Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)

B
TR

NG

GIÁO D C VÀ ÀO T O
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

PH M THANH TÙNG

NT
I V I BÀI TOÁN D M

H UH N

CÓ XÉT BI N D NG

T NGANG CH U T I TR NG PHÂN B

U

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T

NG D N KHOA H C

TS.

N

H i Phòng, 2017


L

u c a riêng tôi. Các s li u, k t qu trong
lu n

là trung th

c ai công b trong b t k công trình nào khác.
Tác gi lu n

Ph m Thanh Tùng


L IC

Tác gi lu

xin trân tr ng bày t lòng bi t

n

i v i TS.

và cho nhi u ch d n khoa h c có giá tr
ng viên, t o m

u ki n thu n l

trình h c t p, nghiên c u hoàn thành lu n

i h c Dân l p H i phòng

tác gi trong su t quá

.

Tác gi xin chân thành c

lu n

sâu s c nh t

c, các chuyên gia trong và ngoài
u ki

, quan tâm góp ý cho b n

c hoàn thi
Tác gi xin trân tr ng c
i h c và

nghi
thành lu n

i h c-

u ki n thu n l

, giáo viên c a Khoa xây d ng, Phòng
i h c Dân l p H i phòng

ng

tác gi trong quá trình nghiên c u và hoàn

.
Tác gi lu n

Ph m Thanh Tùng


B
trình

pháp
bài toán
ph

-

V

,
nào

Các

Tuy


Trong

xây

.

1.

2. Trình bày

- Bernoulli

ngang
3.
ng
4.

.


1.
NG
VÀ GI
Tr

CK TC U

trình

n th

c nói chung; gi i thi
pháp gi

xây d ng các bài

ck tc u

ng dùng hi n nay.

1.

ng

c

B n

xây d ng bài toán
t d m ch u u

h ck tc u

c trình bày

minh h a.

1.

ng phân t
c xây d ng tr c ti p t vi

ki n cân b ng l c c a phân t

u

c tách ra kh i k t c u.Trong s c b n v t li u khi

nghiên c u d m ch u u n ngang s d ng các gi thi t sau:
- Tr c d m không b bi n d ng nên không có ng su t.
- M t c t th ng góc v i tr c d m sau khi bi n d ng v n ph ng và th ng góc v i tr c
d m (gi thi t Euler Bernoulli).
- Không xét l c nén gi a các th theo chi u cao c a d m
V i gi thi t th ba thì ch có ng su
lên phân t d m (hình 1.3), ng su
nh t d

x và
zb

các ng su t ti

xz

zx tác

d ng

ng không. Hai gi thi t th ba và th

n tr c d m ch có chuy n v th

cg

i c a d m. Gi thi t th nh t xem chi u dài tr c d m không
i khi b

võng c a d m là nh so v i chi u cao d m, ymax / h

1/5. V i gi thi t th hai thì bi n d

t do ng su t ti

võng c a d

c xét

thi t này ch

1/5. Chuy n v ngang u c

dy
dx

mn m

l h/l

cao z so v i tr c d m b ng
u

TTH

Bi n d ng và ng su
Hình 1.2. Phân t d m


d2y
d2y
Ez 2
z 2 ; xx
x
dx
dx
Momen tác d ng lên tr c d m:

d2y
Ebz
dz
dx 2

h/2

Ebh3 d 2 y
12 dx 2

2

M
h/2

hay

M

EJ

EJ

(1.7)

Ebh3
,
12

cg

d2y
dx 2

c ng u n c a d m;

cong c

là bi n d ng u n;b là chi u r ng d m.

i và s

n trình bày,

cg i
ng

h p d m có ti t diên ch nh t.
Cách tính n i l c momen
ti p gây ra. T ng các ng su t ti

n bi n d
zx trên

t do các ng su t

m t c t s cho ta l c c t Q tác d ng lên

tr c d m:
Bi u th c c a ng su t ti

zx

trong tích phân trên s trình bày sau.

Nh các gi thi t nêu trên, thay cho tr ng thái ng su t trong d m, ta ch c n nghiên
c

cân b ng c a các n i l c M và Q tác d ng lên tr c d m.

Xét phân t dx c a tr c d m ch u tác d ng c a các l c M,Q và ngo i l c phân b q,
hình 1.3. Chi

a M, Q và q trên hình v

ng xu

ng v i chi

i.
Q

q(x)

M

M + dM
o2

1

2 Q + dQ

dx
Hình 1.3. Xét cân b ng phân t
L yt

dM
dx

iv

Q

0 (1.8)

m O2, b qua các vô cùng bé b c cao ta có


L y t ng hình chi u các l c lên tr c th

dQ
dx

q

0

ng:

(1.9)
8

gi a momen u n và l c c

trình (1.9

ng l c c t Q và ngo i l c phân b

trình xu

u tiên) c

ng phân t .L

8) theo x r i c ng v

o

1.9

n

u ki n biên c

n

xu t sau
d 2M
dx 2

q

0

(1.10)
nh theo (1.7) vào (1.10) nh
i c a thanh

EJ

d4y
dx 4

q (1.11)

11
b c ba c
Các

u ki

c gi i v

u ki n biên t i m

u cu i thanh.

u ki

a) Liên k tkh p t i x=0:
, momen u n M

Chuy n v b ng không,

d2y
0 , suy ra
dx 2

0
x 0

b) Liên k t ngàm t i x=0:
Chuy n v b ng không,

, góc xoay b ng không,

dy
dx x

0
0

c) không có g i t a t i x=0:
d2y
Momen u n M 0 , suy ra
dx 2

0 ; l c c t Q=0, suy ra
x 0

u ki n t
Bây gi
tiên vi

tìm hi u s phân b

ng su t ti

ng ng su t trên tr

zx

trên chi u dày h c a d

c


xx

xz

x

0 hay

z

xz

z

x

:
Hàm

nh t

d m, z

d3y
Ez 3
dx

xx

Ez 2 d 3 y
2 dx 3

xz

C x

u ki n ng su t ti p b ng không t i m t trên và m

h
. Ta có: C x
2

i

Eh 2 d 3 y
8 dx 3

ng su t ti p phân b trên m t c t d m có d ng
E d3y
4z 2
3

8 dx

xz

h2

c hai. ng su t ti p l n nh t t i tr c d m (z=0) có giá tr b ng
xz z 0

Eh 2 d 3 y
8 dx 3

Tích phân hàm ng su t ti p theo chi u cao d m r i nhân v i chi u r ng b ta có
l c c t Q tác d ng lên ph n trái c a d m
Ebh3 d 3 y
12 dx 3

Q

ng su t ti p trung bình trên chi u cao d m b ng:
T l

gi a

ng su t ti p max t i tr c d m và

1.

Eh 2 d 3 y
12 dx 3

ng su

ng
ng c
nh theo kh

bi n d ng và công c
th

tb
xz

c tr
iv ih b

bao g

n

ng và v n t c chuy

c

ng, còn th

m th

ng l c, ph thu c vào chuy n v
ng. Các l c ngoài tác d

ng l c là l c có

là l c không th .

i
1.12)
ng ph i b ng không


1.14)
Th

bi u th qua ng su t và n i l

bi u th qua

chuy n v và bi n d ng. Vì v y ta có hai nguyên lý bi n phân
Nguyên lý th

ng sau:

n d ng c c ti u
c bi u th qua ng su t ho c n i l

th

nd

u th qua ng su t ho c n i l c ta có nguyên lý th

bi n d ng c c ti u, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý phát bi
Trong t t c các tr ng thái cân b ng l c có th thì tr ng thái cân b ng th c
x y ra khi th

n d ng là c c ti u.

Tr ng thái cân b ng l c có th là tr ng thái mà các l c tác d ng lên phân t th a
mãn các ph

ng. Ta vi

V i ràng bu

i d ng sau:

ng vi

i d ng l c.

i v i d m ta có:

N i l c c n tìm mômen u n là hàm phân b theo chi u dài d m M(x) và ph i th a
u ki n liên k t

h

nh

bài toán c c tr có ràng bu c. B ng cách dùng th a s Lagrange

bài toán

không ràng bu c sau:

là th a s
phi m hàm (1.17) ta nh

n c a bài toán. Theo phép tính bi n phân t
Lagrange).


có th nguyên là chuy n v

1.18) bi u th quan h gi a M

và chuy n v . Th (1.18) vào (1.19) ta có

võng c a d

1.20

d m vi t theo chuy n v nh
Nguyên lý công bù c

c

ng c a

trên.

i

Khi dùng n là các chuy n v và bi n d ng thì có nguyên lý công bù c
Trong t t c các chuy n v
chuy n v có công bù c
Chuy n v

ng h c có th (kh

n v th c là

i.

ng h c có th là chuy n v th

chuy n v và bi n d ng và th
l c và chuy n v tr
[Công ngo i l c

gi a

u ki n biên. Công bù b ng tích c a ngo i
ng bi n d ng.
th

V i ràng bu
L y ví d

i.

nd
gi a chuy n v và bi n d ng.

i v i d m ch u u n, ta có
2

V i ràng bu c:

là bi n d ng u

cong c

võng. Tích phân th nh t trong

(1.21) là công toàn ph n c a ngo i l c (không có h s ½), tích phân th hai là th
n d ng bi u th qua bi n d ng u n.
Thay t (1.22) vào (1.21), ta có


Thay d u c a (1.23) ta có

Khi y có giá tr

nh t

u mút d

u ki n c

bi u th c (1.24) c c

ti

(1.25
công bù c

ng c a d m ch u u n. Nguyên lý
i d ng bi u th c (1.24

c s d ng r ng rãi trong tính toán công

n t h u h n.
1.3. Nguyên lý công o

(1777-

X
X;

Y;

0,

Y

0,

Z

0,

(1.26)

Z

X U

Y V

Z W

0,

(1.27)


x

x

u;

y

XU

0

1 d2y

2 dx 2

v
; ...
y

y

v; ....

X U

l

u
;
x

Y V

YV

2

l

qy dx 0 hay
0

Z W

ZW

1 d2y
2 dx 2

0,

0

(1.28)

(1.29)

2

qy dx 0

(1.30)


d4y
EJ 4
dx

q

0

i

và Qi

d
dt

T
qi

T
qi

qi

Qi , (i=1,2,3......,n)

(1.31)

i

i

i

i
i

1 2
myi dx
i 1 2

n

T

1
EJ
1 2

n
i

2

yi
x2

(1.32)

2

(1.33)
i


t

T
yi

t

T
yi

T
yi

qi ,

yi

(1.34)

2

t

mi yi

yi
t2

mi

mi yi (1.35)

i

-

x là

1
EJ
2
1
EJ
2
1
EJ
2

2

y

x

2

2

y

2

i
2

x2

i 1

2

2

y

x2

i 1

y
1
EJ i 1
2
y
1
EJ i
2

2 yi
x2
2

y
1
EJ i
2

yi

2 yi 1
x2
2 yi 1
x2

2
1

2

yi
yi

(1.36)
2

2

i.

yi

2 yi 1

EJ
EJ

yi

2

4 yi

4 yi 1

2 yi 1

yi

6 yi 4 yi 1
x4

2 yi 1
x4

2

yi

2

yi

EJ

yi

2 yi 1

i
4

EJ

2

(1.37)

4
i

x4

yi

Ta tính

y

x4

.
i


i

(1.38)

m

2

y

t

2

4

EJ

y

x4

q (1.39)
EJ

-

-

d4y
dx 4

q (1.40)


,

o


tr


2.
LÝ THUY T D M CÓ XÉT

Trong ch

N BI N D

T NGANG

c tiên trình bàylý thuy t d m

d m Euler -

i thi u lý thuy t d m có xét bi n d

ng, lý thuy t
t ngang

nghiên c u n i l c và chuy n v c a h d m ch u u n có xét bi n

d

t ngang.

2.1. Lý thuy t d m Euler Bernoulli
D m ch u u n là c u ki
c ti t di n nh
u l n so v i chi u
dài c a nó, trên m t c t ngang d m t n t i hai thành ph n n i l c là mômen u n M và
l c c t Q. T i tr ng tác d ng lên d m n m trong m t ph ng có ch
ng trung bình
c a d m và th ng góc v i tr c d
ng h p d m ch u u n
thu n túy ph ng và u n ngang ph ng.
2.1.1. D m ch u u n thu n túy ph ng
D m ch u u n thu n túy ph ng là d m mà trên m i m t c t ngang d m ch có
m t thành ph n n i l c là mômen u n n m trong m t ph ng quán tính chính trung
tâm.
ng su t trên m t c t ngang
Gi s d m có m t c t ngang hình ch nh t (bxh) ch u u n thu
3.1a. Ta ti n hành thí nghi m sau:


c khi d m ch u l c ta v ch lên
m t ngoài d m nh
ng th ng song
song và vuông góc v i tr c d m t o nên
nh ng ô vuông, hình 2.1a. Sau khi d m
bi n d ng, hình 2.1c, ta th y r ng nh ng
ng song song v i tr c d m tr thành

nh
ng cong, nh
ng th ng
vuông góc v i tr c d m v n th ng và
vuông góc v i tr c d m. T
i ta
thi

Hình 2.1. D m ch u u n thu n túy
M t c t ngang d
u ph ng và vuông góc v i tr c d m, sau bi n d ng
v n ph ng và vuông góc v i tr c d m (gi thi t v m t c t ngang, gi thi t Bernoulli).
Trong quá trình bi n d ng các th d c c a d m không ép lên nhau và không
y xa nhau (gi thi t v các th d c).
Ngoài ra khi tính toán d m ta còn d a vào các gi thi t sau:
V t li u có tính ch t liên t c, ng nh
ng
Bi n d ng c a v t th là bi n d
i tuy
i.
Bi n d ng c a v t th do ngo i l c gây ra là nh so v
c c a chúng.
c l p tác d ng
T hình 2.1c, ta nh n th y r ng: khi d m b u n thì các th trên co l i, các th
i giãn ra. Do v y khi chuy n t th co sang th giãn s có th không co, không
giãn. Th này g i là th trung hòa. T p h p các th trung hòa g i là l p trung hòa,
giao c a l p trung hòa v i m t c t ngang g
ng trung hòa. N u ta xét m t m t
c
a d m thì sau khi b u n nó s cho hình d

ng trung hòa c a m t c t ngang
là m
ng cong. Vì chuy n v c a các
m trên m t c t ngang c a d m là bé, nên
ta coi r ng hình dáng m t c t ngang d m
i sau khi bi n d ng.

ng trung hòa c a m t c
trùng v
ng trung hòa.
Xét bi n d ng c
n d m dz
c c t ra kh i d m b ng hai m t c t 1-1
và 2-2. Sau bi n d ng hai m t c t này làm
v i nhau m t góc

và th trung hòa có

bán kính cong là

(hình 2.3). Theo tính

Hình 2.2. M t c t ngang d m
ng th ng và gi s l y tr c ox

ch t c a th trung hòa ta có:
Hình 3.3. Hai m t c t sau khi u n

(2.1)
Ta xét bi n d ng c a th ab cách th trung hòa m t kho ng là y, ta có:
(2.2)
T (2.2) ta suy ra:
(2.3)
Xét ng su t t
m b t k A(x,y) trên m t c
a d m (hình
2
c oy là tr
i x ng c a m t c t ngang, tr c ox trùng v
ng
trung hòa c a m t c t ngang.


Ta tách ra t i A m t phân t hình h p b ng
các m t c t song song v i các m t t
(hình
2
thi t th nh t thì góc c a
phân t sau bi n d
i, nên ta suy ra trên
các m t c a phân t không có ng su t ti p. M t
khác theo gi thi t th hai thì trên các m t c a
phân t song song v i tr c Z không có ng su t
. Do v y trên các m t
c a phân t ch có ng su t pháp

nh

lu t Hooke ta có:
Hình 2.4. Phân t A
(2.4)
D m ch u u n thu n túy nên ta có
(2.5)
(2.6)
Thay (2.4) vào (2

c
(2.7)
c quán tính chính trung tâm. Vì y là tr

i x ng nên

suy ra oxy là tr c quán tính chính trung tâm c a m t c t ngang. Thay (2.4) vào (2.6)
c:
(2.8)
Suy ra:

(2.9)
c ng c a d m khi u n. Thay (3.9) vào (3.4) ta có:
(2.10)

T công th c (2.10) ta có các nh n xét:
-

Lu t phân b c a

trên m t c t ngang d m là b c nh

i v i y.

Nh
m trên m tc
à nh
mn m
ng th ng song song v i tr c trung hòa x) s có tr s b ng nhau và nó t l v i
kho ng cách t
i tr c trung hòa.


Nh
m n m trên tr c trung hòa y=0 có tr s
trung hòa nh t s có tr s ng su t l n nh t và bé nh t.

. Nh

m xa tr c

2.1.1. D m ch u u n ngang ph ng
D m ch u u n ngang ph ng là d m mà các m t c t ngang c a nó có các thành
ph n n i l c là l c c t Qy và mômen u n Mx n m trong m t ph ng quán tính chính
trung tâm c a d m.
ng su t trên m t c t ngang
Xét d m ch u u n ngang ph ng
2.5a. Ta quan sát thí
nghi m sau:
c khi d m ch u l c ta v ch
lên m t ngoài d m nh
ng

th ng song song và vuông góc v i
tr c d m t o. Sau khi d m bi n d ng
ta th y r ng nh
ng th ng song
song v i tr c d m tr thành nh ng
n còn song song
v i tr c d m, nh
ng th ng
vuông góc v i tr c d m không còn
th ng và vuông góc v i tr c d m n a
hình 2.5c.
Hình 2.5. D m ch u u n ngang ph ng
ng t m t c t ngang d m sau bi n d ng b
ut
mA
b t k c a d m ta tách ra m t phân t b ng các m t song song v i các m t t
thì
sau khi bi n d ng các góc vuông c a phân t không còn vuông n
có bi n d ng góc. Suy ra trên các m t phân t s có ng su t ti p.
Trong lý thuy
c r ng trên các m t c a
phân t có các ng su t sau:


c t
cho th y r ng ng su t pháp

r t bé

so v i các thành ph n khác nên ta b

m ch u u n ngang
ph ng thì trên m t c t ngang d m có hai
thành ph n ng su t là: ng su t pháp
và ng su t ti p hình 2.6.
Hình 2.6. Phân t d m ch u u n
ngang ph ng
a.

ng su t pháp :
Trong m
c nh gi thi t Bernoulli v m t c t ngang ph

công th c tính ng su t pháp

i

trên m t c t ngang d m là:
(2.11)

d mb
th c (2

ng h p d m b u n ngang ph ng thì sau bi n d ng m t c t ngang
ng n
y m i l p lu
i công
tính ng su t pháp

không phù h p n a. Tuy nhiên trong lý thuy t
c r ng

có th dùng công th c (2

tính ng su t

i v i d m ch u u n ngang ph ng ta v n
mà sai s không l n l m.

b.
ng su t ti p trên m t c t ngang d m ch u u n ngang ph ng (công th c
Durapski):
Gi s có d m m t c t ngang là hình ch nh t h p (bhình 2.7.
Ta xét ng su t ti p t
m b t k A(x,y) trên m t c t ngang 1a
d
m A ta k
ng th ng song song v i tr c ox c t biên c a m t c t t i B
và C, c t tr c oy t
c h t ta xét ng su t ti p t i B,C và D.


ng su t ti p t i C là

gi s có

t k trong 1-1.
Phân

thành hai thành ph n:

nh lu

i ng

c a ng su t ti p thì ta có:
(

vì m t bên d m theo gi thi t

không có t i tr ng tác d ng) hình 2.7.
Hình 2.7.
i oy. Do tính ch
i x ng ta suy ra

Do v y
.

i x ng và gi thi t hình ch

nh t h p nên

.
Do gi thi t hình ch nh t h p nên CD=b/2 càng nh mà ng su t ti p t i C và
D ch

y ta suy ra là ng su t ti p t i A ch

.

ng th i:

y ng su t ti p c
y và tr s b
tính

ng th ng BC qua A ch
ng su t ti p trên BC phân b

ta c t m

uv

n d m dz b ng hai m t c t 1-1 và 2-2, hình 2.8.
t

n d m dz
b ng m t m t ph
mA
song song v i tr c Z. M t ph ng
n d m dz ra làm hai
ph n. N u g i BC = bc và dt
(BCEF)=Fc thì t
u ki n cân
b ng c
ic
n dz

M t khác ta l i có

Hình 2.8.

là

.