sơ đồ young trong vật lý

SEMINAR CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO

SƠ ĐỒ YOUNG.
GVHD
TS. VÕ TÌNH

Học viên:
DƯƠNG TRÀNG AN
LỚP VLLT K21


NỘI DUNG

 MỞ

ĐẦU
 THIẾT LẬP SƠ ĐỒ YOUNG
 Cho hàm tọa độ
 Cho hàm Spinơ
 Cho hàm sóng toàn phần
 MỞ RỘNG


MỞ ĐẦU
 Toán

tử Hamiltonian của hệ hạt đồng
nhất, không chứa toán tử spin của hệ
N
1
�

2
�
hạt:
H
p
� i  U (r1 , r2 ,..., rN )
2m



i 1

Hàm sóng của hệ có thể viết dưới
dạng tích của hàm tọa độ  và hàm
s1 , r2 , s2tổ
,...)hợp
  (r1 ,tuyến
r2 ,...)  (tính
1 ,  2 ,...)
spinơ(r,1 , hay
của các
tích như thế:


MỞ ĐẦU
 Bảng

“tính đối xứng của hàm sóng”

 Người

ta sử dụng sơ đồ Young để mô
hình hóa tính đối xứng này.


THIẾT LẬP SƠ ĐỒ YOUNG
 Sơ

đồ Young cho hàm tọa độ  :

 Xét cho 1 loại đối xứng xác định đối với sự

hoán vị các biến độc lập (tương ứng với sự
hoán vị các hạt).
 Đối với hàm  chứa N biến độc lập r1, r2,…,
rN, các sơ đồNYoung
định
bởi sự tách số
 N1  Nxác

...

N
2
k
N:
�N k mỗi hàng theo
1 �N 2 �
 Sắp xếp N ô N
thành

k...hàng,

thứ tự, chứa N1, N2,…, Nk ô, sao cho:


THIẾT LẬP SƠ ĐỒ YOUNG
 Sơ

đồ Young cho hàm tọa độ  :

 Với N = 4, ta có các bộ số Ni như sau

4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1
Tương ứng với 5 sơ đồ Young:

[4]
[3,1]
[1,1,1,1]
(biểu diễn bằng kí hiệu)

[2,2]

[2,1,1]


THIẾT LẬP SƠ ĐỒ YOUNG
 Sơ

đồ Young cho hàm tọa độ  :

 Các biến theo hàng cho ta sự đối xứng các hàm

sóng, và các biến theo cột thể hiện sự phản đối
xứng.
 Sơ đồ [4]: hàm đối xứng hoàn toàn.

 Sơ đồ [1,1,1,1]: hàm phảm đối xứng hoàn toàn.
 Các sơ đồ khác: hàm có tính đối xứng hỗn hợp.


THIẾT LẬP SƠ ĐỒ YOUNG
 Sơ

đồ Young cho hàm tọa độ  :

 Với N = 3:3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1

 Với N = 2:2 = 1 + 1


THIẾT LẬP SƠ ĐỒ YOUNG
đồ Young cho hàm Spinơ  của các
hạt có spin ½ (ví dụ: electron):

 Sơ

 Vì các biến trong hàm chỉ lấy 2 giá trị sz =

 ½, nên hàm có thể phản đối xứng không
hơn 2 biến.

 Nếu 2 biến đó có trị số như nhau, hàm sóng
phản xứng tương ứng sẽ bằng không.
 Sơ đồ Young của hàm Spinơ  chỉ có thể có
nhiều nhất
chứa
lần
N1 �
N 2 lượt N1, N2 ô,
N1 là
 N22 hàng,
N
sao cho


THIẾT LẬP SƠ ĐỒ YOUNG
đồ Young cho hàm Spinơ  của các
hạt có spin ½ (ví dụ: electron):

 Sơ

 Đối với hệ N hạt, số các loại đối xứng hoán

vị khả dĩ bằng số cách tách khả dĩ N thành
các tổng N1 + N2.
N N
▪ N chẵn

có
(N/2)
+

1
cách
tách:
N  N  0  ( N  1)  1  ...  
2

N 1
▪ N lẻ  có (N + 1)/2 cách tách:
N  N  0  ( N  1)  1  ... 

2

N 1

2
2


THIẾT LẬP SƠ ĐỒ YOUNG
đồ Young cho hàm Spinơ  của các hạt
có spin ½ (ví dụ: electron):

 Sơ

 Với N = 4, ta có các bộ số (N1 + N2) như sau:

4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1

 Hàm sóng ứng với sơ đồ Young biểu diễn

trạng thái có spin toàn phần xác định của hệ.


THIẾT LẬP SƠ ĐỒ YOUNG
đồ Young cho hàm Spinơ  của các
hạt có spin ½ (ví dụ: electron):

 Sơ

 Các mũi tên trong mỗi ô kí hiệu cho trạng

thái spin.
 Các giá trị của spin toàn phần S xét trong
đơn vị ħ.


THIẾT LẬP SƠ ĐỒ YOUNG
đồ Young cho hàm Spinơ  của các
hạt có spin ½ (ví dụ: electron):

 Sơ

 Với N = 3:

3=2+1
 Với N = 2:

2=1+1
 Mỗi sơ đồ Young, ứng với spin toàn phần S,

biểu diễn 2S + 1 trạng thái spinơ khác


THIẾT LẬP SƠ ĐỒ YOUNG
đồ Young cho hàm Spinơ  của các
hạt có spin ½ (ví dụ: electron):

 Sơ

1
 a (1, 2) 
 1 (1)  2 (2)  1 (2)  2 (1)
2

 s2 (1, 2)  1 (1) 1 (2)

Sz = +1

1
 s1 (1, 2) 
 1 (1)  2 (2)  1 (2)  2 (1)
2

 s3 (1, 2)   2 (1)  2 (2)

Sz = 0

Sz = -1

Sz = 0

THIẾT LẬP SƠ ĐỒ YOUNG
 Sơ

đồ Young cho hàm sóng toàn phần
(spin ½):
 Hàm sóng toàn phần là phản xứng, nên

ứng với mỗi sơ đồ Young cho hàm spinơ ,
luôn tìm được 1 sơ đồ Young tương ứng cho
hàm tọa độ . (Bảng 1)
 Nhận xét: sơ đồ Young của hàm tọa độ là
chuyển vị của sơ đồ Young của hàm spinơ
(dual với nhau).
 Sơ đồ Young giúp ta mô hình hóa tính đối
xứng của các hàm tọa độ  và hàm spinơ ,


MỞ RỘNG
 Với

hệ các hạt có spin bán nguyên s >
½, thì hàm spinơ sẽ chứa nhiều nhất là
(2s + 1) hàng. Và nếu có nhiều hơn 2
hạt thì ứng với mỗi sơ đồ Young, hàm
spinơ toàn phần không còn đơn giá trị,
mà trở nên phức tạp.
 Với các hạt có spinơ nguyên, hàm sóng
 là đối xứng, do đó, hàm tọa độ  và

hàm spinơ  được biểu diễn bằng cùng
1 sơ đồ Young.


 Thanks for your
attention 

SƠ ĐỒ
YOUNG


Sơ đồ Young cho hàm 
và 