Đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 7 lần 1 năm học 2017_2018 môn toán

TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI KHỐI 7, 8
LẦN 1 NĂM HỌC 2017- 2018
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút

Chú ý: Thí sinh dự thi không được sử dụng máy tính cầm tay!
Bài 1. (2,0 điểm)
1
4

a) Tính giá trị biểu thức A  
b) Tìm x, y, z biết:

1
1
1
  ... 
.
28 70
10300

x 1 y  2 z2  3


và x  2 y  3z 2  18 .
2
3
4

Bài 2. (2,0 điểm)
a) Cho dãy tỉ số bằng nhau
b) Cho

a
b
c
(a  c )2


 (a  b)(b  c )
. Chứng minh rằng:
2007 2009 2011
4

acd abd abc bcd



(Với các số a, b, c, d và các tổng b + c + d,
b
c
d
a

c + d đều khác 0). Tính giá tị của biểu thức A 

a
a b a bc a b c d




.
bcd cd
d
a

Bài 3. (3,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x  1  x  2  x  3  x  4 .
b) Gọi S(n) là tổng các chữ số của n. Tìm số tự nhiên n, biết: n + S(n) = 94.
c) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn

1 1 2
  .
x y 3

Bài 4. (2,0 điểm)
� �
a) Cho hình vẽ bên, biết: xAC
yBC  �
ACB  1800 .

Chứng tỏ Ax // By.

b) Cho góc xAy nhọn. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm B, kẻ tia Bz sao cho tia Ay nằm trong
góc xBz và Ay // Bz. Vẽ tia Am và Bn lần lượt là tia phân giác của góc xAy và góc ABz. Chứng tỏ
Am // Bn.
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho a và b là các số nguyên dương sao cho a2 + b2 chia hết cho tích ab. Hãy tính A =

a 2018  b 2018
.
a1009 .b1009

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
====== HẾT =====
Họ tên học sinh: ………………………….…………… SBD: ………… Phòng thi số: ………….


TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG

KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI KHỐI 7, 8
LẦN 1 NĂM HỌC 2017- 2018
(HDC này gồm 02 trang)

Bài 1: (2,0 điểm)
Phần

Nội dung trình bày

Điểm

1 1
1
1
   ... 
4 28 70
10300
1� 1 1 1
1

1 �
 �
1     ... 

�
3� 4 4 7
100 103 �
1 � 1 � 34
 �
1
�=
3 � 103 � 103
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
2
x 1 y  2 z 2  3 x 1 2  y  2  3 z  3



2
3
4
2  2.3  3.4
2
x  2 y  3 z  6 18  6


3
8
8
x 1

3 � x=5
2
y = 7;
z2 = 9 � x = �3
Vậy các bộ số (x; y; z) thỏa mãn là (5; 7; 3); (5; 7; -3)
A

a
1,0 điểm



b
1,0 điểm



Bài 2: (2,0 điểm)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a
b
c
a c
a b
bc






2007 2009 2011 2007  2011 207  2009 2009  2011
a
a c a b b c


1,0 điểm
4
2
2
2
a c a b
a c � ab bc
�
�

.
�
�
4
2
2
2
�4 �

(a  c)2
 (a  b)(b  c )
4
acd
a bd
a bc

bcd
1 
1 
1 
1
b
c
d
a
a c  d b a b d c a b c d bc d a



b
c
d
a
Nếu
a
+
b
+
c+
d
=
0
thì
b
+
c

+
d
=
-a;
a
+
b
=
(c
+
d); a + b + c = - d; b + c +
b
d
=
a.
1,0 điểm
a
a  b a  b  c a  b  c  d a  a  b  d  0
A



=
=-3
a   a  b  d a
bcd cd
d
a
Nếu a + b + c + d � 0 thì a = b = c = d
1 2 3 4 25

A=    =
3 2 1 1
3
Vậy A = - 4 nếu a + b + c + d = 0 và A = 25/3 nếu a + b + c + d �0
Bài 3: (3,0 điểm)
A = x 1  x  2  x  3  x  4
�

a

Ta có: x  3  x  4 �7 Dấu bằng xảy ra khi – 4 �x �3

x  1  x  2 �3 Dấu bằng xảy ra khi -2 �x �1

0,5
0,5

0,25

0,25
0,25
02,5

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25

0,25


1,0 điểm

Do đó A �7 + 3 = 10
Dấu bằng xảy ra khi – 4 �x �- 2 và 1 �x �3 nên -2 �x �1
Vậy MinA = 10 khi -2 �x �1

n + S(n) = 94 (*)
� n < 94 => S(n) ≤ 8 + 9 =17
n + S(n) = 94 � n = 94 – S(n) ≥ 94 - 17 = 77
b
nên 94 > n ≥ 77
1,0 điểm
n = ab (a, b �N, 9 ≥ a ≥ 7)
n = 9b (*) � 90 +b + 9 + b = 94 � 2b = -5 ( vô lý do b là chữ số )
n = 8b (*) � 80 + b + 8 + b = 94 � 2b = 6 � b =3
n = 7b (*) � 70 + b + 7 + b = 94 � 2b = 17 => b = 17/2 (loại)
Vậy n = 83
x và y có vai trò như nhau nên giả sử x �y
2 1 1 1 1 2
2 2
  �   nên � � y �3
c
3 x y y y y

3 y
1,0 điểm
Nếu y = 1 thì x = - 3 (loại)
Nếu y = 2 thì x = 6 (thỏa mãn)
Nếu y = 3 thì x = 3 (thỏa mãn)
Vậy các cặp số (x, y) thỏa mãn là: (2; 6); (6; 2); (3; 3)
Bài 4: (2,0 điểm)
Kẻ tia Cz sao cho Cz // Ax
(Cz và Ax nằm cùng phía trên nửa mặt phẳng bờ AC)
� �A  �
C  1800 (trong cùng phía) � �A  1800  �
C
1

a
1,0 điểm

1

1

�  1800 (gt)
Ta có �A1  �B1  C
2
�B  1800  �A  C
�  1800  (1800  �
� �
C1 )  C
C1 �C2
1

1
2
2
nên �B  �
BCz
1

b
1,0 điểm

� By // Cz (cặp góc so le trong bằng nhau)
Mà Cz // Ax nên Ax // By
� = �
Ay // Bz nên xAy
ABz (đồng vị)
1
�  1 xAy
� ; �
xAm
ABn  �
ABz (t/c tia phân giác)
2
2
� �
Do đó xAm
ABn
Suy ra Am // Bn (góc đồng vị bằng nhau)

Bài 5: (1,0 điểm)
Gọi d = (a, b);

Suy ra a = dm, b = dn với m, n �N và (m, n) = 1
a2 + b2 = d2(m2 + n2) và ab = dmn
a2 + b2 chia hết cho ab nên m2 + n2 chia hết cho mn
1,0 điểm (m, n) = 1 nên m2 + n2 Mm và m2 + n2 Mn
� m2 Mn và n2 Mm
� m Mn và n Mm
m = n mà (m, n) = 1 nên m = n = 1
2018
m 2018  n 2018
a 2018  b2018 d
 2018 1009 1009  2
a1009 .b1009
d .m .n





1

0,25
0,25
02,5
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

Giám khảo chú ý: - HDC chỉ là một cách giải. HS có thể giải theo cách khác, giám khảo căn cứ vào bài làm
cụ thể của HS để cho điểm. Bài 4b không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không chấm điểm.