Bản dịch phương pháp số Yujin Liu Phần 1

Bài giảng: Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn

Bài giảng: Giới thiệu

Phương pháp phần tử hữu hạn
Yijun Liu
Phòng thí nghiệm nghiên cứu CAE
Phòng nghiên cứu cơ học kỹ thuật
thuộc đại học Cincinnati, OH 452210072, U.S.A.
Thư điện tử:
Trang web: />Tài liệu này được tải xuống từ website nguồn:
/>(Cập nhật mới nhất: 21 tháng 5, 2003)

© 1997-2003 bởi Yijun Liu, Đại học Cincinnati.
© 1997-2003 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

i


Bài giảng: Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn

Chú ý bản quyền
© 1997-2003 bởi Yijun Liu, Đại học Cincinnati.
Mọi quyền đều được bảo hộ. Chỉ cho phép các cá nhân và
tổ chức giáo dục sử dụng. Bất cứ người nào khác sử dụng
bài giảng này (ví dụ như làm bài giảng cho các lớp thuộc
ngoài đại học Cincinnati, giảng dạy ở bất cứ nơi nào khác,
và cho những mục đích thương mại) đều không được phép,
trừ khi những người đó được sự chấp thuận bằng văn bản
của tác giả.

© 1997-2003 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

ii


Bài giảng: Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn

Bảng nội dung
Chú ý bản quyền....................................................................................................... ii
Bảng nội dung..........................................................................................................iii
Lời nói đầu................................................................................................................ v
Chương 1. Giới thiệu................................................................................................1
I. Các khái niệm cơ bản........................................................................................1
II. Nhắc lại ma trận đại số.....................................................................................7
III. Phần tử lò xo.................................................................................................14
Chương 2. Các phần tử thanh và dầm..................................................................25
I. Phân tích tuyến tính tĩnh định.......................................................................... 25
II. Phần tử thanh..................................................................................................26
III. Phần tử dầm...................................................................................................53
Chương 3. Các bài toán 2 chiều........................................................................... 75
I. Nhắc lại lý thuyết cơ bản..................................................................................75
II. Các phần tử hữu hạn cho bài toán 2 chiều..................................................... 82
Chương 4. Mô hình hóa phần tử hữu hạn và các phương pháp giải...................105
I. Tính đối xứng..................................................................................................105
II. Phân cấu trúc (siêu phần tử).........................................................................107
III. Giải phương trình....................................................................................... 109
IV. Bản chất của việc giải phần tử hữu hạn.......................................................112
V. Sai số............................................................................................................. 114

© 1997-2003 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

iii


Bài giảng: Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn

VI. Tính hội tụ của việc giải phần tử hữu hạn................................................... 116
VII. Khả năng thích ứng (Các phương pháp h-, p-, và hp)................................117
Chương 5. Phần tử tấm và vỏ...............................................................................119
I. Lý thuyết về tấm..............................................................................................119
II. Phần tử tấm...................................................................................................129
III. Phần tử tấm và vỏ.......................................................................................133
Chương 6. Phần tử đặc cho bài toán 3-D............................................................138
I. Lý thuyết đàn hồi 3-D.....................................................................................138
II. Công thức phần tử hữu hạn.......................................................................... 142
III. Các phần tử đặc hữu hạn 3-D điển hình..................................................... 144
Chương 7. Dao động và động lực học kết cấu.....................................................157
I. Các phương trình cơ bản............................................................................... 157
II. Dao động tự do..............................................................................................163
III. Sự tắt dần dao động.....................................................................................167
IV.Cách thức lập phương trình..........................................................................168
V. Phân tích tần số phản ứng.............................................................................171
VI. Phân tích phản ứng chuyển tiếp...................................................................172
Chương 8. Phân tích nhiệt................................................................................... 177
I. Trường nhiệt độ..............................................................................................177
II. Phân tích ứng suất do nhiệt độ..................................................................... 180
Đọc thêm............................................................................................................... 183

© 1997-2003 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

iv


Lời nói đầu
Bài giảng trực tuyến này (theo hình thức 1 sách điện tử) được nhằm để phục
vụ cho giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) cho sinh viên các trường
đại học hoặc những độc giả khác, những người chưa từng có kinh nghiệm trước đó
với phương pháp sử dụng máy tính để tính toán.
Bài giảng này bao gồm các khái niệm trong phương pháp phần tử hữu hạn
sử dụng các bài toán cơ học đơn giản nhất như các ví dụ, và hướng dẫn thảo luận
và ứng dụng của thanh 1-D và dầm, mặt phẳng 2-D và phần tử rắn 3-D trong phân
tích ứng suất của kết cấu, sự dao động và động lực học. Sử dụng hợp lý phương
pháp phần tử hữu hạn, như một công cụ số học phổ biến trong kỹ thuật, được nhấn
mạnh trong bài giảng này.
Bài giảng trực tuyến này dựa trên bài giảng được phát triển bởi tác giả từ
năm 1997 cho quá trình giảng dạy cho sinh viên về phương pháp phần tử hữu hạn
trong phòng nghiên cứu cơ học kỹ thuật thuộc đại học Cincinnati. Từ đó mà có
sách điện tử này, tác giả khuyến nghị các độc giả giữ lại tài liệu này và xem nó trực
tuyến hoặc ngoại tuyến trong máy tính của anh/chị. Các nội dung và lối viết của tài
liệu này sẽ thay đổi qua thời gian, và vì thế các bản cứng có thể trở nên lỗi thời
ngay tức khắc sau khi chúng được in. Các độc giả được hoan nghêng để liên hệ với
tác giả cho bất cứ sự góp ý nào nhằm cải thiện sách điện tử này và để báo cáo bất
cứ thiếu sót nào được trình bày trong các chủ để hoặc các lỗi do in ấn. Mục đích
cuối cùng của sách điện tử này về phương pháp phần tử hữu hạn là để phương
pháp này dễ dàng đạt được, các nhà nghiên cứu và các kĩ sư, khắp thế giới, để giúp
họ học tập các chủ đề trong phương pháp phần tử hữu hạn và thậm chí giải quyết
thiết kế của chính họ và các bài toán phân tích sử dụng phương pháp phần tử hữu
hạn.
Tác giả gửi lời cảm ơn đến các sinh viên cũ chưa tốt nghiệp và đã tốt nghiệp
với sự góp ý của họ cho các phiên bản đầu tiên của bài giảng này và với những

đóng góp của họ để có được nhiều ví dụ trong phiên bản hiện tại của bài giảng này.
Yijun Liu
Cincinnati, Ohio, USA
Tháng 12 năm 2002


Bài giảng: Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 1. Giới thiệu

Chương 1. Giới thiệu
I. Các khái niệm cơ bản
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), hoặc phân tích phần
tử hữu hạn (FEA), được dựa trên ý tưởng của xây dựng một vật
thể phức tạp bao gồm các khối đơn giản, hoặc, chia một vật thể
phức tạp thành các bộ phận nhỏ và có thể quản lý. Ứng dụng của
ý tưởng đơn giản này có thể thấy ở mọi nơi trong cuộc sống
thường ngày, cũng như là trong kĩ thuật.
Các ví dụ:
• Xếp hình
(trò chơi trẻ con)
• Các công trình xây dựng
• Lấy xấp xỉ diện tích 1 hình tròn:
“Phần tử” Si
θi
R

Diện tích một tam giác:
Diện tích hình tròn:

1
Si = R 2 sinθi
2

N
 2π
1
SN = ∑ Si = R 2N sin
2
i =1
N


2
÷ → π R trong khi N → ∞


Tại đó N = tổng số tam giác (các phần tử).
© 1997-2003 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

1


Bài giảng: Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 1. Giới thiệu

Nhận xét: Vật thể phức tạp hoặc vật thể phẳng có thể được
biểu diễn bởi các chi tiết hình học đơn giản (các phần tử).

© 1997-2003 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

2


Tại sao là phương pháp phần tử hữu hạn?
• Phân tích thiết kế: Tính toán bằng tay, các thí nghiệm, và
mô hình hóa bằng máy tính
• FEM/FEA là phương pháp mô hình hóa bằng máy tính
phổ biến nhất được áp dụng rộng rãi.
• Tạo thành thể thống nhất chặt chẽ với các ứng dụng
CAD/CAM.
• ...

Ứng dụng của FEM trong kĩ thuật
• Cơ học/Hàng không/Xây dựng/Kĩ thuật ô tô
• Phân tích kết cấu (tĩnh/động, tuyến tính/không tuyến tính)
• Nhiệt/dòng chất lỏng
• Điện từ
• Hình học
• Sinh trắc học
• ...
Mô hình của liên kết bánh răng

Các ví dụ:
...


Tóm tắt lịch sử của FEM
• 1943 ----- Courant (Các phương pháp dao động)

• 1956 ----- Turner, Clough, Martin and Topp (Tính cứng)
• 1960 ----- Clough (“Phần tử hữu hạn”, các bài toán phẳng)
• 1970s ----- Ứng dụng trong các máy tính lớn
• 1980s ----- Các máy tính nhỏ, tiền xử lý và hậu xử lý
• 1990s ----- Phân tích các hệ thống kết cấu lớn

Thử nghiệm thả rơi lon (Click vào để thông tin chi tiết hơn và xem hoạt ảnh)


FEM trong phân tích kết cấu (Cách tiến hành)
• Chia kết cấu thành các chi tiết (các phần tử với các nút giao)
• Mô tả trạng thái của các khối lượng vật thể trên mỗi phần tử
• Kết nối (kết hợp) các phần tử tại các nút giao để tạo thành
một hệ gần đúng cân bằng cho toàn bộ kết cấu
• Giải các hệ phương trình liên quan mà không biết các khối
lượng tại các nút (ví dụ, độ dịch chuyển)
• Tính toán các đại lượng mong muốn (ví dụ, ứng suất và
biến dạng) ở các phần tử đã chọn

Ví dụ:

FEM Mô hình cho bánh xe có răng (Từ sách của Cook, p.2).


Thực thi bằng máy tính
• Xử lý trước (Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn, các tải
trọng và các liên kết)
• Giải FEA (kết hợp và giải các hệ phương trình)
• Xử lý sau (sắp xếp và hiển thị các kết quả)

Các gói phần mềm FEM thương mại có sẵn
• ANSYS (Đầy đủ mục đích, PC và các máy trạm)
• SDRC/I-DEAS (Gói CAD/CAM/CAE hoàn thiện)
• NASTRAN (Đầy đủ mục đích FEA trên các máy tính lớn)
• ABAQUS (Phân tích không tuyến tính và động học)
• COSMOS (Đầy đủ mục đích FEA)
• ALGOR (PC và các máy trạm)
• PATRAN (Xử lý Trước/Sau)
• HyperMesh (Xử lý Trước/Sau)
• Dyna-3D (Phân tích nổ/lực xung)
• ...
Một đường dẫn đến công ty và phần mềm CAE


Các mục đích của khóa học FEM này
• Hiểu về các ý tưởng cơ sở của FEM
• Hiểu trạng thái và cách sử dụng mỗi kiểu của các phần tử
được đề cập trong khóa học này
• Có thể sẵn sàng làm mô hình theo FE cho các bài toán được
giao
• Có thể giải thích và đánh giá tính chính xác của các kết quả
(biết các bài toán về vật lý học)
• Có hiểu biết giới hạn về FEM (đừng lạm dụng FEM – 1
công cụ số học)

FEA của một xe điện không tải (Click để thêm chi tiết)
Bởi Jeff Badertscher (Lớp ME năm 2001, UC)

Xem nhiều ví dụ hơn trong:
Trình bày: Phân tích phần tử hữu hạn trong công việc

II. Nhắc lại ma trận đại số
Hệ tuyến tính của phương trình đại số
a11 x1 + a12 x2 +...+a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+a2n xn =
b2
.......
an1 x1  a n2 x2
+...+ann xn

(1)

=
bn

Trong đó x1, x2, ..., xn là các ẩn số.
Trong dạng ma trận:
Ax =
b

(2)

Trong đó

(3)


A được gọi là một ma trận n×n (vuông), x và b là véc tơ (cột) với
kích thước n.

Véc tơ Hàng và cột

Phép cộng và trừ ma trận
Cho 2 ma trận A và B, có cùng kích thước (m×n), phép cộng
và trừ được xác định bởi:
C = A+

với

BD= A

với

−B

cij = aij + bij
d = aij − bij
ij

Phép nhân với đại lượng vô hướng
λA = [λai

]

Phép nhân ma trận
Cho 2 ma trận A (với kích thước l×m) và B (với kích thước
m×n), kết quả của AB được xác định bởi:
C=

AB

với cij

=

m

∑a

b

ik kj

k=1

trong đó i = 1, 2, ..., l; j = 1, 2, ..., n.
Chú ý rằng, thông thường, AB ≠ BA , nhưng (AB)C =
A(BC) (tính chất kết hợp).


Ma trận chuyển vị
Nếu A = [aij], thì chuyển vị của A là:

[ ]

A T = a ji

Chú ý rằng (AB)T = BT AT .
Ma trận đối xứng

1 ma trận vuông A (n×n) được gọi là đối xứng nếu:
A= A
T

hoặc

= a ji

aij
Ma trận đơn vị (đồng nhất)

Chú ý rằng AI = A, Ix = x.
Định thức của ma trận
Định thức của ma trận vuông A là một đại lượng vô hướng kí
hiệu là det A hoặc |A|. Cho ma trận 2×2 và 3×3, định thức của
chúng được xác định bởi:

và


Ma trận đơn
Ma trận vuông A là ma trận đơn nếu det A = 0, nó chỉ ra các
bài toán trong các hệ (các phép giải duy nhất, độ suy biến, vv...)
Nghịch đảo của ma trận
Cho một ma trận A vuông và không phải ma trận đơn ( det A
≠ 0 ), nghịch đảo của nó A-1 được thiết lập theo cách sau:
−1

AA −1 = A A = I
Phần phụ đại số C của ma trận A được xác định bởi:

Cij = (−1)i + j M
i
Trong đó Mij là định thức của ma trận nhỏ hơn thu được bởi rút
ra từ hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A.
Vì vậy, nghịch đảo của ma trận A có thể được xác định bởi:
A −1 =

1
det A

C

T

Chúng ta nhận thấy rằng (AB)-1= B-1A-1.


Các ví dụ:

kiểm tra

kiểm tra

Nếu det A = 0 (ví dụ, A là ma trận đơn), thì A-1 không tồn tại!
Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính (Hệ pt.(1)) có thể
được biểu thị như sau (Nhân nghịch đảo của ma trận A không phải
ma trận đơn với một hệ số):
−1

x= A b

Vì vậy, nhiệm vụ chủ yếu trong giải phương trình tuyến tính là
để tìm ra nghịch đảo của ma trận hệ số.


Phương pháp giải kĩ thuật cho hệ pt tuyến tính
• Phương pháp loại trừ của Gauss
• Phương pháp lặp
Ma trận xác định dương
Ma trận vuông A (n×n) được xem là xác định dương, nếu như
trong nó tất cả các véc tơ x khác 0 có kích thước n,
x Ax > 0
T

Chú ý: Các ma trận xác định dương không là ma trận đơn.
Đạo hàm và tích phân của ma trận
Cho

[

A(t ) = a ij (t )

]

thì đạo hàm của nó xác định bởi:

và tích phân được xác định:


Các dạng phần tử hữu hạn
Phần tử 1-D (Đường thẳng)

(Lò xo, thanh kèo, dầm, ống, vv...)
Phần tử 2-D (Mặt phẳng)

(Vách ngăn, tấm, vỏ, vv...)
Phần tử 3-D (Khối)

(Trường nhiệt độ 3-D, độ dịch chuyển, ứng suất, vận tốc dòng chảy)


III. Phần tử lò xo
“Mọi thứ quan trọng đều đơn giản.”
Phần tử lò xo đơn
x

i
fi

ui

j
uj

k

fj

2 nút:

i, j

Độ dịch chuyển của nút:

ui, uj (in, m, mm)

Lực tác dụng vào nút:

fi, fj (lb, Newton)

Hằng số lò xo (độ cứng):

k (lb/in, N/m, N/mm)

Quan hệ giữa lực tác dụng vào lò xo và độ dịch chuyển:
F = k∆

với ∆ = u j − ui
Tuyến tính
Không tuyến tính

F
k

∆
k = F / ∆ (> 0) là lực cần thiết để sinh ra 1 đơn vị dịch chuyển.


Chúng ta chỉ chú ý đến bài toán tuyến tính trong khóa học
mang tính chất giới thiệu này.
Xét trạng thái cân bằng về lực của lò xo. Tại nút i, ta có:

fi = − F

= −k
(u j

− ui )
=

ku − kuj
i

và tại nút j,
f j=
F

= k
(u j

− ui ) =
−kui



kuj

Biểu diễn dưới dạng ma trận,

hoặc,

ku = f

trong đó
k = (phần tử) ma trận độ cứng
u = (phần tử nút) véc tơ chuyển vị
f = (phần tử nút) véc tơ lực
Chú ý k là ma trận đối xứng. Ma trận k đơn hay không đơn?
Đó là, ta có thể giải phương trình trên? Tại sao không?


Hệ lò xo
k1

x

k2

1

2

3

u1, F1

u2, F2

u3, F3

Cho phần tử 1,

phần tử 2,

m

trong đói f là lực (nội bộ) tác dụng vào nút i của phần tử m (i = 1,
2).
Kết hợp với ma trận độ cứng cho toàn hệ:
Xét trạng thái cân bằng về lực của nút 1,

Tại nút 2,
và nút 3,


Vì thế,
F1 k1u1 − k1u2
=
F2 = −k1u1 + (k1 + k2 )u2 − k2u3
F3 = −k2u2 + k2u3
Biểu diễn dưới dạng ma trận,

Hoặc
KU = F
K là ma trận độ cứng (ma trận kết cấu) của hệ lò xo.
Một cách khác để kết hợp toàn bộ ma trận độ cứng:
“Phát triển” các ma trận độ cứng cho phần tử 1 và 2, ta có


Cộng 2 phương trình ma trận (cộng dồn), ta có:

Đây là một phương trình tương tự mà ta suy ra bằng cách sử dụng

quan điểm cân bằng về lực.
Các điều kiện biên và tải trọng:
Chắc rằng,

u1 = 0

và

F2 = F3 = P

Ta có:

Rút gọn thành:

Và
Ẩn số chưa biết là:

và lực tác dụng F1 (nếu yêu cầu)