2 .

u


C

a Z khi Z < 0.
tìm c c tr c a(1.6): Gi i tr c ti p trên phi m hàm

ho

m hàm v
m hàm (1.6a) v

ki n c n

u

phi m hàm có c c tr là:
I

x2
x1

F ( y, y ', x)dx 0

(a)

V i I là bi n phân b c nh
I

x2
x1

nh theo (1.4):

F
y
y

F
y ' dx 0
y'

(b)

Tích phân t ng ph n bi u th c (b) ta s có:
x

I

2
F
y
y'
x1

F
y

x2
x1

m biên là c

d
dx

F
y'

ydx

0

(c)

nh thì s h ng th nh t c a (c) b ng không
x2

F
y
y
x

0

1

Và do

tùy ý cho nên t

u ki n c

phi

tc c

tr là:
F
y

d
dx

F
y'

0

(1.8)

cg

a phi m hàm (1.6a).

Trong m t s tài li

c suy ra t b

sau:
B
nh

: Cho phi m hàm tuy n tính trong không gian D1 (G m các hàm xác
n [x1,x2] liên t c cùng v

o hàm c p 1 c a nó).

x2

N u

a x
x1

y ( x) b( x) y '( x) dx 0


V i m i hàm

sao cho

c và a(x) -

y, bài toán tìm c c tr c a phi m hàm(1.6a) d n v gi
(1.8) v

u ki

Khi phi m hàm (1.6b) có h hàm yi(i=1..n) c n tìm thì ng v i m i yi
s có m

ng (1.8).
ng h p giá tr c a hàm y t i x1 ho c x2 ho c t i c hai c n x1 và

x2

ng h

ng) thì ng v i m

v y,

ng h
u ki n biên.

ng h

i d u tích phân ch

o hàm c p cao

x2

F y1 , y2 ,.., yn , y1' , y2 ' ,.., yn ' , y1'' , y2 '' ,.., yn '' ,.., x .dx (1.9)

I
x1

thì s d ng bi n phân b c nh t c a F:
(1.10)
u ki n c n (a) và b ng cách tích phân t ng ph n 2 l n, 3 l
s nh

ch
F
yi

d
dx

F
yi '

d2
dx 2

H

F
yi ''

c gi i v
n b c (ri-1) c a nó (rilà b

d3
dx3

F
yi '''

(1.11)

.... 0

u ki n biên c a yi

o

o hàm c a yi).

Các công th c trên có th m r

ng h p hàm nhi u bi

c

l p x i.
Chú ý r
phi

u ki n c
ng v

t c c tr

các

i v i các bài toán
ng(s th y trong ph n

ti

u ki

.


1.1.3. Bài toán c c tr

u ki n -

a s Lagrange

t ra là: C n tìm h hàm y1 , y2 ,.., yn làm c c tr cho phi m hàm
x2

I

x1

F y1 , y2 ,..., yn , y '1 , y '2 ,.., y 'n , x dx (a)
V

u ki n ràng bu c
(V

(b)

n: S hàm c n tìm ; m: s ràng bu c
nh lý sau:
t c c tr trên h hàm c n tìm y1 , y2 ,.., yn v

Phi
bu c (b) thì h

u ki n ràng

n th a mãn h
d
dx

yi '

yi

0

(c)

m

V i

F

i

( x).

c g i là phi m hàm Lagrange m r ng.

j

j 1

Các hàm

i

c g i là th a s Lagrange. N u bài toán có nghi m thì

( x)

(m+n) hàm

nh t
u ki n c n ch

1.1.4.

u ki n
.

ch a c yi ' v

c.

c ti p trong bài toán bi n phân -

phân h u h n [ 13]
ng c

u h n là xét giá tr c a phi m hàm
I y x

Ch ng h n

I

x1

x0

F y, y ' , x dx ; y ( x0 )

a , y( x1 ) b


Không ph
phân

ng cong có th nh n b t k trong m t bài toán bi n

c, mà ch xét các giá tr c a phi

ng gãy khúc

thi t l p t
là: x0

x,

, ..., x0

n 1 x.

x1 x0
n

x

ng g p khúc này, phi m
hàm I y x

tr thành hàm

c

y1 , y2 ,..., yn 1

y1 , y2 ,..., yn 1 c

nh

nh b

hàm

nh y1 , y2 ,..., yn 1 t h

y1

n qua gi i h n khi n

0,

u ki

nghi m c a bài toán bi

y2

1

t c c tr , t c

0
yn

0.

Sau

1

a hàm F, ta s nh
thu n ti

c tính g

bài toán

y1 , y2 ,..., yn

.

Trong ph m vi c a m t s

hàm I

ng g p

này.

y1 , y2 ,..., yn 1

Ta s ch

ng g p khúc, b

a, giá tr c a phi m

ng g p khúc nêu trên, ch ng h n, trong

n nh t, thay tích phân:

x1

n 1 x0 ( k 1) x

F ( x, y, y ')dx

F ( x, y,
k 0

x0

c

x0 k x

yk

yk

1

x

n

b ng t ng tích phân

F xi , yi ,
i 1

).dx
yi
. x.
xi

V

i v i phi m hàm
I

ng h

ng g

x1

x0

F y, y ' , x dx


n 1

I y x

y1 , y2 ,..., yn

F xi , yi ,

1

yi

yi

1

x

i 0

. x

Vì ch có hai s h ng th i và th (i-1) c a t ng này ph thu c vào yi:
F xi , yi ,

yi

yi

1

x

x và

(i = 1,2,.., n - 1) có d ng:

( i =1,2,..,(n-1) )

Hay là:

Fy xi , yi ,

Hay:

Fy ' xi , yi ,

yi
x

yi
x

Fy ' xi 1 , yi 1 ,
x

Fy xi , yi ,

yi
x

Fy '
x

yi 1
x

0

0

Chuy n qua gi i h n khi n
F
y

d
dx

F
y'

0

n hàm y(x) ph i tìm c n th
th nh

u ki n c

, có

n c a c c tr trong các bài toán bi n phân

khác.
N u không th c hi n quá trình quá gi i h n thì t h
có th
ng g p khúc là nghi m g

c n tìm y1 , y2 ,..., yn

yi
1

a bài toán bi n phân.
uh

mang tên ông

a phép tính bi n phân ).

0

c


1.2.

-

-

1.3. Các p

1.3


1.3

1.3

o

1.3.4


1.3.5


NT H UH N
I V I D M CH U U N

NT

H UH N

n t h u h n (PTHH) chia công trình thành nh ng ph n

nh

c g i là ph n t . Vi

c th c hi

t n i chúng l i v

i v i m i ph n t , sau

c toàn b công trình.
u h n, tr ng thái c a công trình (ví d

chuy n v c a d m, t

c tính t i m

thái công trình t

mc

m n m gi a các nút c

c tính b ng

cách n i suy tuy n tính. T cách nhìn này th
PTHH so v

Do v

mc

u h n là tr

ph n t

i sai phân, tr ng

m trong m i

nh theo các hàm n i suy (còn g i là hàm d ng) ch

c.

có k t qu

ng dùng ít

u h n. Theo E.Wilson,

thu t ng
a (alternative) c
h u h n.
Các hàm n i s

c vi t theo t

t nhiên (xem ph

mô t tr ng thái (ví d chuy n v c a d m, t

t d ng hình h c (ví d d m cong, v
trình và t
hàm n

u ki n t

c dùng v a
v

mô

a công trình cho phép d dàng l p

ng hóa quá trình tính toán (ph n t h u h n dùng
c g i là ph n t

element). Các hàm n i suy vi t theo t
.

ng thông s , (Isoparametric finite
t

nhiên do B.Irons và


c ph n t nh , tr ng thái (ví d chuy n v c a d m, t

a

m trong m i ph n t khác nhau ít cho nên các hàm n

c b c th p, ví d

iv

võng c a d m hàm n

c b c ba theo t
b c ba theo t

iv

ng

võng c a t

x và b c ba theo t

c
c b c th p

cho nên các l c tác d ng trong m i ph n t
ng l c h

c dùng

c quán tính (bài toán

u ph i qui v

ng t i

nút nên l c tác d ng trong ph n t

u ph i quy v các

l c t p trung tác d ng t i nút.
Hàm n

c ch n sao cho k t qu tính là
i bé c

u ki n biên ho

nh: k t qu là duy nh t,

u ki

ik t

qu tính.
D a vào hàm n i suy có th
v c a m i ph n t
ma tr

ng ng su
tl

c ng ph n t xây d

c ma tr

ng chuy n

c ng ph n t . D a trên

c ma tr

c ng t ng th c a công

trình.
gi i bài

ck tc

ph n t h u h n, có d
(2.1)
là ma tr
c là s

c ng t ng th c a toàn k t c u, là ma tr n vuông

n c a toàn b k t c u,

n v nút c a toàn k t c

nc
i v i bài toán không xét bi n d ng

n v nút và l c c
d

t ngang),
Gi i h
gi i. N

iv

n bi n

c nút.
nh (2.1) ta có th
i r là nghi m c a bài toán thì

n trong
.


tài này tác gi

gi i các

bài toán.
2.1.1. Hàm n i suy c a ph n t
Hàm n i suy chuy n v và góc xoay t

u ph n t

Trong khi tính d m ta có th s d ng ph n t ch u u

W,1

2.1.

W2, 2

1

0

-1

1

Hình 2.1. Ph n t d m
T i m i nút có các thông s là chuy n v W1,
m i ph n t

1,

W2,

n v trong

2

c vi t theo công th c sau:
(3.2)

Các hàm
hàm n i suy d

là các hàm n i suy c

nh. Ta vi t

c b c 3,

ma tr

i d ng

c vi
(2.3a)

Bây gi ta tìm m i liên h gi a

và

Thay x=-1 vào (2.3a) ta có
(a)
Thay x=1 vào (3.3a) ta có
(b)
L

o hàm (3.3) theo x ta có


(2.3b)
Thay x=-1 vào (2.3b) ta có
(c)

Thay x=1 vào (2.40b) ta có
(d)
T a, b, c và d ta nh

T

c

c các hàm n i suy

(2.4)

Các hàm n i suy (2

tính ph n t ch u u n và cho k t

qu h i t .

(2.2a)
y, n u bi
chuy n v t i m

c các thông s W1,

1,

W2,

2

t

u ph n t thì

m b t k trong ph n t

cb c

(2.5)


2.1.2. Ma tr

c ng c a ph n t

ng h p không xét bi n d
ng h p không xét

t ngang
ng c a bi n d

t có hai chuy n v nút W1, W2, và hai góc xoay
s (4 n) c

t ngang, m i ph n
t ng c ng có b n thông

nh.

G

t ch a b n n c a ph n t theo th t sau
(2.6)

Thì có th vi t l i bi u th c (2

i d ng ma tr
(2.7)

t các hàm chuy n v thì d
l c mômen u n

c bi n d ng u n

,n i

, c a ph n t
(2.8)
(2.9)

Trong các công th c trên
t v chi u dài th c
Bi

là h s

c a nó.

võng c a ph n t thì d

t

c a ph n

c tr Gauss ta vi

c ma tr

c ng ph n
ng b

iv i

(2.10)
là các bi u th c ch a các n
(2.10

u ki n d ng c a

c vi t l

hay

(2.11)


h s

là h s

(-

chi u dài ph n t . Có b n

n (1) v tích phân theo

cb

ng (2.1), vi t

l
(2.12)
là ma tr

c ng ph n t e,

u ph n t e,

n v nút t i

i tr

ng v i chuy n v nút

.

Các tích phân trong (2.11) có th tính chính xác ho c có th tính theo các tích
phân g

) c a Gauss. Sau khi tính (2.11), nh

c ng ph n t

.

2.1.3. Ma tr n
Bi
tr

c ng t ng th
c ma tr

c ng toàn h

là ma tr

c ma tr n

c ng ph n [K]e t thì d dàng xây d

c ma

. Gi s thanh ch có m t ph n t thì ma tr n

chính

c ng t ng th c a thanh. Gi s chuy n v t i nút (1) b ng không

thì ta b dòng 1, c t 1 c a ma tr n

.

Chú ý ngoài các n chuy n v , góc xoay, l c c t c a h còn ph i xét thêm
các n là các th a s

u ki n liên k t t

các ph n t . Ngoài ra còn c

u ho c cu i

u ki n liên t c v góc xoay t i

m ti p giáp gi a hai ph n t .
Vi c thành l p ma tr
tr

c ng t ng th

c a toàn k t c u t các ma

gi i bài toán k t c

nv

c ng ph n t [K]e có th

H
có d ng (2.1), vi t l

n chuy n v nút

g m các thành ph n x p theo th t

chuy n v nút c a toàn b k t c
h

n x p theo th t

c nút

và ma tr

c ng toàn

ng v i chuy n v nút.


và

c l p t các ma tr

ph n t trong k t c u

h t

c ng

và l c nút

chung.

i v i m i ph n t e có m t h
h t

c a t ng

ng d ng (2.12)

chung là:

n v nút có các thành ph

c x p theo th t

nh s n cho t ng ph n t . C u trúc c a ma tr
c nút

ng v i chuy n v nút

Do th t các thành ph

nên c

n v nút
trí c a t ng ph n t trong

. Vi c s p x

c áp d

c a t ng ph n
c a toàn k t c u,
và

vào

và

mã có n i dung

M i chuy n v nút và l
- S mã c c b : là s mã t

.

n v nút

t nói chung khác v i th t

t

c ng ph n t

c dùng hai s

t tên:

n m (m là t ng s chuy n v nút c a m i ph n

t s px

n v nút

c nút

c a m t ph n t . N u các ph n t có các chuy n v

mã

c c b c a chuy n v nút gi ng nhau.
- S mã toàn th : là s mã t
c

t s px

n n (n là t ng s chuy n v nút c a toàn k t
n v nút

và l c nút

c a

toàn k t c u.
M i thành ph n c a
v nút c th

và

vào s mã toàn th c a chuy n v nút c th này mà s p

x p tr c a thành ph n
l c
t

ng v i m t s mã c c b c a chuy n

và

trí trong ma tr n

c a toàn k t c u. Các thành ph n trong ma tr
c x p vào cùng m t v trí c a ma tr n toàn h

Ph n ví d minh h

c trình bày thông qua các ví d

c ng c a t ng ph n
c c ng l i v i nhau.
ph n sau.


2.1

u ki n ngo i l c
võng c a ph n t

lên ph n t
2.1

Gi i h
k t c u, t

c b c ba cho nên các l c tác d ng

u ph i quy v nút k c l

ng.

nh n i l c
ta s nh
c n i l c c n tìm c

n v c a toàn
.