Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p–adic (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

XÂY DỰNG CÁC ĐẶC TRƯNG NỬA ĐƠN CHO
NHÓM SPIN p-ADIC

Mã số: ĐH2015-TN06-01

Chủ nhiệm đề tài: TS. NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên – 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

XÂY DỰNG CÁC ĐẶC TRƯNG NỬA ĐƠN CHO
NHÓM SPIN p-ADIC

Mã số: ĐH2015-TN06-01

Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài

Chủ nhiệm đề tài

(Ký, họ tên, đóng dấu)

(Ký, họ tên)

TS. Ngô Văn Định

Thái Nguyên – 2018


DANH SÁCH CÁC THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI

STT
1
2
3
4

Nội dung nghiên
cứu cụ thể được
giao

Đơn vị công tác và
lĩnh vực chuyên môn

Họ và tên
TS. Ngô Văn Định
TS. Ngô Thị Ngoan
ThS. Nguyễn Thu Hằng
ThS. Phạm Hồng Nam

Trường ĐH Khoa học – ĐHTN
Đại số và lý thuyết số
Trường ĐH Khoa học – ĐHTN
Đại số và lý thuyết số
Trường ĐH Khoa học – ĐHTN
Đại số và lý thuyết số
Trường ĐH Khoa học – ĐHTN
Đại số và lý thuyết số

Chủ nhiệm đề tài
Nghiên cứu viên
Nghiên cứu viên
Nghiên cứu viên

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH

Tên đơn vị
trong và ngoài nước
Viện Toán học – Viện Hàn
lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam
Viện Toán học Jussieu –
Cộng Hòa Pháp

Nội dung phối hợp
nghiên cứu

Họ và tên người đại diện
đơn vị

Hợp tác nghiên cứu,
Seminar

GS.TS. Nguyễn Quốc Thắng

Hợp tác nghiên cứu

M. Corinne Blondel


i

Mục lục

Thông tin kết quả nghiên cứu

iii

Mở đầu

1

Chương 1 . Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Một số kí hiệu và quy ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Biểu diễn supercuspidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1

Biểu diễn supercuspidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2

Dạng cho các nhóm reductive . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Building Bruhat–Tits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.1

Appartment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.2

Wall và Chamber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.3

Building Bruhat–Tits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.4

Nhóm con parabolic và nhóm con parahoric . . . . . . . . . .

3

1.3

Chương 2 . Nhóm spin
2.1

4

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1.2

Chuẩn spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1.3

Ví dụ về nhóm SpinF (1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2

Nhóm con pro-p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3

Nhóm tâm hóa của một phần tử của đại số Lie . . . . . . . . . . . . .

6

2.3.1

Chuẩn spin trong một nhóm unita . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3.2

Nhóm tâm hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7


ii

Chương 3 . Biểu diễn supercuspidal của nhóm spin
3.1

3.2

8

Stratum nửa đơn tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.1.1

Dãy lọc Moy–Prasad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.1.2

Ngôn ngữ lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.1.3

Stratum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Đặc trưng nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2.2

Phần tử bện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.3

Tính chất dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3

Mở rộng Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4

Mở rộng bêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.5
Kết luận

3.4.1

Trường hợp cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4.2

Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Dạng cuspidaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
15


iii

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Xây dựng các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p-adic
- Mã số: ĐH2015-TN06-01

- Chủ nhiệm đề tài: TS. Ngô Văn Định
- Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên
- Thời gian thực hiện: 30 tháng (từ 09/2015 đến 03/2018)
2. Mục tiêu:
Mục tiêu của đề tài là xây dựng một lớp các biểu diễn supercuspidal cho nhóm
spin p-adic bằng phương pháp dạng nửa đơn.
3. Tính mới và sáng tạo:
Đề tài đã xây dựng các khái niệm đặc trưng nửa đơn, β-mở rộng và xây dựng được
một họ biểu diễn supercuspidal cho nhóm spin p-adic.
4. Kết quả nghiên cứu:
Xây dựng được các đặc trưng nửa đơn và các mở rộng bêta của chúng cho nhóm
spin p-adic bằng cách nâng từ các đối tượng tương ứng cho nhóm trực giao đặc
biệt; Xây dựng được một lớp các biểu diễn supercuspidal cho nhóm spin p-adic bằng
phương pháp dạng nửa đơn.
5. Sản phẩm:
5.1. Sản phẩm khoa học:
Công bố 03 bài báo: 01 bài báo thuộc danh mục SCI, 01 bài báo quốc tế khác và
01 bài báo trong nước.


iv
1. Ngô Văn Định (2016), “Semisimple characters for p-adic spin groups”, Tạp chí
Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, tập 155, số 10, tr. 219–224.
2. Dinh Van Ngo (2017), “Beta extensions and cuspidal types for p-adic spin
groups”, Manuscripta Mathematica, Vol. 152, Issue 3, p. 513-531.
3. Ngo Van Dinh (2018), “On the spinor norm on unitary groups", East-West Journal of Mathematics (to appear).
5.2. Sản phẩm đào tạo:
- Hướng dẫn 01 đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học:
1. Nguyễn Thị Huệ (2016), Về nhóm SO(n) và phép quay không gian Euclide
thực, Đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Khoa học, Đại học

Thái Nguyên.
- Hướng dẫn 01 đề tài khóa luận tốt nghiệp:
1. Vũ Thị Huyền Nhung (2017), Định lý Burnside và một số áp dụng, Khóa luận
tốt nghiệp, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
- Hướng dẫn 03 đề tài luận văn thạc sĩ:
1. Vũ Văn Kiên (2015), Số phức và một số dạng toán hình học phẳng liên quan,
Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
2. Bùi Thanh Danh (2015), Định lý Sylvester–Galai và một số mở rộng, Luận văn
thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
3. Nguyễn Thị Huệ (2016), Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với
số Pell và số Pell liên kết, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên.


v
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của
kết quả nghiên cứu:
Các kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho công tác
nghiên cứu và đào tạo ở trình độ Đại học và sau Đại học.
Thái Nguyên, ngày 23 tháng 01 năm 2018
Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài

Chủ nhiệm đề tài

(Ký, họ tên, đóng dấu)

(Ký, họ tên)

TS. Ngô Văn Định

vi
INFORMATIONS ON RESEARCH RESULTS
1. General informations:
- Project title: Construction of semisimple characters for p-adic spin groups
- Code number: ĐH2015-TN06-01
- Coordinator: PhD. Ngô Văn Định
- Implementing institution: TNU - University of Sciences
- Duration: 30 months (from 09/2015 to 03/2018)
2. Objectives:
The objective of this project is to construct a class of supercuspidal representations
for p-adic spin groups by the semisimple type theory.
3. Creativeness and innovativeness:
In this project, we defined the notion of semisimple characters and β-extensions
for p-adic spin groups. In particular, we constructed a large class of supercuspidal
representations of p-adic spin groups.
4. Research results:
Constructed the semisimple characters and their beta extensions for p-adic spin
groups by lifting those of special orthogonal groups; constructed a class of supercuspidal representations for p-adic spin groups by the semisimple type theory.
5. Products:
5.1. Scientific products:
Contributed 03 papers: 01 in SCI journal, 01 in an other international journal and
01 in national journal.
1. Ngô Văn Định (2016), “Semisimple characters for p-adic spin groups”, Thai
Nguyen Journal of Sciences and Technology, Vol. 155, No. 10, p. 219-224.
2. Dinh Van Ngo (2017), “Beta extensions and cuspidal types for p-adic spin
groups”, Manuscripta Mathematica, Vol. 152, Issue 3, p. 513-531.
3. Ngo Van Dinh (2018), “On the spinor norm on unitary groups", East-West Journal of Mathematics (to appear).

vii
5.2. Training products:
- Supervise 01 student’s scientific research project:
1. Nguyễn Thị Huệ (2016), On the special orthogonal groups SO(n) and rotations, Student’s Scientific Research Project, TNU - University of Sciences.
- Supervise 01 student’s bachelor thesis:
1. Vũ Thị Huyền Nhung (2017), Burnside theorem and its applications, Bachelor
thesis, TNU - University of Sciences.
- Supervise 03 master students:
1. Vũ Văn Kiên (2015), Complex number and some related problems on plane
geometry, Master thesis, TNU - University of Sciences.
2. Bùi Thanh Danh (2015), Sylvester–Galai theorem and its generalizations,
Master thesis, TNU - University of Sciences.
3. Nguyễn Thị Huệ (2016), Some links of balancing and cobalancing numbers
with Pell and associated Pell numbers, Master thesis, TNU - University of
Sciences.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research
results:
The results of the subject will be an useful source reference for research and training at graduate and postgraduate levels.


1

Mở đầu
Mục đích của đề tài này là xây dựng các biểu diễn bất khả quy supercuspidal cho
các nhóm spin xác định trên các trường p-adic bằng phương pháp đặc trưng nửa đơn.
Lý thuyết biểu diễn của các nhóm đại số reductive xác định trên các trường p-adic
thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học từ những năm năm mươi thế kỉ trước.
Howe đã giới thiệu trong một bài báo xuất bản năm 1977 một cách tiếp cận biểu diễn
của các nhóm tuyến tính tổng quát bằng phương pháp hạn chế xuống các nhóm con
mở compact. Lý thuyết biểu diễn của các nhóm tuyến tính tổng quát p-adic sau đó đã

được hoàn thiện bằng phương pháp đặc trưng nửa đơn bởi Bushnell và Kutzko.
Nhờ kết quả nghiên cứu độc lập của Moy và Prasad và của Morris trong khoảng
những năm cuối của thế kỉ trước, chúng ta đã có một phân loại hoàn chỉnh đối với các
biểu diễn bậc không, tức là các biểu diễn mà hạn chế của chúng xuống căn lũy đơn của
một nhóm con parahoric bất kỳ đều chứa đặc trưng tầm thường, của nhóm reductive
liên thông bất kỳ xác định trên các trường p-adic. Đối với các biểu diễn có bậc dương,
Yu đã giới thiệu một cách xây dựng tổng quát cho các biểu diễn supercuspidal. Tuy
nhiên, tính vét cạn của cách xây dựng này mới chỉ được chứng minh với một số điều
kiện đối với trường cơ sở, đặc biệt là điều kiện đặc số thặng dư của trường cơ sở phải
đủ lớn.
Đối với các nhóm tuyến tính tổng quát, Bushnell và Kutzko đã giới thiệu phương
pháp số học rất tinh tế nhằm xây dựng các biểu diễn bất khả quy supercuspidal. Ý
tưởng của phương pháp này là xây dựng tất cả các biểu diễn bất khả quy supercuspidal
của các nhóm tuyến tính tổng quát như những biểu diễn cảm sinh compact từ các nhóm
con mở compact theo modulo tâm (modulo the center). Phát triển ý tưởng này, Stevens
đã xây dựng tất cả các biểu diễn bất khả quy supercuspidal cho các nhóm cổ điển liên


2
thông p-adic (nhóm unita, nhóm symplectic, nhóm trực giao đặc biệt) trong trường
hợp đặc số thặng dư của trường cơ sở là lẻ. Song song với đó, Sécherre và sau đó
Sécherre và Stevens cũng phát triển phương pháp của Bushnell và Kutzko xây dựng
các biểu diễn supercuspidal cho các nhom tuyến tính tổng quát xác định trên các đại
số chia (division algebra) trên trường p-adic. Theo phương pháp của Stevens, Blasco
và Blondel gần đây cũng đã xây dựng một họ các biểu diễn bất khả quy supercuspidal
cho nhóm đặc biệt G2 p-adic với p > 3. Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm
đến việc sử dụng phương pháp của Stevens để xây dựng các biểu diễn bất khả quy
supercuspidal cho các nhóm spin xác định trên các trường p-adic.
Gọi G là một nhóm spin xác định trên trường địa phương phi Acsimet với đặc số
thặng dư lẻ. Mục đích của phương pháp xây dựng mà chúng tôi quan tâm là xây dựng

các cặp (J, λ) bao gồm một nhóm con mở compact J của G và một biểu diễn bất khả
quy λ của J sao cho biểu diễn cảm sinh compact π = c − IndG
J λ là biểu diễn bất khả
quy supercuspidal của G. Hơn nữa, chúng tôi hy vọng rằng nhờ phương pháp này ta
có thể xây dựng được tất cả các biểu diễn bất khả quy supercuspidal của G.


3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số kí hiệu và quy ước

1.2

Biểu diễn supercuspidal

1.2.1

Biểu diễn supercuspidal

1.2.2

Dạng cho các nhóm reductive

1.3

Building Bruhat–Tits

1.3.1

Appartment

1.3.2

Wall và Chamber

1.3.3

Building Bruhat–Tits

1.3.4

Nhóm con parabolic và nhóm con parahoric


4

Chương 2

Nhóm spin
2.1
2.1.1

Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa

Giả sử V là một F -không gian vectơ chiều N trang bị một dạng song tuyến tính
đối xứng không suy biến h. Kí hiệu q là dạng toàn phương sinh bởi h. Kí hiệu T là đại
số tenxơ của V , tức là T = F ⊕ V ⊕ (V ⊗ V ) ⊕ · · · . Gọi J là iđêan của I sinh bởi các
phần tử có dạng x ⊗ x − q(x) với x ∈ V . Khi đó, đại số thương C = T/J được gọi
là đại số Clifford của dạng toàn phương q. Gọi C + là đại số con của C sinh bởi các
phần tử có dạng xy (tích trong C) với x, y ∈ V . Đại số con C + còn có thể được định
nghĩa như thương T+ /J với T+ = ⊕ V ⊗n . Đặt C − = T− /J với T− = ⊕ V ⊗n . Khi
n chẵn

n lẻ
+

đó, ta có thể xem đại số Clifford như là một đại số Z/2Z-phân bậc: C = C ⊕ C − .
Gọi γ là tự đẳng cấu của C xác định bởi γ(eT ) = (−1)|T | eT với mọi tập con T của
E. Khi đó, ta có γ|C + = IdC+ , γ|C − = −IdC− và γ 2 = IdC . Xét tập hợp Γ bao gồm
các phần tử khả nghịch u của C thỏa mãn γ(u)V u−1 = V . Tập hợp này lập thành một
nhóm và được gọi là nhóm Clifford của q. Đặt Γ+ = Γ ∩ C + . Khi đó Γ+ là một nhóm
con của Γ. Theo định nghĩa, mỗi phần tử u của Γ xác định một tự đẳng cấu của V
tu : V → V, x → γ(u)xu−1 .
Dễ thấy rằng tuv = tu tv với mọi u, v ∈ Γ. Do đó, ta có một đồng cấu nhóm
˜ u → tu .
tΓ : Γ → G,
Mệnh đề sau đây cho ta xác định được nhân của đồng cấu này.


5
Mệnh đề 2.1. Với các kí hiệu như trên, ta có ker (tΓ ) = F × .
Gọi ι là ánh xạ nội quy chính tắc của C xác định bởi
ι(v1 v2 ...vn ) = vn ...v2 v1 , với vi ∈ V, 1 ≤ i ≤ n.
Lưu ý rằng ánh xạ nội quy này giao hoán với đẳng cấu γ của C. Do đó, nếu u ∈ Γ,

tức là, γ(u)V = V u. Tác động γ và ι hai vế ta thu được γ(ι(u))V = V ι(u) và do đó
ι(u) ∈ Γ. Với ánh xạ nội quy ι như trên, ta định nghĩa một ánh xạ Q : C → C, u →
uι(u). Dễ thấy rằng Q(x) = x2 = q(x) với mọi x ∈ V .
Bổ đề 2.2. Với mọi u ∈ Γ ta có Q(u) ∈ F × .
Bổ đề trên cùng với tính chất giao hoán giữa γ và ι ta có hệ quả trực tiếp sau đây.
Hệ quả 2.3. Hạn chế của ánh xạ Q lên Γ cảm sinh một đồng cấu nhóm Q : Γ → F ×
và ta có Q(γ(u)) = Q(u) với mọi u ∈ Γ.
Đến đây ta đã có thể xác định được ảnh của đồng cấu tΓ . Mệnh đề sau đây còn
cho chúng ta một mô tả của các phần tử của Γ.
Mệnh đề 2.4. Với mỗi u ∈ Γ, ta có tu ∈ G+ . Mọi phần tử của Γ đều là tích của hữu
hạn vectơ không đẳng hướng của V .
Từ mệnh đề trên ta suy ra mọi phần tử của Γ+ đều là tích của một số chẵn các
vectơ không đẳng hướng của V . Mặt khác, mọi phần tử của G đều là tích của một số
chẵn các phép phản xạ của V . Do đó hạn chế của tΓ lên Γ+ cho ta một toàn cấu nhóm
với nhân là F ×
tΓ |Γ+ : Γ+ → G, u → tu .
Nói cách khác, ta có dãy khớp
t

Γ
1 → F × → Γ+ →
G → 1.

Hạn chế của đồng cấu Q lên Γ+ cho ta một đồng cấu nhóm
Q|Γ+ : Γ+ → F × , u → Q(u).

(2.1)


6

Nhân của đồng cấu này được gọi là nhóm spin của không gian (V, h) được kí hiệu bởi
SpinF (h) hoặc G theo quy ước ban đầu.
Trong tiết này, chúng tôi còn trình bày một số tính chất của nhóm spin.

2.1.2

Chuẩn spin

2.1.3

Ví dụ về nhóm SpinF (1, 1)

Trong các tiết trên, chúng tôi đã trình bày các khái niệm cơ bản về nhóm spin.
Để làm rõ hơn các khái niệm này, chúng tôi trình bày trong tiết này trường hợp G =
Spin(1, 1). Đồng thời, chúng tôi trình bày một biểu diễn tham số cho nhóm này.

2.2

Nhóm con pro-p

Định lý 2.12. Giả sử H là một nhóm profinite và A là một H-môđun rời rạc. Kí hiệu
H n (H, A), n ≥ 0, là các nhóm đối đồng điều của H với hệ số trong A. Với mọi n ≥ 1,
các phần tử của H n (H, A) đều có cấp hữu hạn. Hơn nữa, nếu H là một nhóm pro-p
thì cấp của mỗi phần tử của H n (H, A), n ≥ 1, là một lũy thừa của p.
Hệ quả 2.13. Nếu H là một nhóm con pro-p của G thì tồn tại duy nhất đồng cấu
sH : H → G thỏa mãn t ◦ sH = IdH .
Hệ quả 2.14. Nếu U là căn lũy đơn của một nhóm con parabolic của G thì tồn tại
duy nhất section đồng cấu sU : U → G của U .

2.3

2.3.1

Nhóm tâm hóa của một phần tử của đại số Lie
Chuẩn spin trong một nhóm unita

Giả sử b là một phần tử của đại số Lie g thỏa mãn E := F [b] là một mở rộng hữu
hạn của F . Do ¯b = −b nên E ổn định dưới tác động liên của ánh xạ nội quy ¯·. Kí hiệu
E0 là trường con của E bao gồm các phần tử bất động dưới tác động của ¯·. Cố định
một dạng F -tuyến tính khác không µ0 của E0 trong F và đặt µ = µ0 ◦ trE/E0 . Xem V


7
là một E-không gian vectơ. Khi đó tồn tại duy nhất một dạng hecmit không suy biến
hE : V × V → E thỏa mãn h(x, y) = µ(hE (x, y)), với mọi x, y ∈ V .
Giả sử δ là một phần tử của E thỏa mãn δ¯ = −δ. Đặt hE (x, y) := δhE (x, y)
với mọi x, y ∈ V . Khi đó hE là một dạng phản hecmit trên V thỏa mãn UE (hE ) =
UE (hE ), trong đó UE (hE ) (tương ứng UE (hE )) là nhóm unita tương ứng với dạng
hecmit hE (tương ứng, dạng phản hecmit hE ).
Cố định một vectơ của V , Wall đã định nghĩa một đồng cấu snE : UE (hE ) →
E × /E0× có tính chất tương tự như tính chất của chuẩn spin trên nhóm trực giao và
cũng được gọi là chuẩn spin của nhóm unita UE (hE ). Chuẩn này không phụ thuộc
vào việc chọn vectơ cố định ban đầu trong trường hợp trường E là giao hoán (trường
hợp ta đang xét). Chúng tôi nhắc lại trong tiết này định nghĩa của Wall về chuẩn spin
trên nhóm unita đồng thời xây dựng mối liên hệ giữa chuẩn này với chuẩn spin trên
nhóm trực giao. Cụ thể, chúng tôi đã chứng minh được:
Mệnh đề 2.22. Với mọi u ∈ UE (hE ), ta có
sn(u) = NormE/F (snE (u)).

2.3.2

Nhóm tâm hóa

Trong tiết này, chúng tôi trình bày một số thông tin về nhóm tâm hóa trong nhóm
spin của một phần tử nửa đơn của đại số Lie.


8

Chương 3

Biểu diễn supercuspidal của nhóm spin
3.1

Stratum nửa đơn tự liên hợp

3.1.1

Dãy lọc Moy–Prasad

3.1.2

Ngôn ngữ lattice

3.1.3

Stratum

3.2

Đặc trưng nửa đơn

Trong tiết này, chúng tôi sẽ định nghĩa các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin
G = SpinF (h) bằng cách nâng các đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu của G. Đồng thời,
chúng tôi sẽ chỉ ra rằng các đặc trưng nửa đơn này kế thừa được các tính chất cần thiết
để đảm bảo cho việc xây dựng các biểu diễn bất khả quy supercuspidal của G.

3.2.1

Định nghĩa

Giả sử [Λ, n, r, β] là một stratum nửa đơn trong g với phân tích tự đối ngẫu tương
ứng của V là
V = [⊥i∈I0 V i ] ⊥ [⊥j∈I+ (V j ⊕ V −j )].
˜j =
Lưu ý rằng, với mỗi j ∈ I+ , tồm tại một đơn ánh chính tắc, kí hiệu ιj , từ G
˜ j một phần tử duy nhất là
AutF (V j ) vào G. Đơn ánh này cho tương ứng mỗi g ∈ G
kéo dài của g tác động tầm thường trên các V i với mọi i = ±j. Liên kết với stratum
˜
˜ Λ) của
đã cho, Stevens đã định nghĩa hai nhóm con mở compact H(β,
Λ) ⊂ J(β,
˜ = AutF (V ) và hai dãy lọc tương ứng gồm các nhóm con pro-p {H
˜ m (β, Λ)}m≥1 và
G


9
{J˜m (β, Λ)}m≥1 . Các nhóm con này ổn định dưới tác động của ánh xạ nội quy τ . Kí
˜ m (β, Λ)

hiệu H m (β, Λ) và J m (β, Λ) lần lượt là nhóm các điểm bất động của τ trong H
và trong J˜m (β, Λ). Đây là các nhóm con của nhóm trực giao thu gọn O (h). Ta cũng
˜ Λ) ∩ G.
kí hiệu J(β, Λ) = J(β,
˜ m, β) gồm các đặc
Với 0 ≤ m < r, Stevens cũng đã định nghĩa một tập C(Λ,
˜ m+1 (β, Λ), gọi là tập các đặc trưng nửa đơn của H
˜ m+1 (β, Λ). Dat đã
trưng abel của H
˜ m, β) ổn định dưới tác động của τ . Một cách tương tự, sử dụng
chứng minh tập C(Λ,
tương ứng Glauberman, Blasco và Blondel đã định nghĩa một tập hợp C(Λ, m, β) gồm
các đặc trưng abel của H m+1 (β, Λ), gọi là tập các đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu của
H m+1 (β, Λ). Tập hợp này cũng chính là tập các hạn chế trên H m+1 (β, Λ) của các đặc
˜ m+1 (β, Λ).
trưng nửa đơn của H
Trong trường hợp stratum nửa đơn tự đối ngẫu [Λ, n, r, β] là đối hợp, ta gọi các
đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu tương ứng là các đặc trưng nửa đơn đối hợp (skew
semisimple character).
Đặt J(β, Λ) := t−1 (J(β, Λ) ∩ O (h)). Ta vẫn kí hiệu s H m (β, Λ), s J m (β, Λ), với
m ≥ 1, các nhóm con pro-p của G tương ứng với các nhóm con pro-p H m (β, Λ) và
J m (β, Λ) của G bởi Hệ quả 2.13. Nhận xét rằng hạn chế của đồng cấu t lên các nhóm
con pro-p cảm sinh các đẳng cấu nhóm
sH

m

(β, Λ)

H m (β, Λ), s J m (β, Λ)

J m (β, Λ), với mọi m > 0.

Do đó, với 0 ≤ m < r và với mỗi đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu θ ∈ C(Λ, m, β)
của H m+1 (β, Λ), chúng tôi định nghĩa một cách tự nhiên một đặc trưng abel s θ của
sH

m+1

(β, Λ) và gọi là đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu đối với nhóm G:
sθ

= θ ◦ t|s H m+1 (β,Λ) .

Tập hợp tất cả các đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu này được kí hiệu bởi s C(Λ, m, β).
Đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu của G được gọi là đối hợp nếu stratum tương ứng
là đối hợp.


10

3.2.2

Phần tử bện

Bổ đề 3.6. Giả sử K là một nhóm con pro-p của G và s K là ảnh của K trong G qua
đồng cấu sK xác định bởi Hệ quả 2.13. Với i = 1, 2, giả sử (σi , Wi ) là một biểu diễn
của K. Kí hiệu (s σi , Wi ), i = 1, 2, là biểu diễn của s K định nghĩa bởi s σi = σi ◦ t|s K .
Khi đó
IG (s σ1 , s σ2 ) = t−1 (IG (σ1 , σ2 ) ∩ O (h)).

Hơn nữa, ta có
Ig¯(s σ1 , s σ2 ) = It(¯g) (σ1 , σ2 ), với mọi g¯ ∈ IG (s σ1 , s σ2 ).
Mệnh đề 3.7. Giả sử [Λ, n, 0, β] là một stratum nửa đơn tự đối ngẫu và s θ ∈ s C(Λ, 0, β)
là một đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu của s H 1 (β, Λ). Khi đó, ta có
IG (s θ) = s J 1 (β, Λ) · Gβ · s J 1 (β, Λ).

3.2.3

Tính chất dịch chuyển

Mệnh đề 3.8. Giả sử [Λ, n, 0, β] và [Λ , n , 0, β] là hai stratum nửa đơn trong g. Với
mỗi đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu s θ ∈ s C(Λ, 0, β), đặc trưng s θ = τΛ,Λ ,β (s θ) là
đặc trưng nửa đơn duy nhất trong s C(Λ , 0, β) thỏa mãn Gβ ∩ IG (s θ, s θ ) = ∅. Hơn
nữa, Gβ ⊂ IG (s θ, s θ ).

3.3

Mở rộng Heisenberg

3.4

Mở rộng bêta

3.4.1

Trường hợp cực đại

Giả sử [ΛM , n, 0, β] là một stratum nửa đơn trong g thỏa mãn b0 (ΛM ) là một
oE -order tự đối ngẫu tối đại của B. Giả sử θM ∈ C(ΛM , 0, β) là một đặc trưng nửa
1

đơn tự đối ngẫu của H 1 (β, ΛM ) và ηM là biểu diễn bất khả quy duy nhất của JM
=

J 1 (β, ΛM ) chứa θM .


11
Kí hiệu s θM ∈ s C(ΛM , 0, β) là đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu của s H 1 (β, ΛM )
1
nâng từ θM . Gọi s ηM là biểu diễn bất khả quy duy nhất của s JM
= s J 1 (β, ΛM ) chứa
s θM .

1 .
Nhắc lại rằng s ηM = ηM ◦ t|s JM

Định nghĩa 3.12. Giả sử κM là một β-mở rộng của ηM . ta gọi là β-mở rộng của s ηM
biểu diễn κM của JM = J(β, ΛM ) được định nghĩa bởi
κM = κM ◦ t|JM .
Hệ quả 3.13. Nếu κM và κM là hai β-mở rộng của s ηM thì κM = κM ⊗ χ, trong đó
M
χ là một đặc trưng của thương P (ΛM
oE )/s P1 (ΛoE ) có tác động tầm thường trên nhóm

con sinh bởi các nhóm con lũy đơn của nó.

3.4.2

Trường hợp tổng quát

Giả sử [Λ, n, 0, β] và [Λ , n , 0, β] là hai stratum nửa đơn trong g thỏa mãn b0 (Λ) ⊆
b0 (Λ ). Giả sử θ ∈ C(Λ, 0, β) là một đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu củaH 1 (β, Λ) và
θ = τΛ,Λ ,β (θ). Như thường lệ, ta kí hiệu η (tương ứng, η ) là biểu diễn bất khả quy
duy nhất của J 1 (β, Λ) (tương ứng, của J 1 (β, Λ )) chứa η (tương ứng, chứa η ).
Ta vẫn kí hiệu s θ (tương ứng, s θ ) là đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu của s H 1 (β, Λ)
nâng từ θ (tương ứng, từ θ ) và đặt
sη

= η ◦ t|s J 1 (β,Λ) et s η = η ◦ t|s J 1 (β,Λ ) .

Hai biểu diễn này lần lượt là biểu diễn bất khả quy duy nhất của s J 1 (β, Λ) và của
sJ

1

(β, Λ ) chứa s θ và s θ .

Bổ đề 3.14. Với các kí hiệu như trên, Tồn tại một song ánh chính tắc giữa tập hợp
các thác triển κ của s η lên J = J(β, Λ) và tập hợp các thác triển κ của s η lên
JΛ,Λ = P (ΛoE )s J 1 (β, Λ ). Đặc biệt, nếu giả thiết thêm a0 (Λ) ⊆ a0 (Λ ) thì song ánh
này cho tương ứng mỗi κ (tương ứng, κ ) cho trước một κ (tương ứng, κ) duy nhất
thỏa mãn
P (ΛoE )s P1 (Λ)

IndJ

κ

P (ΛoE )s P1 (Λ)

IndJ

Λ,Λ

κ |J

Λ,Λ

.


12
Hơn nữa, nếu κ và κ tương ứng với nhau bởi song ánh này thì tập hợp các phần
tử bện trong Gβ của κ và của κ |J

Λ,Λ

là trùng nhau.

Mệnh đề 3.15. Giả sử κ là một biểu diễn của JΛ,Λ và có dạng κ = κ ◦ t|JΛ,Λ
+
trong đó κ là một mở rộng của η lên JΛ,Λ
= P + (ΛoE )J 1 (β, Λ ). Khi đó, biểu diễn

κ = κ ◦ t|J(β,Λ) của J(β, Λ) chính là ảnh của κ qua song ánh chính tắc cho bởi Bổ
đề 3.14.
Định nghĩa 3.16. Thác triển κ của s η lên J(β, Λ) tương ứng với κM |P (Λo

1
E )s JM

qua

song ánh chính tắc xác định bởi Bổ đề 3.14 được gọi là β- mở rộng của s η lên J(β, Λ)
thông qua ΛM và tương thích với κM .
Hệ quả 3.17. Giả sử κ là một β-mở rộng của s η thông qua ΛM . Khi đó P (ΛM
oE ) bện
κ.
Giả sử [Λm , nm , 0, β] là một stratum nửa đơn trong g thỏa mãn b0 (Λm ) là một
oE -order tự đối ngẫu tối tiểu trong B và a0 (Λm ) ⊆ a0 (Λ). Đặt s θm = τΛ,Λm ,β (s θ) và
gọi s ηm là biểu diễn bất khả quy duy nhất của s J 1 (β, Λm ) chứa s θm . Kí hiệu s ηm,Λ là
1
1
m
biểu diễn bất khả quy của s Jm,Λ
= s P1 (Λm
oE )s J (β, Λ). Do b0 (Λ ) tối tiểu trong B
1
nên s Jm,Λ
là một p-nhóm con Sylow của J(β, Λ).
1
Mệnh đề 3.18. Với các kí hiệu như ở trên, ta có κ|s Jm,Λ
= s ηm,Λ với mọi β-mở rộng

κ của s η lên J(β, Λ).
Mệnh đề 3.19. Giả sử [Λ, n, 0, β] và [Λ , n , 0, β] là hai stratum nửa đơn trong g.
Giả sử tồn tại một stratum nửa đơn trong g, kí hiệu bởi [ΛM , nM , 0, β], thỏa mãn
b0 (ΛM ) là một oE -order tự đối ngẫu tối đại của B chứa b0 (Λ) và b0 (Λ ). Giả sử
sθ

∈ s C(Λ, 0, β) là một đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu của s H 1 (β, Λ) và đặt s θ =

τΛ,Λ ,β (s θ). Kí hiệu s η (tương ứng, s η ) là biểu diễn bất khả quy duy nhất của s J 1 (β, Λ)
(tương ứng, của s J 1 (β, Λ )) chứa s θ (tương ứng, s θ ). Khi đó, tồn tại một song ánh
chính tắc giứa tập các β-mở rộng κ của s η lên J o (β, Λ ) thông qua ΛM và tập các
β-mở rộng κ của s η lên J o (β, Λ) thông qua ΛM . Đặc biệt, nếu a0 (Λ) ⊆ a0 (Λ ) thì
song ánh này cho tương ứng mỗi κ (tương ứng, κ ) cho trước với một κ (tương ứng


13
κ) duy nhất thỏa mãn điều kiện κ và κ |P o (Λo

E )s J

1 (β,Λ

)

cảm sinh lên P o (ΛoE )s P 1 (Λ)

hai biểu diễn bất khả quy tương đương.
Nếu κ và κ là hai β-mở rộng tương ứng với nhau qua song ánh của Mệnh đề 3.19
thì ta nói hai β-mở rộng này là tương thích với nhau.
Giả sử [Λ, n, 0, β] là một stratum nửa đơn trong g tương ứng với phân tích tự đối
ngẫu
V = [⊥i∈I0 V i ] ⊥ [⊥j∈I+ (V j ⊕ V −j )].
Khi đó dãy lattice tự đối ngẫu Λ viết được thành Λ = ⊕i∈I Λi , trong đó Λi là một dãy
oEi -lattice trong V i . Với mỗi i ∈ I = I− ∪ I0 ∪ I+ , ta định nghĩa một dãy oEi -lattice
MiΛ trong V i bởi

MiΛ (2r + s) =















i
r
Ei Λ (0),

si i ∈ I− ,

i
r
Ei Λ (s),

si i ∈ I0 ,

r
i

Ei Λ (1),

si i ∈ I+ ,

,

với r ∈ Z và s = 0, 1. Đặt MΛ = ⊕li=1 MiΛ ta sẽ thu được một dãy oE -lattice tự
đối ngẫu với b0 (MΛ ) là một oE -order tự đối ngẫu tối đại trong B chứa b0 (Λ) và
[MΛ , nM , 0, β] là một stratum nửa đơn đối hợp với một số nguyên nM nào đó.
Giả sử s θ ∈ s C(Λ, 0, β) là một đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu của s H 1 (β, Λ) và s η
là biểu diễn bất khả quy duy nhất của s J 1 (β, Λ) chứa s θ. Ta gọi là β-mở rộng chuẩn
của s η một β-mở rộng của s η thông qua MΛ .

3.5

Dạng cuspidaux

Sử dụng các kí hiệu trong các tiết trước, ta xuất phát từ một stratum nửa đơn
[Λ, n, 0, β] trong g và một đặc trưng nửa đơn tự đối ngẫu s θ ∈ s C(Λ, 0, β) của nhóm
con s H 1 (β, Λ). Gọi s η là biểu diễn bất khả quy của s J 1 (β, Λ) chứa s θ. Kí hiệu κ là
một β-mở rộng của s η lên J(β, Λ) = P (ΛoE )s J 1 (β, Λ).
Nhắc lại rằng chúng ta có dãy khớp
1 → s P1 (ΛoE ) → P (ΛoE ) → M → 1,


14
trong đó M là nhóm các điểm hữu tỉ của một nhóm reductive xác định trên một trường
hữu hạn. Dãy khớp này cảm sinh dãy khớp
1 → s J 1 (β, Λ) → J(β, Λ) → M → 1.
Ta cũng lưu ý rằng nhóm M nhìn chung là không liên thông và ta kí hiệu P o (ΛoE ) là

nghịch ảnh trong P (ΛoE ) của thành phần liên thông M của M . Do vậy J o (β, Λ) =
P o (ΛoE )s J 1 (β, Λ) là nghịch ảnh của M trong J(β, Λ).
Giả sử ρ là một biểu diễn bất khả quy của M mà hạn chế của nó trên thành phần
liên thông M chứa một biểu diễn bất khả quy cuspidal ρo . Kí hiệu ρ (tương ứng, ρo )
là phép nâng của ρ (tương ứng, ρo ) lên J(β, Λ) (tương ứng, J o (β, Λ)). Các biểu diễn
ρ, ρ, ρo cũng được gọi là biểu diễn cuspidale. Đặt λ = κ ⊗ ρ.
Định nghĩa 3.20. Cặp (J(β, Λ), λ) xây dựng như trên được gọi là một dạng cuspidal
đối với G nếu stratum [Λ, n, 0, β] tương ứng là một stratum tự đối ngẫu nửa đơn đối
hợp và nếu P o (ΛoE ) là một nhóm con parahoric tối đại của Gβ mà nhóm chuẩn hóa
của nó trong Gβ là compact.
Định lý 3.21. Giả sử (J(β, Λ), λ) là một dạng cuspidal đối với G. Khi đó biểu diễn
λ là một biểu diễn bất khả quy supercuspidal của G và (J(β, Λ), λ)
π = c-IndG
J(β,Λ)
là một [G, π]G -dạng.


15

Kết luận
Kế thừa và phát triển phương pháp của Stevens xây dựng các biểu diễn supercuspidal cho các nhóm cổ điển, chúng tôi đã đạt được các kết quả sau:
1. Nghiên cứu và trình bày khái niệm về nhóm spin; chứng minh một số tính chất
của nhóm spin p-adic, đặc biệt là tính chất về các nhóm con pro-p và căn lũy
đơn của các nhóm con parabolic.
2. Xây dựng được các đặc trưng nửa đơn cho nhóm spin p-adic. Đồng thời chúng
tôi cũng chứng minh được các tính chất cần thiết của một đặc trưng nửa đơn.
3. Chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất của mở rộng Heisenberg đối với
mỗi đặc trưng nửa đơn của nhóm spin p-adic; chỉ ra được các tính chất của mở
rộng Heisenberg này.
4. Định nghĩa các β-mở rộng của một đặc trưng nửa đơn của nhóm spin p-adic.

5. Xây dựng các dạng nửa đơn và từ đó xây dựng được một họ biểu diễn supercuspidal của nhóm spin p-adic.
Để phát triển tiếp nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi hy vọng sẽ mở rộng được
xây dựng này cho các nhóm spin xác định trên một trường địa phương phi Acsimet
compact địa phương bất kỳ với đặc số thặng dư lẻ. Đồng thời, chúng tôi cũng hy vọng
sẽ chứng minh được tính vét cạn của họ biểu diễn supercuspidal đã xây dựng được.