bài giảng mạch điện chương 6 ppsx

CHƯƠNG 6
PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN THỜI
GIAN


6.1 Mở đầu
6.2 Phương pháp tích phân kinh điển
6.2.1 Xác định đáp ứng quá độ iqđ(t)
6.2.2 Xác định đáp ứng xác lập ixl(t)
6.2.3 Xác định điều kiện đầu
6.3 Phương pháp toán tử Laplace
6.3.1 Phép biến đổi Laplace
6.3.2 Phép biến đổi Laplace của định luật Ohm,
Kirchoff
6.3.3 Biến đổi ngược Laplace


6.1. KHÁI NIỆM VỀ QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ
Xét mạch điện như hình vẽ (1.1):
K

R

i(t)
L

E

Hình (1.1)
Trong đó: K là khóa dùng đóng mở mạch điện.
Trước khi khóa K đóng (t<0) i = 0 gọi là giá trị ban đầu .

Khóa K đóng (t0) trong một thời gian dài thì dòng điện đạt đến
giá trị xác lập là i E
R


Quá trình biến đổi một đại lượng (i) từ giá trị ban đầu
đến giá trị xác lập được gọi là quá trình quá độ.


6.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN QUÁ
ĐỘ (PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KINH ĐIỂN)
Phương pháp giải tổng quát:
- Viết phương trình mạch (PTVP) dùng Kirchhoff 1, 2.
- Nghiệm của PTVP có dạng i(t) = iqđ(t) + ixl(t).
- Đáp ứng quá độ iqđ(t) là nghiệm tổng quát của phương trình vi
phân thuần nhất.
- Đáp ứng xác lập ixl(t) là nghiệm riêng của phương trình vi phân
không thuần nhất.
- Tìm điều kiện đầu  các hằng số tích phân.


6.2.1. Giải bài toán với điều kiện ban đầu bằng 0
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ (1.2):

K

R

i(t)
L

E

Hình (1.2)
Tại t = 0 đóng khoá K lại. Tìm cường độ dòng điện i(t) chạy
trong mạch điện.


Lời giải
Khi khóa K đóng lại:
uR + uL = E (1.1.1)
Mà: uR = iR
u L di thay vào pt(1.1) ta
L dt
được:
(1.1.2)
 iR  L di E
dt
Vậy ta phải giải phương trình vi phân để tìm i(t).
Giả sử i là nghiệm của phương trình:
i = itự do + ixác lập (1.1.3)
ixác lập: là dòng điện trong mạch sau khi đóng (hoặc mở) khoá K
sau một thời gian dài. Trong mỗi mạch điện cụ thể có một giá
trị xác lập.
itự do (iquá độ ): là nghiệm của phương trình vi phân có vế phải
bằng không (phương trình thuần nhất).


(Thành phần tự do (quá độ) của điện áp và dòng điện phụ
thuộc vào năng lượng tích lũy trong mạch và các thông số

mạch, nó không phụ thuộc vào hình dạng của nguồn tác động)
Đặt itd = kept ≠ 0
Trong đó:
k: hằng số
p: số phức
t: thời gian
i.R L di 0
dt
Thay vào:
pt )
d(ke
pt
 Ke R  L

dt

kept (R  Lp) 0


Để nghiệm itd  0 (kept 0)
 R + Lp = 0

 p  R
L
 Rt
 i ke L
td
Mà:

ixác lập = E

R

Rt

Vậy: i(t) E  ke L
R


6.2.2 Xác định đáp ứng quá độ iqđ(t)
Đáp ứng quá độ iqđ(t) thường được tìm dưới dạng iqđ(t) = ept
trong đó p là hằng số cần xác định.
Xét phương trình vi phân:

di
d i
d i
a
a
   a i 0
dt
dt
dt
n

n 1

n

1

n 1

n 2

2

n 2

n

Có phương trình đặc tính:
p n  a p n    a p n      an 

Giải phương trình đặc tính ta có n nghiệm p. Mỗi nghiệm của phương
trình đặc tính ứng với 1 thành phần của 1 đáp ứng quá độ.
Chú ý: ta chỉ quan tâm đến một nghiệm là hàm thực theo thời
gian và thỏa mãn những điều kiện ban đầu nào đó


Trường hợp pj là n nghiệm thực đơn

iqđđ(t ) K j .e

p jt

n

 iqđ (t )  iqđđ(t )
j 

Trường hợp p1 nghiệm thực kép, (n-2) nghiệm còn lại
thực đơn
iqđ  (t ) ( K  K t ).e pt
n

 iqđ (t ) iqđ  (t )   iqđđ(t )
j 

Trường hợp p1 nghiệm thực bội k, (n-k) nghiệm còn lại là
thực đơn
pt
k
iqđ  (t ) ( K  K  t    K k t
n

 iqđ (t ) iqđ  (t ) 

i

qđđ

j k 

(t )

).e



Trường hợp p1 =   j là nghiệm liên hợp phức đơn

i (t ) ( K cos t  K sin t ).e
qđ 1

1

t

2

K e sin(  t   )
t

3

n

 i (t ) i (t )   i (t )
qđ

qđ 1

j 2

qđđ

Trường hợp p1 =   j là nghiệm liên hợp phức kép

i (t ) ( K cos t  K sin  t ).e

qđ 1

1

t

2

 ( K cos t  K sin t ).te
3

t

4

K e sin( t   )  K te sin( t   )
t

t

5

1

n

 i (t ) i (t )   i (t )
qđ

qđ 1

j 2

qđ

6

2


Ví dụ 1: Tại t = 0 đóng khóa k, xác định uqđ(t).
K1 ta có:

k

i  i  i J
C

J

L

R

R

L

C

du u 1
 C   udt  i (0) J
dt R L
d u 1 du 1
dJ
C

 u 0 
dt
R dt L
dt
t

0

2

2

Phương trình đặc tính:
Cp  





p    p  
p

R

L
RC
LC

L


Nghiệm phương trình đặc tính:

Nếu

p, 





 RC C

1 4C
1
1

thì
p



1
R2

L
2 RC 2C
p2 

1
1

2 RC 2C

 uqđ (t ) Ke pt  K e pt

Nếu

1 4C
1

thì
p
p



2
1
R2
L
2 RC
 uqđ (t ) ( K1  K 2t )e p1t

1 4C


2
R
L
1 4C

2
R
L

 C


R
L


Nếu

1 4C
1
1
1

thì
p
j





1
R2
L
2 RC
LC 4 R 2 C 2
p2 

1
1
1
 j

2 RC
LC 4 R 2 C 2

 uqñ(t) (Kcos t  K  sin t)et



vôùi
:  
; 

RC
LC R C


6.2.3 Xác định đáp ứng xác lập ixl(t)
Đáp ứng xác lập là nghiệm của phương trình không thuần

nhất phụ thuộc nguồn kích thích.
Dùng phương pháp hệ số không xác định để tìm nghiệm này.
Ví dụ 2: Tại t = 0 đóng khóa k, xác định uxl(t).
Trường hợp nguồn J = hằng số

k
J

L

R

C

uxl(t) U const
Theo ví dụ 1 ta có:

Cuxl'' 



'
uxl  uxl 
R
L


vôùi
uxl U  U   uxl(t) U 
L

Trường hợp nguồn J = J1sint + J2cost

uxl(t) K sint  K  cost
Theo ví dụ 1 ta có:

duxl uxl  t
C

 uxldt iL () J  sint  J  cost
dt
R L


''
Cuxl 



'
uxl  uxl  J   cost  J   sint
R
L

vôùi
: uxl' K  cost  K   sint


''

uxl





 K  sint  K   cost



  CK  sint  CK   cost  K  cost 
R



K   sint  K sint  K  cost 
R
L
L
J   cost  J   sint








  CK   R K    L K  J  
 

 K vaø
K
  CK     K    K J 





R
L
 uxl(t)


Trường hợp nguồn J = Jet
t

uxl(t) Ke

Kiểm chứng tương tự như 2 trường hợp trước.
Trường hợp nguồn J = (J1sint + J2cost)et với  < 0
(nguồn sin tắt dần)
uxl(t) = (K1sint + K2cost)et
Chú ý: trường hợp chỉ đúng khi nguồn kích thích không trùng
với đáp ứng quá độ.
Kiểm chứng tương tự như 2 trường hợp trước.


Ví dụ 4: cho mạch điện như hình vẽ
Tại t = 0 đóng khóa K, hãy xác
định ucqđ(t) và ucxl(t).

- Áp dụng K2 cho mạch:

+
E
-

k

R
C

duc
uR  uc E  R.C
 uc E ()
dt
- Phương trình (1) dạng bậc 1 nên ucqđ(t) = Kept là nghiệm
tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất (VP = 0).
duc
R.C
 uc 
dt
 RCp  1 0  p 

1
RC



 ucqñ(t) Ke


t
RC


- Do nguồn tác động là hằng số nên ucxl(t) là nghiệm riêng
của phương trình (1) có dạng ucxl(t) = U0 = const.

dU
R.C
 U E  U ucxl(t) E
dt
Vậy:

- t
u(t) = E + Ke RC

Xác định k: Dựa vào điều kiện ban đầu của bài
toán:
uc(0) = 0
Tại t = 0:
uc(0) = E + ke0 = 0
⇒ k=–E
- t
⇒ uc(t) = E(1-e RC )
t
τ
uc(t) = E(1 - e )

Đặt τ = RC: hằng số thời gian của mạch (đơn vị s)
Vậy:
u
khi t = 0  uc(t) = 0
khi t =   uc(t) = E

c

E
t

0

Theo đề bài ta tìm i(t)

t
t
t
du
RC
RC
d(E
E.e
)
i=C C =C
= CE e
= E e RC
R
RC
dt

dt
-τt
E
i(t) = e
R

i

với  = RC

E
• Tại t = 0  i = R
•Tại t =   i = 0

0

t


6.2.4. Giải bài toán với điều kiện đầu khác 0
a. Mạch có cuộn dây
Cho mạch điện như hình 6.7. Tại t = 0, mở khóa K.
Xác định i(0+).

Hình 6.7
Điều kiện bảo toàn từ thông: Tổng từ thông móc vòng trong
một vòng kín liên tục tại thời điểm đóng mở:
 (0–) = (0+)
(1.1)
Tại t0–  (0–)

Tại t0+  (0+)
Từ thông  = L.i
L.i(0–) = L.i(0+) (1.2)


• Tại t0-:
(0–) =
L1.i(0–)
•Tại t0+:

E
iL2(0-) = 0
R
iL1(0-) =
(0+) = L1.i(0+) + L2.i(0+) = (L1 +

L2).i(0+)
Mà: (0–) = (0+)
 L1.i(0–) = (L1 + EL2).i(0+)
L
i(0+) = 1 R
(1.3)
Vậy 
L +L
1 2


Ví dụ 6.8

Cho mạch điện như hình 6.8. Tại t = 0 mở K, tìm i(t).

Hình 6.8
Giải
Bước 1: Xác định điều kiện
đầu
Trước khi mở K:
i(-0 ) = E = 12 = 3A
R 4
L i(-0) 3
i(+0 ) = 1
= A
L +L 4
1 2