01 cac khai niem co ban ve vec to p1 baigiang

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

Chuyên ñề : Véc tơ – Tọa ñộ

Tài liệu bài giảng (Khóa học TOÁN 10)

01. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz

• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB .
• Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB .
• Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 .
• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Chú ý:
+) Ta còn sử dụng kí hiệu a , b ,... để biểu diễn vectơ.
+) Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. Mọi vectơ 0 đều bằng nhau.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hai véc tơ a , b . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a + b = a − b .
Bài 2: [ĐVH]. Cho ∆ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA, HB, HC .
Bài 3: [ĐVH]. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm A, B, C, D ?

Bài 4: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh: BC ′ = C ′A = A′B′.
b) Tìm các vectơ bằng B′C ′; C ′A′.

Bài 5: [ĐVH]. Cho ∆ABC có trực tâm H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B′ là điểm đối xứng của B
qua O. Chứng minh rằng AH = B ' C ;

AB ' = HC.

Bài 6: [ĐVH]. Cho ∆ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC; BE
cắt AM tại N. Chứng minh rằng NA và NM là hai véc tơ đối của nhau.

Bài 7: [ĐVH]. Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy vẽ các véc tơ bằng AB và thỏa mãn
a) có điểm đầu là B, F, C
b) có điểm cuối là F, D, C

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

Chuyên ñề : Véc tơ – Tọa ñộ

LỜI GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hai véc tơ a , b . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a + b = a − b .
Lời giải:
Giả sử trong mặt phẳng có 2 véc tơ a và b .
Lấy bất kỳ điểm O nào đó.

OA = a
Lấy 2 điểm A và B t/m: 
 AB = b
⇒ a + b = OA + AB = OB = OB
Lấy điểm C sao cho A là trung điểm BA nên :

AC = − AB = −b ⇒ a − b = OA + AC = OC = OC
Do a + b = a − b ⇒ OB = OC hay OBC cân tại O

A là trung điểm BC ⇒ OA ⊥ BC ⇒ a ⊥ b
Bài 2: [ĐVH]. Cho ∆ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA, HB, HC .
Lời giải:
Lấy M là trung điểm AB.
Do tam giác ABC đều nên H là trực tâm đồng thời cũng là trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
⇒ HA = HB = HC = HC =

2
2 a 3
a
HM = .
=
3
3 2
3

Bài 3: [ĐVH]. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm A, B, C, D ?

Lời giải:
Ta tìm được các véc tơ là:

•

Điểm đầu là A : AB, AC và AD

•

Điểm cuối là A: BA, CA và DA

•

Điểm đầu là B: BA, BC và BD

•

Điểm cuối là B: AB, CB và DB

•

Điểm đầu là C: CA, CB và CD

•

Điểm cuối là C: AC , BC và DC

•

Điểm đầu là D: DA, DB và DC

•

Điểm cuối là D: AD, BD và CD

Như vậy tổng cộng ta có 12 véc tơ thỏa mãn
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

Chuyên ñề : Véc tơ – Tọa ñộ

Bài 4: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh: BC ′ = C ′A = A′B′.
b) Tìm các vectơ bằng B′C ′; C ′A′.
Lời giải:
a) Theo hình vẽ ta có:
Dễ thấy C’ là trung điểm của AB và A’B’ là

đường trung bình của tam giác ứng với cạnh AB
nên:

AB
2

•

BC ' = C ' A = A ' B ' =

•

BC ' , C ' A và A ' B ' cùng chiều

⇒ BC ' = C ' A = A ' B '
b) Tương tự như phần a ta sẽ có:

B ' C ' = CA ' = A ' B
C ' A ' = AB ' = B ' C
Bài 5: [ĐVH]. Cho ∆ABC có trực tâm H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B′ là điểm đối xứng của B
qua O. Chứng minh rằng AH = B ' C ;

AB ' = HC.

Lời giải:
Theo hình vẽ ta có:
BB’ là đường kính nên góc BCB ' = 90
⇒ B ' C ⊥ BC
Lại có AH ⊥ BC ⇒ B ' C / / AH
Chứng minh tương tự ta có: CH / / AB ' ( cùng
vuông góc với AB)
Từ đó thì tứ giác AHCB’ là hình bình hành

 AH = B ' C
⇒
(đpcm)
 AB ' = HC

Bài 6: [ĐVH]. Cho ∆ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC; BE
cắt AM tại I. Chứng minh rằng IA và IM là hai véc tơ đối của nhau.

Lời giải:

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

Chuyên ñề : Véc tơ – Tọa ñộ

Theo hình vẽ ta có
Lấy G là trung điểm của BE ⇒ GM là
đường trung bình của △ BCE ứng với
1

GM = EC = AE
cạnh EC ⇒ 
⇒ tứ giác
2
GM / / AE
AGME là hình bình hành (vì có 2 cạnh

đối song song và bằng nhau) từ đó thì
giao điểm I của 2 đường chéo là trung

điểm của mỗi đường ⇒ I là trung điểm
AM nên 2 véc tơ IA và IM đối nhau

Bài 7: [ĐVH]. Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy vẽ các véc tơ bằng AB và thỏa mãn
a) có điểm đầu là B, F, C
b) có điểm cuối là F, D, C
Lời giải:

Theo hình vẽ ta có
ABCDEF là một lục giác đều nên nó có các tính chất sau :

•

Nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R

•

Tất cả các cạnh của nó đều chắn cũng có số đo = 60 nên độ dài tát cả các cạnh đều bằng R

a) Kéo dài AB về phía B lấy I sao cho B là trung điểm AI từ đó ⇒ BI = AB

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn)

Chuyên ñề : Véc tơ – Tọa ñộ

Theo tính chất lục giác đều như trên thì tứ giác ABOF và ABOC là hình thoi nên FO = AB và OC = AB .
Kéo dài OC về phía C lấy điểm I sao cho CI = OC ⇒ CI = AB
KL vậy các véc tơ tìm được là BI , FO và CI
b) Tương tự như phần a ta tìm được các véc tơ là: KF , ED và OC ( như hình vẽ)

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !