Bài toán đặt chỉnh và một số ứng dụng (TT)

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗

MAI THỊ HOÀI AN

BÀI TOÁN ĐẶT CHỈNH
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Demo Version - Select.Pdf SDK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Thừa Thiên Huế, năm 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗

MAI THỊ HOÀI AN

BÀI TOÁN ĐẶT CHỈNH
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Demo Version - Select.Pdf SDK
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN HOÀNG

Thừa Thiên Huế, năm 2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các
số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nào khác.
Họ và tên tác giả
Mai Thị Hoài An

Demo Version - Select.Pdf SDK

i


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
PGS.TS. Nguyễn Hoàng. Trong suốt quá trình thực hiện, thầy luôn tận
tình chỉ bảo, động viên và cho tôi những ý kiến quý báu. Tôi xin gửi đến
thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc.

Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Huế, các
thầy cô giáo trong Khoa Toán trường Đại học sư phạm Huế, Khoa Toán
trường Đại học khoa học Huế đã giúp tôi có được kiến thức khoa học
cũng như những điều kiện thuận lợi để hoàn thành công việc học tập và
nghiên cứu của mình.
Chân thành cảm ơn các bạn cao học viên Cao học khóa 24, cảm ơn
người thân, bạn bè, đồng nghiệp thân thiết đã hỗ trợ, giúp đỡ tôi hoàn
thành tốt nhiệm
học tập
và công tácSDK
trong suốt thời gian qua.
Demo vụ
Version
- Select.Pdf

Huế, tháng 9 năm 2017
Mai Thị Hoài An

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
............................... 6
1.1.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3. Sự hội tụ yếu trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . 8
1.1.4.Demo
Khả viVersion
Frechet- .Select.Pdf
. . . . . . . . . . . SDK
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1.1.5. Hàm liên hiệp Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Bài toán tối ưu và một số tính chất cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Bài toán đặt chỉnh Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Siêu hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1. Sự hội tụ của dãy các tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2. Sự hội tụ epi của dãy hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1. Một số khái niệm cơ bản của giải tích

CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN ĐẶT CHỈNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. Đặt chỉnh Tykhonov và đặt chỉnh Tykhonov theo nghĩa
suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2. Đặt chỉnh Levitin-Polyak và đặt chỉnh mạnh . . . . . . .24
2.2. Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Về một khái niệm đặt chỉnh mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1. Một số dạng đặt chỉnh

1


2.3.2. Một số đặc trưng của tính đặt chỉnh mở rộng . . . . . . 34
2.3.3. Sự tương đương giữa tính đặt chỉnh Tykhonov và tính
đặt chỉnh mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.4. Áp dụng vào bài toán quy hoạch toán học . . . . . . . . . 37
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Demo Version - Select.Pdf SDK

2


DANH MỤC KÝ HIỆU

Ký hiệu
N, N∗ , R
R
c(X)
C(X)

Ý nghĩa của ký hiệu
tập hợp các số tự nhiên, số nguyên dương, số thực
tập hợp các số thực mở rộng
tập hợp tất cả các tập con đóng của không gian mêtric X
tập hợp tất cả các tập con lồi đóng của không gian
định chuẩn X
diam A
đường kính của tập hợp A
d(x, A)
khoảng cách từ điểm x đến tập hợp A
D(A, B)
khoảng cách giữa hai tập hợp A và B
e(A, C)

độ lệch của tập A đối với tập C
h(A, C)
khoảng cách Hausdorff của hai tập hợp A và C
B(x, r), B[x, r] hình cầu mở, hình cầu đóng tâm x và bán kính r
Demo Version - Select.Pdf SDK
trong không gian mêtric X
rB
hình cầu mở tâm O và bán kính r trong
không gian định chuẩn X
Br [A]
{x ∈ X : d(x, A) ≤ r}
epi f
trên đồ thị của hàm f
dom f
miền hữu hiệu của hàm f
fa
tập mức dưới của hàm f với mức a
Min f
tập hợp các điểm cực tiểu của hàm f
F(X)
{f : X → [−∞; ∞] : f chính thường và lồi }
Γ (X)
{f ∈ F(X) : f là hàm nửa liên tục dưới}
xn
x
dãy (xn ) hội tụ yếu về x

3

MỞ ĐẦU

Tối ưu hoá là một trong những lĩnh vực phát triển rất mạnh của
toán học nhằm đáp ứng các yêu cầu thực tế của nhiều lĩnh vực trong
cuộc sống như kinh tế, xã hội, y học,. . . Khi giải quyết một vấn đề thực
tế thì việc tìm giải pháp tối ưu đóng một vai trò hết sức quan trọng. Đó
là phương án hợp lí nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn
lực mà lại cho hiệu quả cao. Bài toán tối ưu cơ bản trong lý thuyết tối
ưu là bài toán tìm cực tiểu của một hàm số f : Rn → R, dưới một số
ràng buộc.
Một vấn đề đặt ra khi thực hiện mô hình hóa bài toán thực tế là
các số liệu ban đầu thường được thu thập bằng thực nghiệm nên chúng
có tính chất xấp xỉ. Chính điều đó dẫn đến các kết quả sai lệch. Thật
có ý nghĩa nếu những thay đổi đủ nhỏ của dữ kiện ban đầu không làm
thay đổi đáng
kể nghiệm
ưu hoặc giáSDK
trị tối ưu của của bài toán gốc.
Demo
Versiontối
- Select.Pdf
Do đó, bên cạnh chủ đề về các thuật toán tìm nghiệm thì sự đặt chỉnh
của lớp bài toán tối ưu cũng dành được nhiều sự quan tâm nghiên cứu
trong thời gian gần đây.
Tính đặt chỉnh của bài toán tối ưu có thể được tiếp cận theo hai
hướng. Hướng thứ nhất là tính đặt chỉnh Hadamard, được Hadamard
giới thiệu vào năm 1902, về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc
liên tục của nghiệm và giá trị tối ưu vào sự thay đổi của dữ liệu ban đầu
của bài toán tối ưu. Hướng thứ hai là tính đặt chỉnh Tykhonov, được
nghiên cứu bởi A.N. Tykhonov vào năm 1966, về tồn tại, duy nhất của

nghiệm và sự hội tụ của mỗi dãy xấp xỉ đến nghiệm. Kiểu đặt chỉnh thứ
hai phát biểu cho bài toán tối ưu không ràng buộc và đã được phát triển
rất mạnh do tính ứng dụng của nó trong phương pháp số. Trong cùng
năm này, E.S.Levitin và B.T.Polyak mở rộng tính đặt chỉnh Tykhonov
cho bài toán tối ưu có ràng buộc khi xét dãy xấp xỉ nằm ngoài tập ràng
buộc của bài toán tối ưu nhưng khoảng cách từ dãy xấp xỉ này đến tập
4


ràng buộc dần về 0.
Trong những năm gần đây, một khái niệm đặt chỉnh mở rộng được
nghiên cứu trên lớp các bài toán tối ưu phụ thuộc tham số. Cụ thể, cho
X và A là các không gian mêtric, trong đó X được gọi là không gian
miền xác định, A được gọi là không gian dữ liệu. Mỗi a ∈ A được liên
kết với một hàm giá trị thực mở rộng fa xác định trên X, tương ứng
với một bài toán cực tiểu minx∈X fa (x). Tính đặt chỉnh của bài toán fa
đòi hỏi sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán fa và sự phụ thuộc liên
tục của nghiệm vào sự thay đổi của tham số a. Đây là sự mở rộng thực
sự quan trọng và thú vị vì nó thống nhất ý tưởng của tính đặt chỉnh
Tykhonov và tính ổn định.
Với các kiến thức nền về giải tích được trang bị trong quá trình học
tập như: không gian tôpô, giải tích lồi, bài toán tối ưu, tính nửa liên
tục của hàm số,..., tôi mong muốn tìm hiểu hiểu sâu sắc hơn về các bài
toán tối ưu đặt chỉnh. Do đó, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn
Hoàng, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài "Bài toán đặt chỉnh và một số
ứng dụng" cho luận văn thạc sĩ của mình.
Demo Version - Select.Pdf SDK
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu các dạng đặt chỉnh của
bài toán tối ưu như đặt chỉnh Tykhonov, đặt chỉnh Levitin - Polyak, đặt
chỉnh mạnh; tính ổn định nghiệm của bài toán tối ưu và một khái niệm

đặt chỉnh mở rộng. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo,
nội dung được trình bày trong hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Bài toán đặt chỉnh.

5