Tuyển tập các bài tập BDHSG môn vật lý về phần chuyển động

1. Bất đẳng thức Côsi:
a + b 2 ab

(a, b dơng)

a + b + c 3 3 abc

(a, b, c dơng)

+ Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau.
+ Khi Tích 2 số không đổi tổng nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau.
Khi Tổng 2 số không đổi, Tích 2 số lớn nhất khi 2 số bằng
nhau.
* Phạm vi áp dụng: Thờng áp dụng cho các bài tập điện hoặc
bài toán va chạm trong cơ học.
2. Bất đẳng thức Bunhia côpxki
(a1b1 + a2b2)2 (a1 + a2)2 . (b1 + b2)2.
a1 b1
=
Dấu bằng xảy ra khi
a2 b2
* Phạm vi áp dụng: Thờng dùng trong các bài tập về chuyển
động cơ học.
3. Tam thức bậc 2.
y = f(x) = ax2 + bx + c.
+ a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol.
+ a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol.
b

+ Toạ độ đỉnh: x = - ; y =
( = b2 - 4ac)

2a
4a
+ Nếu = 0 thì phơng trình y = ax2= bx + c = 0 có nghiệm
kép.
+ Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
* Phạm vi áp dụng: Thờng dùng trong các bài tập về chuyển
động cơ học và bài tập phần điện.

1


Bi 1: Hai chuyn ng AO và BO cùng
V
0
hớng về 0. Với
V2 = 1 ; = 30 . Khi
3
khoảng cách giữa hai vật cực tiểu làA

A'


dmin thì khoảng cách vật 1 đến 0 là
d1' = 30 3(m) .


B'

Hãy tìm khoảng cách vật 2 đếnB0

d1'


0

d2'

lúc này?
HD:

Hình vẽ 2.6

Gọi d1, d2 là khoảng cách các vật 1 và vật 2 đến 0 lúc đầu ta
d d1 v1t d2 v2t
v
=
=
. Vì v2 = 1
xét
(t = 0) ta có:
sin sin
sin
3
d d1 v1t 3d2 v1t
d
3d2 d1
=
=

=

.

sin sin
sin
3sin
3sin sin
sin = sin(1800 - ) = sin ( + ) = sin ( 300 + )
d
3d2 d1
3d2 d1
3d2 d1
=

d
=
=
sin300
;
y
3
1
3cos + sin
cos + sin
2
2
dmin khi ymax
áp dụng BĐT Bunhia côpxki y (3+ 1) + (sin2 + cos2 ) = 2.
sin 1
=
= tg = 300 và = 1200

YMax = 2
cos
3
'
d1
d'2
sin1200 '
'
Lúc đó
=
d2 =
.d1 = 3d1' = 90(m)
0
0
0
sin30 sin120
sin30
Bi 2: Hai tàu thuỷ chuyển động trên hai đờng OA và OB biết
AB = 40km; VA = 40km/h; VB = 40 3 km. Chiều chuyển động các
tàu đợc biểu diễn nh hình vẽ.



0

Tính khoảng cách ngắn nhất giữa 2 tàu, biết = 300; = 600.
A'
uur
'
HD:

VA
A

2



'
B'





B

uur
VB


+ + = 300
Ta có: AO = d1;
d1
d
AB
= 2 =
sin sin sin

BO = d2

Hình vẽ 2.7


d1 = AB 3= 40 3(km)
d1
d2
AB
=
=


sin600 sin300 sin300 d2 = AB = 40(km)

* Khi tàu A đến A' thì d1' = d1 - v1t = 40 3 - 40t
d2 = d2+ v2t = 40 + 40 3 t.
d'
d1'
d'2
=
=
Khoảng cách giữa 2 tàu d' = A'B'. Có
sin sin ' sin '



d' 120 40 3t 40+ 40 3t
160
=
=
=

( '+ '= 1500)
sin
sin '
3sin '
3sin '+ sin '

d'=

80
3sin '+ sin '

d'min khi y= 3sin ' + sin '= ymax

áp dụng BĐT Bunhia côpxki
y = 3sin '+ sin(1500 ') =
yMax = 7 d'min =

a1b1 + a2b2

(a12 + a22).(b12 + b22)

3 3'
1
sin '+ cos ' 7
2
2

80
= 30,2(km)
7

Bi 3: Một con bọ dừa đậu ở đầu B của một thanh cứng mảnh
AB có chiều dài L đang dựng đứng cạnh một bức tờng thẳng đứng
A

(Hình vẽ)
- Vào thời điểm mà đầu B của thanh bắt
đầu chuyển động sang phải theo sàn ngang
với vận tốc không đổi v thì con bọ bắt đầu
bò dọc theo thanh với vận tốc không đổi u đối
3

Con bọ dừa
B


với thanh. Trong quá trình bò trên thanh, con bọ
đạt đợc độ cao cực đại là bao nhiêu đối với
sàn. Cho đầu A của thanh luôn tỳ lên tờng
thẳng đứng.
HD:
Xét (0 < t <

L
L
) và (t< )
u
v

Khi B di chuyển 1 đoạn S = v.t

Thì con bọ đi đợc l = u.t

r
u


h

2
2 2
u.t
L

v
t .
Độ cao mà nó đạt: h = l. Sin =
r
L
v
U 22 24 U
L t v t =
y
H=
hMax khi y = yMax
L
L
+ L4
L2
y = -v2X2 + L2X (với X = t2 > 0).
yMax =

tại
X
=
4v2
2v2

(y là tam thức bậc 2 có a = -v2 < 0 yMax tại đỉnh Parabol).
U
UL
yMax =
Vậy độ cao cực đại con bọ dừa đạt đợc là: hMax =
L
2v
Bi 4 : Một ngời đứng tại điểm A trên bờ hồ. Ngời này muốn
đến B trên mặt hồ nhanh nhất. Cho các khoảng cách trên hình vẽ,
biết rằng ngời này chạy trên bờ thì vận tốc là v 1, khi bơi có vận tốc
v2 (v2< v1). Hãy xác định phơng án chuyển động của ngời đó.
HD:
Giả sử ngời đó chọn phơng án chạy trên bờ 1 đoạn AD, sau đó
bơi từ D B.
d2 + x2
S x
Thời gian ngời đó từ A B: t =
+
v1
v2

t =

v1 d2 + x2 v2x S

+
v1v2
v1

4


2
2
Đặt P = v1 d + x v2x (1); t =

P
+ S;
v1v2

Tmin khi Pmin.

Từ (1) P + v2x = v1 d2 + x2 (v12 v22)x2 2pv2 .x + v12d2 p2 =B0


để có nghiệm (với 0 x < S) thì ' 0

d

p2v22 + v12v22d2 v14d2 v22p2 + v12p2 0
v12 (v22d2 v12d2 + p2) 0 p2 (v12 v22)d2

Vậy Pmin = d v12 v22 . Khi đó x =

v2d

S

A



H



D

v12 v22

x

Hình vẽ 2.11
+ Nếu x S thì bài toán vô nghiệm tức là không tồn tại C
chọn phơng án bơi thẳng A B.
+ Nếu x < S thì ngời đó phải đi một đoạn AD = S -

v2d
v12 v22

rồi bơi từ D đến B.
Bi 5: Hai vật chuyển động từ A và B cùng hớng về điểm 0 với
cùng vận tốc. Biết AO = 20km; BO = 30km; Góc = 600. Hãy tìm
khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá trình chuyển động.
HDG:

Xét tại thời điểm t vật A ở A'; vật B ở B'.
Khoảng cách d = A'B'.
d AO Vt BO Vt BO AO
=
=
=
Có
sin
sin
sin
sin sin
d
10
=
0
sin 2cos+ .sin . Với + = 120
2
2
3.5

. dmin khisin
ữ=1
d =

2


sin
2
dmin = 5 3(km) = 8,7(km)

A


A'



0





B'
B

A Hình vẽ 2.15
v1

v
2

5
B

C


Bài 6: Trên một đường gấp khúc tại thành một

tam giác đều ABC cạnh a = 30m, có hai xe
khởi hành cùng lúc tại A. Xe (I) chuyển động
theo hướng AB với vận tốc không đổi v 1 =
3m/s; Xe (II) chuyển động theo hướng AC, với
vận tốc không đổi v2 = 2m/s. Mỗi xe chạy 5
vòng.
Hãy xác định số lần hai xe gặp nhau, vị trí vả
thời điểm hai xe gặp nhau (không kể những lần
hai xe gặp nhau ở A).
HD
Ta có chu vi của đường ABC là:
s = 3a = 3.30 = 90 (m).
Hai xe gặp nhau khi tổng quãng đường đi từ đầu (hay lần gặp nhau trước đó) đúng
bằng chu vi của tam giác.
Vậy khoảng thời gian giữa hai lần gặp nhau liên tiếp được tính bởi:
v1t + v2t = S
⇒

t=

S
90
=
= 18( s)
v1 + v2 5

Vậy chọn gốc thời gian là lúc khởi hành thì các thời điểm gặp nhau là:
t1 = 1.18(s)
t2 = 2.18 = 36(s)
t3 = 3.18 = 54(s)

..................................
tn = n.18 = 18n(s).
Ngoài ra v1 > v2 nên với 5 vòng chạy thì xe (I) đi hết thời gian:
t=

5.90
3

= 150(s).

Xe (I) tới A vào những thời điểm:
t'1 = 30s; t'2 = 60s; t'1 = 30s; t'3 = 90s; t'4 = 120s; t'5 = 150s.
Ta suy ra:
- Không kể những lần gặp nhau ở A thì hai xe gặp nhau trên đường đi ở các thời điểm:
t1 = 18s; t2 = 36s; t3 = 54s; t4 = 72s; t6 = 108s; t7 = 126s; t8 = 144s.
Có tất cả 7 lần gặp nhau trên đường đi.
- Vị trí gặp nhau được tính từ các thời điển trên và so với đỉnh gần nhất là:
Lần 1: Cách C đoạn CM1 = 6m theo chiều CB
Lần 2: Cách B đoạn BM2 = 12m theo chiều BA
Lần 2: Cách C đoạn CM3 = 6m theo chiều CA
Lần 4: Cách B đoạn BM4 = 6m theo chiều BC
Lần 5: Cách C đoạn CM5 = 6m theo chiều CB
6


(bỏ lần gặp ở A và do đó coi như hai xe lại chuyển động bắt đầu từ A).
Lần 6: Cách B đoạn BM6 = 12m theo chiều BA
Lần 7: Cách C đoạn CM7 = 12m theo chiều CA.
Bài 7: Hai xe (I) và (II) chuyển động trên một đường tròn với vận tốc không đổi. Xe
(I) đi hết 1 vòng mất 10phút, xe (II) đi 1 vòng 50phút.

Hỏi khi xe (II) đi 1 vòng thì gặp xe (I) mấy lần, trong các trường hợp sau đây?
a. Hai xe khởi hành cùng lúc tại một điểm trên đường tròn và chuyển động cùng chiều.
b. Hai xe khởi hành cùng lúc tại một điểm trên đường tròn và chuyển động ngược
chiều.
v1
a. Hai xe chuyển động cùng chiều:
v2
Theo đề ra ta suy ra:
1
vòng/phút
10
1
=
vòng/phút.
50

Vận tốc xe (I) là: v1 =

R

Vận tốc xe (II) là: v2

O

Đặt t là thời điểm hai xe gặp nhau. Quãng đường
các xe đi được cho tới lúc đó là:
S1 = v1t =

t
10

(vòng).

Ta phải có: S1 - S2 = n (vòng)
⇒

t
t
−
10 50

t
(vòng).
50
(n ≤ 4)

S2 = v2t =

4t
50n
=n ⇒
=n ⇒ t=
= 12,5n (phút) (t ≤ 50phút).
50

4

Các thời điểm gặp nhau là:
* n = 1 ⇒ t1 = 12,5phút
* n = 2 ⇒ t2 = 25phút

* n = 3 ⇒ t3 = 37,5phút
* n = 4 ⇒ t4 = 50phút
Vây khi chuyển động cùng chiều và khởi
hành cùng lúc, tại một điểm thì xe (II) gặp
xe (I) 4 lần cho mỗi vòng của nó.
b. Hai chuyển động ngược chiều:
Vận dụng các kết quả ở câu a.
ta có điều kiện cho trường hợp này là:
S1 + S2 = n(vòng) (n ≤ 6) ⇒
⇒

6t
50

t
t
+
10 50

v1
v2
R
O

=n

50n 25n
=
=n ⇒ t=
(phút) n (t ≤ 50phút).

5

3

7


Các thời điểm gặp nhau là:
* n = 1 ⇒ t1 = 8,3phút
* n = 2 ⇒ t2 = 16,7phút
* n = 3 ⇒ t3 = 25phút
* n = 4 ⇒ t4 = 33,3hút
* n = 5 ⇒ t5 = 41,7phút
* n = 6 ⇒ t6 = 50phút
Vây khi chuyển động ngược chiều và khởi hành cùng lúc, tại một điểm thì xe (II) gặp
xe (I) 6 lần cho mỗi vòng của nó.
BÀI 8: Ở trạm vũ trụ A trên mặt đất có một phi thuyền vừa rời bệ phóng với vận tốc
v1 = 275m/s và cứ bay thẳng đứng lên trên bầu trời với vận tốc đó. Sau 1 giờ bay, phi
thuyền đến vị trí M thì đột ngột giảm vận tốc xuống còn v2 = 205m/s nhưng vẫn giữ
nguyên hướng chuyển động. Coi trái đất là hình cầu có bán kính R = 6400km. Bỏ qua
ảnh hưởng của mây, khói, bụi...trên bầu khí quyển.
a. Tại vị trí M, từ phi thuyền có thể quan sát được vùng mặt đất có chu vi lớn nhất
bằng bao nhiêu?
b. Tính thời gian phi thuyền bay từ vị trí M đến vị trí có thể quan sát được vùng mặt
đất có chu vi lớn nhất bằng 28420km.

8


Bài 9: Người ta rải đều bột của một chất dễ cháy thành một dải hẹp

dọc theo một đoạn thẳng từ A đến B và đồng thời châm lửa đốt từ hai vị trí D1,
D2. Vị trí thứ nhất D1cách A một đoạn bằng 1/10 chiều dài của đoạn AB, vị trí thứ hai
D2 nằm giữa D1B và cách vị trí thứ nhất một đoạn l=2,2m Do có gió thổi theo chiều
từ A đến B nên tốc độ cháy lan của ngọn lửa theo chiều gió nhanh gấp 7 lần theo chiều
ngược lại. Toàn bộ dải bột sẽ bị cháy hết trong thời gian t1=60 giây. Nếu tăng l lên gấp
đôi giá trị ban đầu thì thời gian cháy hết là t2=61 giây. Nếu giảm l xuống còn một nửa
giá trị ban đầu thì thời gian cháy hết là t3=60 giây. Tính chiều dài của đoạn AB.
- Đặt chiều dài AB là L, v là vận tốc cháy của ngọn lửa ngược chiều gió, khi đó vận
tốc cháy theo chiều gió sẽ là 7v.
- Các điểm đốt lửa sẽ chia AB làm 3 phần:
+ phần đầu phía A với chiều dài L/10 sẽ cháy với vận tốc v.
+ phần giữa có chiều dài x cháy với vận tốc 8v (do hai ngọn lửa cháy từ hai đầu lại với
vận tốc tương ứng là v và7v).

Bài 10: Một ôtô xuất phát từ điểm A trên cánh đồng để đến điểm B trên sân vận động
(Hình 22). Cánh đồng và sân vận động được ngăn cách nhau bởi con đường thẳng D,
khoảng cách từ A đến đường D là a=400m, khoảng cách từ B đến đường D là
b=300m, khoảng cách AB=2,8km. Biết tốc độ của ôtô trên cánh đồng là v=3km/h, trên
9


đường D là 5v/3, trên sân vận động là 4v/3. Hỏi ôtô phải đi đến điểm M trên đường
cách A’ một khoảng x và rời đường tại N cách B’ một khoảng y bằng bao nhiêu để thời
gian chuyển động là nhỏ nhất? Xác định khoảng thời gian nhỏ nhất đó?

Bài 11: Từ một điểm A trên con sông thẳng, cùng lúc có một cái phao trôi theo dòng nước và một con cá bơi xuôi
dòng đến một cái cầu C cách A 3,75km rồi ngay lập tức cá bơi ngược trở lại gặp phao tại một điểm B cách A
1,5km hết thời gian là 0,5 giờ. Biết rằng nước chảy ổn định và vận tốc của cá so với dòng nước là không đổi.
a. Tìm vận tốc của dòng nước và vận tốc của cá so với dòng nước.
b. Giả sử sau khi gặp phao con cá bơi quay lại đến cầu C rồi lại bơi ngược dòng tới gặp phao, lại bơi quay lại

cầu C, cứ thế bơi qua lại giữa phao và cầu C... cuối cùng dừng lại cùng phao tại cầu C. Tìm độ dài quãng đường
mà cá đã bơi được.

10


Bài 12: Một ca nô xuất phát từ bến sông A có vận tốc đối với nước là 12km/h, chạy thẳng xuôi dòng đuổi theo 1
xuồng máy đang có vận tốc đối với bờ là 10km/h khởi hành trước đó 2h từ bến B trên cùng dòng sông. Khi chạy
ngang qua B, ca nô thay đổi vận tốc để có vận tốc đối với bờ tăng lên gấp đôi và sau đó 3h đã đuổi kịp xuồng
máy. Biết khoảng cách AB là 60km. Tính vận tốc của dòng nước.

11


12