01 on tap ve day so p2 LOI GIAI

Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Bài tập trắc nghiệm (Pro S.A.T)

04. ÔN TẬP VỀ DÃY SỐ (Phần 2)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

u1 = 3
Câu 1: Cho dãy số ( un ) : 
. Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) :
un = un −1 + 5
A. un = 3n − 2.
B. un = 5n − 2.
C. un = 5n − 3.
HD : Ta thấy dãy ( un ) là cấp số cộng với công sai d = 5

D. un = 3n − 5.

Do đó số hạng tổng quát của dãy ( un ) là un = 3 + 5 ( n − 1) = 5n − 2. Chọn B.

u1 = 20
Câu 2: Cho dãy số ( un ) : 
. Tính giá trị của số hạng thứ 1000.
un = un −1 + 2
A. 2000.
B. 2016.
C. 2017.
HD : Ta thấy dãy ( un ) là cấp số cộng với công sai d = 2

D. 2018.

Do đó số hạng tổng quát của dãy ( un ) là un = 20 + 2 ( n − 1) = 2n + 18 ⇒ u1000 = 2018. Chọn D.

Câu 3: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 3, un +1 = un + 2. Tính u10 .
A. u10 = 18.

B. u10 = 21.

C. u10 = 20.

D. u10 = 23.

HD: Dãy số ( un ) là một cấp số cộng có công sai d = un +1 − un = 2 ⇒ u10 = u1 + 9d = 21. Chọn B.
Câu 4: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 2, un +1 = un + 4. Tính u20 .
A. u20 = 80.

B. u20 = 78.

C. u20 = 82.

D. u20 = 84.

HD: Dãy số ( un ) là một cấp số cộng có công sai d = un +1 − un = 4 ⇒ u20 = u1 + 19d = 78. Chọn B.
Câu 5: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 2, un +1 = 3un + 4. Tính u10 .
A. u10 = 78730.

B. u10 = 78732.

HD: Ta có un +1 = 3un + 4 ⇔ un +1 + 2 = 3 ( un + 2 ) .

C. u10 = 78728.

D. u10 = 78734.

Đặt vn = un + 2 ⇒ vn+1 = 3vn ⇒ vn = v1.3n −1 ⇒ un + 2 = ( u1 + 2 ) .3n −1 ⇒ u10 = 78730. Chọn A.
Câu 6: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1, un +1 = 2un + 3. Tính u5 .
A. u5 = 322.

B. u5 = 320.

HD: Ta có un +1 = 2un + 3 ⇔ un +1 + 3 = 2 ( un + 3) .

C. u5 = 321.

D. u5 = 323.

Đặt vn = un + 3 ⇒ vn +1 = 3vn ⇒ vn = v1.3n −1 ⇒ un + 3 = ( u1 + 3) .3n −1 ⇒ u5 = 321. Chọn C.
Câu 7: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1, un+1 = 2un + 2n − 1. Tính u5 .
A. u5 = 53.

B. u5 = 55.

C. u5 = 54.

HD: Ta có un +1 = 2un + 2n − 1 ⇔ un+1 + 2 ( n + 1) + 1 = 2 ( un + 2n + 1) .

D. u5 = 56.

Đặt vn = un + 2n + 1 ⇒ vn +1 = 2vn ⇒ vn = v1.2n−1 ⇒ un + 2n + 1 = ( u1 + 3) .2n −1 ⇒ u5 = 53. Chọn A.


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Câu 8: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1, un +1 = 3un + 4n + 2. Tính u6 .
A. u6 = 1200.

B. u6 = 1202.

C. u6 = 1203.

HD: Ta có un +1 = 3un + 4n + 2 ⇔ un +1 + 2 ( n + 1) + 2 = 3 ( un + 2n + 2 ) .

D. u6 = 1201.

Đặt vn = un + 2n + 2 ⇒ vn +1 = 3vn ⇒ vn = v1.3n −1 ⇒ un + 2n + 2 = ( u1 + 4 ) .3n −1 ⇒ u6 = 1201. Chọn D.

u1 = 2
Câu 9: Cho dãy số ( un ) : 
. Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) :
un = un −1 + 2n + 1
A. un = −n 2 − 2n − 1.
B. un = n 2 + 2n.
C. un = n 2 + 2n − 1.
D. un = n 2 − 2n.
HD : Ta có un = un −1 + 2n + 1 ⇔ un − n 2 + 2n = un −1 − ( n − 1) + 2 ( n − 1) + 4
2

v1 = 3
Đặt vn = un − n 2 + 2n ⇒ ( vn ) : 
vn = nn −1 + 4
Ta thấy dãy ( vn ) là cấp số cộng với công sai d = 4

Do đó số hạng tổng quát của vn là vn = 3 + 4 ( n − 1) = 4n − 1
Suy ra un − n 2 + 2n = 4n − 1 ⇔ un = n 2 + 2n − 1. Chọn C.

u1 = 1
Câu 10: Cho dãy số ( un ) : 
. Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) :
2
u
=
u
+
3
n
−
3
n
+
6
n −1
 n
2
A. un = n + 5n − 5.
B. un = −n3 + 5n.
C. un = n3 + 5n + 5.

D. un = n3 + 5n − 5.

HD : Ta có un = un −1 + 3n 2 − 3n + 6 ⇔ un − n 3 − 3n = un −1 − ( n − 1) − 3 ( n − 1) + 2
3

v1 = −3
Đặt vn = un − n3 − 3n ⇒ ( vn ) : 
vn = vn −1 + 2
Ta thấy dãy ( vn ) là cấp số cộng với công sai d = 2

Do đó số hạng tổng quát của ( vn ) là vn = −3 + 2 ( n − 1) = 2n − 5
Suy ra un − n3 − 3n = 2n − 5 ⇔ un = n3 + 5n − 5. Chọn D.

u1 = 3
Câu 11: Cho dãy số ( un ) : 
. Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) :
un = 2un −1
A. un = 2.3n −1.
B. un = 3.2n.
C. un = 3.2 n −1.
HD : Ta thấy dãy ( un ) là cấp số nhân với công bội q = 2

D. un = 2.3n.

Do đó suy ra số hạng tổng quát của ( un ) là un = 3.2 n −1. Chọn C.

u1 = 2
Câu 12: Cho dãy số ( un ) : 
. Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) :

un = 2un −1 − 5
A. un = 5 − 3.2n −1.

B. un = 5 − 3.2n.

HD : Ta có un = 2un −1 − 5 ⇔ un − 5 = 2 ( un −1 − 5)

v1 = −3
Đặt vn = un − 5 ⇒ ( vn ) : 
vn = 2vn −1
Ta thấy dãy ( vn ) là cấp số nhân với công bội q = 2

Do đó suy ra số hạng tổng quát của ( vn ) là vn = −3.2 n −1

C. un = −3.2 n.

D. un − 3.2 n −1.


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Suy ra un − 5 = −3.2n −1 ⇔ un = 5 − 3.2 n −1. Chọn A.

u1 = 1
Câu 13: Cho dãy số ( un ) : 
. Xác định số hạng tổng quát của dãy ( un ) :
un = 2un −1 − 2n + 4
A. un = −2n −1.

B. un = 4 n −1.
C. un = 2n − 2 n −1.

D. un = 2n − 4 n −1.

HD : Ta có un = 2un −1 − 2n + 4 ⇔ un − 2n = 2 un −1 − 2 ( n − 1) 

v1 = −1
Đặt vn = un − 2n ⇒ ( vn ) : 
vn = 2vn −1
Ta thấy dãy ( vn ) là cấp số nhân với công bội q = 2

Do đó suy ra số hạng tổng quát của ( vn ) là vn = −2n −1

Suy ra un − 2n = −2n −1 ⇔ un = 2n − 2n −1. Chọn C.

u1 = 3
Câu 14: Cho dãy số ( un ) : 
. Xác định số hạng tổng quát của dãy ( un ) :
2
un = 3un −1 − 2n + 4n
A. un = n 2 − n + 3n −1.
B. un = 3n −1.
C. un = n 2 + n + 3n.

D. un = n 2 + n + 3n −1.

HD : Ta có un = 3un −1 − 2n2 + 4n ⇔ un − n2 − n = 3 un −1 − ( n − 1) − ( n − 1) 



v1 = 1
Đặt vn = un − n 2 − n ⇒ 
vn = 3vn −1
2

Ta thấy dãy ( vn ) là cấp số nhân với công bội q = 3

Do đó số hạng tổng quát của ( vn ) là vn = 3n −1

Suy ra un − n 2 − n = 3n −1 ⇔ un = n 2 + n + 3n −1. Chọn D.

u1 = 2,
Câu 15: Cho dãy số 
. Mệnh đề nào sau đây sai ?
un +1 = un + 4
A. u2 + u3 + u4 = 30
B. u3 + u4 + u5 = 42
C. u3 + u4 + u7 = 50
D. u3 + u6 + u7 = 60

HD. Dãy số là cấp số cộng công sai d = 4 . un = u1 + ( n − 1) d = 2 + ( n − 1) .4 = 4n − 2 .
u1 = 2; u2 = 6; u3 = 10; u4 = 14; u5 = 18; u6 = 22; u7 = 26 . Thử trực tiếp. Chọn D.

u1 = 2
Câu 16: Cho dãy số 
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
2
u
=
u

+
3
n
−
2
n
 n +1
A. u5 − u3 + u2 = 18
B. u5 − u4 + u2 = 40
C. u2 − u4 + u3 = 25
D. u5 − u3 = 71
HD. Ta có u1 = 2; u2 = 3; u3 = 13; u4 = 38; u5 = 84 . Thử trực tiếp. Chọn D.
u1 = 1
Câu 17: Cho dãy số 
. Tính u3 + u4 .
2
=
+
3
+
2
u
u
n
 n +1
n
A. 17 + 31
B. 3
HD. Ta có u2 = 6; u3 = 14; u4 = 5 . Chọn C.

C. 5 + 14

D.

31 + 41 .


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

2
2
u1 = 1,
u2014
− u2013
Câu 18: Cho dãy số 
.
Tính
S
=
.
2
2
2
2
u
−
u
=

+
+
2015
u
u
n
2013
2012
 n +1
n
2
2013 + 2015
20142 + 2015
A. S =
B.
S
=
20122 + 2015
20132 + 2015
20162 + 2015
20182 + 2015
C. S =
D.
S
=
20152 + 2015
2017 2 + 2015
2
2
2

2
HD. Ta có u2014
− u2013
= 20132 + 2015; u2013
− u2012
= 20122 + 2015 .

Suy ra S =

2
2
u2014
− u2013
20132 + 2015
=
. Chọn A.
2
2
u2013
− u2012
2012 2 + 2015

Câu 19: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 2, un +1 = 3un + 8n. Tính u8 .
A. u8 = 17460.

B. u8 = 17464.

C. u8 = 17466.

HD: Ta có un +1 = 3un + 8n ⇔ un +1 + 4 ( n + 1) + 2 = 3 ( un + 4n + 2 ) .

D. u8 = 17462.

Đặt vn = un + 4n + 2 ⇒ vn +1 = 3vn ⇒ vn = v1.3n −1 ⇒ un + 4n + 2 = ( u1 + 6 ) .3n −1 ⇒ u8 = 17462. Chọn D.
Câu 20: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 2, un+1 = 4un + 9un + 12. Tính u10 .
A. u10 = 2621403.

B. u10 = 2621405.

C. u10 = 2621401.

D. u10 = 2621407.

HD: Ta có un +1 = 4un + 9un + 12 ⇔ un +1 + 3 ( n + 1) + 5 = 4 ( un + 3n + 5 ) .

Đặt vn = un + 3n + 5 ⇒ vn +1 = 4vn ⇒ vn = v1.4n −1 ⇒ un + 3n + 5 = ( u1 + 8) .4n −1 ⇒ u10 = 2621405. Chọn B.

u1 = 17
Câu 21: Cho dãy số ( un ) : 
. Tính giá trị của u5 .
n
un +1 = 2un + 9.5
A. u5 = 9047.
B. u5 = 1891.
C. u5 = 46939.
HD : Ta có un +1 = 2un + 9.5 ⇔ un +1 − 3.5
n

n +1

= 2 ( un − 3.5

n

)

D. u5 = 9407.

v1 = 2
Đặt vn = un − 3.5n ⇒ ( vn ) : 
. Ta thấy vn là cấp số nhân với công bội là q = 2
vn +1 = 2vn
Do đó số hạng tổng quát của vn là vn = 2.2 n −1 = 2n
Suy ra un − 3.5n = 2n ⇔ un = 3.5n + 2 n ⇒ u5 = 9407. Chọn D.

u1 = 5
Câu 22: Cho dãy số ( un ) : 
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
n
un +1 = 5un − 2.3 + 4
A. u2 = 30.
B. u4 = 450.
C. u5 = 2117.
n +1

HD : Ta có un +1 = 5un − 2.3 + 4 ⇔ un +1 − 3
n

+ 1 = 5 ( un − 3 + 1)
n

v1 = 3
Đặt vn = un − 3n + 1 ⇒ ( vn ) : 
. Ta thấy vn là cấp số nhân với công bội là q = 5
vn +1 = 5vn
Do đó số hạng tổng quát của vn là vn = 3.5n −1
Suy ra un − 3n + 1 = 3.5n −1 ⇔ un = 3n + 3.5n −1 − 1.
Ta có u2 = 23; u3 = 101; u4 = 455; u5 = 2117 nên C đúng. Chọn C.

D. u3 = 100.


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

u1 = 5
Câu 23: Cho dãy số ( un ) : 
. Số hạng tổng quát của un là ?
un +1 = 2un − 4n + 6
A. un = 3.2 n + 4n − 2.

B. un = 3.2 n −1 + 4n − 2.

C. un = 2 n −1 + 4n − 2.

D. un = 3.2 n −1 − 4n − 2.

HD : Ta có un +1 = 2un − 4n + 6 ⇔ un +1 − 4 ( n + 1) = 2 ( un − 4n ) + 2 ⇔ un +1 − 4 ( n + 1) + 2 = 2 ( un − 4n + 2 )

v1 = 3
Đặt vn = un − 4n + 2 ⇒ ( vn ) : 
. Ta thấy vn là cấp số nhân với công bội là q = 2
vn +1 = 2vn
Do đó số hạng tổng quát của vn là vn = 3.2n −1
Suy ra un − 4n + 2 = 3.2n −1 ⇔ un = 3.2 n −1 + 4n − 2. Chọn B.

u1 = 4
Câu 24: Cho dãy số ( un ) : 
. Mệnh đề nào sau đây sai ?
2
un +1 = 3un − 2n + 2n + 1
A. un ≥ 0, ∀n.
B. u6 ≤ 800.
C. u4 ≥ 100.

HD : Ta có un +1 = 3un − 2n 2 + 2n + 1 ⇔ un +1 − ( n + 1) = 3 ( un − n 2 )

D. u2 ≥ 10.

2

v1 = 3
Đặt vn = un − n 2 ⇒ ( vn ) : 
. Ta thấy vn là cấp số nhân với công bội là q = 3
vn +1 = 3vn
Do đó số hạng tổng quát của vn là vn = 3.3n −1 = 3n
Suy ra un − n 2 = 3n ⇔ un = n 2 + 3n ⇒ un ≥ 0, ∀n.
Ta có u6 = 765; u4 = 97; u2 = 13 nên C sai. Chọn C.

Câu 25: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 2, un+1 = 3un + 2.5n. Tính u7 .
A. u7 = 75940.

B. u7 = 75938.

HD: Ta có un +1 = 3un + 2.5 ⇔ un +1 − 5
n

n +1

(

)

C. u7 = 75942.

D. u7 = 75944.

= 3 un − 5 .
n

Đặt vn = un − 5n ⇒ vn +1 = 3vn ⇒ vn = v1.3n −1 ⇒ un − 5n = ( u1 − 5) .3n −1 ⇒ u7 = 75938. Chọn B.
Câu 26: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 2, un+1 = 2un + 2.4 n. Tính u9 .
A. u9 = 261630.
C. u9 = 261636.

HD: Ta có un +1 = 2un + 2.4 n ⇔ un +1 − 4n +1 = 2 ( un − 4n ) .

B. u9 = 261632.
D. u9 = 261634.

Đặt vn = un − 4n ⇒ vn +1 = 2vn ⇒ vn = v1.2n −1 ⇒ un − 4n = ( u1 − 4 ) .2n −1 ⇒ u9 = 261632. Chọn B.
u1 = 2
Câu 27: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
; ∀n ∈ ℕ∗ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
un +1 = un + 2n + 1
A. Dãy số un bị chặn dưới tại 1.
B. u10 + u20 = 500.

C. Số hạng tổng quát của dãy số là un = n 2 + 1.

D. u8 − 2u12 = − 225.

HD: Công thức tổng quát của dãy số ( un ) là un = n + 1. Chọn B.
2

u1 = 1
Câu 28: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
; ∀n ∈ ℕ∗ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
u
=
u
+
7
 n +1
n
2
2
2
A. u1 + u5 + u9 < 4090.

B. u3 + 2 u7 + 3 u11 = 312.

C. u62 − 2u7 = 1212.

D. u2 + u8 + u14 = 150.


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

HD: Công thức tổng quát của dãy số ( un ) là un = 7 n − 6. Vậy u2 + u8 + u14 = 150. Chọn D.
u1 = 1
Câu 29: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
; ∀n ∈ ℕ∗ . Khi un = 562 thì giá trị n
2
u
=
u
+
n
−
2
1
 n +1
n
thuộc khoảng nào dưới đây?
A. ( 4;8 ) .
B. (12;16 ) .
C. ( 8;12 ) .

D. (16; 20 ) .

HD: Công thức tổng quát của dãy số ( un ) là un =
Mà un = 562 suy ra

n ( n − 2 )( 2n + 1)
3

+ 2.

2n3 − 3n 2 − 2n + 6
= 562 
→ n = 10 ∈ ( 8;12 ) . Chọn C.
3

u1 = 1
Câu 30: Cho dãy số ( un ) , được xác định bởi 
; ∀n ≥ 1. Số hạng tổng quát un của dãy số là
un +1 = un − 2
A. un = 2 − n.
B. un = 4 − 3n.
C. un = 3 − 2n.
D. un = n.
HD: Ta có u1 = 1 = 3 − 2.1; u2 = − 1 = 3 − 2.2; u3 = − 3 = 3 − 2.3; ... Vậy un = 3 − 2n. Chọn C.
u1 = 3
Câu 31: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
; ∀n ≥ 1. Số hạng u2018 có giá trị bằng
un +1 = un + 1
A. u2018 = 2018.
B. u2018 = 2019.

C. u2018 = 4045.
D. u2018 = 2020.

HD: Số hạng tổng quát của dãy số là un = n + 2. Vậy u2018 = 2018 + 2 = 2020. Chọn D.
u1 = 2
Câu 32: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
; ∀n ≥ 1. Số hạng tổng quát un của dãy số
un +1 = un + 2n + 3
là
A. un = n 2 + 2n − 2.
B. un = n 2 + 2n − 1.

C. un = n 2 − 2n − 2.

D. un = n 2 − 2n − 1.

HD: Số hạng tổng quát của dãy số là un = n 2 + 2n − 1. Chọn B.
u1 = 1
Câu 33: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
; ∀n ≥ 2. Số hạng tổng quát của dãy số là
n
u
=
2
u
+
3
−
n
 n

n −1
2 n −1
n +1
A. un = − 11.2
+ 3 + n + 2.
B. un = − 12.22 n −1 − 3n +1 + n + 2.

C. un = − 11.2 2 n −1 − 3n +1 + n + 1.

D. un = − 12.2 2 n −1 + 3n +1 + n + 1.

3n = 3.3n − 2.3.3n −1
HD: Ta phân tích 
nên ta viết công thức truy hồi của dãy như sau:
n = − n − 2 + 2 ( n − 1) = 2 
un − 3.3n − n − 2 = 2 un −1 − 3.3n −1 − ( n − 1) − 2  = ... = 2n −1 ( u1 − 12 ) .
Vậy un = − 11.22 n −1 + 3n +1 + n + 2. Chọn A.

u1 = 5
Câu 34: Cho dãy số ( un ) xác định bởi: 
( ∀n ∈ ℕ *) . Khẳng định nào sau đây là sai?
un +1 = un + 3
A. Số hạng tổng quát của dãy là un = 3n + 2.
B. u2 + u5 + u9 = 54.
C. u2018 = 6054.


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

D. u5 + u7 = 40.

HD: Ta có: un = u1 + ( n − 1) d = 5 + ( n − 1) 3 = 3n + 2
Khi đó: u2 = 8; u5 = 17; u9 = 29 ⇒ u2 + u5 + u9 = 54; u5 + u7 = 40
Lại có: u2018 = 3.2018 + 2 = 6056. Chọn C.

u1 = −3
Câu 35: Cho dãy số ( un ) xác định bởi : 
( ∀n ∈ ℕ *) . Khẳng định nào sau đây là đúng.
un +1 = un + 2n − 3
A. u8 = 0.
B. Có hai giá trị của n ∈ ℕ * để un = 0.
C. un + 4 luôn là số chính phương với ∀n ∈ ℕ*; n > 2.
D. u2018 = 4070306.
u1 = −3

u2 = u1 + 2 − 3

HD: Ta có: u3 = u2 + 2.2 − 3
⇒ un = −3 + ( n − 1) . ( −3) + 2 (1 + 2 + ... + n − 1)
..........

un = un −1 + 2 ( n − 1) − 3
( n − 1) n = n2 − 4n ⇒ u + 4 = n − 2 2
⇒ un = −3n + 2.
(
)
n
2

Khi đó un = 0 ⇔ n = 4 ; u8 = 32; u2018 = 4064252. Chọn C.

u1 = 2
Câu 36: Cho dãy số ( un ) xác định bởi: 
( ∀n ∈ ℕ *) . Biết rằng u6 = 27 và u10 = 65 .
un +1 = un + an + b
Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. a + b = 5.
B. 2a + b 2 = 5.
C. a − b = 1.
D. 2a − b = 0.
u1 = 2

u2 = u1 + a + b

HD: Ta có: u3 = u2 + 2a + b
⇒ un = 2 + b ( n − 1) + a (1 + 2 + ... + n − 1)
..........

un = un −1 + a ( n − 1) + b
( n − 1) n
⇒ un = 2 + b ( n − 1) + a.
2
2 + 5b + 15a = 27
a = 1
⇔
. Chọn D.
Do u6 = 27 và u10 = 65 nên ta có: 
2 + 9b + 45a = 65
b = 2

Câu 37: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 5, un +1 = un + 2. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. u5 + u10 = 36.

B. u5 + u10 = 38.

C. u6 + u11 = 42.

D. u6 + u11 = 44.

HD: Dãy số ( un ) là một cấp số cộng có công sai d = un +1 − un = 2

u5 = 13
u = 15
 6
⇒ un = u1 + ( n − 1) d = 5 + 2 ( n − 1) = 2n + 3 ⇒ 
⇒ Chọn A.
u10 = 23
u11 = 25


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Câu 38: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 10, un +1 = un + 3. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. u3 + u4 + u7 = 60.

B. u3 + u4 + u7 = 63.

C. u5 + u6 = 50.

HD: Dãy số ( un ) là một cấp số cộng có công sai d = un +1 − un = 3

D. u5 + u6 = 52.

u3 = 16

u4 = 19
⇒ un = u1 + ( n − 1) d = 10 + 3 ( n − 1) = 3n + 7 ⇒ u5 = 22 ⇒ Chọn B.
u = 25
 6
u7 = 28
Câu 39: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 5, un +1 = un + 2n + 3. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
u10
< 0, 5.
u15
u
C. 0,5 < 10 < 0, 6.
u15

A. 0, 4 <

u10
< 0, 4.
u15
u
D. 0, 2 < 10 < 0, 3
u15

B. 0,3 <

u1 = a + b + c = 5

HD: Ta có un = an 2 + bn + c ⇒ u2 = 4a + 2b + c = 10
u = 9a + 3b + c = 17
 3
u
122
⇒ un = n 2 + 2n + 2 ⇒ 10 =
≈ 0, 47. Chọn A.
u15 257
Câu 40: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 8, un +1 = un + 3n 2 + 9n + 7. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
u10
< 0,8.
u12
u
C. 0, 4 < 10 < 0, 5.
u12

A. 0, 7 <

u10
< 0, 6.
u12
u
D. 0, 6 < 10 < 0, 7.
u12

B. 0,5 <

u1 = a + b + c + d = 8
u = 8a + 4b + 2c + d = 27
 2
3
2
HD: Ta có un = an + bn + cn + d ⇒ 
u3 = 27 a + 9b + 3c + d = 64
u4 = 64a + 16b + 4c + d = 125
u
1331
3
⇒ un = ( n + 1) ⇒ 10 =
≈ 0, 606. Chọn D.
u12 2197
Câu 41: Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 3, un +1 = un2 + 2n + 5. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
u100
> 0, 7.
u201
u
C. u100 + u201 = 305.
D. 0, 7 < 100 < 0,8.
u201
u100 + u201 = 305
u100 = 102
u1 = a + b = 3

HD: Ta có un = an + b ⇒ 
⇒ un = n + 2 ⇒ 
⇒  u100
⇒ Chọn C.

u2 = 2a + b = 4
u201 = 203  u ≈ 0, 502
 201

A. u100 + u201 = 307.

B. 0, 6 <

u1 = 5
Câu 42: Cho dãy số ( un ) xác định bởi: 
( ∀n ∈ ℕ *) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
un +1 = un + 6n + 1


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

A. un − 2n3 + 4n 2 là số chính phương với ∀n ∈ ℕ *.
B. u5 + 1 là số chính phương.
C. un − 4 luôn là số chẵn với ∀n ∈ ℕ *.
D. Có duy nhất một giá trị của n ∈ ℕ * để un = 340.
u1 = 5

2
u2 = u1 + 6.1 + 1

HD: Ta có: u3 = u2 + 6.22 + 1
..........


u = u + 6. ( n − 1)2 + 1
n −1
 n

(

⇒ un = 5 + b ( n − 1) + a (1 + 2 + ... + n − 1) + 12 + 22 + ... + ( n − 1)
Trong đó ta có: 12 + 22 + ... + ( n − 1) =
2

Do đó un = 5 + ( n − 1) + 6

( n − 1) n ( 2n − 1)

)

6

( n − 1) n ( 2n − 1) = n + 4 +

6
Khi đó un = 340 ⇔ n = 6. Chọn D.

Câu 43: Cho dãy số ( un )

2

( 2n

3

− 3n 2 + n ) = 2n3 − 3n 2 + 2n + 4

1

u1 = 5
xác định bởi: 
( ∀n ∈ ℕ *) .
un
un +1 =

( 3n − 2 ) un + 1

2
với n ∈ ℕ * . Khẳng định nào sau đây là đúng?
an + bn + c
A. a + b + c = 5.
B. a + b = −4.
C. b + c = −7.
1

u1 = 5

HD: Ta có: 
 1 = ( 3n − 2 ) un + 1 = 1 + 3n − 2
 un +1
un
un

Biết rằng un =

2

v1 = 5
3n 2 − 7n + 14
2
1
ta có: 
⇒ vn =
⇒ un = 2
.
un
2
3n − 7n + 14
vn +1 = vn + 3n − 2
Do đó a = 3, b = −7; c = 14. Chọn B.
Đặt vn =

u1 = 2
Câu 44: Cho dãy số ( un ) : 
. Tìm giá trị của u10
n
un +1 = 3un + 4.5 ( n ≥ 1)
A. u10 = 5602.
B. u10 = 602.
C. u10 = 19373786.
D. u10 = 3748786.

HD: Ta có: un +1 + k .5n +1 = 3 ( un + k .5n ) + 2k .5n + 4.5n

Chọn k = −2 khi đó: un +1 − 2.5n +1 = 3 ( un − 2.5n )

v1 = −8
v = −8
Đặt vn = un − 2.5n ta có: 
⇒ vn là CSN với  1
⇒ vn = −8.3n −1
q = 3
vn +1 = 3vn
n −1
n
Do đó un = −8.3 + 2.5 ⇒ u10 = 19373786. Chọn C.
u1 = 1
Câu 45: Cho dãy số ( un ) : 
. Tính giá trị của u100
n
un +1 = 5un − 3 ( n ≥ 1)

D. a + c = 10.


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

1 100 99
(3 − 5 ).
3
1
C. u100 = ( 399 − 5100 ) .
3

HD: Ta có: un +1 + k .3n +1 = 5 ( un + k .3n ) − 2k .3n − 3n

A. u100 =


3n +1
3n 
1
ta có: un +1 −
= 5  un − 
2
2
2

−1

1 n
v1 =
Đặt vn = un − .3 ta có: 
2 ⇒ vn là CSN với
2
vn +1 = 5vn

MOON.VN – Học để khẳng định mình

1 100 100
(3 − 5 ).
3
1
= ( 399 − 599 ) .

3

B. u100 =
D. u100

Chọn k = −

−1

−1 n −1
v1 =
2 ⇒ vn = .5

2
q = 5

1 n n −1
1
3 − 5 ) ⇒ u100 = ( 3100 − 599 ) . Chọn A.
(
3
3
u1 = 1
. Tính giá trị của u100
Câu 46: Cho dãy số ( un ) : 
un +1 = 3un − 6n + 1 ( n ≥ 1)
A. u100 = −399 + 2.
B. u100 = −3100 + 301.

Do đó un =

C. u100 = −3100 + 299.

HD: Ta có: un +1 − 3 ( n + 1) = 3 ( un − 3n ) − 2

D. u100 = −399 + 301.

Đặt vn = un − 3n ⇒ vn +1 = 3vn − 2 ⇔ vn +1 − 1 = 3 ( vn − 1)
Đặt zn = vn − 1 ⇒ zn +1 = 3 zn , trong đó v1 = −2; z1 = −3 ⇒ zn = −3.3n −1 = −3n
Do đó un = −3n + 1 + 3n ⇒ u100 = −3100 + 301. Chọn B.
u1 = 2
Câu 47: Cho dãy số ( un ) : 
. Tính giá trị của u10 .
un +1 = 4un + 7 − 12n ( n ≥ 1)
A. u10 = −262105.
B. u10 = −1048537.
C. u10 = −1048541.
D. u10 = −262109.

HD: Ta có: un +1 − 4 ( n + 1) = 4 ( un − 4n ) + 3

Đặt vn = un − 4n ⇒ vn +1 = 4vn + 3 ⇔ vn +1 + 1 = 4 ( vn + 1)
Đặt zn = vn + 1 ⇒ zn +1 = 4 zn , trong đó v1 = −2; z1 = −1 ⇒ zn = −1.4n −1 = −4n −1
Do đó un = −4n −1 − 1 + 4n ⇒ u10 = −262105. Chọn A.
u1 = 2
Câu 48: Cho dãy số ( un ) : 
. Xác định số hạng tổng quát của un :
2
2
u

=
u
+
6
n
−
6
n
+
1
 n
n −1

A. un = 2n 2 + n + 1.

B. un = n 2 + n + 1.

C. un = 2n3 + n + 1.
HD : Ta có

D. un = n3 + n + 1.

un = un2−1 + 6n 2 − 6n + 3 ⇔ un2 = un2−1 + 6n 2 − 6n + 3 ⇔ un2 − 2n3 + n = un2−1 − 2 ( n − 1) + ( n − 1) + 2
3

v1 = 3
Đặt vn = un2 − 2n3 + n ⇒ 
. Ta thấy ( vn ) là cấp số cộng với công sai d = 2
vn = vn −1 + 2
Do đó số hạng tổng quát của vn là vn = 3 + 2 ( n − 1) = 2n + 1

Suy ra un2 − 2n3 + n = 2n + 1 ⇔ un2 = 2n3 + n + 1 ⇔ un = 2n3 + n + 1. Chọn C.


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

u1 = 2
Câu 49: Cho dãy số ( un ) : 
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
2
un = un −1 + 4un − 2un −1 − 4n − 1
A. u2 = 5.
B. u3 = 7.
C. u10 = 95.
D. u1 = 2.
HD : Ta có un = un2−1 + 4un − 2un −1 − 4n + 2 − 1 ⇔ un + 1 = un2−1 + 4un − 2un −1 − 4n + 2
⇔ ( un + 1) = un2−1 + 4un − 2un −1 − 4n + 2 ⇔ un2 = un2−1 + 2un − 2un −1 − 4n + 1
2

⇔ un2 − 2un + 1 + 2n 2 + 4n = un2−1 − 2un −1 + 1 + 2n 2 − 4n + 2 + 4n − 4 + 2
⇔ ( un − 1) + 2n 2 + 4n = ( un −1 − 1) + 2 ( n − 1) + 4 ( n − 1) + 2
2

2

2

v1 = 7
2

Đặt vn = ( un − 1) + 2n2 + 4n ⇒ ( vn ) : 
. Ta thấy ( vn ) là cấp số cộng với công sai d = 2
vn = vn −1 + 2
Do đó số hạng tổng quát của vn là vn = 7 + 2 ( n − 1) = 2n + 5
Suy ra ( un − 1) + 2n 2 + 4n = 2n + 5 ⇔ ( un − 1) = −2n 2 − 2n + 5 ⇔ un = −2n 2 − 2n + 5 + 1
2

2

Ta thấy không tồn tại các giá trị u2 , u3 , u10 nên A,B,C sai. Chọn D.

u1 = 2
Câu 50: Cho dãy số ( un ) : 
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
2
3 3
un = un −1 + 3n − 3n − 2
A. u2 = 12.
B. u3 = 3 14.
C. u5 = 3 12.
HD : Ta có

D. u4 = 3 62.

un = 3 un3−1 + 3n 2 − 3n − 2 ⇔ un3 = un3−1 + 3n2 − 3n − 2 ⇔ un3 − n3 + n = un3−1 − ( n − 1) + ( n − 1) − 2
3

v1 = 8
Đặt vn = un3 − n3 + n ⇒ ( vn ) : 
. Ta thấy ( vn ) là cấp số cộng với công sai d = −2

vn = vn −1 − 2
Do đó số hạng tổng quát của vn là vn = 8 − 2 ( n − 1) = 10 − 2n
Suy ra un3 − n3 + n = 10 − 2n ⇔ un3 = n3 − 3n + 10 ⇔ un = 3 n3 − 3n + 10.
Ta có u2 = 3 12, u3 = 3 28, u4 = 3 62, u5 = 3 120 nên đáp án D đúng. Chọn D.

u1 = 2
Câu 51: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
; ∀n ∈ ℕ∗ . Mệnh đề nào sau đây là
un +1 = 3un + 4n + 2
đúng?
A. u11 = 355370.
B. u11 = 354270.
C. u11 = 364270.
D. u11 = 365370.

HD: Ta có un +1 + 2 ( n + 1) = 3 ( un + 2n ) + 4 ⇔ vn +1 = 3vn + 4 với vn = un + 2n
Lại có vn +1 = 3vn + 4 ⇔ vn +1 + 2 = 3 ( vn + 2 ) ⇔ zn +1 = 3zn với zn = vn + 2.

q = 3
Dễ thấy ( zn ) lập thành cấp số nhân với 
⇒ zn = 6.3n −1.
 z1 = v1 + 2 = u1 + 4 = 6
Do đó un = vn − 2n = zn − 2n − 2 = 6.3n −1 − 2n − 2. Vậy u11 = 6.310 − 2.11 − 2 = 354270. Chọn B.
u1 = 1
u
Câu 52: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
; ∀n ∈ ℕ∗ . Khi đó, tỉ số T = 103 × 10
u20
un +1 = 2un + 5n − 3
thuộc khoảng nào dưới đây ?

 1
1 3
3 
 3
A.  0;  .
B.  ;  .
C.  ;1 .
D. 1;  .
 2
2 4
4 
 2


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

HD: Ta có un +1 + 5 ( n + 1) = 2 ( un + 5n ) + 2 ⇔ vn +1 = 2vn + 2 với vn = un + 5n
Lại có vn +1 = 2vn + 2 ⇔ vn +1 + 2 = 2 ( vn + 2 ) ⇔ zn +1 = 2 zn với zn = vn + 2.

q = 2
Dễ thấy ( zn ) lập thành cấp số nhân với 
⇒ zn = 8.2n −1 = 4.2n.
 z1 = v1 + 2 = u1 + 7 = 8
10
u10
n
3
3 4.2 − 5.10 − 2

Do đó un = vn − 5n = zn − 5n − 2 = 4.2 − 5n − 2. Vậy T = 10 ×
= 10 . 20
≈ 0,964.
u20
4.2 − 5.20 − 2
Chọn C.
u1 = 3
Câu 53: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
; ∀n ∈ ℕ∗ . Khi un = 61097 thì n bằng?
n
u
=
u
−
3
2
 n +1
n
A. n = 10.
B. n = 9.
C. n = 12.
D. n = 11.
n
n +1
n
HD: Ta có un +1 − 2 = 3 ( un − 2 ) ⇔ vn +1 = 3vn với vn = un − 2 .

q = 3
Mà ( vn ) lập thành cấp số nhân với 
⇒ vn = 3n −1.

1
v1 = u1 − 2 = 1
∗

n ∈ℕ
Do đó un = vn + 2n = 3n −1 + 2n. Mặt khác un = 61097 
→ n = 11. Chọn D.

u1 = 2
u
Câu 54: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
; ∀n ∈ ℕ∗ . Khi đó, tỉ số 11 gần giá trị nào
n
u10
un +1 = 2un + 5
sau đây nhất?
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
n
n +1
n
HD: Ta có un +1 − 5 = 2 ( un − 5 ) ⇔ vn +1 = 2vn với vn = un − 5 .

q = 2
Mà ( vn ) lập thành cấp số nhân với 
⇒ vn = − 3.2n −1.
1
v1 = u1 − 5 = − 3

u
Do đó un = vn + 5n = 5n − 3.2n −1. Vậy tỉ số 11 ≈ 5. Chọn A.
u10
u1 = 1

Câu 55: Cho dãy số ( un ) : 
un −1 . Giá trị lớn nhất của un là ?
un = 1 + 2n.u
n −1

1
A. 2.
B. .
C. 1.
D. 5.
2
HD : Ta có
un −1
1 1 + 2n.un −1
1
1
1
1
2
un =
⇔
=
⇔
=
+ 2n ⇔ − n 2 + n =

− ( n − 1) + ( n − 1) + 2
1 + 2n.un −1
un
un −1
un un −1
un
un −1
Đặt vn =

v1 = 1
1
− n 2 + n ⇒ ( vn ) : 
. Ta thấy ( vn ) là cấp số cộng với công sai d = 2
un
vn = vn −1 + 2

Do đó số hạng tổng quát của vn là vn = 1 + 2 ( n − 1) = 2n − 1
Suy ra

1
1
1
− n 2 + n = 2n − 1 ⇔
= n 2 + n − 1 ⇔ un = 2
do n ≥ 1 ⇒ un ≤ 1. Chọn C.
un
un
n + n −1

u1 = −1


un −1 + 2
. Mệnh đề nào sau đây sai ?
Câu 56: Cho dãy số ( un ) : 
un = ( 2n + 2 ) u + 4n + 5 − 2
n −1



Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

29
209
127
133
.
B. u9 = −
.
C. u10 = −
.
D. u7 = −
.
15
105
253
67
HD : Ta có
1

( 2n + 2 ) un −1 + 4n + 5
un −1 + 2
un −1 + 2
− 2 ⇔ un + 2 =
⇔
=
un =
un −1 + 2
( 2n + 2 ) un −1 + 4n + 5
( 2n + 2 ) un −1 + 4n + 5 un + 2
1
1
1
1
2
⇔
=
+ 2n + 2 ⇔
− n2 + 1 =
− ( n − 1) + 1 + 3
un + 2 un −1 + 2
un + 2
un −1 + 2

A. u3 = −

Đặt vn =

v1 = 1
1

− n 2 + 1 ⇒ ( vn ) : 
. Ta thấy ( vn ) là cấp số cộng với công sai d = 3
un + 2
vn = vn −1 + 3

Do đó số hạng tổng quát của vn là vn = 1 + 3 ( n − 1) = 3n − 2.

1
1
1
− n 2 + 1 = 3n − 2 ⇔
= n 2 + 3n − 3 ⇔ un = 2
− 2.
un + 2
un + 2
n + 3n − 3
29
133
209
253
Ta có u3 = − , u7 = −
, u9 = −
, u10 = −
nên đáp án C sai. Chọn C.
15
67
105
127

Suy ra

Câu 57: Cho dãy số ( un )

u1 = 3

được xác định bởi 
un + 2 − 1 ; ∀n ∈ ℕ∗ . Mệnh đề nào sau đây là
u
=
 n +1 1 + 1 − 2 u
n


(

)

đúng?
A. u2013 =

3
.
3

B. u2013 = −

3
.
3

C. u2013 = − 3.

D. u2013 = 3.

3
π
π
HD: Công thức tổng quát của dãy số ( un ) là un = tan  + ( n − 1)  . Vậy u2013 = −
. Chọn B.
3
8
3

u1 = 1
Câu 58: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
; ∀n ≥ 1.
2
un +1 = un + n + 1
2
Tính S = u12 + u22 + u32 + ... + u2018
.
2018.2019.2020
2018.2019.2020
A. S =
.
B. S =
.
6
3
2016.2017.2018

2016.2017.2018
C. S =
.
D. S =
.
6
3
HD: Công thức tổng quát của dãy số ( un ) là un =

n ( n + 1)

⇔ 2un2 = n ( n + 1) .

2
2018.2019.2020
Khi đó 2 S = 1.2 + 2.3 + ... + 2018.2019 ⇒ S =
. Chọn A.
6
n ( n + 1)( n + 2 )
Chú ý: 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n ( n + 1) =
; ∀n ≥ 1.
3


Chương trình Luyện thi Pro S.A.T – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Chương trình học lớp 12 tại Moon.vn : />