Bản dịch phương pháp số Yujin Liu Phần 2

Bài giảng: Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 2.

Chương 2. Phần tử thanh và dầm

Phần tử thanh và dầm

I. Phân tích tuyến tính tĩnh định
Phần lớn các bài toán phân tích kết cấu có thể giải dựa vào
bài toán tuyến tính tĩnh định, dựa trên những giả thiết dưới đây:
1. Các biến dạng nhỏ (Sơ đồ tải trọng không thay đổi phụ
thuộc vào mô hình đã bị biến dạng)
2. Các vật liệu đàn hồi (không đàn hồi hoặc dễ phá hủy)
3. Các tải trọng tĩnh (tải trọng được đặt vào kết cấu trong
cách chậm và ổn định)

Phân tích tĩnh định có thể cung cấp phần lớn thông tin về ứng
xử của 1 kết cấu và có thể tương đối chính xác trong nhiều phân
tích. Nó cũng dựa trên phân tích tuyến tính trong phần lớn trường
hợp.

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

25


Bài giảng: Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

Chương 2. Phần tử thanh và dầm

26


Bài giảng: Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 2. Phần tử thanh và dầm

II. Phần tử thanh
Xét 1 thanh lăng trụ đồng nhất:

L

chiều dài

A

diện tích tiết diện

E

Mođun đàn hồi

u  u( x)

chuyển vị

   ( x)

biến dạng

   (x)

ứng suất

Quan hệ biến dạng – chuyển vị:

Quan hệ ứng suất và biến dạng:

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

27


Ma trận độ cứng --- Phương pháp trực tiếp
Giả thiết rằng chuyển vị u biến đổi tuyến tính dọc theo trục
của thanh.


Ta có:

Độ giãn dài

Ta cũng có:

Vì vậy, (5) và (6) dẫn đến:

Nội lực của thanh

EA
là độ cứng của thanh
L
Thanh có tác dụng như một lò xo trong trường hợp này và ta kết
luận phần tử ma trận độ cứng là:
Trong đó k 


Hoặc

Điều này có thể được kiểm chứng bằng cách xét cân bằng về lực ở 2
nút.
Phương trình cân bằng của phần tử là:

Bậc tự do (dof)
Số thành phần hợp thành của véc tơ chuyển vị tại 1 nút.
Trong thanh 1-D: 1 bậc tự do ở mỗi nút.
Ý nghĩa vật lý của các hệ số trong k
Cột thứ j của k (ở đây j = 1 hoặc 2) ứng với các lực đặt vào
thanh để duy trì 1 mô hình biến dạng với chuyển vị đơn vị ở nút j
và không có chuyển vị ở các nút khác.


Ma trận độ cứng --- Phương pháp gần đúng
Ta tìm ma trận độ cứng đã được đề cập đến cho thanh sử
dụng phương pháp gần đúng có thể ứng dụng nhiều hơn trong các
bài toán phức tạp khác.
Xác định 2 hàm số tuyến tính như sau:

Ni ()  1 ,

N j ( )  



Trong đó



x
L

,

01

Từ (3) ta viết chuyển vị thành:
u( x)  u()  Ni ()ui+N j (  )u j
Hoặc:

Biến dạng được xác định bởi (1) và (12) là:

Trong đó B phần tử ma trận biến dạng-chuyển vị, đó là:

(11)


Ứng suất có thể viết như sau:

Xét năng lượng gây ra bởi biến dạng được dự trữ trong thanh

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

30


Trong đó (13) và (15) đã được sử dụng.
Công được tạo ra bởi các lực của 2 nút là:

Do tính chất bảo toàn của hệ, ta nhận được:

Điều này cho ta:

Ta kết luận rằng:

© 1997-2002 Yijun Liu, Đại học Cincinnati

31



Hoặc:
Trong đó:

là phần tử ma trận độ cứng.
Biểu thức (20) là kết quả tổng quát nó có thể được sử dụng
để xây dựng các kiểu phần tử khác. Biểu thức này cũng có thể
được tìm ra nhờ sử dụng các phương pháp gần đúng nghiêm ngặt
khác, như là Nguyên tắc năng lượng tiềm tàng tối thiểu, hoặc

Phương pháp Galerkin.
Bây giờ, ta tính biểu thức (20) cho phần tử thanh bằng cách
sử dụng (14):

Điều này tương tự như ta đã tìm bằng phương pháp trực tiếp.
Chú ý rằng từ (16) và (20), năng lượng của biến dạng trong
phần tử có thể viết thành:


Điểm ghìm

Ví dụ 2.1
1 2A,E
1

2 A,E
2

L

P

3

x

L

Bài toán: Tìm ứng suất trong 2 thanh liên kết với nhau được đặt
vào 1 lực P và được ghìm bởi 2 điểm mút chỉ ra như

hình bên trên.
Cách giải: Sử dụng 2 phần tử thanh 1-D.
Phần tử 1,

Phần tử 2,

Hình dung không có ma sát tại điểm ghìm nút 2, điểm này kết nối
2 phần tử với nhau. Ta có thể thu được phương trình phần tử hữu
hạn tổng thể như sau:



Tải trọng và các điều kiện biên (BC) là:

Phương trình phần tử hữu hạn trở thành:

Xóa hàng 1 cột 1, và hàng 3 cột 3, ta thu được:

Vì vậy:

và

Ứng suất trong phần tử 1 là:



Tương tự, ứng suất trong phần tử 2:

Điều này chứng tỏ rằng thanh 2 bị biến dạng nén.
Kiểm tra các kết quả!

Các chú ý:
 Trong trường hợp này, ta tính toán ứng suất trong các
thanh 1 và 2 là chính xác theo lý thuyết tuyến tính cho các
kết cấu thanh 1-D. Nó sẽ không giúp ích gì nếu ta chia
phần tử 1 hoặc 2 thành các phần tử hữu hạn nhỏ hơn nữa.
 Với các thanh hình nón, các giá trị trung bình của các diện
tích tiết diện nên được sử dụng cho các phần tử.
 Ta cần tìm các chuyển vị trước tiên để tìm các ứng suất, từ
đó ta sử dụng chuyển vị căn cứ vào phương pháp phần tử
hữu hạn.



Ví dụ 2.2

Bài toán: Xác định các phản lực gối tựa ở 2 đầu mút của thanh chỉ
ra ở trên, cho trước dưới đây:

Cách giải:
Ta kiểm tra trước để thấy rằng có hoặc không có sự tiếp xúc
của thanh với tường ở phía bên phải sẽ xảy ra. Để làm điều này, ta
hình dung tường ở phía bên phải được loại bỏ và tính toán chuyển
vị ở đầu mút bên phải.

Vì vậy, sự tiếp xúc xảy ra.
Phương trình phần tử hữu hạn tổng thể được tìm ra là:




Tải trọng và các điều kiện biên là:

Phương trình phần tử hữu hạn trở thành:

Phương trình thứ 2 cho ta:

Vậy là:

Giải phương trình này ta được:

và



Để tính các phản lực gối tựa ta ứng dụng phương trình 1 và 3
trong phương trình phần tử hữu hạn tổng thể.
Phương trình 1 cho ta:

Và phương trình 3 cho ta:

Kiểm tra các kết quả!


Tải trọng phân phối

Tải trọng phân bố đều dọc trục q (N/mm, N/m, lb/in) có thể
được quy đổi thành các lực tương đương tại 2 nút có độ lớn qL/2.
Ta kiểm chứng điều này bằng cách xét công được thực hiện bởi tải
trọng q.

Vậy là:

Vì vậy, từ giả thiết U=W cho phần tử, ta có:

Điều này sinh ra:

Véc tơ lực mới của nút là:

Trong một tập hợp các thanh: