Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)

B
TR

NG

GIÁO D C VÀ ÀO T O
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

NGUY N TI N M NH

NGHIÊN C U N I L C VÀ CHUY N V
C AD MB

NT

H UH N

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T

NG D N KHOA H C:

H i Phòng, 2017


L

u c a riêng tôi. Các s li u, k t qu

trong lu n

là trung th

c ai công b trong b t k công trình

nào khác.
Tác gi lu n

Nguy n Ti n M nh


L IC

Tác gi lu

xin trân tr ng bày t lòng bi t

sâu s c nh t

ng khoa h
s cv

ng ch b o sâu

c tr Gauss và nh ng chia s v ki n th

toán h c uyên bác c a G
ng viên, t o m

u ki n thu n l i,

tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên c u hoàn thành lu n
Tác gi xin chân thành c

i h c và

ng nghi
hoàn thành lu n

u ki

, quan tâm góp ý

c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c
Phòng

.

c, các chuyên gia trong và

i h c Dân l p H i phòng

cho b n lu n

c,

và cho nhi u ch d n

khoa h c có giá tr

ngoài

i v i

, giáo viên c a Khoa xây d ng,
ih c-

u ki n thu n l

i h c Dân l p H i phòng, và các
tác gi trong quá trình nghiên c u và

.
Tác gi lu n

Nguy n Ti n M nh


.

, do

ói chung,

ge. Các

-

n t h u h n là m
tìm d ng g

am

c bi t có hi u qu
t trong mi

nh V c a nó. Tuy nhiên

n t h u h n không tìm d ng x p x c a hàm c n tìm trên toàn
mi n V mà ch trong t ng mi n con

ph n t ) thu c mi

t thích h p v i hàng lo t bài toán v t lý và k thu
hàm c

nh trên các mi n ph c t p g m nhi u vùng nh

hình h c, v t lý khác nhau, ch u nh

c tính

u ki n biên khác nhau.

Trong

xây

.


1.

2. Trình bày Ph
3.
.
4.


1.
NG VÀ GI I
CK TC U
Tr

trình

n th

c nói chung; gi i thi

xây d ng các

ck tc u

và các

ng dùng hi n nay.
1.

ng

h c

B n

xây d
t d m ch u u

h ck tc u

c trình bày

minh h a.

1.

ng phân t
c xây d ng tr c ti p t vi

ki n cân b ng l c c a phân t

u

c tách ra kh i k t c u. Trong s c b n v t li u khi

nghiên c u d m ch u u n ngang s d ng các gi thi t sau:
- Tr c d m không b bi n d ng nên không có ng su t.
- M t c t th ng góc v i tr c d m sau khi bi n d ng v n ph ng và th ng góc v i

tr c d m (gi thi t Euler Bernoulli).
- Không xét l c nén gi a các th theo chi u cao c a d m
V i gi thi t th ba thì ch có ng su

x và

lên phân t d m (hình 1.3), ng su
nh t d

z

các ng su t ti

xz

zx tác

d ng

b ng không. Hai gi thi t th ba và th

n tr c d m ch có chuy n v th

cg

i c a d m. Gi thi t th nh t xem chi u dài tr c d m không
i khi b

võng c a d m là nh so v i chi u cao d m, ymax / h

1/5. V i gi thi t th hai thì bi n d

t do ng su t ti

võng c a d
h/l

1/5. Chuy n v ngang u c

thi t này ch
mn m

cao z so v i tr c d m b ng

Bi n d ng và ng su
Hình 1.2. Phân t d m

c xét
l


;
Momen tác d ng lên tr c d m:

hay

(1.7)
,
cg

c ng u n c a d m;

cong c

g i là bi n d ng u n; b là chi u r ng d m.

i và s
n trình bày,

c
dùng

ng h p d m có ti t diên ch nh t.
Cách tính n i l c momen

n bi n d

su t ti p gây ra. T ng các ng su t ti

zx trên

t do các ng

m t c t s cho ta l c c t Q tác d ng

lên tr c d m:
Bi u th c c a ng su t ti

zx

trong tích phân trên s trình bày sau.

Nh các gi thi t nêu trên, thay cho tr ng thái ng su t trong d m, ta ch c n nghiên
c

cân b ng c a các n i l c M và Q tác d ng lên tr c d m.

Xét phân t dx c a tr c d m ch u tác d ng c a các l c M,Q và ngo i l c phân b q,
hình 1.3. Chi

a M, Q và q trên hình v

ng xu

ng v i chi

a

i.
Q

q(x)

M

M + dM
o2

1

2 Q + dQ

dx
Hình 1.3. Xét cân b ng phân t
L yt

iv

m O2, b qua các vô cùng bé b c cao ta có
(1.8)


L y t ng hình chi u các l c lên tr c th

ng:
(1.9)

ng trình (1.8

gi a momen u n và l c c t,

9

ng l c c t Q và ngo i l c phân b
u tiên) c

phân t . L

ng

g trình (1.8) theo x r i c ng v

1.9), ta

n xu t sau
(1.10)
nh theo (1.7) vào (1.10) nh n
i c a thanh
(1.11)
11
n b c ba c

c gi i v

u ki

u ki n biên c

u ki n biên t i m

u cu i thanh.

, momen u n

d2y
, suy ra
dx 2

o hàm

u ki
a) Liên k t kh p t i x=0:
Chuy n v b ng không,

0
x 0

b) Liên k t ngàm t i x=0:
Chuy n v b ng không,

, góc xoay b ng không,

c) không có g i t a t i x=0:
Momen u n

, suy ra

; l c c t Q=0, suy ra

u ki n t
Bây gi
c tiên vi

tìm hi u s phân b

ng su t ti

ng ng su t trên tr

zx

trên chi u dày h c a d m.


hay
:
Hàm

nh t

d m,

u ki n ng su t ti p b ng không t i m t trên và m

i

. Ta có:

ng su t ti p phân b trên m t c t d m có d ng

c hai. ng su t ti p l n nh t t i tr c d m (z=0) có giá tr b ng

Tích phân hàm ng su t ti p theo chi u cao d m r i nhân v i chi u r ng b ta có
l c c t Q tác d ng lên ph n trái c a d m

ng su t ti p trung bình trên chi u cao d m b ng:
T l

gi a

ng su t ti p max t i tr c d m và

1.

ng su

ng
ng c
nh theo kh

bi n d ng và công c
có th
iv ih b

c tr

bao g

c

ng và v n t c chuy

ng, còn th

m th

ng l c, ph thu c vào chuy n v
ng. Các l c ngoài tác d

ng l c là l c

là l c không th .

i
(1.12)
ng ph i b ng không


(1.14)
Th

bi u th qua ng su t và n i l

bi u th qua

chuy n v và bi n d ng. Vì v y ta có hai nguyên lý bi
Nguyên lý th

ng sau:

n d ng c c ti u
c bi u th qua ng su t ho c n i l

th

nd

u th qua ng su t ho c n i l c ta có nguyên lý th

bi n d ng c c ti u, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý phát bi

Trong t t c các tr ng thái cân b ng l c có th thì tr ng thái cân b ng th c
x y ra khi th

n d ng là c c ti u.

Tr ng thái cân b ng l c có th là tr ng thái mà các l c tác d ng lên phân t
th

ng. Ta vi

V i ràng bu

ng vi

i d ng sau:

i d ng l c.

i v i d m ta có:

N i l c c n tìm mômen u n là hàm phân b theo chi u dài d m M(x) và ph i th a
u ki n liên k t

nh

bài toán c c tr có ràng bu c. B ng cách dùng th a s Lagrange

bài

toán không ràng bu c sau:

là th a s
phi m hàm (1.17) ta nh
Lagrange).

n c a bài toán. Theo phép tính bi n phân t


có th nguyên là chuy n v

1.18) bi u th quan h gi a

M và chuy n v . Th (1.18) vào (1.19) ta có

võng c a d

1.20

c a d m vi t theo chuy n v nh
Nguyên lý công bù c

c

ng

trên.

i

Khi dùng n là các chuy n v và bi n d ng thì có nguyên lý công bù c

Trong t t c các chuy n v
chuy n v có công bù c
Chuy n v

ng h c có th (kh

n v th c là

i.

ng h c có th là chuy n v th

gi a chuy n v và bi n d ng và th
ngo i l c và chuy n v tr
[Công ngo i l c

u ki n biên. Công bù b ng tích c a
ng bi n d ng.

th

V i ràng bu
L y ví d

i.

nd
gi a chuy n v và bi n d ng.

i v i d m ch u u n, ta có

V i ràng bu c:

là bi n d ng u

cong c

võng. Tích phân th nh t trong

(1.21) là công toàn ph n c a ngo i l c (không có h s ½), tích phân th hai là th
n d ng bi u th qua bi n d ng u n.
Thay t (1.22) vào (1.21), ta có


Thay d u c a (1.23) ta có

Khi y có giá tr

nh t

u mút d

u ki n c

bi u th c (1.24)

c c ti

1.25
công bù c

ng c a d m ch u u n. Nguyên lý
i d ng bi u th c (1.24

c s d ng r ng rãi trong tính toán

n t h u h n.
1.3. Nguyên lý công o

(1777-

(1.26)

(1.27)


.

(1.28)

(1.29)

Tr.261].
hay

(1.30)


i

và Qi
(i=1,2,3......,n)

(1.31)

i

i

i

i
i

(1.32)

(1.33)


(1.34)

(1.35)

i

x là

(1.36)

i.

Ta tính

(1.37)

.
i


(1.38)

(1.39)
d4y
EJ 4
dx

2. Bài toán

-

-

các

q

pháp

(1.40)

,

do

o

h

2.5.


t


3.1

nt h uh n

n t h u h n chia k t c u công trình thành m t s h u
h n các ph n t . Các ph n t
c n i v i nhau t
ng
t
nh ph n t (th m trí t
m trên biên ph n t ) g
y vi c
tính toán k t c
tính toán trên các ph n t c a k t c u sau
t n i các ph n t này l i v

c l i gi i c a m t k t c u công trình
hoàn ch
uh
n nh (ph n t ) và các tr ng thái chuy n v
ng chuy n v
c
nh t
m nút sai phân. S khác bi t c
pháp sai phân h u h
c các chuy n v t i các nút c a sai phân còn
m n m gi
nh b ng n i suy tuy
phân t h u h
c chuy n v t i các nút c a ph n t thì các
nh b ng hàm n i suy (hàm d ng).
V
c v t r n bi n d ng, tu
t lí c a hàm n i suy
có th phân tích bài toán theo 3 lo i mô hình sau:
- Mô hình chuy n v : Xem chuy n v l
ng c n tìm và hàm n i suy bi u
di n g
ng phân b c a chuy n v trong ph n t .
- Mô hình cân b ng: Hàm n i suy bi u di n g
ng phân b c a ng
su t hay n i l c trong ph n t .


- Mô hình h n h
ng chuy n v và ng su t là 2 y u t

cl p
riêng bi t. Các hàm n i suy bi u di n g
ng phân b c a c chuy n v l n
ng su t trong ph n t .
Hi n nay, khi áp d
nt h uh
gi
h
ng s d
n t h u h n theo mô hình chuy n v
lu
n t h u h n theo mô hình chuy n v .
3.1.1 N
v

n t h a h n theo mô hình chuy n v
n t h u h n - mô hình chuy n v , thành ph n chuy n
c
ng c n tìm. Chuy n v
c l y x p x trong d ng m t hàm
n g i là hàm n i suy (hay còn g i là hàm chuy n v ). Trình t phân tích bài
n t h u h n - mô hình chuy n v có n i dung sau:

3.1.1.1. R i r c hoá k t c u:
i ta r i r c hoá b ng cách ch n k t c u liên
t c thành m t s h u h n các mi

c càng nh càng t

h u h n. Các mi n ho c k t c

h

c g i là PTHH, chúng có th có d ng hình

c khác nhau, tính ch t v t li

m i ph n t

i

c gi thi

i trong

i t ph n t này sang ph n t khác.
c hình h c và s

ng các ph n t không nh ng ph thu c vào kích

hình h c và tính ch t ch u l c c a k t c u mà còn ph thu

chính xác c a

bài toán.
V ih

tc ut ms d

t m tam giác, ch nh t, v i v t th kh
h p...

Khi r i r c hoá k t c u liên t
s

c gi thi t n i v i nhau t i m t

nh g i là các nút, toàn b t p h

i r

i
c

thì m

chính xác c a k t c

Khi r i r c c n chú ý t i nh
c nh
gi m s

n v bi n thiên nhanh thì ch n các
cc
n c a bài toán mà v

mb

chính


xác. Mi

c phân chia ph i ch n sao cho t i biên các chuy n v

Khi chia thành các ph n t
l ch quá l n làm gi

t.

c trong m i m t ph n t không chênh
chính xác c

h

c phù

i m i bài toán c
c nh

y

n, n u k t qu c

cc

p nh

c.

i v i h thanh thì khi chia nh m

i hai nút)

ih

cc

c l n nh t có th t

yv i

i hai nút c a k t c u.

Hình 3.2.
3.1.1.2. Hàm chuy n v :
Vi c ch
nh

c các hàm chuy n v t i m t th

m b t k trong PTHH

nh s liên h gi a chuy n v nút v i chuy n v c a m

m trong ph m

vi c a PTHH.
G

ng chuy n v

nv t

y, z) c a PTHH không gian và to

m b t k có to

(x,

(x, y) c a PTHH ph ng.

Ux(x, y, z); Uy(x, y, z); Uz(x, y, z)
và Ux(x, y); Uy(x, y)
Các hàm chuy n v

c ch

id

c. B c c a hàm

và s thành ph n ph thu c vào hình d ng, b c c a lo
Ví d trong bài toán ph ng c a ng su t hay bi n d
tính, hàm chuy n v

ng.
i v i lo i ph n t tuy n

c b c nh t và s thành ph n b ng s

i v i PTHH b c hai, hàm chuy n v

nh c a

c b c hai, s thành ph n


ch a trong m i hàm b ng m i nút c a ph n t
dùng trong lý thuy

t s hàm chuy n v

i.

1. PTHH tuy n tính:
a. PTHH tam giác:
Ux (x, y) =

1

+

2.x

Uy (x, y) =

4

+

5.

+

3.y

x+

+

4.x

2

+

5.xy

2
6.y

+

6.y

b. PTHH ch nh t:
Ux (x, y) =

1

+

Uy (x, y) =

5+

2.x
6.x

+

3,y

+

7.y

+

4.xy

+

8.xy

c. PTHH hình chóp:
Ux(x, y, z) =

1+

2.x

+

3.y

+

4.z

Uy(x, y, z) =

5+

6.x

+

7.y

+

8.z

Uz(x, y, z) =

9+

10.x

+

11.y

2.x

+

3.y

+

4.z

11.y

+

12.z

+

12.z

d. PTHH hình h p:

Ux (x, y, z) =

1+

Uy(x, y, z) =

9+

Uz(x, y, z) =

17+

10.x
18.x

+

+

19.y

+

20.z

+

5.xy

+

+

+

13.xy
21.xy

6.yz

+

+

+

7zx

14.yz
22.yz

+

+

a. PTHH tam giác:
Ux (x, y) =

1

+

2.x

Uy (x, y) =

7

+

8.

+

3.y

x+

+

9.y+

1.x

2

+

2
10.x

5.xy

+

2
6.y

+

11.xy

2
12.y

+

b. PTHH ch nh t:
Ux (x, y) =
7x

2

y+

2
15x y

+

2.x

+

3.y

+

4.x

2

+

5.xy

2
6.y

+

+

2
8.xy

Uy (x, y) =
+

1

+

2
16.xy

9+

10.x

+

11.y

+

12.x

2

+

12.xy

+

15zx

23zx

2. PTHH b c hai

2
14.y

+

+

8.xyz

+

16.xyz

24.xyz

c


3.1

nc
thi t l p ph

nt h uh n

ng trình c b n c a

nguyên lý khác nhau, tuy nhiên thông th

ng

PTHH có th s d ng các
i ta s d ng nguyên lý công kh

d.
Theo nguyên lý công kh d ta có công th c:
(3.12)
Ph

ng trình trên bi u th

i u ki n cân b ng c a h

chuy n trí c a c hai v theo

thông th

h i tuy n tính. N u

ng ta có:
(3.13)

nh lu n Hooke:

D.

. thay vào v ph i nh n

c:
(3.14)

Trong ph
vào b ng m t

t

ng trình trên còn thi u i u ki n liên t c, i u ki n này

c

a

ng chuy n v x p x (hàm chuy n v ) tho mãn các i u ki n

ng thích.
Ta ch n m t hàm chuy n v phù h p v i lo i và b c c a m t ph n t m u

(PTHH):
- V i bài toán không gian:
(3.15)
- V i bài toán ph ng:
(3.16)
Trong

:

- vect chuy n v c a m t i m
- ma tr n các bi n c a tr

ng chuy n v .

- ma tr n h s c a hàm chuy n v
Ví d v i ph n t tam giác:

(3.17)

N u tính chuy n v c a các nút trong m t ph n t ta có:
(3.18)
-

n v c a các nút c a ph n t .

- ma tr

nh theo

và to

c a các nút.

- ma tr n h s .
Ví d v i ph n t tam giác:

(3.19)

(3.20)
Trong công th c trên giá tr c a
ta s

c

, ta có:

nh. N u bi

c


(3.21)
nv t im

mb tk

nh theo chu n v c a các nút

c a ph n t :
(3.22)
M t khác ta có quan h gi a chuy n v và bi n d ng:
(3.23)
- ma tr n toán t vi phân;
-

n d ng

Thay giá tr c a

ta có công th c bi n d ng:
(3.24)

t:
(3.25)
(3.26)

- ma tr n hàm d ng
- ma tr n bi

i c a hàm d ng

y bi n d ng có th bi
ho c

N u cho các nút m t chuy n v kh

ml
ng th i

n d ng kh

(3.27)
Th c hi n phép chuy

(3.28)
Thay

ng c a nguyên lý công kh

c