Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

XÂY DỰNG CÁC ĐẶC TRƯNG NỬA ĐƠN CHO
NHÓM SPIN p-ADIC

Mã số: ĐH2015-TN06-01

Chủ nhiệm đề tài: TS. NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên – 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

XÂY DỰNG CÁC ĐẶC TRƯNG NỬA ĐƠN CHO
NHÓM SPIN p-ADIC

Mã số: ĐH2015-TN06-01

Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài

Chủ nhiệm đề tài

(Ký, họ tên, đóng dấu)

(Ký, họ tên)

TS. Ngô Văn Định

Thái Nguyên – 2018


DANH SÁCH CÁC THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI

STT
1
2
3
4

Nội dung nghiên
cứu cụ thể được
giao

Đơn vị công tác và
lĩnh vực chuyên môn

Họ và tên
TS. Ngô Văn Định
TS. Ngô Thị Ngoan
ThS. Nguyễn Thu Hằng
ThS. Phạm Hồng Nam

Trường ĐH Khoa học – ĐHTN
Đại số và lý thuyết số
Trường ĐH Khoa học – ĐHTN
Đại số và lý thuyết số
Trường ĐH Khoa học – ĐHTN
Đại số và lý thuyết số
Trường ĐH Khoa học – ĐHTN
Đại số và lý thuyết số

Chủ nhiệm đề tài
Nghiên cứu viên
Nghiên cứu viên
Nghiên cứu viên

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH

Tên đơn vị
trong và ngoài nước
Viện Toán học – Viện Hàn
lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam
Viện Toán học Jussieu –
Cộng Hòa Pháp

Nội dung phối hợp
nghiên cứu

Họ và tên người đại diện
đơn vị

Hợp tác nghiên cứu,
Seminar

GS.TS. Nguyễn Quốc Thắng

Hợp tác nghiên cứu

M. Corinne Blondel


i

Mục lục

Thông tin kết quả nghiên cứu
Mở đầu

iii
1

Chương 1 . Một số kiến thức chuẩn bị

10

1.1

Một số kí hiệu và quy ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2

Biểu diễn supercuspidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

1.2.1

Biểu diễn supercuspidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2

Dạng cho các nhóm reductive . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Building Bruhat–Tits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1

Appartment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2

Wall và Chamber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.3

Building Bruhat–Tits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.4

Nhóm con parabolic và nhóm con parahoric . . . . . . . . . . 20

Chương 2 . Nhóm spin

2.1

23

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2

Chuẩn spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.3

Ví dụ về nhóm SpinF (1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2

Nhóm con pro-p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3

Nhóm tâm hóa của một phần tử của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1

Chuẩn spin trong một nhóm unita . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2

Nhóm tâm hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


ii

Chương 3 . Biểu diễn supercuspidal của nhóm spin
3.1

3.2

44

Stratum nửa đơn tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1

Dãy lọc Moy–Prasad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.2

Ngôn ngữ lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.3

Stratum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Đặc trưng nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.2

Phần tử bện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.3

Tính chất dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3

Mở rộng Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4

Mở rộng bêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5

3.4.1

Trường hợp cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4.2

Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Dạng cuspidaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Kết luận

70

Tài liệu tham khảo

71


iii

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p-adic
- Mã số: ĐH2015-TN06-01
- Chủ nhiệm đề tài: TS. Ngô Văn Định
- Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên
- Thời gian thực hiện: 30 tháng (từ 09/2015 đến 03/2018)
2. Mục tiêu:
Mục tiêu của đề tài là xây dựng một lớp các biểu diễn supercuspidal cho nhóm
spin p-adic bằng phương pháp dạng nửa đơn.
3. Tính mới và sáng tạo:
Đề tài đã xây dựng các khái niệm đặc trưng nửa đơn, β-mở rộng và xây dựng được
một họ biểu diễn supercuspidal cho nhóm spin p-adic.
4. Kết quả nghiên cứu:
Xây dựng được các đặc trưng nửa đơn và các mở rộng bêta của chúng cho nhóm
spin p-adic bằng cách nâng từ các đối tượng tương ứng cho nhóm trực giao đặc
biệt; Xây dựng được một lớp các biểu diễn supercuspidal cho nhóm spin p-adic bằng
phương pháp dạng nửa đơn.
5. Sản phẩm:
5.1. Sản phẩm khoa học:
Công bố 03 bài báo: 01 bài báo thuộc danh mục SCI, 01 bài báo quốc tế khác và

01 bài báo trong nước.


iv
1. Ngô Văn Định (2016), “Semisimple characters for p-adic spin groups”, Tạp chí
Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, tập 155, số 10, tr. 219–224.
2. Dinh Van Ngo (2017), “Beta extensions and cuspidal types for p-adic spin
groups”, Manuscripta Mathematica, Vol. 152, Issue 3, p. 513-531.
3. Ngo Van Dinh (2018), “On the spinor norm on unitary groups", East-West Journal of Mathematics (to appear).
5.2. Sản phẩm đào tạo:
- Hướng dẫn 01 đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học:
1. Nguyễn Thị Huệ (2016), Về nhóm SO(n) và phép quay không gian Euclide
thực, Đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên.
- Hướng dẫn 01 đề tài khóa luận tốt nghiệp:
1. Vũ Thị Huyền Nhung (2017), Định lý Burnside và một số áp dụng, Khóa luận
tốt nghiệp, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
- Hướng dẫn 03 đề tài luận văn thạc sĩ:
1. Vũ Văn Kiên (2015), Số phức và một số dạng toán hình học phẳng liên quan,
Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
2. Bùi Thanh Danh (2015), Định lý Sylvester–Galai và một số mở rộng, Luận văn
thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
3. Nguyễn Thị Huệ (2016), Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với
số Pell và số Pell liên kết, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên.


v
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của
kết quả nghiên cứu:

Các kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho công tác
nghiên cứu và đào tạo ở trình độ Đại học và sau Đại học.
Thái Nguyên, ngày 23 tháng 01 năm 2018
Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài

Chủ nhiệm đề tài

(Ký, họ tên, đóng dấu)

(Ký, họ tên)

TS. Ngô Văn Định


vi
INFORMATIONS ON RESEARCH RESULTS
1. General informations:
- Project title: Construction of semisimple characters for p-adic spin groups
- Code number: ĐH2015-TN06-01
- Coordinator: PhD. Ngô Văn Định
- Implementing institution: TNU - University of Sciences
- Duration: 30 months (from 09/2015 to 03/2018)
2. Objectives:
The objective of this project is to construct a class of supercuspidal representations
for p-adic spin groups by the semisimple type theory.
3. Creativeness and innovativeness:
In this project, we defined the notion of semisimple characters and β-extensions
for p-adic spin groups. In particular, we constructed a large class of supercuspidal
representations of p-adic spin groups.
4. Research results:

Constructed the semisimple characters and their beta extensions for p-adic spin
groups by lifting those of special orthogonal groups; constructed a class of supercuspidal representations for p-adic spin groups by the semisimple type theory.
5. Products:
5.1. Scientific products:
Contributed 03 papers: 01 in SCI journal, 01 in an other international journal and
01 in national journal.
1. Ngô Văn Định (2016), “Semisimple characters for p-adic spin groups”, Thai
Nguyen Journal of Sciences and Technology, Vol. 155, No. 10, p. 219-224.
2. Dinh Van Ngo (2017), “Beta extensions and cuspidal types for p-adic spin
groups”, Manuscripta Mathematica, Vol. 152, Issue 3, p. 513-531.
3. Ngo Van Dinh (2018), “On the spinor norm on unitary groups", East-West Journal of Mathematics (to appear).


vii
5.2. Training products:
- Supervise 01 student’s scientific research project:
1. Nguyễn Thị Huệ (2016), On the special orthogonal groups SO(n) and rotations, Student’s Scientific Research Project, TNU - University of Sciences.
- Supervise 01 student’s bachelor thesis:
1. Vũ Thị Huyền Nhung (2017), Burnside theorem and its applications, Bachelor
thesis, TNU - University of Sciences.
- Supervise 03 master students:
1. Vũ Văn Kiên (2015), Complex number and some related problems on plane
geometry, Master thesis, TNU - University of Sciences.
2. Bùi Thanh Danh (2015), Sylvester–Galai theorem and its generalizations,
Master thesis, TNU - University of Sciences.
3. Nguyễn Thị Huệ (2016), Some links of balancing and cobalancing numbers
with Pell and associated Pell numbers, Master thesis, TNU - University of
Sciences.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research
results:

The results of the subject will be an useful source reference for research and training at graduate and postgraduate levels.


1

Mở đầu
Mục đích của đề tài này là xây dựng các biểu diễn bất khả quy supercuspidal cho
các nhóm spin xác định trên các trường p-adic bằng phương pháp đặc trưng nửa đơn.
Lý thuyết biểu diễn của các nhóm đại số reductive xác định trên các trường p-adic thu
hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học từ những năm năm mươi thế kỉ trước. Howe
đã giới thiệu trong [16] một cách tiếp cận biểu diễn của các nhóm tuyến tính tổng quát
bằng phương pháp hạn chế xuống các nhóm con mở compact. Lý thuyết biểu diễn của
các nhóm tuyến tính tổng quát p-adic sau đó đã được hoàn thiện bằng phương pháp
đặc trưng nửa đơn bởi Bushnell và Kutzko [9, 10, 11].
Nhờ kết quả nghiên cứu độc lập của Moy và Prasad [22] và của Morris [20] trong
khoảng những năm cuối của thế kỉ trước, chúng ta đã có một phân loại hoàn chỉnh
đối với các biểu diễn bậc không, tức là các biểu diễn mà hạn chế của chúng xuống
căn lũy đơn của một nhóm con parahoric bất kỳ đều chứa đặc trưng tầm thường, của
nhóm reductive liên thông bất kỳ xác định trên các trường p-adic. Đối với các biểu
diễn có bậc dương, Yu [37] đã giới thiệu một cách xây dựng tổng quát cho các biểu
diễn supercuspidal. Tuy nhiên, tính vét cạn của cách xây dựng này mới chỉ được chứng
minh với một số điều kiện đối với trường cơ sở, đặc biệt là điều kiện đặc số thặng dư
của trường cơ sở phải đủ lớn [17].
Đối với các nhóm tuyến tính tổng quát, Bushnell và Kutzko [9] đã giới thiệu
phương pháp số học rất tinh tế nhằm xây dựng các biểu diễn bất khả quy supercuspidal. Ý tưởng của phương pháp này là xây dựng tất cả các biểu diễn bất khả quy
supercuspidal của các nhóm tuyến tính tổng quát như những biểu diễn cảm sinh compact từ các nhóm con mở compact theo modulo tâm (modulo the center). Phát triển
ý tưởng này, Stevens [33] đã xây dựng tất cả các biểu diễn bất khả quy supercuspidal


2

cho các nhóm cổ điển liên thông p-adic (nhóm unita, nhóm symplectic, nhóm trực
giao đặc biệt) trong trường hợp đặc số thặng dư của trường cơ sở là lẻ. Song song với
đó, Sécherre [25] và sau đó Sécherre và Stevens [26] cũng phát triển phương pháp của
Bushnell và Kutzko xây dựng các biểu diễn supercuspidal cho các nhom tuyến tính
tổng quát xác định trên các đại số chia (division algebra) trên trường p-adic. Theo
phương pháp của Stevens, Blasco và Blondel [2] gần đây cũng đã xây dựng một họ
các biểu diễn bất khả quy supercuspidal cho nhóm đặc biệt G2 p-adic với p > 3.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm đến việc sử dụng phương pháp của Stevens
để xây dựng các biểu diễn bất khả quy supercuspidal cho các nhóm spin xác định trên
các trường p-adic.
Gọi G là một nhóm spin xác định trên trường địa phương phi Acsimet với đặc số
thặng dư lẻ. Mục đích của phương pháp xây dựng mà chúng tôi quan tâm là xây dựng
các cặp (J, λ) bao gồm một nhóm con mở compact J của G và một biểu diễn bất khả
quy λ của J sao cho biểu diễn cảm sinh compact π = c − IndG
J λ là biểu diễn bất khả
quy supercuspidal của G. Hơn nữa, chúng tôi hy vọng rằng nhờ phương pháp này ta
có thể xây dựng được tất cả các biểu diễn bất khả quy supercuspidal của G.

Nhóm spin
Trước khi mô tả xây dựng biểu diễn của nhóm spin, chúng tôi giới thiệu lại về
nhóm spin và một số khái niệm liên quan. Gọi F là trường địa phương compact địa
phương phi Acsimet với đặc số thặng dư lẻ p và gọi V là F -không gian vectơ hữu hạn
chiều N trang bị một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến h. Kí hiệu q là
dạng toàn phương sinh bởi dạng song tuyến tính h. Gọi C là đại số Clifford xác định
bởi (V, h). Đại số Clifford C là một đại số Z/2Z-phân bậc, C = C + ⊕ C − , sinh bởi
V (xem như một không gian con) và có số chiều bằng 2N . Ta định nghĩa một tự đẳng
cấu γ của C bởi γ|C + = IdC+ , γ|C− = −IdC− và γ 2 = IdC . Gọi Γ là nhóm các phần
tử khả nghịch u của C thỏa mãn γ(u)V u−1 = V . Nhóm Γ được gọi là nhóm Clifford
của q, mỗi phần tử u của Γ cảm sinh một đẳng cự tu của (V, h). Đặc biệt, nếu u là một
vectơ không đẳng hướng của V thì tu là phép phản xạ của V tương ứng với vectơ u.

3
Do đó, ta có một toàn cấu tΓ từ Γ lên nhóm G+ các đẳng cự của (V, h). Đồng cấu này
có hạt nhân là F × . Ta đã biết nhóm G+ sinh bởi các phép phản xạ của V nên nhóm
Clifford Γ được sinh bởi các vectơ không đẳng hướng của V . Đặc biệt, mỗi phần tử
của nhóm con Γ+ = Γ ∩ C + là tích của một số chẵn các vectơ không đẳng hướng của
V và ảnh của Γ+ qua đồng cấu tΓ là nhóm các phép quay, kí hiệu bởi G, của (V, h).
Tồn tại một chuẩn Q trên Γ thỏa mãn Q(x) = q(x) với mọi vectơ không đẳng hướng
x của V và thỏa mãn Q(ku) = kQ(u) với mọi k ∈ F × và mọi u ∈ Γ. Kí hiệu G
là nhân của hạn chế của chuẩn Q lên Γ+ . Nói cách khác, G là nhóm con của Γ+ bao
gồm các phần tử có chuẩn bằng 1.
Tương ứng với chuẩn Q, ta định nghĩa một đồng cấu sn của G+ nhận giá trị trong
2

F × / (F × ) . Hạn chế của đồng cấu này lên G cảm sinh một chuẩn trên G, gọi là chuẩn
spin. Nhân của chuẩn này được gọi là nhóm trực giao thu gọn (reduced orthogonal
group) và được kí hiệu là O (h). Hơn nữa, hạn chế của đồng cấu tΓ lên G cảm sinh
một toàn cấu t từ G lên O (h) với nhân hữu hạn cấp 2 nằm trong tâm của nhóm. Nói
cách khác, ta có dãy khớp các nhóm:
t

1 → {±1} → G → O (h) → 1.
Nhìn chung dãy khớp này là không chẻ ra. Tuy nhiên, có một kết quả đóng vai trò
“chìa khóa” của công trình này: dãy khớp này là chẻ ra một cách duy nhất trên các
nhóm con pro-p. Tức là, với mỗi nhóm con pro-p H của G (lưu ý rằng H nằm trong
nhóm O (h)), tồn tại duy nhất đồng cấu thành phần sH : H → G sao cho t◦sH = IdH ,
trong đó IdH là phép đồng nhất của H. Kết quả này kéo theo dãy khớp này cũng chẻ
ra một cách duy nhất trên căn lũy đơn của các nhóm con parabolic của G. Để đơn
giản, chúng tôi sẽ kí hiệu s H cho ảnh trong G của một nhóm con pro-p (hoặc một căn

lũy đơn) H của G và kí hiệu K cho ảnh ngược trong G qua đồng cấu t của một nhóm
con K bất kỳ của G.
Nếu làm việc trên một bao đóng đại số của trường cơ sở F thì ta thấy rằng G chính
là nhóm các F -điểm hữu tỷ của một nhóm đại số reductive đơn liên G xác định trên
F , gọi là nhóm spin. Nhóm spin này là một mở rộng tâm của một nhóm trực giao đặc
biệt G xác định trên F mà G là nhóm các F -điểm hữu tỷ của nó. Hơn nữa, G và G có


4
cùng đại số Lie g và có cùng các điểm của Building Bruhat – Tits I(G, F ). Tác động
liên hợp trên g và tác động trên I(G, F ) của G phân tích qua tác động của nhóm trực
giao đặc biệt G.
Giả sử β = ⊕li=1 βi là một phần tử của đại số Lie g thỏa mãn F -đại số E = F [β]
là tổng trực tiếp của các mở rộng Ei = F [βi ], i = 1, ..., l, của F . Trong xây dựng của
chúng tôi, một điều kiện cần thiết là nhóm con ổn định Gβ của β trong G dưới tác
động liên hợp phải là (nhóm các F -điểm hữu tỷ của) một nhóm reductive. Lưu ý rằng
nhóm con ổn định Gβ của β trong G là một nhóm reductive liên thông và là tích của
nhóm tuyến tính tổng quát, nhóm unita và nhóm trực giao đặc biệt [6]. Tuy nhiên, với
nhóm Gβ chúng ta không có kết quả tương tự như vậy và chúng ta có rất ít thông tin
về nhóm này. Vì vậy, chúng ta chưa biết chắc chắn rằng Gβ có là nhóm reductive hay
không. Theo lý thuyết tổng quát về nhóm reductive, nếu các mở rộng Ei , i = 1, ..., l,
là mở rộng hữu hạn tách được của F (điều kiện này sẽ được thỏa mãn nếu F có đặc
số không) thì Gβ là nhóm reductive liên thông xác định trên một mở rộng nào đó của
F . Vì lý do này nên trong công trình này của chúng tôi, để chắc chắn Gβ là một nhóm
reductive, chúng tôi giả thiết rằng F là trường có đặc số không. Chúng tôi hy vọng
rằng giả thiết này có thể được xóa bỏ trong tương lai.

Xây dựng biểu diễn supercuspidal
Trước tiên chúng tôi nhắc lại khái niệm của Stevens [31] về stratum đối hợp nửa
đơn (semisimple skew stratum) [Λ, n, m, β] trong g liên kết với một phân tích trực

giao V =⊥li=1 V i . Đó là một tập dữ liệu địa phương: β là một phần tử nửa đơn eliptic
của g, tức là, β = ⊕li=1 βi và E = F [β] là tổng trực tiếp của các mở rộng hữu hạn
Ei = F [βi ], i = 1, ..., l của F ổn định dưới tác động của phép liên hợp sinh bởi h; với
mỗi i ∈ {1, ..., l}, V i là một Ei -không gian vectơ; Λ là một dãy tự liên hợp các lattice
trong V tương ứng với một điểm hữu tỷ xΛ của building Bruhat-Tits I(Gβ , F ) của
nhóm Gβ ; n, m là hai số nguyên. Dãy lattice Λ xác định một nhóm con mở compact
P (Λ) của G với căn pro-p lũy đơn P1 (Λ) và do đó xác định một nhóm con mở compact
P (ΛoE ) = P (Λ) ∩ Gβ của Gβ với căn pro-p lũy đơn P1 (ΛoE ) = P1 (Λ) ∩ Gβ .


5
Với mỗi stratum nửa đơn đối hợp [Λ, n, m, β] trong g, Stevens [32] đã định nghĩa
một dãy giảm {H i (β, Λ)}i≥1 các nhóm con pro-p của G và một tập hữu hạn C(Λ, m, β)
các đặc trưng abel của H m+1 (β, Λ). Các đặc trưng này là tổng quát hóa từ đặc trưng
đơn cho các nhóm tuyến tính tổng quát của [9] và được gọi là đặc trưng nửa đơn đối
hợp. Tương tự các đặc trưng đơn cho các nhóm tuyến tính tổng quát, các đặc trưng
nửa đơn đối hợp cũng có những “tính chất đẹp” của tập các phần tử bện và những tính
chất dịch chuyển (transport properties). Do t cảm sinh lên các nhóm con pro-p nên
ta có thể định nghĩa các đặc trưng nửa đơn của G một cách tự nhiên: bằng cách nâng
các đặc trưng nửa đơn đối hợp theo t, ta thu được một tập đặc trưng abel của nhóm
sH

m+1

(β, Λ):
s C(Λ, m, β)

= {s θ = θ ◦ t|s H m+1 (β,Λ) : θ ∈ C(Λ, m, β)}.

Tập hợp này được gọi là tập các đặc trưng nửa đơn đối hợp nâng của s H m+1 (β, Λ).

Từ định nghĩa ta thấy rằng các đặc trưng nửa đơn đối hợp nâng kế thừa các tính chất
dịch chuyển của các đặc trưng nửa đơn đối hợp. Hơn thế nữa, các tính chất về phần
tử bện của các đặc trưng nửa đơn đối hợp cũng được bảo toàn nhờ một tính chất tổng
quát: Giả sử σi , i = 1, 2, là hai biểu diễn của một nhóm con pro-p H của G. Đặt
s σi

= σi ◦ t|s H , i = 1, 2. Khi đó
IG (s σ1 , s σ2 ) = t−1 (IG (σ1 , σ2 ) ∩ O (h))

và
Ig¯(s σ1 , s σ2 ) = It(¯g) (σ1 , σ2 ), với mọi g¯ ∈ IG (s σ1 , s σ2 ).
Tiếp theo đây, chúng tôi mô tả phương pháp xây dựng biểu diễn bất khả quy
supercuspidal của G. Nhắc lại rằng phương pháp xây dựng này của chúng tôi là sự
kế thừa và phát triển phương pháp của Stevens [33] xây dựng các biểu diễn bất khả
quy supercuspidal cho các nhóm cổ điển (nhóm unita, nhóm symplectic, nhóm trực
giao đặc biệt). Vì vậy, chúng tôi xuất phát từ một stratum nửa đơn đối hợp [Λ, n, 0, β]
trong g. Đối với nhóm G, Stevens [32] đã định nghĩa hai nhóm con mở compact
J(β, Λ) ⊃ J 1 (β, Λ) chứa H 1 (β, Λ) và nằm trong tập các phần tử bện của mỗi đặc


6
trưng nửa đơn đối hợp của H 1 (β, Λ), trong đó J 1 (β, Λ) là một nhóm con pro-p và
J(β, Λ) = P (ΛoE )J 1 (β, Λ). Đặt
J(β, Λ) = t−1 (J(β, Λ) ∩ O (h)).
Khi đó, J(β, Λ) và s J 1 (β, Λ) đóng vai trò tương tự như J(β, Λ) và J 1 (β, Λ). Các đặc
trưng nửa đơn đối hợp nâng của s H 1 (β, Λ) kế thừa các tính chất quan trọng của các
đặc trưng nửa đơn đối hợp của H 1 (β, Λ): với mỗi đặc trưng nửa đơn đối hợp nâng
sθ

∈ s C(Λ, 0, β), tồn tại duy nhất một mở rộng s η của s θ lên nhóm s J 1 (β, Λ) (mở

rộng Heisenberg) với tập các phần tử bện của s η trùng với tập các phần tử bện của s θ,
hơn thế nữa, tất cả các không gian bện của s η đều có số chiều là 1.
Bước tiếp theo là xây dựng các mở rộng “tốt” của s η lên nhóm con J(β, Λ), gọi
là các β-mở rộng. Một cách tự nhiên, chúng tôi định nghĩa các β-mở rộng này bằng
cách nâng các β-mở rộng của G được định nghĩa bởi Stevens trong [33]. Nói một
cách khác, chúng tôi tìm các β-mở rộng này trong số các kéo dài của s η mà chúng
tầm thường trên tâm của mở rộng. Nhắc lại rằng, trong trường hợp mà P (ΛoE ) là một
nhóm con mở compact tối đại của Gβ , các β-mở rộng của G là tổng quát hóa của
các β-mở rộng đối với nhóm tuyến tính tổng quát được định nghĩa trong [9]. Trong
trường hợp tổng quát, bằng cách chọn một dãy các Lattice ΛM trong V thỏa mãn
P (ΛM
oE ) là một nhóm con mở compact tối đại trong Gβ chứa P (ΛoE ), một β-mở rộng
κ của J(β, Λ) tương ứng với một đặc trưng nửa đơn đối hợp θ ∈ C(Λ, 0, β) được
xác định một cách tương thích với một β-mở rộng κM của J(β, ΛM ) tương ứng với
dịch chuyển của θ trong C(ΛM , 0, β). Tính tương thích này được bảo toàn đối với các
β-mở rộng trên J(β, Λ) của chúng ta, cụ thể: Nếu P (ΛM ) chứa P (Λ) thì biểu diễn
κ = κ ◦ t|J(β,Λ) là mở rộng duy nhất của s η lên J(β, Λ) mà thỏa mãn điều kiện tương
thích với κM = κM ◦ t|J(β,ΛM )
P (Λo )s P1 (Λ)

IndJ(β,Λ)E

κ

P (ΛoE )s P1 (Λ)

IndP (Λ

oE )s J

1 (β,ΛM )

κM |P (Λo

E )s J

1 (β,ΛM )

.

Tương tự như trong [33], chúng ta chọn κ là một β-mở rộng chuẩn của s η, tức là, một
β-mở rộng của s η tương ứng với một lựa chọn “tốt” của ΛM .


7
Bước cuối cùng trong xây dựng của chúng ta là thêm vào một phần bậc không.
Lưu ý rằng P (ΛoE ) là nhóm con ổn định trong Gβ của điểm xΛ và s P1 (ΛoE ) là căn
lũy đơn pro-p của P (ΛoE ). Do đó, thương P (ΛoE )/s P1 (ΛoE ) là một nhóm reductive
M xác định trên một trường hữu hạn. Kí hiệu P o (ΛoE ) là tạo ảnh của thành phần
liên thông M của M trong P (ΛoE ) qua toàn ánh chính tắc. Khí đó P o (ΛoE ) là một
nhóm con parhorique của Gβ . Tương tự, vì J(β, Λ)/s J 1 (β, Λ)

M , chúng ta kí hiệu

J o (β, Λ) là tạo ảnh trong J(β, Λ) của M . Gọi ρo là phép nâng (inflation) lên J o (β, Λ)
của một biểu diễn bất khả quy cuspidal của M và gọi ρ là một biểu diễn bất khả quy
của J(β, Λ) chứa ρo . Các biểu diễn ρo và ρ cũng được gọi là cuspidal. Đặt λ = κ ⊗ ρ.
Cặp (J(β, Λ), λ) được gọi là một dạng cuspidal nếu tâm của Gβ là compact và nếu
P o (ΛoE ) là một nhóm con parahoric tối đại của Gβ .

Nếu (J(β, Λ), λ) là một dạng cuspidal, chúng ta thấy rằng tập các phần tử bện của
λ là bất khả quy
λ là J(β, Λ). Đặc biệt, biểu diễn cảm sinh compact π = c − IndG
J(β,Λ)
supercuspidal và (J(β, Λ), λ) là một [G, π]G -dạng theo nghĩa của [11]. Phương pháp
xác định tập các phần tử bện của λ tương tự phương pháp trong [33]: trước tiên, chúng
ta có thể thu hẹp tính toán lên tập các phần tử bện của λo = κ ◦ ρo bằng cách sử dụng
phương pháp khử của Clifford [14]; sau đó, dựa vào nhận xét rằng tập các phần tử bện
của hạn chế của κ lên một nhóm con pro-p Sylow chính là tập các phần tử bện của
s η,

chúng ta có thể tiếp tục thu hẹp tính toán lên tập các phần tử bện của hạn chế của

ρo lên căn lũy đơn của một nhóm con Iwahori của Gβ chứa trop [Λ, n, 0, β] là
một stratum nửa đơn bất kỳ trong g, tức là, b0 (Λ) là một oE -order tự đối ngẫu nhưng
không nhất thiết tối đại của B. Ta sẽ định nghĩa các β-mở rộng của s η lên J(β, Λ)
tương ứng với một dãy oF -lattice tự đối ngẫu ΛM mà b0 (ΛM ) là một oE -order tự đối
ngẫu tối đại của B chứa b0 (Λ) và tương thích với một β-mở rộng liên kết. Tương tự
như trường hợp đối với các nhóm cổ điển (xem [33, §4.2]), trước tiên, ta cần một điều
kiện tương thích.
Giả sử [Λ, n, 0, β] và [Λ , n , 0, β] là hai stratum nửa đơn trong g thỏa mãn b0 (Λ) ⊆
b0 (Λ ). Giả sử θ ∈ C(Λ, 0, β) là một đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu củaH 1 (β, Λ) và
θ = τΛ,Λ ,β (θ). Như thường lệ, ta kí hiệu η (tương ứng, η ) là biểu diễn bất khả quy
duy nhất của J 1 (β, Λ) (tương ứng, của J 1 (β, Λ )) chứa η (tương ứng, chứa η ).
Ta vẫn kí hiệu s θ (tương ứng, s θ ) là đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu của s H 1 (β, Λ)
nâng từ θ (tương ứng, từ θ ) và đặt
sη

= η ◦ t|s J 1 (β,Λ) et s η = η ◦ t|s J 1 (β,Λ ) .

Hai biểu diễn này lần lượt là biểu diễn bất khả quy duy nhất của s J 1 (β, Λ) và của
sJ

1

1
(β, Λ ) chứa s θ và s θ . Gọi s ηΛ,Λ là biểu diễn bất khả quy duy nhất của s JΛ,Λ
=

s P1 (ΛoE )s J

1

(β, Λ ) xác định bởi Mệnh đề 3.10 khi thay Λm bởi Λ và thay ΛM bởi Λ .

Bổ đề sau đây cho ta kết quả tương tự như kết quả trong [9, Mệnh đề 5.2.5], [24, Bổ
đề 2.23, Mệnh đề 2.9], [33, Bổ đề 4.3] và [18, Bổ đề 2.7].
Bổ đề 3.14. Với các kí hiệu như trên, Tồn tại một song ánh chính tắc giữa tập hợp
các thác triển κ của s η lên J = J(β, Λ) và tập hợp các thác triển κ của s η lên
JΛ,Λ = P (ΛoE )s J 1 (β, Λ ). Đặc biệt, nếu giả thiết thêm a0 (Λ) ⊆ a0 (Λ ) thì song ánh
này cho tương ứng mỗi κ (tương ứng, κ ) cho trước một κ (tương ứng, κ) duy nhất


63
thỏa mãn
P (ΛoE )s P1 (Λ)

IndJ

P (ΛoE )s P1 (Λ)

IndJ

κ

κ |J

Λ,Λ

Λ,Λ

.

Hơn nữa, nếu κ và κ tương ứng với nhau bởi song ánh này thì tập hợp các phần
tử bện trong Gβ của κ và của κ |J

Λ,Λ

là trùng nhau.

Chứng minh. Chứng minh của bổ đề này hoàn toàn tương tự như chứng minh của [33,
Bổ đề 4.3].
Chúng ta tiếp tục với các giả thiết như trên và giả thiết thêm rằng κ có dạng
+
κ = κ ◦ t|JΛ,Λ trong đó κ là một mở rộng của η lên JΛ,Λ
= P + (ΛoE )J 1 (β, Λ ). Gọi

κ là mở rộng của η lên J + (β, Λ) tương ứng với κ qua song ánh chính tắc xác định
trong [33, Bổ đề 4.3]. Mối liên hệ giữa κ và ảnh của κ qua song ánh chính tắc cho
bởi mệnh đề trước là vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên. Chúng ta sẽ thấy mối liên

hệ này trong mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 3.15. Giả sử κ là một biểu diễn của JΛ,Λ và có dạng κ = κ ◦ t|JΛ,Λ
+
trong đó κ là một mở rộng của η lên JΛ,Λ
= P + (ΛoE )J 1 (β, Λ ). Khi đó, biểu diễn

κ = κ ◦ t|J(β,Λ) của J(β, Λ) chính là ảnh của κ qua song ánh chính tắc cho bởi Bổ
đề 3.14.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh khẳng định của mệnh đề này cho trường hợp
a0 (Λ) ⊆ a0 (Λ ). Rõ ràng rằng κ là một thác triển của s η lên J(β, Λ) vì κ là một thác
triển của η lên J(β, Λ). Do tính duy nhất nên ta chỉ cần chứng minh κ và κ cảm sinh
lên P (ΛoE )s P1 (Λ) hai biểu diễn bất khả quy tương đương.
+
Kí hiệu J (β, Λ), JΛ,Λ , P (ΛoE ) lần lượt là giao của J + (β, Λ), JΛ,Λ
, P + (ΛoE )

với O (h). Áp dụng công thức hạn chế của Mackey ta có
P + (ΛoE )P1 (Λ)
P + (ΛoE )P1 (Λ)
Ind
κ
(ΛoE )P1 (Λ)
J + (β,Λ)

ResP
et

P + (Λo )P1 (Λ)
P + (Λo )P1 (Λ)
ResP (Λo E)P1 (Λ) IndJ + E

κ
E
Λ,Λ

P + (Λo )P1 (Λ)

Mặt khác, IndJ + (β,Λ)E

+

P (Λo )P1 (Λ)
J (β,Λ)
∼
ResJ (β,Λ) κ
= IndJ (β,Λ)E
P
∼
= IndJ

P + (ΛoE )P1 (Λ)

κ∼
= IndJ +

(ΛoE )P1 (Λ)

Λ,Λ

+
JΛ,Λ

ResJ

κ theo Bổ đề 4.3 trong [33]. Do đó

Λ,Λ

P (Λo )P1 (Λ)
J + (β,Λ)
IndJ (β,Λ)E
ResJ (β,Λ) κ

κ.

Λ,Λ

P
∼
= IndJ

(ΛoE )P1 (Λ)

Λ,Λ

+
JΛ,Λ
ResJ
Λ,Λ

κ.

64
Hơn nữa, theo định nghĩa của phép cảm sinh, ta thấy rằng
P (Λo )P1 (Λ)

IndJ (β,Λ)E
et

J + (β,Λ)

P (Λo )s P1 (Λ)

ResJ (β,Λ) κ ∼
= IndJ(β,Λ)E

+
JΛ,Λ
P (ΛoE )P1 (Λ)
IndJ
ResJ
Λ,Λ
Λ,Λ

κ

P (Λo )s P1 (Λ)
κ ∼
κ.
= IndJ E

Λ,Λ

Từ đây suy ra điều cần chứng minh.
Đến đây, ta có thể định nghĩa các β-mở rộng cho trường hợp tổng quát. Giả sử
[Λ, n, 0, β] là một stratum nửa đơn trong g và s θ ∈ s C(Λ, 0, β) là một đặc trưng nửa
đơn tự đối ngẫu của s H 1 (β, Λ). Giả sử [ΛM , nM , 0, β] là một stratum nửa đơn khác
trong g thỏa mãn b0 (ΛM ) là một oE -order tự đối ngẫu tối đại của B chứa b0 (Λ). Đặt
s θM

1
= τΛ,ΛM ,β (s θ). Gọi s ηM là biểu diễn bất khả quy duy nhất của s JM
= s J 1 (β, ΛM )

chứa s η và gọi κM là một β-mở rộng của s ηM lên JM = J(β, ΛM ) xác định bởi Định
nghĩa 3.12.
Định nghĩa 3.16. Thác triển κ của s η lên J(β, Λ) tương ứng với κM |P (Λo

1
E )s JM

qua

song ánh chính tắc xác định bởi Bổ đề 3.14 được gọi là β- mở rộng của s η lên J(β, Λ)
thông qua ΛM và tương thích với κM .
Theo định nghĩa, κM được phân tích qua một β-mở rộng κM của ηM lên JM . Theo
Mệnh đề 3.15, ta có κ = κ ◦ t|J(β,Λ) , trong đó κ là β-mở rộng của η lên J(β, Λ) thông
qua ΛM và tương thích với κM theo nghĩa của [18, Định nghĩa 2.8]).
Ta sẽ chỉ ra rằng, với định nghĩa như trên, các β-mở rộng kế thừa các tính chất
“đẹp”. Trước tiên ta trực tiếp có được một tính chất của tập các phần tử bện của chúng
tương tự như tính chất được nêu trong [33, Hệ quả 4.6].

Hệ quả 3.17. Giả sử κ là một β-mở rộng của s η thông qua ΛM . Khi đó P (ΛM
oE ) bện
κ.
Chứng minh. Ta đã thấy ở trên, κ được phân tích qua một β-mở rộng κ của η. Theo
[33, Hệ quả 4.6], P (ΛM
oE ) bện κ. Do vậy, ta có ngay khẳng định của hệ quả này vì
M
P (ΛM
oE ) chính là nghịch ảnh trong G của P (ΛoE ).

Giả sử [Λm , nm , 0, β] là một stratum nửa đơn trong g thỏa mãn b0 (Λm ) là một
oE -order tự đối ngẫu tối tiểu trong B và a0 (Λm ) ⊆ a0 (Λ). Đặt s θm = τΛ,Λm ,β (s θ) và


65
gọi s ηm là biểu diễn bất khả quy duy nhất của s J 1 (β, Λm ) chứa s θm . Kí hiệu s ηm,Λ là
1
1
biểu diễn bất khả quy của s Jm,Λ
= s P1 (Λm
oE )s J (β, Λ) xác định bởi Mệnh đề 3.10.
1
Do b0 (Λm ) tối tiểu trong B nên s Jm,Λ
là một p-nhóm con Sylow của J(β, Λ). Tương

tự như trong [9, Mệnh đề 5.2.6] và trong [33, Mệnh đề 4.7], mệnh đề sau đây mô tả
1
hạn chế lên s Jm,Λ
của một β-mở rộng của s η.
1

Mệnh đề 3.18. Với các kí hiệu như ở trên, ta có κ|s Jm,Λ
= s ηm,Λ với mọi β-mở rộng

κ của s η lên J(β, Λ).
Chứng minh. Giả sử κ là một β-mở rộng của s η lên J(β, Λ). Theo định nghĩa, κ được
phân tích qua một β-mở rộng κ của η lên J(β, Λ). Theo [33, Mệnh đề 4.7], ta có
1
κ|Jm,Λ
= ηm,Λ ,

1
1
1
trong đó Jm,Λ
= P1 (Λm
oE )J (β, Λ) và ηm,Λ là biểu diễn bất khả quy của Jm,Λ xác định

bởi [18, Mệnh đề 2.6]. Hơn nữa, s ηm,Λ được phân tích qua ηm,Λ . Từ đây ta có được
khẳng định của mệnh đề.
Gọi J o = J o (β, Λ) là nghịch ảnh trong J = J(β, Λ) của thành phần liên thông
của thương J/s J 1 (β, Λ). Khi đó J o = P o (ΛoE )s J 1 (β, Λ), trong đó P o (ΛoE ) là
nghịch ảnh trong P (ΛoE ) của thành phần liên thông của thương P (ΛoE )/s P1 (ΛoE ) ∼
=
J/s J 1 (β, Λ) (thực tể, P o (ΛoE ) là một nhóm con parahoric của Gβ ). Ta sẽ xem xét
hạn chế lên J o của các β-mở rộng.
Ta cũng gọi là β-mở rộng của s η lên J o hạn chế của một β-mở rộng của s η lên J.
Ta sẽ kiểm tra tính tương thích của các β-mở rộng lên J o trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 3.19. Giả sử [Λ, n, 0, β] và [Λ , n , 0, β] là hai stratum nửa đơn trong g.
Giả sử tồn tại một stratum nửa đơn trong g, kí hiệu bởi [ΛM , nM , 0, β], thỏa mãn
b0 (ΛM ) là một oE -order tự đối ngẫu tối đại của B chứa b0 (Λ) và b0 (Λ ). Giả sử

sθ

∈ s C(Λ, 0, β) là một đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu của s H 1 (β, Λ) và đặt s θ =

τΛ,Λ ,β (s θ). Kí hiệu s η (tương ứng, s η ) là biểu diễn bất khả quy duy nhất của s J 1 (β, Λ)
(tương ứng, của s J 1 (β, Λ )) chứa s θ (tương ứng, s θ ). Khi đó, tồn tại một song ánh
chính tắc giứa tập các β-mở rộng κ của s η lên J o (β, Λ ) thông qua ΛM và tập các


66
β-mở rộng κ của s η lên J o (β, Λ) thông qua ΛM . Đặc biệt, nếu a0 (Λ) ⊆ a0 (Λ ) thì
song ánh này cho tương ứng mỗi κ (tương ứng, κ ) cho trước với một κ (tương ứng
κ) duy nhất thỏa mãn điều kiện κ và κ |P o (Λo

E )s J

1 (β,Λ

)

cảm sinh lên P o (ΛoE )s P 1 (Λ)

hai biểu diễn bất khả quy tương đương.
Chứng minh. Chứng minh của mệnh đề này hoàn toàn tương tự như chứng minh của
[33, Mệnh đề 4.8].
Nếu κ và κ là hai β-mở rộng tương ứng với nhau qua song ánh của Mệnh đề 3.19
thì ta nói hai β-mở rộng này là tương thích với nhau.
Giả sử [Λ, n, 0, β] là một stratum nửa đơn trong g tương ứng với phân tích tự đối
ngẫu
V = [⊥i∈I0 V i ] ⊥ [⊥j∈I+ (V j ⊕ V −j )].

Khi đó dãy lattice tự đối ngẫu Λ viết được thành Λ = ⊕i∈I Λi , trong đó Λi là một dãy
oEi -lattice trong V i . Với mỗi i ∈ I = I− ∪ I0 ∪ I+ , ta định nghĩa một dãy oEi -lattice
MiΛ trong V i bởi

MiΛ (2r + s) =















r
i
Ei Λ (0),

si i ∈ I− ,

r
i
Ei Λ (s),

si i ∈ I0 ,

r
i
Ei Λ (1),

si i ∈ I+ ,

,

với r ∈ Z và s = 0, 1. Đặt MΛ = ⊕li=1 MiΛ ta sẽ thu được một dãy oE -lattice tự
đối ngẫu với b0 (MΛ ) là một oE -order tự đối ngẫu tối đại trong B chứa b0 (Λ) và
[MΛ , nM , 0, β] là một stratum nửa đơn đối hợp với một số nguyên nM nào đó.
Giả sử s θ ∈ s C(Λ, 0, β) là một đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu của s H 1 (β, Λ) và s η
là biểu diễn bất khả quy duy nhất của s J 1 (β, Λ) chứa s θ. Ta gọi là β-mở rộng chuẩn
của s η một β-mở rộng của s η thông qua MΛ .

3.5

Dạng cuspidaux

Trong tiết này, chúng tôi sẽ định nghĩa các dạng cuspidal đối với nhóm spin G, tức
là, các cặp (J, λ) bao gồm một nhóm con mở compact J của G và một biểu diễn bất


67
khả quy λ của J thỏa mãn π = c-IndG
λ là một biểu diễn bất khả quy supercuspidal
J
của G.

Sử dụng các kí hiệu trong các tiết trước, ta xuất phát từ một stratum nửa đơn
[Λ, n, 0, β] trong g và một đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu s θ ∈ s C(Λ, 0, β) của nhóm
con s H 1 (β, Λ). Gọi s η là biểu diễn bất khả quy của s J 1 (β, Λ) chứa s θ. Kí hiệu κ là
một β-mở rộng của s η lên J(β, Λ) = P (ΛoE )s J 1 (β, Λ).
Nhắc lại rằng chúng ta có dãy khớp
1 → s P1 (ΛoE ) → P (ΛoE ) → M → 1,
trong đó M là nhóm các điểm hữu tỉ của một nhóm reductive xác định trên một trường
hữu hạn. Dãy khớp này cảm sinh dãy khớp
1 → s J 1 (β, Λ) → J(β, Λ) → M → 1.
Ta cũng lưu ý rằng nhóm M nhìn chung là không liên thông và ta kí hiệu P o (ΛoE ) là
nghịch ảnh trong P (ΛoE ) của thành phần liên thông M của M . Do vậy J o (β, Λ) =
P o (ΛoE )s J 1 (β, Λ) là nghịch ảnh của M trong J(β, Λ).
Giả sử ρ là một biểu diễn bất khả quy của M mà hạn chế của nó trên thành phần
liên thông M chứa một biểu diễn bất khả quy cuspidal ρo . Kí hiệu ρ (tương ứng, ρo )
là phép nâng của ρ (tương ứng, ρo ) lên J(β, Λ) (tương ứng, J o (β, Λ)). Các biểu diễn
ρ, ρ, ρo cũng được gọi là biểu diễn cuspidale. Đặt λ = κ ⊗ ρ.
Định nghĩa 3.20. Cặp (J(β, Λ), λ) xây dựng như trên được gọi là một dạng cuspidal
đối với G nếu stratum [Λ, n, 0, β] tương ứng là một stratum tự đối ngẫu nửa đơn đối
hợp và nếu P o (ΛoE ) là một nhóm con parahoric tối đại của Gβ mà nhóm chuẩn hóa
của nó trong Gβ là compact.
Tương tự như trong [33, Hệ quả 6.19], chúng ta có
Định lý 3.21. Giả sử (J(β, Λ), λ) là một dạng cuspidal đối với G. Khi đó biểu diễn
π = c-IndG
λ là một biểu diễn bất khả quy supercuspidal của G và (J(β, Λ), λ)
J(β,Λ)
là một [G, π]G -dạng.


68
Chứng minh. Để chứng minh khẳng định của định lý ta chỉ cần xác định tập các phần

tử bện của λ trong G. Tức là ta thực hiện các tính toán tương tự như trong chứng minh
của [33, Mệnh đề 6.18].
Giả sử g ∈ G bện λ = κ ⊗ ρ. Khi đó g bện hạn chế của λ lên s J 1 (β, Λ). Do ρ tác
động tầm thường trên s J 1 (β, Λ) nên g bện s η. Mặt khác, ta có
IG (s η) = s J 1 (β, Λ) · Gβ · s J 1 (β, Λ).
Do đó, ta có thể giả sử rằng g thuộc Gβ .
Do κ|J o (β,Λ) là bất khả quy và chuẩn hóa bởi J(β, Λ), áp dụng công thức phân tích
Clifford [14, Định lý 1], ta có
κ ⊗ (ρo )p

λ|J o (β,Λ) = m
p∈S

(κ ⊗ ρo )p ,

m
p∈S

trong đó m ∈ N và S là một tập đầy đủ phần tử đại diện của thương P (ΛoE )/NP (Λo ) (ρo ).
E

Vì g bện λ|J o (β,Λ) nên tồn tại p, p ∈ P (ΛoE ) thỏa mãn pgp bện λ = κ ⊗ ρ . Điều
o

o

này cho phép ta có thể giả sử rằng g bện λo .
Giả sử Λm là một dãy oE -lattice tự đối ngẫu của V thỏa mãn b0 (Λm ) là một oE order tự đối ngẫu của B nằm trong b0 (Λ). Ta thấy rằng P o (ΛoE ) là một nhóm con
parahoric của Gβ và P o (ΛoE ) chứa nhóm con Iwahori P o (Λm
oE ). Ta có thể giả thiết

thêm rằng g là một phần tử đại diện distinguished của lớp kép đối với P o (ΛoE ) \
1
1
o
Gβ /P o (ΛoE ) theo nghĩa của [19, §3.10]. Đặt s Jm,Λ
= s P1 (Λm
oE )s J (β, Λ) và Jm,Λ =
1
P o (Λm
oE )s J (β, Λ).

Do g bện λo nên tồn tại một đồng cấu khác không
φ ∈ Ig (λo ) = Hom J o (β,Λ)∩g J o (β,Λ) (λo , g λo ).
Ta có thể viết φ =

j

Sj ⊗ Tj , trong đó Sj ∈ EndC (κ), Tj ∈ EndC (ρo ) thỏa mãn

{Tj }j là độc lập tuyến tính. Với mỗi h ∈ s J 1 (β, Λ) ∩ g s J 1 (β, Λ) ta có
λo (h) ◦ φ = φ ◦ g λo (h).
Do đó, ta có
(κ(h) ◦ Sj − Sj ◦ g κ(h)) ⊗ Tj ,
j


69
vì ρo tác động tầm thường trên s J 1 (β, Λ). Vì {Tj }j là độc lập tuyến tính nên với mỗi
j, Sj bện s η. Do dim Ig (s η) = 1, các tính toán này suy ra rằng φ có dạng φ = S ⊗ T ,
trong đó S ∈ Ig (s η) và T ∈ EndC (ρo ).

1
Áp dụng Mệnh đề 3.10 và Mệnh đề 3.18, ta thấy rằng S ∈ Ig (κ|s Jm,Λ
) . Với mỗi

1
1
h ∈ s Jm,Λ
∩ g s Jm,Λ
, ta có

ρo (h) ◦ T = T ◦ g ρo (h).
1
Nói cách khác, g bện hạn chế của ρo lên s Jm,Λ
và lên s P1 (Λm
oE ). Nhận xét rằng
m
s P1 (ΛoE )

là căn lũy đơn của một nhóm con Iwahori của Gβ . Do đó, theo [33, Mệnh

đề 1.1], với giả thiết P o (ΛoE ) là một nhóm con parahoric tối đại của Gβ , g thuộc
nhóm chuẩn hóa của P o (ΛoE ) trong Gβ .
Do nhóm chuẩn hóa của P o (ΛoE ) trong Gβ được giả thiết là compact nên ta có
g ∈ P (ΛoE ). Điều này kéo theo IG (λ) = J(β, Λ). Theo [12, Mệnh đề 1.5], π =
λ là một biểu diễn bất khả quy supercuspidal của G và do đó (J(β, Λ), λ)
c-IndG
J(β,Λ)
là một [G, π]G -dạng theo [10, Mệnh đề 5.4].
Với Định lý 3.21, chúng ta đã hoàn thành mục tiêu xây dụng một họ các biểu diễn
bất khả quy supercuspidal của G bằng phương pháp dạng nửa đơn.

70

Kết luận chung
Kế thừa và phát triển phương pháp của Stevens xây dựng các biểu diễn supercuspidal cho các nhóm cổ điển, chúng tôi đã đạt được các kết quả sau:
1. Nghiên cứu và trình bày khái niệm về nhóm spin; chứng minh một số tính chất
của nhóm spin p-adic, đặc biệt là tính chất về các nhóm con pro-p và căn lũy
đơn của các nhóm con parabolic.
2. Xây dựng được các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p-adic. Đồng thời chúng
tôi cũng chứng minh được các tính chất cần thiết của một đặc trưng nửa đơn.
3. Chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất của mở rộng Heisenberg đối với
mỗi đặc trưng nửa đơn của nhóm spin p-adic; chỉ ra được các tính chất của mở
rộng Heisenberg này.
4. Định nghĩa các β-mở rộng của một đặc trưng nửa đơn của nhóm spin p-adic.
5. Xây dựng các dạng nửa đơn và từ đó xây dựng được một họ biểu diễn supercuspidal của nhóm spin p-adic.
Để phát triển tiếp nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi hy vọng sẽ mở rộng được
xây dựng này cho các nhóm spin xác định trên một trường địa phương phi Acsimet
compact địa phương bất kỳ với đặc số thặng dư lẻ. Đồng thời, chúng tôi cũng hy vọng
sẽ chứng minh được tính vét cạn của họ biểu diễn supercuspidal đã xây dựng được.