Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ NGỌC BẢO

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ NGỌC BẢO

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

i

MỤC LỤC

Mở đầu
1 Đồng dư và đồng dư bậc hai
1.1 Đồng dư thức . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa đồng dư thức . . . .
1.1.2 Các tính chất của đồng dư thức
1.2 Các lớp thặng dư . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Hệ thống thặng dư . . . . . . .
1.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Hệ thặng dư thu gọn . . . . . .
1.3 Định lý Euler và định lý Fermat . . . .
1.3.1 Hàm số Euler ϕ(n) . . . . . . .
1.3.2 Định lý Fermat . . . . . . . . .
1.4 Thặng dư toàn phương . . . . . . . . .

3

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

2 Các dạng toán về số chính phương
2.1 Định nghĩa số chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Một số tính chất của số chính phương . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Tổng các ước của một số tự nhiên . . . . . . . . . .
2.2.2 Một số bài toán chọn lọc về hàm d(n), σ(n) và ϕ(n)
2.3 Tổng các bình phương của các số nguyên . . . . . . . . . .
2.3.1 Tổng của hai bình phương . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Tổng của ba bình phương . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Tổng của bốn bình phương . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Bài toán về tổng của năm bình phương . . . . . . .
2.4 Một số biểu diễn khác qua tổng các bình phương . . . . . .
2.4.1 Tổng của ba bình phương có hai bình phương bằng
nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Tổng của bốn bình phương có ba bình phương bằng
nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Bài tập tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
5
5
6
6
7
7
7
7

10
11
18
18
18
21
23
25
26
27
28
30
30
30
33
36


ii

3 Một số dạng toán liên quan đến tổng và tích các lũy thừa
3.1 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng các lập phương . . . . . .
3.1.1 Bài toán Waring . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Tính toán trên các số lũy thừa . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Dạng tích các số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Dạng tổng các số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ứng dụng các định lý Euler và Fecmat . . . . . . . . . . . .
3.3 Ứng dụng vào giải phương trình vô định . . . . . . . . . . .
3.4 Một số bài toán áp dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 Ứng dụng vào giải bài toán về số chính phương . . .
3.4.2 Tìm dấu hiệu chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Tìm chữ số tận cùng . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Chứng minh sự chia hết . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Bài tập tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38
38
38
39
44
46
48
51
52
54
54
55
60
61
62

Tài liệu tham khảo

67


Mở đầu

3

1. Lí do chọn đề tài:
Chuyên đề về số học liên quan đến các số chính phương có vị trí rất
đặc biệt trong các bài toán về chia hết (đồng dư và đồng dư bậc hai), về
biểu diễn các số tự nhiên và các đa thức với hệ số nguyên.
Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, olympic Toán quốc tế thì
các bài toán liên quan đến số học, các dạng toán về đồng dư, về phương
trình Diophant và các dạng toán về đa thức nguyên cũng hay được đề cập
và được xem như là những dạng toán thuộc loại khó của bậc trung học
cơ sở và trung học phổ thông. Các bài toán dạng này thường ít được đề
cập trong chương trình toán mà thường xuất hiện dưới dạng các bài toán
chuyên đề áp dụng.
Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh
giỏi về chuyên đề số học, luận văn "Một số dạng toán liên quan đến các
số chính phương" nhằm cung cấp một số phương pháp có tính hệ thống
để tiếp cận các dạng toán chuyên đề số học và các vấn đề liên quan.

2. Mục đích nghiên cứu:
Hệ thống hóa lý thuyết, ứng dụng các định lý Euler và Fermat, giải
phương trình vô định và cách biểu diễn các số nguyên thành tổng các bình
phương đồng thời nắm được một số kỹ thuật tính toán liên quan.Cung cấp
một số phương pháp có tính hệ thống để tiếp cận các dạng toán chuyên
đề số học và các vấn đề liên quan. Đó là các dạng toán chưa được học ở
bậc đại học. Các kiến thức về chuyên đề này góp phần vào việc bồi dưỡng
hiệu quả học sinh giỏi toán bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
3.1. Đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu ứng dụng các định lý Euler và Fermat, giải phương trình
vô định và cách biểu diễn các số nguyên thành tổng các bình phương.

3.2. Phạm vi nghiên cứu:
Nghiên cứu các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, kỷ yếu hội thảo các
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic; tủ
sách chuyên Toán.


4

4. Phương pháp nghiên cứu:
Tham khảo các tài liệu bồi dưỡng cho giáo viên, bồi dưỡng học sinh
giỏi
Tham gia các buổi seminar: Các chuyên đề toán phổ thông, Các trường
hè bồi dưỡng nâng cao kiến thức chuyên môn để trao đổi các kết quả đang
nghiên cứu.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:
Luận văn là một chuyên đề hướng tới bồi dưỡng học sinh giỏi bậc Trung
học cơ sở, Trung học phổ thông. Tạo được một đề tài phù hợp cho việc
giảng dạy, bồi dưỡng học sinh Trung học cơ sở, Trung học phổ thông.
Đề tài đóng góp thiết thực cho việc học và dạy các chuyên đề toán trong
trường Trung học cơ sở, Trung học phổ thông, đem lại niềm đam mê sáng
tạo trong việc dạy và học toán.

6. Cấu trúc của luận văn:
6. Cấu trúc của luận văn:
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành ba chương
đề cập đến các vấn đề sau đây:
Chương 1 Đồng dư và đồng dư bậc hai.
Chương 2 Các dạng toán về số chính phương.
Chương 3 Một số dạng toán liên quan đến tổng và tích các lũy thừa.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tình,
nghiêm túc và trách nhiệm của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Nhân dịp
này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc
đối với Giáo sư - Người thầy đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cùng
với kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tác giả theo học
và nghiên cứu đề tài. Đồng thời, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên;
Phòng Đào tạo - Khoa Toán - Tin, các anh em, bạn bè lớp N - Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên khóa 2013-2015; Ban lãnh đạo phòng
Giáo dục và Đào tạo thành phố Nam Định và gia đình đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, công tác và
thực hiện đề tài luận văn này.


5

Chương 1
Đồng dư và đồng dư bậc hai
1.1
1.1.1

Đồng dư thức
Định nghĩa đồng dư thức

Định nghĩa 1.1. Cho m là một số tự nhiên khác không. Ta nói hai số
nguyên a, b là đồng dư với nhau theo modun m nếu trong phép chia a và
b cho m ta được cùng một số dư.
Ký hiệu
a ≡ b (mod m).
(1.1)

Hệ thức (1.1) gọi là đồng dư thức.

1.1.2

Các tính chất của đồng dư thức

Tính chất 1.1.
a. Với mọi số nguyên ta có a ≡ a (mod m).
b. Nếu a ≡ b (mod m) thì b ≡ a (mod m).
c. Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m).
Tính chất 1.2. Nếu a ≡ b (mod m) và c là một số nguyên tùy ý thì

a ± c ≡ b ± c (mod m).
Tính chất 1.3.
a. Nếu a1 ≡ a2 (mod m); b1 ≡ b2 (mod m) thì

(a1 ± b1 ) ≡ (a2 ± b2 )

(mod m).

b. Nếu a1 ≡ a2 (mod m); b1 ≡ b2 (mod m) thì

(a1 × b1 ) ≡ (a2 × b2

(mod m).


6

Tính chất 1.4.

a. Nếu a + c ≡ b (mod m) thì a ≡ b − c (mod m).
b. Nếu a ≡ b (mod m) thì a + km ≡ a (mod m).
c. Nếu a ≡ b (mod m) thì ak ≡ bk (mod m).
d. Giả sử f (x) = an xn−1 + · · · + a1 x + a0 là một đa thức với hệ số
nguyên.
Nếu ta có α ≡ β (mod m) thì ta cũng có f (α) ≡ f (β) (mod m).
Đặc biệt nếu ta có f (α) ≡ 0 (mod m) thì ta cũng có f (α + km) ≡ 0
(mod m) (k ∈ Z).
Tính chất 1.5. Nếu ac ≡ bc (mod m) (c, m) = 1 thì a ≡ b (mod m).
Tính chất 1.6. Nếu a ≡ b (mod m) thì ac ≡ bc (mod m).
Tính chất 1.7. Nếu a ≡ b (mod m) và d | (a, b, m) (d > 0) thì ta có

a
b
≡
d
d

(mod

m
).
d

Tính chất 1.8. Nếu a ≡ b (mod mi ), i = 1, 2, 3, . . . k thì

a ≡ b (mod m); m = m1 m2 . . . mk .

1.2

Các lớp thặng dư

1.2.1

Hệ thống thặng dư

Xét m là số nguyên dương lớn hơn 1. Ta đã biết mỗi số nguyên a đều
viết duy nhất dưới dạng: a = qm + r. (0
r
m − 1). Với mỗi r
(0 r m − 1); tập hợp Ar gồm tất cả các số nguyên khi chia cho m có
cùng số dư r được gọi là lớp thặng dư mod m và mỗi phần tử của Ar được
gọi là một thặng dư mod m.
Vì mỗi số nguyên a có duy nhất q và r (0
r
m − 1) sao cho
a = qm + r, nên a chỉ thuộc và chỉ thuộc duy nhất một lớp thặng dư mod
m là Ar . Hơn nữa tập hợp các lớp thặng dư mod m chính là tập hợp Z
các số nguyên. Nghĩa là:
m

Ar = Z; Ai ∩ Aj = φ
r=0

với mọi i = j (0 ≤ i, j ≤ m − 1)


7

Trong mỗi lớp thặng dư mod m lấy một thặng dư đại diện. Tập hợp m

phần tử đó được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ mod m. Nói cách khác hệ
thặng dư đầy đủ mod m là tập hợp m số nguyên đôi một không đồng dư
(mod m)
Đặc biệt hệ H = 0, 1, . . . , m − 1 được gọi là hệ thặng dư đầy đủ mod
m không âm nhỏ nhất.

1.2.2

Tính chất

a. Mỗi hệ thặng dư đầy đủ mod m đều gồm m thặng dư.
b. Mọi hệ gồm m số nguyên đôi một không đồng dư với nhau theo mod m
đều hợp thành một hệ thặng dư đầy đủ mod m.
c. Cho a là một số nguyên, nguyên tố với m và b là một số nguyên tùy ý.
Khi ấy nếu x chạy qua một hệ thặng dư đày đủ mod m thì ax + b cũng
chạy qua một hệ thặng dư đầy đủ mod m.

1.2.3

Hệ thặng dư thu gọn

Cho số nguyên n = 0. Gọi là ϕ(n) là số các chữ số ≤ và số nguyên tố
với n. Giả sử các số đó là a1 ,a2 , . . . , ak ; a1 ∈ Zn1 , a2 ∈ Zn2 , . . . , ak ∈ Znk .
Lấy các phần tử r1 , r2 , . . . , rk thuộc các lớp đó thì r1 , r2 , . . . , rk gọi là
hệ thặng dư thu gọn (mod n).
(ri , n) = 1(i = 1k)
Có tính chất:
mọi x với (x, n) = 1; Tồn tại ri : x ≡ ri (mod n)

1.3

Định lý Euler và định lý Fermat

Trong mục này ta trình bày hai định lý quan trọng của lý thuyết số
liên quan đến hai định lý đó là hàm số Euler ϕ(n). Bởi vậy trước hết ta
nhắc lại định nghĩa hàm số Euler và công thức tính nó.

1.3.1

Hàm số Euler ϕ(n)

Định nghĩa 1.2. Cho số tự nhiên n ≥ 1. Ta ký hiệu ϕ(n) là số các số tự
nhiên bé hơn n và nguyên tố với n. Quy ước ϕ(1) = 1.


8

Định lý 1.1. Hàm ϕ(n) có tính chất nhân tính theo nghĩa: Nếu a, b là
hai số nguyên tố cùng nhau thì

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).
Chứng minh.
Rõ ràng ta có thể giải thiết a > 1, b > 1.
vượt quá ab được liệt kê như sau:
2
1
a+1
a+2
..................
2a + 2

2a + 1

Các số nguyên dương không

a
2a
3a

ka + 1
ka + 2
.................. (k + 1)a
(b − 1)a + 1 (b − 1)a + 2
ba
Các số đó sắp thành bảng có dạng ax + y , trong đó 0 ≤ x ≤ b − 1, 1 ≤
y ≤ a.
Xét các số ở cột thứ y . Ta có (ax + y, a) = (y, a). Vì một số nguyên tố
với ab khi và chỉ khi nó nguyên tố với a và b, do đó các số này phải nằm
ở cột thứ y mà (y, a) = 1. Có cả thảy ϕ(a) cột như vậy. Xét một cột thứ
y , với (y, a) = 1.
Các số ở trong cột này là

y, a + y, 2a + y, . . . , (b − 1)a + y.
Giả sử rx là số dư khi chia ax + y cho b. Như vậy (ax + y, b) = (rx , b).
Dễ dàng thấy rằng vì (a, b) = 1 nên rx1 = rx2 với x1 = x2 . Như vậy ta có
đẳng thức tập hợp

r0 , r1 , . . . , rb−1 = 0, 1, . . . , b − 1.
Vậy số các x mà (ax + y, b) = 1 chính là số các x mà (rx , b) = 1 tức
chính là ϕ(b).
Vậy cả thẩy có ϕ(a)ϕ(b) số nguyên tố với a và nguyên tố với b. Đó

chính là các số nguyên tố với ab. Nói cách khác ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).
Từ định lý này ta suy ra công thức tính ϕ(n) như sau.
Định lý 1.2. Giả sử n = pα1 1 . . . pαk k là phân tích tiêu chuẩn của n > 1.
Khi đó
1
1
1
ϕ(n) = n 1 −
1−
... 1 −
.
p1
p2
pk


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full