DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
I. Quan điểm về mô hình hóa toán học:
Lịch sử hình thành và phát triển toán học đã cho thấy toán học có nguồn gốc từ thực tế, chính sự phát
triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với các nội dung toán học. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và
hoàn thiện các lý thuyết toán học.Toán học không phải là một sản phẩm thuần túy của trí tuệ mà được phát sinh
và phát triển do nhu cầu thực tế của cuộc sống, trở lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực tiễn
phát triển với vai trò là công cụ, toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do chính thực tiễn đặt ra.
Một trong những lí do mà toán học luôn chiếm thời lượng lớn của chương trình giáo dục ờ hầu hết các
nước trên thế giới là vì lợi ích của toán học trong thực tiễn; toán học được áp dụng dưới nhiều cách khác nhau
trong nhiều môn học như vật lí, hóa học, sinh học, địa lí, kĩ thuật, trong công việc và cuộc sống hằng ngày của
mỗi người.
Bên cạnh việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng liên quan đến toán học như khái niệm,
định lí, công thức, quy tắc thì dạy toán cần giúp học sinh phát triển kỹ năng kết nối các kiến thức đó để giải
quyết những vấn đề thực tiễn. Khi sử dụng toán học để giải quyết vần đề ngoài lĩnh vực toán học thì mô hình
toán học và quá trình hóa toán học là những công cụ cần thiết. Đối với học sinh, mô hình hóa toán học là cần
thiết vì những lí do sau đây:
-

Mô hình hóa toán học cho phép học sinh hiểu được giữa toán học với cuộc sống môi trường xung quanh

-

và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn.
Mô hình hóa toán học trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán học như một công cụ để giải quyết
vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán, từ đó giúp học sinh thấy được tính hữu ích của toán
học trong thực tế, khả năng sử dụng toán học vào các tình huống ngoài toán không phải là kết quả tự

-

động của sự thành thạo toán học thuần túy mà đòi hỏi phải có sự chuẩn bị và rèn luyện.
Mô hình hóa toán học góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện và phong phú của toán học,

giúp học sinh thấy được đó không chỉ là một ngành khoa học mà còn là một phần của lịch sử văn hóa

-

loài người.
Các nội dung toán học có thể được hình thành củng cố bởi những ví dụ thự tiễn, điều này giúp học sinh
hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển thài độ tích cực của các em đối với toán học, từ đó tạo động

-

cơ thúc đẩy việc học toán.
Mô hình hóa toán học là một phương tiện phù hợp để phát triển các năng lực toán học của học sinh như
suy luận, khám phám, sáng tạo, giải quyết vấn đề.
Hiện nay có rất nhiều định nghĩa mô tả khái niệm Mô hình hóa toán học được chia sẻ trong lĩnh vực

giáo dục toán học, tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả chọn. Nói một cách ngắn gọn thì Mô hình
hóa toán học là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán học.
Sau đây là định nghĩa Mô hình hóa toán học của Singapore


Mô hình hóa toán học: là quá trình thành lập và cải thiện một mô hình toán học để biểu diễn và giải quyết các
vấn đề thế giới thực tiễn. Thông qua Mô hình hóa toán học, học sinh học cách lựa chọn và áp dụng một loạt các
kiểu dữ liệu, các phương pháp và công cụ toán học phù hợp trong việc giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn.
Cơ hội để xử lí các dữ liệu thực tế và sử dụng các công cụ toán học để phân tích dữ liệu nên là một phần của
việc học tập toán học ở tất cả các cấp.
Mô hình hóa toán học là một hoạt động phức tạp, bao gồm sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo
cả hai chiều. Vì vậy đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác trong các lĩnh vực toán học cũng như có kiến
thức liên quan đến tình huống thực tế cần xem xét.
II. Các thành tố của quá trình mô hình hóa toán học

Toán học hóa là quá trình dịch các vấn đề thế giới thực tiễn thành toán học bằng cách xây dựng một mô
hình toán học. Điều này đòi hỏi học sinh hiểu được vấn đề mà có thể được kết thúc mở và phức tạp. Họ cần phải


kiểm tra các thông tin được đưa ra, đặt giả thiết thích hợp và đơn giản hóa vấn đề thành một vấn đề giải quyết
được. Trong quá trình đó, họ sẽ xác định các khái niệm và các biến toán học, biểu diễn cho các vấn đề trong một
hình thức toán học và thiết lập một mô hình toán học như một bản vẽ, đồ thị, hàm hoặc các hệ phương trình.
Làm việc với toán học đòi hỏi sinh viên lựa chọn và sử dụng các phương pháp và công cụ thích hợp để
giải quyết các vấn đề, sau khi đã xây dựng các vấn đề toán học. Các sinh viên có thể sử dụng các phần mềm
máy tính để giúp họ phân tích dữ liệu, thực hiện các tính toán tẻ nhạt và giải quyết vấn đề mà không cần
phương pháp toán học tiên tiến. Sản phẩm cuối cùng trong giai đoạn này là một giải pháp toán học.
Giải thích là kết nối các lời giải toán học trở lại với thực tiễn, làm cho các lời giải toán học trở nên có ý
nghĩa trong bối cảnh thực tế.
Phản ánh/Phản chiếu là các khía cạnh siêu nhận thức của mô hình. Nó liên quan đến việc xem xét các
giả định và hạn chế của các mô hình, các phương pháp toán học và các công cụ cũng được sử dụng để giải
quyết vấn đề. Chẳng hạn, khi rà soát các mô hình và kiến thức toán học mà họ sử dụng, học sinh có thể xem xét
sử dụng một phương pháp hoặc công cụ khác nếu giải pháp này là không chấp nhận được.
Các bài toán mô hình hóa
Bài toán mô hình hóa tốt cho phép học sinh trải nghiệm toàn bộ quá trình mô hình hóa. Đó là những vấn
đề thực tế mà có thể được kết thúc mở, không có cấu trúc, phức tạp. Học sinh cũng nên nhận thấy ý nghĩa trong
việc giải quyết những vấn đề này. Đối với bài toán kết thúc mở, học sinh có thể đi đến các giải pháp khác nhau.
Bài toán sau đây đã được thiết kế để minh họa cho quá trình mô hình hóa.
Ví dụ về Bài toán mô hình hóa
Trong một thị trấn mới, có một công viên và một bãi đất trống. Mọi người có thể đi vòng qua công viên
bằng xe đạp của họ và sau đó đi bộ đến một ga tàu điện ngầm. Để làm một công viên an toàn, hội đồng thị trấn
muốn xây dựng một đường đi xe đạp và bãi để xe, nơi các hành khách có thể đỗ xe đạp của họ trước khi họ đi
bộ đến nhà ga. Hãy làm việc theo nhóm, chuẩn bị một đề xuất cho hội đồng thành phố xem xét.
Đó là một vấn đề thực tế và sinh viên có thể làm việc nhóm về vần đề đó. Các giáo viên có thể sử dụng
hình ảnh để hiển thị tình hình hiện tại hoặc một tình huống có thể có trong quá khứ đã dẫn đến việc xây dựng
các lối đi xe đạp và kiốt xe đạp. Nhiệm vụ xây dựng mô hình này cung cấp một số hiểu biết về cách thức xác

định các vị trí của các cơ sở hạ tầng ở một thị trấn, mục tiêu thiết kế và kiến thức toán học cần thiết. Các yếu tố
của quá trình xây dựng mô hình thể hiện trong hình 2 được giải thích chi tiết như sau

A. Toán học hóa:


1. Để hiểu được vấn đề, học sinh có thể sử dụng một sơ đồ hoặc vẽ một bản phác thảo để biểu diễn cho tình
huống.
2. Học sinh cần phải thực hiện một số giả thiết và thu thập thông tin như
• Kích thước của công viên và lô đất;
• Tốc độ đi bộ trung bình và tốc độ đi xe đạp;
• Giới hạn tốc độ khi đi xe đạp trong công viên;
• Mục tiêu thiết kế (ví dụ: con đường ngắn nhất, thời gian tối thiểu, vv.)
3. Họ cần phải xác định các khái niệm toán học liên quan trước khi xây dựng các mô hình. Trong trường hợp
này, các vấn đề liên quan đến các khái niệm về khoảng cách, tốc độ và thời gian.
4. Việc xây dựng các mô hình toán học sẽ phụ thuộc vào các giả thiết đặt ra. Ví dụ, nếu học sinh sử dụng thời
gian tối thiểu là mục tiêu thiết kế, biểu thức cho thời gian sẽ là như sau:
T=

Quang duong di trong cong vien
Toc do di xe dap

Tổng thời gian di chuyển:

Quang duong di trong lo dat
Toc do di bo

+

Hình 3 cho thấy một bức phác họa có thể tượng trưng cho các sơ đồ với các giả định sau đây:

- Hình dạng cho công viên và lô đất là hình chữ nhật
- Kích thước và tốc độ được dựa trên thông tin từ internet
- Mục tiêu thiết kế: Thời gian tối thiểu


B. Làm việc với toán học
5. Học sinh có thể sử dụng phần mềm hình học động như GSP để di chuyển điểm F đến vị trí khác nhau và đo
khoảng cách, lập bảng quan sát và xác định vị trí của F mà tại đó cho ta giá trị nhỏ nhất về thời gian.
6. Học sinh có thể xây dựng một biểu thức khoảng cách bằng cách sử dụng định lý Pythago và xây dựng các
hàm thời gian.
T=
Tổng thời gian di chuyển,

1502 + (100 − x) 2
2502 + x 2
+
5
1

, x kí hiệu cho khoảng cách QF.

Học sinh có thể sử dụng phần mềm vẽ đồ thị để giúp họ tìm giá trị của x, tương ứng với giá trị tối thiểu
của T. Học sinh cấp 2 cũng có thể sử dụng kiến thức của họ để tính toán và giải quyết các vấn đề.
Công nghệ đóng một vai trò quan trọng trong quá trình mô hình hóa. Sự cố gắng của công nghệ làm cho
bài toán dễ dàng tiếp cận đến các nhóm học sinh ở các cấp độ khác nhau. Công nghệ cho phép các học sinh giải
quyết bài toán mặc dù họ có thể không có một số kiến thức cần thiết như hình học Pythago hoặc những kiến
thức của các phép tính để tìm ra lời giải. Phần mềm hình học động như Geometer Sketchpad (GSP) cho phép
học sinh nghiên cứu với các giả thiết hình dạng khác nhau và kích thước của công viên, lô đất. Các phần mềm
đồ họa cho phép học sinh tìm thấy giá trị nhỏ nhất và quan sát những gì xảy ra khi một số điều kiện thay đổi.
C. Giải thích/Diễn giải

7. Học sinh cần phải biết rằng giá trị của x biểu diễn cho vị trí của nơi để xe đạp. Trong khi AF biểu diễn cho
đường xe đạp, CF biểu diễn cho các đường đi bộ.
D. Sự phản ánh
8. Sau khi tìm thấy vị trí của nơi để xe đạp, học sinh cần phải kiểm tra xem nó là khả thi để xây dựng nơi để xe
đạp tại vị trí thực tế trên trang web hay không và xem xét nếu có bất kỳ hạn chế khác nào không.
9. Học sinh có thể xem xét các giả thiết của họ.
- Công viên có thể là hình tròn? Điều gì xảy ra nếu công viên và các lô đất là đa giác không đều?
Phương pháp của họ có thể áp dụng trong mọi trường hợp hay không? Làm thế nào để thị trấn thấy cần
thiết để làm điều đó?
- Đó là mục tiêu thiết kế thực tế của họ? Họ có thể khảo sát người dân để tìm hiểu xem mọi người muốn
có một giải pháp làm tối thiểu thời gian hoặc họ thích đi bộ với khoảng cách ngắn nhất để thay thế?


10. Công việc này thực sự có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các phương pháp khác nhau. Học sinh có
thể suy nghĩ về bài toán mà họ đã sử dụng để giải quyết các vấn và liệu có những phần mềm mạnh hơn có thể
được sử dụng để giải quyết vấn đề này hay không.
11. Học sinh có thể được khuyến khích để kết nối môn học của mình với các môn học khác, ví dụ, việc sử dụng
định luật Snell trong Vật lý nhờ đó mà đường đi nhanh hơn tuân theo định luật khúc xạ.
Bài toán mô hình hóa cho phép các học sinh đi xa hơn trong việc tìm kiếm các giải pháp toán học và đòi
hỏi sinh viên để kiểm tra tính khả thi của các giải pháp trong bối cảnh thực tế. Bằng cách tham gia vào quá trình
mô hình hóa toán học, học sinh phát triển các kỹ năng giao tiếp, kỹ năng hợp tác, kỹ năng, kỹ năng siêu nhận
thức và kỹ năng công nghệ thông tin.
III. Hạn chế của học sinh trong quá trình mô hình hóa và ảnh hưởng của chúng
Có những khả năng bị hạn chế khi học sinh tham gia vào các mô hình toán học (Galbrainth & Stillman,
2006; Maaβ, 2006). Học sinh có thể có những khó khăn để hiểu được vấn đề, xây dựng giả thiết và xác định các
biến số quan trọng cần thiết để xây dựng các mô hình toán học. Họ cũng bị hạn chế bởi kiến thức toán học và
khả năng lựa chọn một phương pháp thích hợp để giải quyết các vấn đề và giải thích các giải pháp của họ. Sự
hiểu biết về những hạn chế cung cấp cái nhìn sâu vào suy nghĩ và học tập của học sinh khi họ trải qua quá trình
mô hình hóa.
Điều quan trọng là giáo viên cung cấp giàn ý để hướng dẫn học sinh khi họ trải qua các yếu tố khác nhau

của quá trình mô hình hóa toán học. Giáo viên cần phải xác định kiến thức và kỹ năng cần thiết cho học sinh để
xây dựng các mô hình toán học và giải quyết nó. Học sinh có thể làm việc theo nhóm, hợp tác, sử dụng công
nghệ để giải quyết các vấn đề. Công nghệ giúp cho học sinh làm việc với các vấn đề mà nếu không có nó sẽ đòi
hỏi kiến thức toán học tiên tiến hơn.
IV. Kết luận
Trong phần này, một nhiệm vụ mô hình toán học đã được sử dụng để minh họa cho bốn yếu tố của quá
trình mô hình hóa toán học, là một quá trình học tập phong phú cho học sinh. Nhiệm vụ này cho phép học sinh
làm việc cộng tác để đối phó với các vấn đề thực tiễn, đó là kết thúc mở và chân thực. Học sinh cần phải phát
triển nhận thức của quá trình mô hình hóa toán học và trải nghiệm tất cả hoặc một số yếu tố của quá trình này
trong suốt những năm học của họ.
Để bắt đầu, giáo viên một giới thiệu một số yếu tố của quá trình mô hình hóa toán học trong giờ học
toán học bằng cách sử dụng các ví dụ có liên quan từ sách giáo khoa. Họ có thể tham khảo các nguồn hiện có
như Các chiến lược cho hoạt động và học tập độc lập (SAIL) (Bộ Giáo dục, 2006b), Đánh giá hiệu suất trong
Toán học (Fan, 2008), và Chương trình đánh giá sinh viên Quốc tế (PISA) (Tổ chức kinh tế Hợp tác và Phát
triển năm 2006). Giáo viên cũng có thể sử dụng mô hình nhiệm vụ để cho phép học sinh trải nghiệm toàn bộ


quá trình xây dựng mô hình toán học. Học sinh có thể làm việc trong các nhóm trên các nhiệm vụ này, cùng với
việc sử dụng các công nghệ, bên trong hoặc bên ngoài thời gian chương trình giảng dạy.
Giáo viên nên quen thuộc với quá trình xây dựng mô hình hóa toán học để tạo điều kiện học tập của học
sinh khi họ đi qua các quá trình mô hình toán học. Rõ ràng bốn yếu tố mô tả ở trên là một điểm khởi đầu tốt cho
giáo viên muốn đưa các hoạt động mô hình toán học vào lớp học của mình lần đầu tiên.