Bài giảng Biến ngẫu nhiên

BIẾN NGẪU NHIÊN


Khái niệm
Biến ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị phụ thuộc vào kết quả của phép
thử ngẫu nhiên. Giá trị của nó là ngẫu nhiên không dự đoán trước được.

Ví dụ:
Số chấm mặt ngửa lên khi gieo một cục xí ngầu
Chiều cao của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên
Số khách hàng vào siêu thị trong một ngày bất kì
…………..


Ví dụ 1
Tung một đồng xu. Ta có các biến cố sau:
Đồng xu ngửa : “N”
Đồng xu sấp: “S”
Đặt

0
X=
1

neá
uSaá
p
neá
uNgöû
a

Khi đó X là một biến ngẫu nhiên.
Lưu ý: “X=1” hay “X=0” là các biến cố.


Ví dụ 2
Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y
là số viên bi vàng có trong 2 viên lấy ra.

Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.
Ta có:

Y ∈ { 0;1; 2}
“Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???


Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian mẫu các biến cố sơ cấp vào tập
số thực

X :Ω → R

ω a X ( ω)
Chú ý:




X là bnn
{X=x} hoặc {X

Phân loại
Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên liên tục


Ví dụ
 Các biến ngẫu nhiên rời rạc:
Số chấm mặt ngửa khi gieo một cục xí ngầu
Số khách hàng vào siêu thị trong một khoảng thời gian
Số cuộc gọi đến tổng đài trong một ngày
 Các biến ngẫu nhiên liên tục:
Tuổi thọ của một của laptop…
Sai số khi đo chiều cao một người, một cái cây…


Hai bnn độc lập
Hai bnn X, Y gọi là độc lập nếu các biến cố:

{ X < x} ; { Y < y}
Luôn độc lập với mọi giá trị của x, y.
Ví dụ: Gieo đồng thời một đồng xu và một cục xúc sắc. Gọi X là số lần đồng xu
ngửa; Y là số chấm trên con xúc sắc. Khi đó: X, Y là 2 bnn độc lập.

U, V là chiều cao và cân nặng của trẻ sơ sinh thì U, V không độc lập

Tổng các bnn
Tổng của 2 bnn X và Y, kí hiệu là X+Y.
X+Y là một biến ngẫu nhiên.
Giá trị của X+Y: là tổng các giá trị có thể có của X và các giá trị có thể có của Y.
Khi X, Y độc lập thì xác suất của X+Y bằng tích xác suất thành phần.
Nếu X, Y phụ thuộc thì xác suất tương ứng sẽ bằng tích xác suất thành phần này
với xác suất có điều kiện của thành phần kia.


Ví dụ


Tích bnn và một số
Tích của bnn X và hằng số c là một bnn kí hiệu cX.
Giá trị của bnn cX bằng giá trị có thể có của X nhân với hằng số c.
Do các biến cố đối với bnn X và bnn cX là tương đương nên ta có các xác suất
tương ứng bằng nhau.


Tích các bnn
Tích của hai bnn X, Y là bnn kí hiệu XY.
Giá trị của XY là tích các giá trị có thể có của X và của Y.
Nếu X,Y độc lập thì xác suất tương ứng bằng với tích các xác suất thành phần.


Ví dụ


Hàm của bnn

LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Biết được giá trị của một biến ngẫu nhiên thì chưa nhận xét gì được về biến ngẫu nhiên ấy.
Ta cần phải biết thêm xác suất để biến ngẫu nhiên nhận các giá trị của nó
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là một cách biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến
ngẫu nhiên và xác suất tương ứng để nó nhận các giá trị đó.


LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Biến ngẫu nhiên rời rạc:
Bảng phân phối xác suất
Hàm phân phối xác suất.

Biến ngẫu nhiên liên tục:
Hàm mật độ xác suất.
Hàm phân phối xác suất.


Bảng phân phối xác suất
Bảng phân phối xác suất của X.
X

x1

….

x2

….

xn

P

p1

….

p2

….

pn

xi: các giá trị có thể có của bnn X
pi=P(X=xi): các xác suất tương ứng.
Chú ý:

∑p

i

=1


Bảng phân phối xác suất
Ví dụ 1. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm đạt loại A. Lấy ngẫu
nhiên 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A lấy ra?

Giải:

Gọi X là số sản phẩm loại A lấy ra. Ta có: X=0,1,2

C42

2
P ( X = 0) = 2 =
Bảng ppxs:
C10 15

P ( X = 1) =

C41C61
C102

8
=
15

X

0

1

2

P

2/15

8/15

5/15

P ( X = 0) =

C62
C102

=

5
15


Bảng phân phối xác suất
Ví dụ 2. Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu. Kiện 2 có 2
sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ
kiện 2 ra 1 sản phẩm. Lập luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3
sản phẩm lấy ra?

Giải:
Gọi Y là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.
Y=0,1,2,3
Gọi Ai là bc có i sản phẩm tốt lấy ra từ kiện 1.
Gọi Bj là bc có j sản phẩm tốt lấy ra từ kiện 2.


Bảng phân phối xác suất
P ( Y = 0 ) = P ( A0 B0 ) = P ( A0 ) P ( B0 )

C32 3
9
= 2. =
C5 5 50

C31C21 3 C32 2 24
P ( Y = 1) = P ( A1 B0 + A0 B1 ) =
. + 2. =
2
C5 5 C5 5 50
C22 3 C31C21 2 15
P ( Y = 2 ) = P ( A2 B0 + A1 B1 ) = 2 . +
. =
2
C5 5
C5 5 50
C22 2
2
P ( Y = 3) = P ( A2 B1 ) = 2 . =
C5 5 50


Hàm phân phối xác suất
Ký hiệu F(x), định nghĩa như sau:

F ( x) = P ( X < x )
Hay

F (t ) = P ( X < t )

Hàm phân phối xác suất
Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, x là một giá trị bất kì.
Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái số x.
Xác suất X thuộc [a,b)

P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a )


Tính chất

Tính chất i) ii) iii) là các tính chất đặc trưng của
một hàm phân phối xác suất


Hàm PPXSP_rời rạc

Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:
X

x1 x2 …

xn-1 xn

P

p1 p2 …

pn-1 pn

Ta có:

F ( x ) = ∑ P ( X = xi ) = ∑ pi
xi < x

xi < x


Hàm phân phối xác suất

Vậy hàm phân phối xác suất xác định như sau:

0
p
 1
F ( x) = P( X < x) = .............................
 p + p +…+ p
n −1
 1 2
1

, x ≤ x1
, x1 < x ≤ x2
, xn−1 < x ≤ xn
, xn < x