CHUYÊN ĐỀ CƠ HỌC VẬT RẮN VẬT LÝ 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (456.6 KB, 55 trang )
Sưu tầm và biên soạn
BÀI TẬP CHƯƠNG CƠ HỌC VẬT RẮN
DẠNG 1: VẬT RẮN QUAY ĐỀU QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
A.LÍ THUYẾT
Tốc độ góc: ω = const
ϕ = ω.t
Góc quay:
Cơng thức liên hệ:
Gia tốc góc: γ = 0
v = ωr
ω = 2π f =
Tọa độ góc: ϕ = ϕ0 + ωt
2π
T
v2
an =
= ω 2 .r
r
B.BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM CHUYỂN ĐỘNG QUAY ĐỀU
1. Một đóa đặc đồng chất có dạng hình tròn bánh kính R đang quay tròn
đều quanh trục của nó. Tỉ số gia tốc hướng tâm của điểm N trên
vành đóa với điểm M cách trục quay một khoảng cách bằng nửa bán
kính của đóa bằng:
A.
1
2
B. 1
C. 2
D. 4
2. Một xe đạp có bánh xe đường kính 700 mm, chuyển động đều với tốc
độ 12,6 km/h. Tốc độ góc của đầu van xe đạp là:
A. 5 rad/s
B. 10 rad/s
C. 20 rad/s
D. Một giá trò khác.
3. Một vật hình cầu bán kính R = 25 m, chuyển động quay đều quanh một
trục ∆ thẳng đứng đi qua tâm của nó. Khi đó một điểm A trên vật, nằm
xa trục quay ∆ nhất chuyển động với tốc độ 36 km/h. Gia tốc hướng tâm
của A bằng:
A. 0,4 m/s2
B. 4 m/s2
C. 2,5 m/s2
D. Một giá trò khác.
4. Một đóa đặc đồng chất có dạng hình tròn bánh kính R = 30 cm đang
quay tròn đều quanh trục của nó, thời gian quay hết 1 vòng là 2 s. Biết
rằng điểm A nằm trung điểm giữa tâm O của vòng tròn với vành đóa.
Tốc độ dài của điểm A là:
A. 47 cm/s
B. 4,7 cm/s
C. 94 cm/s
D. 9,4 cm/s
5. Một đóa đặc đồng chất có dạng hình tròn bánh kính R đang quay tròn
đều quanh trục của nó. Hai điểm A, B nằm trên cùng một đường kính
của đóa. Điểm A nằm trên vành đóa, điểm B nằm trung điểm giữa tâm O
của vòng tròn với vành đóa. Tỉ số tốc độ góc của hai điểm A và B
là:
ωA
1
ωA
1
ωA
ωA
A. ω = 4
B. ω = 2
C. ω = 2
D. ω = 1
B
B
B
B
6. Kim giê cđa mét chiÕc ®ång hå cã chiỊu dµi b»ng 3/4 chiỊu dµi kim phót. Coi
như c¸c kim quay ®Ịu. TØ sè tèc ®é gãc cđa ®Çu kim phót vµ ®Çu kim giê lµ
A. 12;
B. 1/12;
C. 24;
D. 1/24
7. Kim giê cđa mét chiÕc ®ång hå cã chiỊu dµi b»ng 3/4 chiỊu dµi kim phót. Coi như c¸c kim quay ®Ịu. TØ sè gi÷a vËn tèc dµi cđa ®Çu kim phót vµ ®Çu kim giê lµ
1
Su tm v biờn son
A. 1/16;
B. 16;
C. 1/9;
D. 9
8. Kim giờ của một chiếc đồng hồ có chiều dài bằng 3/4 chiều dài kim phút. Coi
nh các kim quay đều. Tỉ số gia tốc hớng tâm của đầu kim phút và đầu kim giờ
là
A. 92;
B. 108;
C. 192;
D. 204
9. Một bánh xe quay đều xung quanh một trục cố định với tần số 3600 vòng/min.
Tốc độ góc của bánh xe này là:
A. 120 rad/s;
B. 160 rad/s;
C. 180 rad/s;
D. 240 rad/s
10. Một bánh xe quay đều xung quanh một trục cố định với tần số 3600 vòng/min.
Trong thời gian 1,5s bánh xe quay đợc một góc bằng:
A. 90 rad; B. 120 rad;
C. 150 rad;
D. 180 rad
11. Kim gi ca mt ng h cú chiu di 8 cm. Tc di ca u kim l
A.1,16.10-5 m/s.
B.1,16.10-4 m/s. C.1,16.10-3 m/s.
D.5,81.10-4 m/s.
_____________________________________________________________________________________
DNG 2: VT RN QUAY BIN I U QUANH MT TRC C NH
I.TNH TON CC I LNG C BN
A.L THUYT
1
Gia tc gúc: = const Tc gúc: = 0 + t Ta gúc: = 0 + 0t + 2 t 2 Tc gúc tb: tb =
t
Phng trỡnh c lp vi thi gian: = 2 ( 0 )
2
1
2
Gúc quay: = 0t + t 2
Gia tc tip tuyn: att =
2
0
S vũng quay: n =
dv
d
= r.
= .r
dt
dt
n=
2
2
Gia tc hng tõm:
an =
v2
= 2 .r
r
a = at2 + an2 = r . 4 + 2
Gia tc:
*Mt s chỳ ý:
-gúc m vt quay c l ch khụng phi , nú ch trựng khi 0=0
- Trong chuyn ng quay u , = 0 , l hng s, att=0, an=R=const.
Trong chuyn ng quay bin i u: att=const, an= (0 + t ) R
B.BI TP
T LUN
Vớ d 1. Mt a mi bt u quay vi v trớ gúc 0 = 0 v gia tc gúc khụng i = 0,35
rad/s2. Tớnh tc gúc ca a ti thi im t = 18s v s vũng m a quay c trong thi
gian ú.
Gii
Tc gúc ca a ti thi im t = 18s l:
= t = 0,35.18 = 6,3 (rad/s)
Gúc a quay c trong khong thi gian t = 18s ú l:
2
1
1
ϕ = γ t2 = .0,35.182 ≈ 56,7 (rad)
2
2
Sưu tầm và biên soạn
Số vòng quay được :
n=
56,7
ϕ
≈ 9 vòng
=
2π
2π
Ví dụ 2: Một cái đĩa bắt đầu quay quanh trục của nó với gia tốc góc không đổi. Sau 5,0s nó
quay được 25 rad.
a) Gia tốc góc của đĩa là bao nhiêu?
b) Vận tốc góc trung bình trong thời gian ấy là bao nhiêu?
c) Vận tốc góc tức thời của đĩa tại cuối thời gian t = 0,5s là bao nhiêu?
Giải
a) Gia tốc của đĩa :
γ =
2.∆ϕ 2.25
=
(rad/s2) = 2 (rad/s2)
2
25
t
b) Vận tốc góc trung bình
ωTB =
∆ϕ 25
= ( rad / s ) = 5 (rad/s)
t
5
c) Vận tốc góc tức thời tại cuối thời gian 5s là:
ω = ω0 + γ t = 2.0,5 = 1(rad/s)
Ví dụ 3: Một bánh xe quay nhanh dần đều quanh trục của nó. Lúc bắt đầu tăng tốc, bánh xe
đang có tốc độ góc là 5 rad/s. Sau 10s tốc độ góc của nó tăng lên đến 10 rad/s. Hãy tìm:
a) Gia tốc góc của bánh xe.
b) Góc mà bánh xe quay được trong khoảng thời gian đó.
c) Số vòng mà bánh xe quay được trong thời gian đó.
Giải
a) Gia tốc góc của bánh xe :
γ =
ω − ω0
10 − 5
=
(rad/s2) = 0,5 (rad/s2)
t
10
b) Góc mà bánh xe quay được trong 10s:
1
2
∆ϕ = ϕ - ϕ0 = ω0t + γ t2
1
2
∆ϕ = 5.10 + .0,5.102 = 75 (rad)
c) Số vòng mà bánh xe quay được trong 10s:
n=
∆ϕ 75
=
≈ 12(vòng)
2π 2π
3
Sưu tầm và biên soạn
Ví dụ 4: Một đĩa mài đang quay với tốc độ góc ω0 = - 4,6 rad/s và gia tốc góc không đổi γ =
0,35 rad/s2. Xác định các thời điểm để:
a) Tốc độ của đĩa mài bằng 0.
b) Đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương.
Giải
2
a) Vì ω0 = - 4,6 rad/s và γ = 0,35 rad/s nên ban đầu đĩa quay chậm dần theo chiều âm.
Thời điểm tốc độ của đĩa mài bằng 0 được xác định:
t1 =
ω − ω0
0 − ( −4,6)
≈ 13s .
=
γ
0,35
b) Sau khi tốc độ của đĩa bằng 0, đĩa sẽ quay nhanh dần đều với gia tốc góc γ = 0,35 rad/s2 .
Thời gian để đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương được tính:
∆t =
2∆ϕ
2.5.2π
≈ 13,4 (s).
=
γ
0,35
Thời điểm để đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương là: t = t1+∆t ≈ 26,4(s)
Ví dụ 5: Tại thời điểm ban đầu một bánh đà có vận tốc góc 4,7 rad/s, gia tốc góc là 0,25rad/s2 và ϕ0 = 0.
a) Đường mốc sẽ đạt được một góc cực đại ϕmax bao nhiêu theo chiều dương và tại thời điểm
nào?
1
2
b) Đến thời điểm nào thì đường mốc ở ϕ = ϕmax ?
Giải
a) Ban đầu vận tốc góc và gia tốc góc trái dấu nên bánh đà quay chậm dần đến khi tốc độ góc
bằng 0 thì đường mốc đạt toạ độ cực đại.
Khi đó: ω = ω0 + γ t1 = 0 → t1 =
− ω0
− 4,7
=
( s ) = 18,8( s)
γ
− 0,25
Đường mốc đạt được một góc cực đại ϕmax :
ϕ = ϕmax = ϕ0 + ω0t1 +
ϕ = 4,7.1,88 +
1
γ t12
2
1
(-0,25).1,882 = 44,18 (rad)
2
1
2
b) Khi ϕ = ϕmax ta có:
4,7t +
1
44,18
(-0,25)t2 =
→ t = 5,15 s hoặc t = 32 s.
2
2
II.Xác định vận tốc, gia tốc của một điểm trên vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục cố
định.
4
Sưu tầm và biên soạn
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức:
+ Tốc độ dài: v = ωr,
+ Gia tốc của chất điểm trong chuyển động quay: a = a n + at
Độưlớn: a =
a n2 + at2 ; trong đó: a n = ω 2 r =
∆v
v2
, at =
∆t
r
Trong quá trình giải bài tập cần lưu ý:
- Trong chuyển động quay quanh một trục cố định của vật rắn thì các điểm trên vật rắn:
+ Chuyển động trên các quỹ đạo tròn có tâm là trục quay.
+ Tại mọi thời điểm thì tất cả các điểm tham gia chuyển động quay trên vật có cùng góc
quay, vận tốc góc và gia tốc góc.
- Đối với vật rắn quay đều thì: at= 0 nên a = an
Bài tập tự luận
Ví dụ 1: Một cánh quạt dài OA = 30cm quay với tốc độ góc không đổi ω = 20 rad/s quanh
trục đi qua O. Xác định tốc độ dài của một điểm M (thuộc OA) ở trên cánh quạt cách A một
khoảng 10 cm?
Giải
Khoảng cách từ M đến trục quay là:
OM = OA - MA = 20 cm = 0,2 m.
Tốc độ dài của M là:
vM = ω.r = ω.OM = 20.0,2 = 4m/s
Ví dụ 2: Một bánh xe bán kính 50cm quay đều với chu kì là 0,1 giây. Hãy tính:
a) Vận tốc dài và vận tốc góc của một điểm trên vành bánh xe.
b) Gia tốc pháp tuyến của một điểm trên vành bánh; của điểm chính giữa một bán kính.
Giải
a) Vận tốc góc của một điểm trên vành bánh xe là:
ω=
2π 2π
=
= 62,8(rad / s)
T
0,1
- Vận tốc dài của một điểm trên vành bánh xe là :
v = ω.r = 62,8.0.5 = 31,4(m / s )
b) Gia tốc pháp tuyến của một điểm trên vành bánh xe:
an1 = ω 2 r = 62,82.0,5 = 1971,92(m / s 2 )
- Gia tốc pháp tuyến của điểm chính giữa một bán kính:
5
r a
an 2 = ω 2 = n1 = 985,96(m / s 2 )
2
2
Sưu tầm và biên soạn
Ví dụ 3: Một bánh xe có bán kính R=10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung quanh trục
của nó với gia tốc bằng 3,14rad/s2. Hỏi, sau giây thứ nhất:
a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh?
b) Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên vành
bánh?
c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một điểm trên vành
bánh)?
Giải
a) Vận tốc góc sau giây thứ nhất:
ω = γ t = 3,14.1 = 3,14 rad/s
Vận tốc dài của một điểm trên vành bánh xe:
v = ωr = 3,14 . 0,1 = 0,314 m/s.
b) Gia tốc tiếp tuyến:
at = γ r = 3,14.0,1 = 0,314m/s2
Gia tốc pháp tuyến:
an = ω2r = 3,142.0,1 = 0,985 m/s2
Gia tốc toàn phần:
a
a t
0 an
α
Hình 1
a = at2 + a n2 = 1,03m/s2
c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe được xác định:
a
0,314
t
tgα = a = 0,985
n
→ α= 17046’
Bài tập áp dụng
1. Tìm vận tốc góc trung bình của:
a) Kim giờ và kim phút đồng hồ.
b) Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất (Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất một vòng mất 27 ngày
đêm).
c) Của một vệ tinh nhân tạo của Trái Đất quay trên quỹ đạo tròn với chu kì bằng 88 phút.
Đáp số: a) 14,5.10-5rad/s, 1,74.10-3rad/s; b) 2,7.10-6rad/s; c) 1,19.10-3rad/s.
2. Khi tắt điện thì một cánh quạt điện đang quay với tốc độ góc 20 vòng/phút dừng lại sau 2 phút. Tính
gia tốc góc trung bình.
Đáp số: 0,05π rad/s.
3. Một bánh xe quay đều với tốc độ 300 vòng/phút. Trong 10s bánh xe quay được góc là bao nhiêu?
Đáp số: 314 rad
6
Sưu tầm và biên soạn
4. Một cái đĩa quay quanh một trục cố định, từ nghỉ và quay nhanh dần đều. Tại một thời điểm nó đang
quay với tốc độ 10 vg/s. Sau khi quay trọn 60 vòng nữa thì tốc độ góc của nó là 15 vg/s. Hãy tính:
a) Gia tốc góc của đĩa.
b) Thời gian cần thiết để quay hết 60 vòng nói trên.
c) Thời gian cần thiết để đạt tốc độ 10vg/s và số vòng quay từ lúc nghỉ cho đến khi đĩa đạt tốc độ góc
10vg/s.
Đáp số: a) 6,54 rad/s2; b) 4,8s; c) 9,6s và 48 vòng.
5. Một bánh đà đang quay với tốc độ góc 1,5 rad/s thì quay chậm dần đều được 40 vòng cho đến khi
dừng.
a) Thời gian cần để dừng là bao nhiêu?
b) Gia tốc góc là bao nhiêu?
c) Nó cần thời gian là bao nhiêu để quay được 20 vòng đầu trong số 40 vòng ấy.
Đáp số: a) t = 335s ; b) γ = - 4,48.10-3rad/s2; c) t’ = 98,1s
6. Một cái đĩa ban đầu có vận tốc góc 120rad/s, quay chậm dần đều với gia tốc bằng 4,0 rad/s 2.
a) Hỏi sau bao lâu thì đĩa dừng lại?
b) Đĩa quay được một góc bao nhiêu trước khi dừng?
Đáp số: a) t = 30s ; b) 1800rad.
7. Tìm vận tốc dài của chuyển động quay của một điểm trên mặt đất tại Hà Nội. Biết rằng vĩ độ của Hà
Nội là α = 210
Đáp số: v = R. ωcosα = 430m/s
8. Vận tốc của electron trong ngun tử hyđrơ là v = 2,8.103 cm / s .Tính vận tốc góc và gia tốc pháp tuyến
của electron nếu quỹ đạo của nó là một vòng tròn bán kính 0,5.1-8cm.
Đáp số: ω = 4,4.1016rad/s ; an = 9,68.104m/s2.
TRẮC NGHIỆM
1. Một vật rắn chuyển động quay quanh một trục với tọa độ góc là
một hàm theo thời gian có dạng: ϕ = 10t2 + 4 (rad; s). Tọa độ góc của vật
ở thời điểm t = 2s là:
A. 44 rad
B. 24 rad
C. 9 rad
D. Một giá trò khác.
2. Một vật rắn chuyển động quay quanh một trục với tọa độ góc là
một hàm theo thời gian có dạng: ϕ = 4t2 (rad; s). Tốc độ góc của vật ở
thời điểm t = 1,25 s là:
A. 0,4 rad/s
B. 2,5 rad/s
C. 10 rad/s
D. một giá trò
khác.
3. Một xe đạp bắt đầu chuyển động trên một đường hình tròn bán kính
400 m. Xe chuyển động nhanh dần đều, cứ sau một giây tốc độ của xe
lại tăng thêm 1 m/s. Tại vò trí trên q đạo mà độ lớn của hai gia tốc
hướng tâm và tiếp tuyến bằng nhau, thì tốc độ góc của xe bằng:
A. 0,05 rad/s
B. 0,1 rad/sC. 0,2 rad/s
D. 0,4 rad/s
7
Sưu tầm và biên soạn
4. Một quạt máy đang quay với tốc độ góc 360 vòng/phút thì bò hãm.
Sau khi hãm
π
s tốc độ góc của cánh quạt còn 180 vòng/phút. Gia tốc
2
góc trung bình của quạt là:
A. 3 rad/s2
B.6 rad/s2
C.
1
rad/s2
3
D.12 rad/s2
5. Một vô lăng quay với tốc độ góc 180 vòng/phút thì bò hãm chuyển
động chậm dần đều và dừng lại sau 12 s. Số vòng quay của vô lăng
từ lúc hãm đến lúc dừng lại là:
A. 6 vòng
B. 9 vòng
C. 18 vòng
D. 36 vòng
6. Một vật rắn coi như một chất điểm, chuyển động quay quanh một trục
∆, vạch nên một q đạo tròn tâm O, bán kính R = 50 cm. Biết rằng ở
thời điểm t1 = 1s chất điểm ở tọa độ góc ϕ1 = 30o; ở thời điểm t2 = 3s
chất điểm ở tọa độ góc ϕ2 = 60o và nó chưa quay hết một vòng. Tốc
độ dài trung bình của vật là:
A. 6,5 cm/s
B. 0,65 m/s
C. 13 cm/s
D. 1,3 m/s
7. Một vật rắn coi như một chất điểm chuyển động trên q đạo tròn
bán kính bằng 40 m. quãng đường đi được trên q đạo được cho bởi công
thức : s = - t2 + 4t + 5 (m). Gia tốc pháp tuyến của chất điểm lúc t = 1,5 s
là: A. 0,1 cm/s2
B. 1 cm/s2
C. 10 cm/s2
D. 100 cm/s2
8. Một vật chuyển động trên một đường tròn có tọa độ góc phụ
thuộc vào thời gian t với biểu thức: ϕ = 2t2 + 3 (rad; s). Khi t = 0,5 s tốc độ
dài của vật bằng 2,4 m/s. Gia tốc toàn phần của vật là:
A. 2,4 m/s2
B. 4,8 2 m/s2
C. 4,8 m/s2
D. 9,6 m/s2
9. Một vật rắn quay quanh một trục cố đònh đi qua vật có phương trình
chuyển động: ϕ = 10 + t2 (rad; s). Tốc độ góc và góc mà vật quay được
sau thời gian 5 s kể từ thời điểm t = 0 lần lượt là:
A. 10 rad/s và 25 rad
B. 5 rad/s và 25 rad C. 10 rad/s và 35 rad
D. 5 rad/s và 35 rad
10. B¸nh ®µ cđa mét ®éng c¬ tõ lóc khëi ®éng ®Õn lóc ®¹t tèc ®é gãc 140rad/s
ph¶i mÊt 2 s. BiÕt ®éng c¬ quay nhanh dÇn ®Ịu.Gãc quay cđa b¸nh ®µ trong thêi
gian ®ã lµ:
A. 140rad.
B. 70rad. C. 35rad.
D. 36πrad.
11. Mét b¸nh xe quay nhanh dÇn ®Ịu quanh trơc. Lóc t = 0 b¸nh xe cã tèc ®é gãc
5rad/s. Sau 5s tèc ®é gãc cđa nã t¨ng lªn 7rad/s. Gia tèc gãc cđa b¸nh xe lµ:
A. 0,2rad/s2.
B. 0,4rad/s2.
C. 2,4rad/s2.
D. 0,8rad/s2.
12. Trong chun ®éng quay cã vËn tèc gãc ω vµ gia tèc gãc γ chun ®éng quay
nµo sau ®©y lµ nhanh dÇn?
A. ω = 3 rad/s vµ γ = 0;
B. ω = 3 rad/s vµ γ = - 0,5 rad/s2
C. ω = - 3 rad/s vµ γ = 0,5 rad/s2;
D. ω = - 3 rad/s vµ γ = - 0,5 rad/s2
13. Mét b¸nh xe quay nhanh dÇn ®Ịu tõ tr¹ng th¸i ®øng yªn sau 2s nã ®¹t tèc ®é
gãc 10rad/s. Gia tèc gãc cđa b¸nh xe lµ
A. 2,5 rad/s2;
B. 5,0 rad/s2;
C. 10,0 rad/s2; D. 12,5 rad/s2
8
Su tm v biờn son
14. Một bánh xe có đờng kính 4m quay với gia tốc góc không đổi 4 rad/s 2, t0 = 0 là
lúc bánh xe bắt đầu quay. Tại thời điểm t = 2s tốc góc của bánh xe là:
A. 4 rad/s. B. 8 rad/s.
C. 9,6 rad/s.
D. 16 rad/s.
15. Một bánh xe có đờng kính 4m quay với gia tốc góc không đổi 4 rad/s 2, t0 = 0 là
lúc bánh xe bắt đầu quay. Tốc độ dài của một điểm P trên vành bánh xe ở thời
điểm t = 2s là
A. 16 m/s.
B. 18 m/s.
C. 20 m/s.
D. 24 m/s.
16. Một bánh xe có đờng kính 4m quay với gia tốc góc không đổi 4 rad/s 2. Gia tốc
tiếp tuyến của điểm P trên vành bánh xe là
A. 4 m/s2. B. 8 m/s2.
C. 12 m/s2.
D. 16 m/s2.
17. Một bánh xe đang quay với tốc góc 36 rad/s thì bị hãm lại với một gia tốc góc
không đổi có độ lớn 3rad/s2. Thời gian từ lúc hãm đến lúc bánh xe dừng hẳn là
A. 4s;
B. 6s;
C. 10s;
D. 12s
18. Một bánh xe đang quay với tốc độ góc 36rad/s thì bị hãm lại với một gia tốc góc
không đổi có độ lớn 3rad/s2. Góc quay đợc của bánh xe kể từ lúc hãm đến lúc dừng
hẳn là
A. 96 rad;
B. 108 rad;
C. 180 rad;
D. 216 rad
19. Một bánh xe quay nhanh dần đều trong 4s tốc độ góc tăng từ 120vòng/phút lên
360vòng/phút. Gia tốc góc của bánh xe là
A. 2 rad/s2.
B. 3 rad/s2.
C. 4 rad/s2.
D. 5 rad/s2.
20. Một bánh xe có đờng kính 50cm quay nhanh dần đều trong 4s tốc độ góc tăng
từ 120vòng/phút lên 360vòng/phút. Gia tốc hớng tâm của điểm M ở vành bánh xe
sau khi tăng tốc đợc 2s là
A. 157,8 m/s2.
B. 162,7 m/s2. C. 183,6 m/s2. D. 196,5 m/s2
21. Một bánh xe có đờng kính 50cm quay nhanh dần đều trong 4s tốc độ góc
tăng từ 120 vòng/phút lên 360 vòng/phút. Gia tốc tiếp tuyến của điểm M ở vành
bánh xe là:
A. 0,25 m/s2;
B. 0,50 m/s2; C. 0,75 m/s2; D. 1,00 m/s2
21. Mt cỏi a ban u ng yờn bt u quay nhanh dn quanh mt trc c nh i qua a vi gia tc
gúc khụng i bng 2 rad/s2. Gúc m a quay c sau thi gian 10 s k t khi a bt u quay l
A. 20 rad.
B. 100 rad.
C. 50 rad.
D. 10 rad
22. Mt bỏnh xe bt u quay nhanh dn u quanh mt trc c nh ca nú. Sau 10 s k t lỳc bt u
quay, vn tc gúc bng 20 rad/s. Vn tc gúc ca bỏnh xe sau 15 s k t lỳc bt u quay bng
A. 15 rad/s.
B. 20 rad/s.
C. 30 rad/s.
D. 10 rad/s.
23. Ti thi im t = 0, mt vt rn bt u quay quanh mt trc c nh xuyờn qua vt vi gia tc gúc
khụng i. Sau 5 s nú quay c mt gúc 25 rad. Vn tc gúc tc thi ca vt ti thi im t=5s l
A. 5 rad/s.
B. 10 rad/s.
C. 15 rad/s.
D. 25 rad/s.
24. Mt bỏnh xe ang quay vi tc gúc 24 rad/s thỡ b hóm. Bỏnh xe quay chm dn u vi gia tc gúc
cú ln 2 rad/s2. Thi gian t lỳc hóm n lỳc bỏnh xe dng bng:
A. 8 s.
B. 12 s.
C. 24 s.
D. 16 s.
25. Mt vt rn quay quanh mt trc c nh i qua vt cú phng trỡnh chuyn ng =10+t2 ( tớnh
bng rad, t tớnh bng giõy). Tc gúc v gúc m vt quay c sau thi gian 5 s k t thi im t = 0 ln
lt l
A. 5 rad/s v 25 rad
B. 5 rad/s v 35 rad.
C. 10 rad/s v 35 rad.
D. 10 rad/s v 25 rad.
26. Phng trỡnh to gúc theo thi gian t ca mt vt rn quay bin i cú dng :
9
Sưu tầm và biên soạn
2
φ = 2008 + 2009t +12 t (rad, s).Tính tốc độ góc ở thời điểm t = 2s
A. ω = 2009 rad
B. ω = 4018 rad
C. ω = 2057 rad
D. ω = 2033 rad
27. Một vật rắn quay nhanh dần đều quanh một trục cố định, trong 3,14 s tốc độ góc của nó tăng từ 120
vòng/phút đến 300 vòng/phút. Lấy π = 3,14. Gia tốc góc của vật rắn có độ lớn là
A.20 cm/s2.
B.10 cm/s2.
C.30cm/s2.
D.40cm/s2
28. Tại một thời điểm t = 0, một vật bắt đầu quay quanh một trục cố định xun qua vật với gia tốc góc
khơng đổi. Sau 5 s, nó quay một góc 10 rad. Góc quay mà vật quay được sau thời gian 10 s kể từ lúc t = 0
bằng
A.10 rad.
B.40 rad.
C.20 rad.
D.100 rad.
29. Một đĩa tròn, phẳng, mỏng quay đều quanh một trục qua tâm và vng góc với mặt đĩa. Gọi v A và vB
lần lượt là tốc độ dài của điểm A ở vành đĩa và của điểm B (thuộc đĩa) ở cách tâm một đoạn bằng nửa bán
kính của đĩa. Biểu thức liên hệ giữa vA và vB là
A. vA = vB.
B. vA = 2vB.
C. v A =
vB
2
D. vA = 4vB.
30. Từ trạng thái nghỉ, một đĩa bắt đầu quay quanh trục cố định của nó với gia tốc góc khơng đổi. Sau 10s,
đĩa quay được một góc 50 rad. Góc mà đĩa quay được trong 10 s tiếp theo là
A. 100 rad.
B. 200 rad.
C. 150 rad.
D. 50 rad.
31. Một vật quay nhanh dần từ trạng thái nghỉ, trong giây thứ 4 vật quay được góc 14 rad. Hỏi trong giây
thứ 3 vật quay được góc bao nhiêu ?
A. 10 rad
B. 5 rad
C. 6 rad
D.2 rad
32. Một cánh quạt của mát phát điện chạy bằng sức gió có đường
kính 80m, quay với tốc độ 45vòng/phút. Tốc độ của một điểm nằm ở
vành cánh quạt là:
A. 18,84 m/s
B. 188,4 m/s
C. 113 m/s
D. 11304m/s
.....................................................................................................................................................................
DẠNG 3: MOMEN QN TÍNH – MOMEN LỰC.Bài tập xác định mơ men qn tính của một số vật đồng chất có hình dạng hình học đặc biệt.
Phương pháp giải
Kiểm tra xem hệ gồm mấy vật: I = I1 + I2 + ….+ In
+nếu vật có hình dạng đặc biêt, áp dụng cơng thức sgk, nếu trục quay khơng đi qua tâm:
: I(∆) = IG + md2
+nếu vật là chất điểm: I=mr2
Mơ men qn tính của một số vật đồng chất:
+ Vành tròn, hình trụ rỗng khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục của nó: I = mR 2.
+ Đĩa tròn, hình trụ đặc khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục của nó: I =
1
mR2.
2
+ Thanh dài l, khối lượng m có trục quay trùng với trung trực của thanh:
I=
1
ml2.
12
10
Sưu tầm và biên soạn
2
mR2.
5
+ Quả cầu đặc có trục quay đi qua tâm: I =
A.TỰ LUẬN
Ví dụ 1: Một thanh đồng chất AB dài l = 1m khối lượng m1 = 3 kg. Gắn vào hai đầu A và B
của thanh hai chất điểm khối lượng m 2 = 3kg và m3 = 4kg. Tìm momen quán tính của hệ
trong các trường hợp:
a) Trục quay vuông góc với thanh tại trung điểm của AB.
b) Trục quay tại đầu A của thanh và vuông góc với thanh.
c) Trục quay cách A khoảng l/4 và vuông góc với thanh.
Giải
a) Mô men quán tính của thanh đối với trục quay (O) đi qua trung
A
O
B
điểm của thanh AB: I1 =
1
m1 l2
12
m3
m2
Hình 2
l2
Mô men quán tính của m2 đối với trục quay (O): I2 = m2R22 = m2 4
l2
Mô men quán tính của m3 đối với trục quay (O): I3 = m3R32 = m3 4
Momen quán tính của hệ đối với trục quay (O):
2
2
l
l
1
2
I = I1 + I2 + I3 = 12 m1l + m2 4 + m3 4
Thay số: I =
l2
= 12 ( m1 + 3m2 + 3m3)
1
(3 + 3.3 + 3.4) = 2 (kg.m2)
12
b) Trục quay vuông góc với thanh tại đầu A được tính:
Mô men quán tính của thanh đối với trục quay (A): I1 =
1
m1 l2
3
Mô men quán tính của m2 đối với trục quay (A): I2 = 0
Mô men quán tính của m3 đối với trục quay (A): I3 = m3R32 = m3l2
Mô men quán tính của hệ đối với trục quay (A):
I = I1 + I2 + I3 =
1
1
m1l2 + 0 + m3 l2 = .3.12 + 0 + 4.12 = (5 kgm2)
3
3
c) Trục quay (O’) cách A khoảng l/4 và vuông góc với thanh.
Áp dụng định lí trục song song ta tính được mô men quán tính
của thanh đối với trục quay (O’):
I1 =
l
7
1
m1l2 + m1 ( )2 =
m1l2
12
4
48
A
m2
O’
G
Hình 4
B
m3
11
Sưu tầm và biên soạn
Mô men quán tính của m2 đối với trục quay (O’):
2
l2
l
= m2
16
I2 = m2R22 = m2 4
Mô men quán tính của m3 đối với trục quay (O’):
2
9l 2
3l
= m3
16
I3 = m3R32 = m3 4
Mô men quán tính của hệ đối với trục quay (O’):
I = I1 + I2 + I3 =
7
1
9
m1l 2 +
m2 l 2 + m3l 2 = 2,875 2 kg.m2
48
16
16
Ví dụ 2: Thanh mảnh có khối lượng M, dài L được gập thành khung hình tam giác đều ABC.
Tính mô men quán tính của khung đối với trục quay đi qua A và vuông góc với khung.
Giải
Ta thấy:
B
mAB = mBC = mCA = m = M/3.
G
lAB = lBC = lCA = l = L/3.
A
Mô men quán tính của khung đối với trục quay đi qua A và vuông
C
góc với khung:
Hình 5
I = IAB + IBC + ICA
Trong đó: IAB = ICA =
1 2
ml
3
Áp dụng định lí trục song song ta tính mô men quán tính của thanh BC đối với trục quay đi
qua A là IBC:
IBC = I(G)BC + m .(AG)2
Trong đó: I(G)BC =
1
l 3
ml 2 ; AG =
12
2
1
l 3 2 5 2
IBC = ml 2 + m.(
) = ml
12
6
2
Suy ra: I = 2.
A
m2
B
m3
Hình 3
1 2
5
M L2
1
ml + ml 2 = 1,5ml2 = 1,5.
. = ML2
3
6
3 9 18
Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Tính mô men quán tính của một vật rắn đồng chất dạng đĩa tròn đặc bán kính r có trục quay
vuông góc với đĩa và đi qua mép đĩa.
Đáp số: 1,5mR 2
2. Một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 1,5m khối lượng m = 2 kg.
a) Tính momen quán tính của đĩa đối với trục vuông góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?
12
Sưu tầm và biên soạn
b) Đặt vật nhỏ khối lượng m 1 = 2 kg vào mép đĩa và vật m 2 = 3 kg vào tâm đĩa. Tìm momen
quán tính của hệ đối với trục quay vuông góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?
Đáp số: a) 2,25 kg.m2; b) 6,25 kg.m2
3. Sàn quay là một hình trụ, đặc đồng chất, có khối lượng 25kg và có bán kính 2,0m. Một người có
khối lượng có khối lượng 50kg đứng trên sàn. Tính mô men quán tính của người và sàn trong 2
trường hợp:
a) Người đứng ở mép sàn
b) Người đứng ở điểm cách trục quay 1,0m.
Đáp số: a)250kgm2; b) 100kgm2.
Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Tính mô men quán tính của một vật rắn đồng chất dạng đĩa tròn đặc bán kính r có trục quay vuông góc
với đĩa và đi qua mép đĩa.
Đáp số: 1,5mR 2
2. Một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 1,5m khối lượng m = 2 kg.
a) Tính momen quán tính của đĩa đối với trục vuông góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?
b) Đặt vật nhỏ khối lượng m1 = 2 kg vào mép đĩa và vật m 2 = 3 kg vào tâm đĩa. Tìm momen quán tính
của hệ đối với trục quay vuông góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?
Đáp số: a) 2,25 kg.m2; b) 6,25 kg.m2
3. Sàn quay là một hình trụ, đặc đồng chất, có khối lượng 25kg và có bán kính 2,0m. Một người có khối
lượng có khối lượng 50kg đứng trên sàn. Tính mô men quán tính của người và sàn trong 2 trường hợp:
a) Người đứng ở mép sàn
b) Người đứng ở điểm cách trục quay 1,0m.
Đáp số: a)250kgm2; b) 100kgm2.
TRẮC NGHIỆM
Câu1: Một thanh thẳng đồng chất OA có chiều dài l, khối lượng M, có thể quay quanh một trục cố định
qua O và vuông góc với thanh. Người ta gắn vào đầu A một chất điểm m =
M
. Momen quán tính của hệ
3
đối với trục qua O là
A. 2 Ml 2 / 3 .
B. Ml 2 /3 .
C. Ml2.
D. 4 Ml 2 / 3 .
Câu 2: Đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực đối với vật rắn có trục quay cố định được gọi là
A. momen quán tính.
B. momen quay.
C. momen lực.
D. momen động
lượng.
13
Sưu tầm và biên soạn
Câu3: Tại các đỉnh ABCD của một hình vuông có cạnh a=80cm có gắn lần lượt các
chất điểm m1, m2, m3, m4 với m1=m3=1kg, m2=m4=2kg. Mômen quán tính của hệ 4
chất điểm đối với trục quay qua M (trung điểm của DC) và vuông góc với hình
vuông có giá trị nào sau đây?
A. 1,68 kgm2.
B. 2,96 kgm2. C. 2,88 kgm2.
* D. 2,42 kgm2.
Câu4: Một khung dây cứng nhẹ hình tam giác đều cạnh a. Tại ba đỉnh khung có gắn
ba viên bi nhỏ có cùng khối lượng m. Mômen quán tính của hệ đối với trục quay đi
qua tâm O và vuông góc mặt phẳng khung là
A. ma2.*
2a 2
B. m
.
3
C. m
2
2a
.
3
a2
D. m .
2
Câu5: Một vành tròn đồng chất tiết diện đều, có khối lượng M, bán kính vòng ngoài là m
R, vòng trong là r ( hình vẽ). Momen quán tính của vành đối với trục qua tâm và vuông góc
với vành là
1
A. M(R2 + r2).
2
1
*B.
M(R2 - r2)
2
C. M(R2 + r2).
m
a
a
O
a
m
r
R
D. M(R2 - r2)
Chú ý: I vành=Iđĩa tròn lớn-I đĩa tròn nhỏ
6. Một tam giác đều có cạnh là a. Ba chất điểm, mỗi chất điểm có khối lượng là m, được đặt ở ba đỉnh của
tam giác. Momen quán tính của hệ này đối với trục quay là một đường cao của tam giác bằng:
A. ma2/2
B. ma2/4
C. 3ma2/2
D. 3ma2/4.
7. Một thanh cứng đồng chất có chiều dài ℓ, khối lượng m, quay quanh một trục Δ qua trung điểm và
vuông góc với thanh. Gắn chất điểm có khối lượng 3 m vào một đầu thanh. Momen quán tính của hệ đối
với trục Δ là
A.
13
mℓ2.
12
B.
1
mℓ2.
3
C.
4
mℓ2.
3
D.
5
mℓ2.
6
8. Hai chất điểm có khối lượng 0,2kg và 0,3kg gắn ở hai đầu một thanh cứng, nhẹ, có chiều dài 1,2m.
Momen quán tính của hệ đối với trục quay đi qua trung điểm của thanh và vuông góc với thanh có giá trị
nào
sau
đây?
2
2
2
2
A. 1,58kg.m
B. 0,18kg.m
C. 0,09kg.m
D. 0,36kg.m .
9. Một thanh mỏng AB có khối lượng M = 1kg, chiều dài l = 2m, hai đầu thanh gắn hai chất điểm có khối
lượng bằng nhau là m = 100g. Momen quán tính của hệ đối với trục quay đi qua trung điểm của thanh và
vuông góc với thanh có giá trị nào sau đây?
A. 0,53kg.m2
B. 0,64kg.m2
C. 1,24kg.m2
D. 0,88kg.m2
10. Hai ròng rọc A và B có khối lượng lần lượt là m và 4m, bán kính của ròng rọc A bằng 1/3 bán kính
ròng rọc B. Tỉ lệ IA/IB giữa momen quán tính của ròng rọc A và ròng rọc B bằng:
A. 4/3
B. 9
C. 1/12
D. 1/36
DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
A.LÍ THUYẾT
Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định
M = I γ hay γ =
M
I
Trong đó: + M = Fd (Nm)là mômen lực đối với trục quay (d là tay đòn của lực)
14
Sưu tầm và biên soạn
2
+ I = ∑ mi ri (kgm2)là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay
i
• I.Xác định gia tốc góc và các đại lượng động học khi biết các lực (hoặc mô men lực) tác dụng
lên vật, mô men quán tính và ngược lại.
Phương pháp giải
Biểu diễn các lực tác dụng lên vật và tính mô men các lực đó đối với trục quay.
Áp dụng phương trình động lực học của vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục cố định:
M=Iγ
Từ phương trình động lực học xác định được γ (hoặc các đại lượng liên quan), từ đó xác định
được các đại lượng động học, học động lực học.
Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chú ý xem vật có chịu tác dụng của momen cản hay không, có
thể nhận thấy momen cản thông qua dữ liệu, khi ngừng lực tác dụng thì vật quay chậm dần đều.
Nếu có momen cản thì phương trình động lực học trở thành: M-Mc= I γ
Ví dụ 1: Một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 20cm, khối lượng m = 5 kg. Đĩa có trục
quay đi qua tâm đĩa và vuông góc với mặt đĩa. Đĩa đang đứng yên thì chịu tác dụng của lực
không đổi F = 2N tiếp tuyến với vành đĩa. Bỏ qua ma sát. Tìm tốc độ góc của đĩa sau 5s
chuyển động?
Giải
Momen quán tính của đĩa đối với trục quay đi qua tâm đĩa và vuông góc với mặt đĩa:
I=
1
1
mR2 = .5.2,02 = 0,1 kg.m2
2
2
Momen lực tác dụng lên đĩa:
M = F.d = F.R = 2.0,2 = 0,4 N
Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển động quay ta được:
M = I.γ → γ =
M 0,4
=
= 4rad/s2
I
0,1
Tốc độ góc của đĩa sau 5s chuyển động là:
ω = γ t = 4.5 = 20 rad/s
Ví dụ 2: Tác dụng một lực tiếp tuyến 0,7 N vào vành ngoài của một bánh xe có đường kính
60cm. Bánh xe quay từ trạng thái nghỉ và sau 4 giây thì quay được vòng đầu tiên. Momen
quán tính của bánh xe là bao nhiêu?
Giải
Gia tốc góc của bánh xe được tính:
ϕ - ϕ0 =
1 2
γt
2
15
2(ϕ − ϕ 0 ) 2.2π
π
=
(rad / s 2 ) = (rad / s 2 )
→γ =
2
4.4
4
t
Sưu tầm và biên soạn
Mô men lực tác dụng vào bánh xe:
M = F.R = 0,7.0.3 = 0,21Nm.
Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển động quay, ta tính được mô men quán tính của bánh
xe:
M = I.γ → I =
M
0,21
kgm 2 ≈ 0,27kgm2.
=
γ
π /4
Ví dụ 3: Một bánh xe chịu tác dụng của một mô men lực M 1 không đổi là 20Nm. Trong 10 s
đầu, tốc độ góc của bánh xe tăng đều từ 0 đến 15 rad/s. Sau đó mô men lực M 1 ngừng tác
dụng, bánh xe quay chậm dần đều và dừng lại sau 30s. Cho biết mô men của lực ma sát có giá
trị không đổi trong suốt thời gian chuyển động bằng 0,25M1.
a) Tính gia tốc góc của bánh xe khi chuyển động nhanh dần đều và khi chậm dần đều.
b) Tính mô men quán tính của bánh xe đối với trục.
Giải
a) Gia tốc góc của bánh xe:
- Giai đoạn quay nhanh dần đều:
γ1 =
ω1 − ω 0
= 1,5rad / s 2
∆t1
- Giai đoạn quay chậm dần đều:
γ1 =
ω 2 − ω1
= −0,5rad / s 2
∆t 2
b) Tổng mô men lực tác dụng vào bánh xe trong giai đoạn quay nhanh dần đều:
M = M1 + Mms = 20 – 5 = 15Nm
Mô men quán tính của bánh xe:
M
I = γ = 10kgm2.
1
Ví dụ 4: Một đĩa mài hình trụ có khối lượng 0,55kg và bán kính 7,5cm. Mô men lực cần thiết
phải tác dụng lên đĩa để tăng tốc từ nghỉ đến 1500vòng/phút trong 5s là bao nhiêu? Nếu biết
rằng sau đó ngừng tác dụng của mô men lực thì đĩa quay chậm dần đều cho đến khi dừng lại
mất 45s.
Giải
Mô men quán tính của đĩa là đối với trục quay trùng với trục hình trụ là:
I=
1
mR2 = 1,55.10-3 (kgm2)
2
Gia tốc góc của đĩa khi tăng tốc:
16
ω 1500.2π / 60
(rad / s 2 ) = 10π (rad / s 2 )
γ1 = t =
5
1
Sưu tầm và biên soạn
Gia tốc góc của đĩa khi quay chậm dần:
ω
γ2 = -t = −
2
1500.2π / 60
10π
(rad / s 2 ) = −
( rad / s 2 )
45
9
Áp dụng phương trình động lực học trong chuyển động của đĩa ta có:
+ Khi quay chậm dần đều đĩa chịu tác dụng của lực ma sát sinh ra mô men cản: Mms = Iγ 2
+ Khi tăng tốc đĩa chịu tác dụng của mô men lực làm quay và mô men cản của lực ma sát:
MF + Mms = I γ 1
→ MF = I γ 1 - I γ 2 = I(γ 1 - γ 2 )
MF = 1,55.10-3(10π+
10π
) (Nm) = 0,054Nm.
9
• II: Xác định gia tốc góc, gia tốc dài trong chuyển động của hệ vật có cả chuyển động tịnh tiến
và chuyển động quay.
Phương pháp giải
Bài tập dạng này thường có tham gia ít nhất 2 vật : một vật chuyển động quay và một số vật
chuyển động tịnh tiến. Khi giải các bài tập loại này ta thực hiện theo các bước sau:
Biểu diễn các lực tác dụng lên các vật .
Viết các phương trình động lực học cho các vật:
+ Đối với vật chuyển động quay: M = I γ
+ Đối với các vật chuyển động thẳng:
F
∑ = ma
Chuyển các phương trình vec tơ (nếu có) thành các phương trình vô hướng.
Áp dụng các phương trình được suy ra từ điều kiện của bài toán:
+ Dây không dãn: a1 = a2 =….= rγ
+ Dây không có khối lượng thì: T1 = T2 (ứng với đoạn dây giữa hai vật sát nhau).
Dùng toán học để tìm ra kết quả bài toán.
b. Áp dụng công thức liên hệ giữa các phần chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay:
Quãng đường và toạ độ góc: x = R ϕ .
Tốc độ dài và tốc độ góc: v = Rω .
Gia tốc dài và gia tốc góc: a = Rγ
Trong đó R là bán kinh góc quay
Bài 1: Một ròng rọc có khối lượng m = 400g phân bố đều trên vành bán kính r = 10 cm.
1. Tính mô men quán tính của ròng rọc đối với trục quay qua nó.
17
Sưu tầm và biên soạn
2. Quấn trên rãnh ròng rọc một dây quấn khối lượng không đáng kể, không giãn, một đầu gắn vào ròng rọc đầu kia
gắn vào vật A khối lượng m1 = 0,6 kg. Buông ra cho vật A chuyển động. tính gia tốc của vật A và lực căng của sợi
dây. Cho g = 10 m/s2.
Giải:
1. Tính I:
Mô men quán tính của ròng rọc: I = m.r2 = 0,4.0,12 = 4.10-3kg.m2.
+
2. Tìm a và T:
•o
Chọn chiều dương là chiều chuyển động như hình vẽ 3.1
T
Áp dụng pt của định luật II niuton cho vật A
m1g – T = m1a
(1)
T
Áp dụng phương trình động lực học cho ròng rọc
γ
M = T.r = I.
(2)
Hình 3.1 A
Mặt khác gia tốc góc của ròng rọc là
γ= a
(3)
r
P
Thay (3) vào (2) ta được
T = ma
(4)
Giải hệ phương trình (1)(4) ta tính được sức căng cúa sơị dây và gia tốc của vật A
m1
g = 6m / s 2 . T = 2,4N.
a=
m1 + m
Nhận xét: Đối với bài toán dạng này nếu cho biết khối lượng của ròng rọc, vật A và gia tốc trọng trường thì lực
m1
g . Và T = ma
căng của sợi dây và gia tốc a xác định theo công thức: a =
m1 + m
Bài 2: Cho hệ cơ như hình 3.2. Ròng rọc có khối lượng m1 = 1kg phân bố đều trên vành có bán kính R = 20 cm.
Dây nhẹ không dãn, một đầu gắn vào ròng rọc, đầu kia gắn vào vật nặng có khối lượng m = 1 kg. Hệ bắt đầu
chuyển động với vận tốc bằng 0. Lấy g = 10m/s2.
1. Tìm gia tốc của vật nặng A và sức căng của sợi dây.
2. Tìm vận tốc góc của ròng rọc khi nó đi được 0,4m.
3. Trường hợp có mô men cản tác dụng vào ròng rọc thì
Mc
vật nặng đi xuống 1m và đạt gia tốc 0,5m/s2. Tính mô men lực cản.
Giải:
•o
1. Tìm a và T:
Áp dung kết quả bài trên ta suy ra:
m1
g = 5m / s 2 . Và
a=
T = ma = 5 N.
m1 + m
Hình 3.2
A
2. Tìm v:
Áp dụng công th ức :
v 2 − v02 = 2a.s → v = 2a.s = 2m / s .
3. Tìm mô men cản Mc:
Khi có mô men cản vật sẽ chuyển động chậm hơn với gia tốc a,, sức căng sợi dây lúc này là T, và gia tốc góc γ , .
Áp dụng phương trình động lực học cho vật rắn A và ròng rọc:
mg − T , = ma ,
(1)
18
Sưu tầm và biên soạn
M = T , .R + M c = Iγ , = m1 R 2
,
a
= Rm1 a , (2)
R
(Mô men quán tính I = m1 R 2 )
Giải hệ (1)và (2) ta suy ra:
M c = R (m + m1 )a , − mg
(3).
,
Tính a :
v2
,
(4)
a = , = 0,125m / s 2
2s
Thay (4) vào (3 ) ta suy ra :
M c = −1,95 N .m .
Nhận xét:
Thông thường bài toán ta xét thì không có mô men cản tuy nhiên đối với bài toán này lại xuất hiện mô men cản vì
vậy gia tốc khi chưa có mô men cản lớn hơn gia tóc khi không có mô men cản.
Mô men cản có tác dụng cản trở chuyển động quay nên ta có thể xem nó như lực ma sát trong chuyển động tịnh
tiến.
1
2
Nếu ròng rọc là một đĩa tròn phân bố đều lúc này bằng phép biến đổi tương tự và chú ý I = mR ta sẽ suy ra
2
được các kết quả bài toán như sau:
2m1
1
g . Và T = ma.
•Xét trường hợp không có mô men cản : a =
m1 + 2m
2
m1 ,
•Xét trường hợp có mô men cản: M c = (m + )a − mg
2
Bài 3: Một ròng rọc là một đĩa tròn đồng chất có khối lượng m = 200g, bán kính r = 10 cm. Có thể quay quanh trục
nằm ngang qua tâm. Một dây mảnh có khối lượng không đáng kể, không dãn, vắt qua ròng rọc, hai đầu dây gắn
vào hai quả cân A, B khối lượng m1 = 500 g và m2 = 400g (Hình 3.4). Lúc đầu hệ đứng yên, buông ra cho hai quả
cầu chuyển động lúc t = 0. Lấy g = 10 m/s2.
1. Dự đoán xem vật chuyển động theo chiều nào.
2. Tính gia tốc của các quả cân và gia tốc góc của ròng rọc.
3. Tính lực căng của dây treo các vật.
[
]
•o
•o
T2
m1
Hình 3.3
m2
Giải:
1. Dự đoán chiều chuyển động của hệ.
Nhận thấy P1 > P2 nên hệ sẽ chuyển động về phía của vật m1.
2.Tìm a và γ .
Chọn chiều dương là chiều chuyển động của hệ như hình vẽ.
T2
m2
P2
T1
T1
m1
P1
Hình 3.4
19
Áp dụng phương trình định luật II Niniu tơn cho hai vật m1 và m2
m1 g − T1 = m1 a
(1).
Sưu tầm và biên soạn
T2 − m2 g = m2 a
(2).
Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay của vật rắn
M = (T1 − T2 )r = Iγ
(3).
Với gia tốc góc và mô men quán tính xác định theo công thức:
a
1
γ = ,
I = mr 2
(4).
r
2
Thay (4) vào (3) ta suy ra
ma
T1 − T2 =
(5).
2
Lấy (1) + (2) ta suy ra
T2 − T1 + m1 g − m2 g = (m1 + m2 )a (6).
( m1 − m2 )
a=
g = 1m / s 2
Giải hệ phương trình (5) và (6) ta được Gia tốc:
m
m1 + m2 +
2
a
Gia tốc góc: γ = = 10rad / s.
r
3. Tìm T1 và T2.
Thay a vào các phương trình (1) và (2) ta suy ra
T1 = m1 ( g − a ) = 4,5 N .
T2 = m2 ( g + a ) = 4,4 N .
Bài 4: Ròng rọc có khối lượng m = 0,1 kg phân bố đều trên vành tròn bán kính r = 5 cm quanh trục của nó. một
dây mảnh có kích thước không đáng kể, không dãn vắt qua ròng rọc ở hai đầu gắn vào vật nặng A, B khối lượng
m1 = 300g và m2 = 100g. Hệ thống được thả cho chuyển động với vận tốc bằng không (Hình 3.5 ). Lấy g = 10 m/s2.
1. Tính gia tốc của vật A,B và gia tốc góc của ròng rọc.
2. Tính tốc độ góc của ròng rọc khi vật A đi được 0,5 m.
3. Tính các lực căng hai bên ròng rọc.
Giải:
γ
1. Tìm a và .
Áp dụng kết quả bài trên và để ý I = mr2 ta suy ra
•o
( m1 − m2 )
a
a=
g = 4m / s 2 ; . γ = = 80rad / s 2
.
m1 + m2 + m
r
2.Tìm ω .
Tốc độ dài của ròng rọc là: v = 2a.s = 2m / s
m1
v
Tốc độ góc: ω = = 40rad / s
r
Hình 3.5
3.Tìm T1 và T2.
m2
T1 = m1 ( g − a ) = 1,4 N .
T2 = m2 ( g + a ) = 1,8 N .
Nhận xét: Bài toán này hoàn toàn giống như bài toán trên nhưng chỉ khác nhau ở
chỗ là đối với ròng rọc là đĩa tròn thì mô men quán tính là I = mr2/2 còn đối với
ròng rọc là vành tròn thì mô men quán tính là I = mr2. Vì vậy kết quả của biểu
thức tính gia tốc tổng quát chỉ khác nhau “một chút” thay m/2 bằng m trong
biểu thức của gia tốc ở mẫu mà thôi!
20
Sưu tầm và biên soạn
Bài 5: Một dây không dãn khối lượng không đáng kể vắt qua ròng rọc có
bán kính r = 10 cm, có thể quay quanh trục nằm ngang qua nó. Hai đầu gắn
vào hai vật A, B có khối lượng m1 = 0,22kg và m2 = 0,225kg. Lúc đầu hệ
đứng yên (Hình 3.6). Thả m2 để m2 đi xuống 1,8 m trong 6 giây. Lấy g = 10m/s2.
1. Tính gia tốc của vật m1, m2 và gia tốc góc của ròng rọc.
2. Tính lực căng hai bên của ròng rọc.
3. Tính mô men quán tính của ròng rọc.
•o
Giải:
1. Tìm gia tốc.
Tìm a:
1 2
2 s 2.1,8
2
Áp dụng công thức: s = v0 + at ta suy ra: a = 2 = 2 = 0,1m / s
2
t
6
Tìm γ :
m1
a 0,1
= 1rad / s 2
Gia tốc góc: γ = =
r 0,1
Hình 3.6
m2
2. Tính T1 và T2.
Chọn chiều dương là chiều chuyển động
Áp dụng phương trình định luật II niu tơn cho vật m1 và m2 ta được
T1 = m1 ( g + a ) = 2, 222 N .
T2 = m2 ( g − a) = 2, 275 N .
3. Tìm I.
Áp dụng phương trình động lực học
(T − T2 )
r = 5,3.10 −3 kg.m 2
M = (T1 − T2 )r = Iγ suy ra I = 1
γ
Bài 6: Hai vật có khối lượng m1 = 0,5 kg và m2 = 1,5 kg được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ, không dãn vắt
qua ròng rọc có trục qay nằm ngang cố định gắn vào mép bàn (Hình 3.7). Ròng rọc có mô men quán tính 0.03
kg.m2 và bán kính 10 cm. Coi rằng dây không trượt trên ròng rọc khi quay. bỏ qua ma sát.
1. Xác định gia tốc của m1 và m2.
2. Tính độ dịch chuyển của m2 trên mặt bàn sau 0,4s kể từ lúc bắt đầu chuyển động.
Giải:
1. Tìm a:
Chọn chiều dương 0x là chiều chuyển động.
Áp dụng phương phương trình định luật II Niu tơn cho 2 vật
m1 g − T1 = m1 a
(1).
m2
T2 = m2g
(2).
Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động của ròng rọc
Hình 3.7
a
a
γ
M = (T1 – T2)R = I = I
(3). (Với γ = )
R
R
a
T1 − T2 = I 2
Ta suy ra
(4).
R
m1 g
a=
= 0,98m / s 2
I
Lấy (2) – (1) ta suy ra kết hợp với (4) ta suy ra:
.
m1 + m2 + 2
R
2. Tìm s:
m1
+ x
21
1 2 1
2
Áp dụng công thức: s = at = .0,98.0,4 = 7,84cm
2
2
Nhận xét: Bài toán này còn có thể khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau:
Tính gia tốc của hai vật.
Tính gia tốc góc của ròng rọc.
Tính lực căng của các dây liên kết với vật.
Tính quãng đường di chuyển của các vật m1 và m2.
Tính vận tốc của m1 và m2 ở tại các thời điểm khác nhau.
Sưu tầm và biên soạn
Bài 7: Hai vật A và B có cùng khối lượng m = 1kg, được liên kết với nhau bằng một dây nhẹ, không dãn,
vắt qua ròng rọc bán kính R = 10cm và mô men quán tính I = 0,050kgm 2 (hình vẽ). Biết dây không trượt
trên ròng rọc. Lúc đầu, các vật được giữ đứng yên, sau đó hệ vật được thả ra. Người ta thấy sau 2s, ròng
rọc quay quanh trục của nó được 2 vòng và gia tốc của các vật A, B là không đổi. Cho g = 10m/s 2. Coi ma
sát ở trục ròng rọc là không đáng kể.
a) Tính gia tốc góc của ròng rọc.
B
b) Tính gia tốc của hai vật.
c) Tính lực căng của dây ở hai bên ròng rọc.
d) Tính hệ số ma sát trượt giữa vật B với bàn.
Hình 7
a) Gia tốc góc của ròng rọc được tính:
TB
Từ ϕ = γ t2/2 → γ = 2ϕ /t2 = 6,28rad/s2.
Fms B
b) Gia tốc của hai vật:
a = Rγ = 0,63m/s2.
c) Lực căng của dây ở hai bên ròng rọc:
- Đối với vật A: PA – TA = ma
→ TA = mg-ma = 9,17 (N) = T’A.
Hình 9
- Đối với ròng rọc: (TA – TB)R = I γ
→ TB = TA - I γ /R = 6,03 (N)
d) Hệ số ma sát được tính:
- Đối với vật B: TB – Fms = ma → Fms = TB – ma = 5,4 (N)
- Hệ số ma sát trượt giữa vật B và mặt bàn là: µ = Fms/mg = 0,55
Bài 8: Cho cơ hệ như hình vẽ. Khối lượng của các vật và ròng
rọc lần lượt là: m1 = 4kg, m2 = 1 kg, m = 1 kg. Ròng rọc được
xem như đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 10cm. Bỏ qua ma
sát. Lấy g = 10m/s2. Cho α = 300. Hãy tính:
a) Gia tốc của m1, m2 và gia tốc góc của ròng rọc.
A
T’B
T’A
TA
A
PA
m
m1
m2
α
Hình 10
22
Sưu tầm và biên soạn
b)Lực căng của sợi dây nối với m1 và m2.
a) Các lực tác dụng lên m1 gồm: P1 , T1 , N
Các lực tác dụng lên m2 gồm: P2 , T2
Giải
T /
N T1 1
Các lực tác dụng lên ròng rọc gây ra mô men đối với
quay: T1/ , T2/
m1
P
/
T2
T2
trục
P
m
Áp dụng định luật II Niutơn cho vật m1 và vật m2 ta
được:
α
1 11
Hình
2
m1g.sinα - T1 = m1a1
(1)
T2 – m2g = m2a2
(2)
Áp dụng phương phương động lực học cho chuyển động quay của ròng rọc ta có:
T1R – T2R = I.γ
(3)
Mặt khác: T’1 = T1, T’2 = T2 , a1 = a2 = a = Rγ , I =
1
mR 2
2
2
(4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có:
γ =
2 g (m1 sin α − m2 )
2.10(4.0,5 − 1)
200
=
(rad / s 2 ) =
(rad / s 2 )
R (2m1 + 2m2 + m) 0,1.(2.4 + 2.1 + 1)
11
a1 = a2 = a = Rγ = 0,1.
200
≈ 1,8 (m/s2).
11
b) Lực căng các dây được tính:
T2 = m2(g + a2 ) = 1.(10+1,8) = 11,8 (N)
T1 = m1g.sinα - m1a1 = 4.10.0,5 – 4.1,8 = 12,8 (N)
• III. Xác định gia tốc góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục cố định khi mô
men lực tác dụng lên vật thay đổi.
Phương pháp giải
Bài tập loại này thường chỉ yêu cầu xác định gia tốc góc khi vật ở một vị trí đặc biệt nào
đó. Vì mô men lực thay đổi nên gia tốc góc cũng thay đổi. Để làm bài tập loại này ta cũng làm
giống như dạng 1 đó là:
Xác định mô men lực tác dụng lên vật
Áp dụng phương trình động lực học vật rắn chuyển động quay
Dùng toán học tìm kết quả.
Ví dụ 1: Thanh đồng chất OA khối lượng m và chiều dài l có thể quay tự do trong mặt
phẳng thẳng đứng với trục quay (O) nằm ngang. Ban đầu thanh được giữ nằm ngang rồi thả
cho rơi. Tính gia tốc góc của thanh, gia tốc dài của đầu thanh tại thời điểm bắt đầu thả.
O
A
•
Hình 12
23
Sưu tầm và biên soạn
Giải
Tại thời điểm thả để thanh chuyển động (thanh đang nằm ngang), mô men lực làm thanh quay là:
M =P
•
Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay ta có :
M = Iγ → γ =
với I =
A
O
l mgl
=
2
2
P
Hình 13
M
I
1 2
mgl / 2 3 g
ml ⇒ γ = 2
=
.
3
ml / 3 2l
Gia tốc dài của đầu A thanh tại thời điểm bắt đầu thả:
a = γ .l =
3g
3
l= g
2l
2
Ví dụ 2: Có hai vật nặng, mỗi vật có khối lượng m = 100g treo vào hai đầu của một
thanh không trọng lượng, độ dài l1+l2 với l1=20cm và l2=80cm. Thanh được giữ ở vị
trí nằm ngang, như trên hình vẽ 12, sau đó được buông ra. Tính gia tốc của hai vật
nặng và lực căng của dây treo khi các vật bắt đầu chuyển động. Lấy g = 10m/s 2.
l1
Giải
Các lực tác dụng lên m1 và m2 như hình vẽ 13.
Áp dụng định luật II Niu tơn cho m1 và m2 ta được:
m2g - T2= m2a2
(1)
T1 - m1g = m2a1
(2)
Đối với thanh: T2l2-T1l1 = 0
(3)
a
l
1
1
Mặt khác: a = l
2
2
l2
m
m
Hình 14
(4)
Từ (1),(2),(3),(4) với lưu ý m1=m2 = m =100g ta có:
l1l 2 − l12
30
a1 = 2 2 g = m / s 2
l1 + l 2
17
l 22 − l1l 2
120
m / s2
a2 = 2 2 g =
l1 + l 2
17
20
N
17
5
T2= m2(g-a2) = N
17
T1= m1(g+a1) =
l1
l2
T1
P1
T2
Hình 15
P2
Bài tập áp dụng dạng tự luận
24
Sưu tầm và biên soạn
1. Một bánh xe bán kính 0,20m được lắp vào một trục nằm ngang không ma sát. Một sợi dây không khối
lượng quấn quanh bánh xe và buộc vào một vật, khối lượng 2,0kg. Vật
này trượt không ma sát trên mặt phẳng nghiêng 20 0 so với mặt phẳng
ngang với gia tốc 2,0m/s2. Lấy g = 10m/s2. Hãy tính:
a) Lực căng của dây.
b) Mô men quán tính của bánh xe .
α
c) Tốc độ góc của bánh xe sau khi quay từ nghỉ được 2,0s.
Hình 16
Đáp số: a) 2,7N; b) 0,054kgm2; c) 10rad/s2.
2. Một thanh mảnh đồng chất có chiều dài l = 1m, trọng lượng P = 5N quay xung quanh một trục thẳng
góc với thanh và đi qua điểm giữa của nó. Tìm gia tốc góc của thanh nếu mô men lực tác dụng lên
thanh là M = 0,1Nm.
Đáp số: γ = 2,25rad/s2
3. Một trụ đặc đồng chất khối lượng m= 100kg quay xung quanh một trục nằm ngang trùng với trục của
trụ. Trên trụ có quấn một sợi dây không giãn trọng lượng không đáng kể. Dầu tự do của đây có treo một
vật nặng khối lượng M= 20kg. Để vật nặng tự do chuyển động. Tìm gia tốc của vật nặng và sức căng
của sợi dây.
Đáp số: a = 2,8m/s2; T = 140,2N
m2
4. Hai vật khối lượng 2,00kg và 1,5 kg được nối với nhau bằng một sợi dây mảnh vắt
qua một ròng rọc gắn ở mép một chiếc bàn. Vật 1,5 kg ở trên bàn (hình 15). Ròng
rọc có mô men quán tính 0,125kg.m2 và bán kính 15cm. Giả sử rằng dây không
trượt trên ròng rọc, ma sát ở mặt bàn và ở trục ròng rọc là không đáng kể. Hãy
tính:
Hình 17
a) Gia tốc của 2 vật.
b)Lực căng ở hai nhánh dây.
Đáp số: a) a1 = a2 = 3,24m/s2; b)T1=13,1N; T2=4,86N
5. Thanh mảnh có chiều dài l, khối lượng m có trục quay nằm ngang cách một đầu của thanh đoạn l/4. Ban
đầu thanh được giữ nằm ngang, sau đó buông cho thanh chuyển động. Tính gia tốc của thanh trong 2
trường hợp:
a) Ngay sau khi buông tay (thanh nằm ngang).
b) Thanh làm với phương đứng góc 300.
Đáp số: a)
12 g
6g
; b)
.
7l
7l
6. Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m = 2kg, bán kính r = 10cm đang quay đều quanh một trục vuông
góc với mặt đĩa với tốc độ góc 10rad/s. Tác dụng lên đĩa một mô men hãm thì đĩa quay chậm dần đều, sau
10 s thì đĩa dừng lại.
a) Tính mô men quán tính của đĩa
b) Tính độ lớn mô men hãm.
25
m1
