TIEU LIAN - MON ON DINH CONG TRINH

BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do - Hạnh phúc

ĐÁNH GIÁ KẾT THÚC HỌC PHẦN
Chuyên ngành:
KT XDCT DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
Khóa:
K32 (9.2015-2017)
Môn học:
ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH
Số tín chỉ:
Giảng viên giảng dạy: TS. PHẠM MỸ
Ngày thi:
Học viên thực hiện: TRƯƠNG VĂN BẰNG
Lớp: Kỹ thuật xây dựng công trình DD&CN - K32- Trà vinh

2TC
……../…../2016

BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ
Câu 1 (5 điểm).
a) Các anh/chị hãy sử dụng phương pháp “sai phân hữu hạn” đê xac
đinh lưc tơi han trong côt 2 đâu khơp co tiêt diên va mômen quan tınh
thay đôi theo quy luât bâc nhât va đông thơi chiu tai trong tâp trung

đăt tai đınh côt (xem Hình 1 để biết chi tiết). (4 điểm)

Hình 1.1: Sơ đồ làm việc của trụ 2 đầu khớp, chịu tải trọng tập trung
có tiết diện thay đổi
b) Bằng cách nào để anh/chị có được kết quả tiệp cận với lời giải chính
xác, hãy xác định kết quả này. (1 điểm)

Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

Trang: 1


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

BÀI LÀM
A. Các bước thực hiện tính toán:
1. Thay phương trình vi phân của đường biến dạng (đường đàn hồi) ở
trạng thái biến dạng lệch bằng các phương trình sai phân.
2. Giả thuyết chuyển vị tại một số điểm của hệ ở trạng thái biến dạng lệch.
Sau đó, dùng các phương trình sai phân và các điều kiện biên để thiết
lập hệ phương trình đại số với các ẩn là các chuyển vị.
Do tính chất của dạng cân bằng phiếm định phân nhánh thành 2 dạng
(dạng cân bằng ổn định và dạng cân bằng lệch lân cận so với dạng cân
bằng ổn định), nên hệ phương trình đại số là thuần nhất.
3. Lập phương trình ổn định bằng cách cho định thức của hệ phương trình
đại số thuần nhất bằng không

4. Giải phương trình ổn định để tìm lực tới hạn.
a. Đối với các thanh, khi thay đường chuyển vị là đường cong bằng
đường gãy khúc với n khoảng chia z đều nhau dọc theo chiều dài
trục thanh, ta có sai phân.

y  yi  yi 1
 tgi 1 

 (
Nên 



y  yi 1
y
 tgi  i
z
z

yi 1  yi
z

y  yi yi  yi 1
y
)  (tgi )  tgi 1  tgi  i 1

z
z
z

yi 1  yi yi  yi 1 yi 1  2 yi  yi 1
 2 y  y

(
)



z 2 z z
z 2
z 2
z 2

b. Nếu đường vi phân đường biến dạng của hệ có dạng (trường hợp
thanh có liên kết khớp ở hai đầu).

d2 y
 2 2 y  0
z

Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

Trang: 2


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

Trong đó

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

P
d2 y
EJ Thì tại mỗi điểm I, sau khi thay z 2 bằng sai



2 y
phân
và thay y bằng yi, ta được hệ phương trình sai phân:
z 2

yi 1  2 yi  yi 1
  2 yi  0
2
z

Với  i 

P
2
Hay yi 1  ( i  2) yi  yi 1  0
EJ I

i  1, 2,3,.....n  1

Trong đó: i2   i2 z 2 

P
z 2
EJ I

Nếu hệ được chia ra thành n khoảng, thì số ẩn yi nói chung bằng n+1
(y0, y1, y2, …, yn), còn số phương trình sai phân chỉ có (n-1). Do đó, để giải
bài toán này, ta cần bổ sung thêm hai điều kiện biên. Đây là phương pháp gần
đúng, áp dụng hiệu quả cho hệ có tiết diện thay đổi theo quy luật phức tạp.
Các bước giải bài toán cụ thể:
a) Xác định lực tới hạn bằng phương pháp “sai phân hữu hạn”
P

P

P

P

2I0

l/2

l/4

y4=y0

l/4

y3=y1

l/4

l

y2

l

I0

l/4

l/2

y1

y

z

a

2I0

y

y0

y

P

b
2b

Hình 1.2

Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

Trang: 3


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

Phương trình vi phân của hệ.

MZ
EJ
M Z  Py
y ''  

2
Đặt  i 

d y2
d

2
Z







p
EJi

 y '' 

p
y0
EJ

 y ''   i2 y  0

  i2 y  0

Chuyển phương trình vi phân về hệ phương trình sai phân hữu hạn

yi 1  2 yi  yi 1
 i2 yi  0
2

yi 1  2 yi  yi 1   2i2 yi  0

 yi 1  ( 2i2  2) yi  yi 1  0
2
2 2
Đặt i    i

 yi 1  ( i2  2) yi  yi 1  0
Xác lập hệ phương trình đại số
2

 y 2  ( 1  2) y1  y0  0

2

 y3  (  2  2) y2  y1  0

 12  2  y1  y2  0


2
2
y


 2  y2  0


1
2

Chia thanh làm 4 đoạn với z 

Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

(1.1)

l
(hình 1.2)
4

Trang: 4


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH
P

P

y4=y0

3b/2

y3=y1
l/4

l/2

l/4

2I0

I0

l/4

l

y2

y1
l/4

l/2

3b/2

z

y0

y

a

2I0
b
2b

Hình 1.3
Xác định momen quán tính tại các điểm y0, y1, y2 ta có:
+ Tại “0”:

2ba3
J0 
 Jx
12

+ Tại “1”:

J1 

+ Tại “2”:

ba3 1
j2 
 J0
12 2

1 3ba3 3 ba3 3
.
 .
 J0
12 2
2 12 4

Từ đó ta có thể suy ra nội dung sau:
p

4 2
 2



0
1

EJ1 3


 2  p  2 2
3
0

EJ 3


4 2
 2
 1   0

3
2
   2 2
0
 2

Thế vào (1.1) ta có phương trình sai phân với điều kiện biên y0=0;
y1=y3

 4 2
(  0  2) y1  y2  0
 3
2 y  (2  2  2) y  0
0
2
 1

(1.2)

Từ phương trình (1.2) phương trình ổn định từ điều kiện biên y1 ≠ 0;
y2≠y3.
Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

Trang: 5


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

4 2
0  2
1  y1 
D 3
y   0
2

2
2 0  2  2 
4

   02  2    2 02  2   2  0
3




8 4 8 2
 0   0  4  02  4  2  0
3
3



8 4 20 2
0 
0  2  0
3
3

 8 04  20 02  6  0

Gải phương trình ta có được các nghiệm sau:
2

  0  2,15
 2

Min

  0  0,35   0  0,35

Ta có nghiệm nhỏ nhất là 0Min  0,35

Pl 2
   
 0,35
16 EI 0
2
0

2

2
i

 Pth  0,35.16

EI 0
EI
 5, 6 2 0
2
l
l

b) Để xác định được kết quả tiệm cận với lời giải chính xác ta dung phương
pháp ngoại suy Richardson.
Ta có:

e  c 2
2

 L 
2
e1  c1  c 


 N1 

2
 L 

2
e2  c 2  c  N 
 2


Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

Trang: 6


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

e1  P  P1

e2  P  P2
N 22
P  P1
 2 
P  P2
N1
 N 22 P  N 22 P2  N12 P  N12 P1
N 22 P2  N12 P1
P
N 22  N12

Chia thanh làm 6 đoạn với z 
P

l
để đánh giá độ chính xác của bài toán.
6
P

P

P

2I0

l/6

y6=y0

l/6

l/2

y5=y1

l/6

y4=y2

l/6

l

y3

l

I0

l/6

l/2

y2

y

z

y

y0

y

P

a

2I0

l/6

y1

b
2b

Hình 1.4
Phương trình vi phân của hệ.

MZ
EJ
M Z  Py
y ''  








Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

 y '' 

p
y0
EJ

Trang: 7


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

2
Đặt  i 

d y2
d

2
Z

d y2
d Z2

p
EJi

  i2 y  0



yi 1  2 yi  yi 1
2

Chuyển phương trình vi phân về hệ phương trình sai phân hữu hạn

yi 1  2 yi  yi 1   2i2 yi  0
 yi 1  ( 2i2  2) yi  yi 1  0
2
2 2
Đặt i    i

Xác lập hệ phương trình đại số

 y 2  ( 12  2) y1  y0  0

2
 y3  (  2  2) y2  y1  0

2
 y4  ( 3  2) y3  y2  0

 12  2  y1  y2  0


2
 y1   1  2  y2  y3  0

2
2 y2   1  2  y3  0
Chia thanh làm 6 đoạn với z 

Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

(1.3)

l
(hình 2)
6

Trang: 8


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH
P

P

2I0

l/6

y6=y0
y5=y1
l/6

l/2

5b/3

y4=y2
l/6

4b/3

l/6

l

y3

I0

y2
l/6

l/2

4b/3

z

y0

y

a

2I0

l/6

y1

5b/3

b
2b

Hình 1.5
Xác định momen quán tính tại các điểm 0,1,2,3 ta có:
+ Tại “0”:

2ba3
J0 
 Jx
12

+ Tại “1”:

J1 

+ Tại “2”:

1 4ba3 4 ba3 2
J2  .
 .
 J0
12 3
3 12 3

+ Tại “3”:

ba3 1
j3 
 J0
12 2

1 5ba3 5 ba3 5
.
 .
 J0
12 3
3 12 6

Từ đó ta có thể suy ra nội dung sau:
 2
p

6
  02
1 
EJ1 5


p
3
  22 
  02
EJ 2 2

 2
p
 2 02
 3 
EJ 3


Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

Trang: 9


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

 2 6 2
 1  5  0

3

   22   02
2

2
  3  2  02



Thế vào (1.3) ta có
Phương trình sai phân với điều kiện biên y0=0; y1=y5; y2 = y4

 6 2



2

 y1  y2  0
0
 5



3 2


 y1    0  2  y2  y3  0
2


 2 y2   2  2  2  y3  0
0



(1.4)

Từ phương trình (1.4)
Phương trình ổn định từ điều kiện biên y1 ≠ 0; y2 ≠ y3 ≠ 0.
6 2
0  2
5
D

1
0

3 2
 2
6 2
 0  2  2 0
5
2

1

0

3 2
0  2
1
2
2
2 02  2
1
2  2
2
0



1
0

 y1 
y   0
 2
 y3 

1
2  2
2
0

0


6
  3

   02  2     02  2    2  02  2   2    2  02  2   0
5
  2



6

6

   02  2    3 04  3 02  4 02  4   2   02  2    2 02  2   0
5

5



18 6 18 4 24 4 24 2
12
 0   0   0   0  6  04  6  02  8 02  8   02  4  2 02  2  0
5
5
5
5
5



18 6  18 24
12

 24

0   
 6  04  
 6  8   2   02  8  4  2  0
5
5
5
5

 5


Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

Trang: 10


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ



HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

18 6 72 4 72 2
0  0  0  2  0
5
5
5

 18 06  72 04  72 02  10  0
Gải phương trình ta có được các nghiệm sau:

  02  2, 47

   02  0,16   0Min  0,16
 2
  0  1,36
Pl 2
   
 0,16
36 EI 0
2
0

2

2
i

EI 0
EI 0


5,
76
l2
l2
So sánh giữa hai cách tính
 Pth  0,16.36

- Phân cột làm 4 đoạn  Pth  0,35.16

EI 0
EI 0

5,
6
l2
l2

- Phân cột làm 6 đoạn  Pth  0,16.36

EI 0
EI 0

5,
76
l2
l2

- Sai lệch giữa 2 cách tính là 0,97%

Giảng viên: TS. PHẠM MỸ

Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

Trang: 11


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

Câu 2 (5 điểm).
a) Xác định lực tới hạn trong côt có liên kết một đầu ngàm và một đầu
ngàm trượt, chiu môt lưc tâp trung P đăt tai đầu ngàm trượt (xem Hình
2.1 để biêt chi tiêt), với các yêu cầu cụ thể sau (4 điểm):
−

Xây dựng phương trình chủ đạo của bài toán.

−

Giải phương trình vi phân tìm nghiệm tổng quát của bài toán.

−

Trình bày cách xác định góc xoay, mô men và lực cắt trong cột.

−

Áp dụng điều kiện biên và tìm lực tới hạn trong cột.

Hình 2.1: Sơ đô lam viêc cua côt AB liên kết ngàm-ngàm trượt chiu
lưc tâp trung đăt đầu ngàm trượt.
b) Hãy bình luận kết quả thu được. (1 điểm)

Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

Trang: 12


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

BÀI LÀM
a) Xác định lực tới hạn trong côt có liên kết một đầu ngàm và một đầu ngàm
trượt, chiu môt lưc tâp trung P đăt tai đầu ngàm trượt
− Xây dựng phương trình chủ đạo của bài toán.
− Giải phương trình vi phân tìm nghiệm tổng quát của bài toán.
− Trình bày cách xác định góc xoay, mô men và lực cắt trong cột.
− Áp dụng điều kiện biên và tìm lực tới hạn trong cột.
Nghiên cứu thanh chịu lực nén P ở trạng thái cân bằng biến dạng với
các chuyển vị nhỏ. Giả sử ở trạng thái biến dạng, dầu trên của thanh có
chuyển vị thẳng theo phuong trục y là y(o) và chuyển vị góc là y’(o), đồng
thời tại đầu trên của thanh cũng xuất hiện mô men uốn M(o) và lực cắt Q(o)
vuông góc với vị trí ban dầu của thanh. Mô men uốn tại tiết diện bất kỳ của
thanh ở trạng thái biến dạng:

Hình 2.2. Sơ đồ biến dạng uốn dọc của thanh

M(z) = M(o) + Q(o)z + P [y - y(o)].
''
Từ phương trình vi phân của đuờng đàn hồi: y  

''
Ta có: y  

M
EJ

M (0)  Q(0) z  P  y  y (0) 
EJ

''
2
Hay: y   y  

2
Trong đó:  

M (0)  Q(0) z  Py(0)
EJ

P
EJ

Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:

y ( z )  A sin  z  B cos  z 
Giảng viên: TS. PHẠM MỸ

Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

M (0)  Q(0) z  P y (0)
 2 EJ
Trang: 13


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

Trong đó: A, B là các hằng số tích phân được xác định theo các điều
kiện biên ở đầu trái khi z = 0. Muốn vậy truớc tiên ta hãy lấy đạo hàm của y
theo z ta có:
y ' ( z )   A cos  z   B sin  z 

Q(0)
 2 EJ

Từ các phương trình trên ta có thể viết điều kiện biên ở đầu trái khi z =
0 như sau:
y (0)  B 

M (0)  Py (0)
Q(0)
; y '(0)   A  2
2
 EJ
 EJ

Suy ra: A 

y '(0)





Q(0)
M (0)
;B  2
3
 EJ
 EJ

Thay các giá trị vừa tìm được của A và B vào y(z) ta tìm được phương
trình của đường đàn hồi.
y ( z )  y (0) 

y '(0)



sin  z 

M (0)
Q(0)
(1  cos  z )  3 ( z  sin  z ) (*)
2

 EJ
 EJ

Trong phương trình (*) các đại lượng y(o), y’(o), M(o) và Q(o) được gọi
là các thông số ban dầu.
Ðối với mỗi loại thanh có liên kết khác nhau, ta có thể xác định các
thông số chưa biết từ các điều kiện biên ở đầu phải.
Từ phương trình (*), ta tìm được phương trình góc xoay và từ đó suy ra
phương trình mô men uốn trong thanh:

y ' ( z )  y '(0) cos  z 

M (0)
Q(0)
sin  z  2
(1  cos  z )
 EJ
 EJ

M ( z )   EJy''(z)   EJy'(0) sin  z  M(0) cos  z 

Q(0)



sin  z

Ta xác định được lực cắt Q(z) theo sơ đồ thanh không biến dạng:
Q( z ) 

dM ( z )
dy
P
 Q (0)
dz
dz

Áp điều kiện biên ta được:

Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

Trang: 14


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

 y (0)  0
 y '(0)  0
 y (l )  0



và
 y '(l )  0
 M (0)  ?
Q * (0)  ?

 M (0)(1  cos  l )  Q * (0)( l  sin  l )  0

 M (0)(1  sin  l )  Q * (0)(1  cos  l )  0

Hệ có cân bằng lệch tức phải tồn tại M(0) và Q*(0)
Phương trình ổn định:

(1  cos  l )((1  cos  l )  sin  l ( l  sin  l )  0
 1  2cos  l  cos2  l  sin 2  l   l sin  l  0
 2(1  cos  l )   l sin  l  0

 4sin 2
 sin

l
2

l
2

 2 l sin

(2sin

l
2

l
2

cos

  l cos

Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

l

l
2

2

0

)0

Trang: 15


BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH

  th l
 l
sin


0
 2 

2



l

l
  th l  10
tg

 2
 2
2
7

pth 

  th 

2
l

 2 EJ
(0,5l ) 2

b) Ta có kết quả thu được từ bài toán là:

 2 EJ
pth 
( l )2
Ta suy ra bản chất của bài toán như sau:
Điều kiện làm việc của bài toán nếu muốn cho P đạt được giá trị tới hạn,
tương ứng với trạng thái mất ổn định thì trong hệ phải tồn tại trạng thái cân
bằng mới, khác với trạng thái cân bằng ban đầu.
Từ đó ta rút ra được trong quá trình làm việc, chiều dài tính toán của
thanh phụ thuộc vào điều kiện liên kết ở hai đầu thanh thông qua hệ số µ.

M z 0
pth

Giảng viên: TS. PHẠM MỸ
Học viên:
TRƯƠNG VĂN BẰNG

A

Trang: 16