Bài tập xử lí số tín hiệu

Bài tập Xử lý số tín hiệu

Chương 1: Lấy mẫu và khôi phục
tín hiệu


Bài 1.2
 Cho x(t) = 10sin(2πt) + 10sin(8πt) +5sin(12πt)
với t tính bằng s. Tần số lấy mẫu fs = 5Hz
Tìm xa(t) alias với x(t). Chỉ ra 2 tín hiệu này cho các mẫu giống nhau.
Giải

-

Các thành phần tần số trong x(t):
f1 = 1Hz, f2 = 4Hz, f3 = 6Hz

-

Khoảng Nyquist: [-2,5Hz ; 2.5Hz]  f2 và f3 bị chồng lấn

-

f2a = f2[fs] = 4 – 5 = -1Hz
f3a = f3[fs] = 6 – 5 = 1Hz


Bài 1.2 (tt)
-

-

-

Tín hiệu xa(t):
xa(t) = 10sin(2πf1t) + 10sin(2πf2at) +5sin(2πf3at) =
10sin(2πt) – 10sin(2πt) + 5sin(2πt) = 5sin(2πt)
x(nT) = x(n/5)
= 10sin(2πn/5) + 10sin(8πn/5) + 5sin(12πn/5)
= 10.2. sin(5πn/5)cos(3 πn/5) + 5sin(2πn/5 + 2πn)
= 5sin(2πn/5)
xa(nT) = xa(n/5) = 5sin(2πn/5)

=> Các mẫu x(nT) và xa(nT) trùng nhau với mọi n


Bài 1.3
 x(t) = cos(5 πt) + 4sin(2 πt)sin(3 πt) với t(ms)
Fs = 3kHz. Tìm xa(t)
Hướng dẫn
- x(t) = cos(5 πt) + 2cos(πt) – 2cos(5 πt)
= 2cos(πt) – cos(5 πt)
- Các thành phần tần số trong x: f1 = 0.5KHz, f2 = 2.5KHz


Bài 1.5
 x(t) = sin(6 πt)[1 + 2cos(4 πt)] với t(ms)
fs = 4KHz. Tín hiệu lấy mẫu cho qua bộ khôi phục lý tưởng. Tìm tín hiệu ngõ ra
Hướng dẫn

-

x(t) = sin(2 πt) + sin(6 πt) + sin(10 πt)

-

Khoảng Nyquist [-2Khz, 2kHz]

-

Tín hiệu ra của bộ khôi phục lý tưởng là xa(t) chồng lấn với x(t)


Bài 1.7
 Cho tín hiệu tam giác

x(t)
1
0

0.5

1

 Fs = 8Hz, khôi phục bằng bộ khôi phục lý tưởng
 CM: Tín hiệu ngõ ra thỏa:
xrec(t) = Asin(2 πf1t) + Bsin(2 πf2t). Tính giá trị f1, f2, A,B

t(s)

Bài 1.7
Hướng dẫn

-

Tín hiệu khôi phục là xa(t)

-

Thành phần tần số trong x(t): Tín hiệu x(t) tuần hoàn  tính khai triển chuỗi Fourier (gợi ý: x(t) là
hàm lẻ)
+∞

x(t ) = ∑ bn sin( 2πnf 0t )
n =0

suy ra:

f (Hz)

1

3

5

7

9

11 …

fa (Hz)

1

3

-3

-1

1

3

+∞

+∞

m =0

m=0

…

xa ( t ) = ∑ (b1+8 m − b8 m −1 ) sin( 2πt ) + ∑ (b3+8 m − b8 m +5 ) sin(6πt )


Bài 1.9

x(t)

ya(t)

x(t) = sin(10πt) + sin(20 πt) + sin(60 πt) + sin(90 πt)
a.Không có bộ Prefilter (H(f) = 1)
b.H(f) là bộ lọc LPF lý tưởng, fc = 20KHz
c.H(f) bộ lọc LPF thực, băng thông phẳng 20KHz. Suy hao ngoài
băng thông 48 dB/octave (bỏ qua đáp ứng pha)
Tìm tín hiệu ra trong từng trường hợp.


Bài 1.9
 Hướng dẫn
So sánh với x(t): các thành phần nghe được trong xa(t) với x(t) khác nhau thế nào?

a. Không có bộ prefilter, tín hiệu đầu ra chính là tín hiệu xa(t) alias với x(t).
b. Bộ lọc lý tưởng: tín hiệu ở ngoài dải thông bị loại bỏ hoàn toàn.
c. Bộ lọc thực: tìm giá trị suy hao tại từng thành phần tần số nằm ngoài dải thông rồi tìm tín hiệu
xa(t) chồng lấn.


Bài tập Xử lý số tín hiệu

Chương 2: Lượng tử hóa


Bài 2.1
 Bộ ADC 3 bits xấp xỉ liên tiếp, dạng lưỡng cực bù 2, tầm toàn thang R = 16V. Xác định giá trị
lượng tử và biểu diễn 3 bits của x = 2.9; 3.1; 3.7; 4; -2.9; -3.1; -3.7; -4.

Giải với x = -2.9
B
+ R = 16 V; B = 3 bits/sample  Q = R/2 = 2V
+ Để lượng tử theo kiểu làm tròn về mức lượng tử gần nhất: y = x + Q/2 = -2.9 + 1 = -1.9
+ Biểu diễn dạng bù 2, x < 0  b1 = 1
+

(

xQ = R b1 2 −1 + b2 2 −2 + b3 2 −3 − 0.5

)


Bài 2.1
Xấp xỉ liên tiếp:

Test

b1b2b3

xQ

C

b2

110

-4

1

b3

111

-2

1

111

-2

Kết quả: giá trị lượng tử xQ = -2, biểu diễn bởi mã 111

Các câu còn lại giải tương tự.


Bài 2.3
 Chọn bộ ADC thỏa yêu cầu:



Tầm toàn thang R = 10V
Sai số lượng tử hiệu dụng erms < 1mV

Số bits/sample ? Sai số hiệu dụng thực sự ? Tầm động theo dB?

Giải

Q
erms =
≤ eexpected ⇒ Q ≤ eexpected 12
12


R
R
Q = B = >B ≥ log 2 
 =>
2
 eexpected 12 
Chọn B = 12 bits/sample

B ≥ 11 .49


Bài 2.3
 Sai số hiệu dụng thực sự với B = 12 bits

erms

Q
R / 2B
=
=
= 0.7 mV
12

12

 Tầm động (dB)
SNR(dB) = 10log10(R/Q) = 10.B.log102 72 dB


Bài 2.4
Để ghi 1 phút stereo với chất lượng CD cần 10MB đĩa cứng. Giải thích?
Giải
Chất lượng CD: fs = 44 kHz = 44000 mẫu/s, 16 bits/mẫu
Stereo = 2 channels

⇒ Dung lượng cần:
44000 mẫu/s* 16 bits/mẫu * 60 s/phút * 2 channels
Tính ra được dung lượng (theo bits)  đổi ra MB
Lưu ý: 1MB = 2

10

KB = 2

20

1 Byte = 8 bits

Bytes


Bài 2.5
 Hệ thống hòa âm số có 16 kênh, fs = 48kHz, 20 bits/mẫu. Tính dung lượng đĩa cứng để lưu 1 ca

khúc dài 3 phút, ghi âm 16 kênh.
Giải
Tương tự bài 2.4
Dung lượng:
48000 mẫu/s * 20 bits/mẫu * 60 s/phút * 3 phút * 16 kênh


Bài 2.7
 Xác định tỉ lệ lấy mẫu dư L để có độ phân giải 16 bits dùng bộ lượng tử 1 bit, ứng với bộ lượng tử
định dạng nhiễu bậc 1, 2 ,3. Tìm tốc độ lấy mẫu dư tương ứng.
Hướng dẫn
Xét trường hợp bộ lượng tử định dạng nhiễu bậc 1
Sử dụng công thức (2.21):
∆B = 16 -1 = 15 bits
p = 1 (bậc 1)
Giải ra L (nguyên) => Tốc độ lấy mẫu dư: fs’ = L*fs


Bài tập Xử lý số tín hiệu

Chương 3: Các hệ thống thời gian
rời rạc


Bài 3.1
 Xác định tính chất tuyến tính, bất biến của hệ thống
1. y(n) = 3x(n) + 5
2. y(n) = x2(n-1) + x(2n)
3. y(n) = ex(n)
4. y(n) = nx(n – 3) + 3x(n)

5. y(n) = n + 3x(n)
Giải câu 1 (các câu còn lại tương tự)

 Kiểm tra tính tuyến tính:
- Gọi y1(n), y2(n) là đầu ra tương ứng với đầu vào x1(n), x2(n)
y1(n) = 3x1(n) + 5
y2(n) = 3x2(n) + 5


Bài 3.1
-

Khi đầu vào là x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) thì đầu ra là
y(n) = 3x(n) + 5
= 3(a1x1(n) + a2x2(n)) + 5
= a1.3x1(n) + a2. 3x2(n) + 5

(1)

- Tổ hợp của y1(n) và y2(n) là
a1.y1(n) + a2.y2(n) = a1[3x1(n) + 5] + a2[3x2(n) + 5]
= a1.3x1(n) + a2.3x2(n) + 5(a1 + a2)
-

(2)

So sánh (1) và (2) thì y(n) khác a1.y1(n) + a2.y2(n) nên hệ
thống không có tính tuyến tính

Bài 3.1
 Kiểm tra tính bất biến
- Cho tín hiệu vào là xD(n) = x(n – D), gọi đầu ra tương ứng là yD(n):
yD(n) = 3xD(n) + 5 = 3x(n – D) + 5

-

Đầu ra y(n) làm trễ đi D mẫu là
y(n – D) = 3x(n – D) + 5

-

yD(n) = y(n – D)  hệ thống có tính bất biến


Bài 3.2
 Xác định đáp ứng xung nhân quả của hệ thống LTI có pt I/O sau:
y(n) = 4x(n) + x(n – 1) + 4x(n – 3)
Giải
Cho đầu vào x(n) = δ(n)  đầu ra y(n) = h(n)
Vậy: h(n) = 4δ(n) + δ(n – 1) + 4δ(n – 3)
hay: h = [4; 1; 0; 4]


Bài 3.3
 Xđ đáp ứng xung nhân quả h(n) khi n ≥ 0 của hệ thống LTI có: y(n) = - 0.81y(n – 2) + x(n)
Giải

-

Cho x(n) = δ(n) => y(n) = h(n)

-

Thay vào pt I/O suy ra: h(n) = - 0.81h(n – 2) + δ(n)

-

Nhân quả nên h(n) = 0 với n < 0

-

h(0) = - 0.81h(-2) + δ(0) = 1

-

h(1) = - 0.81h(-1) + δ(1) = 0

-

h(2) = - 0.81h(0) = - 0.81

-

h(3) = - 0.81h(1) = 0
…


Bài 3.3
 Tóm lại

h(n) = 0 với n < 0
Với n ≥ 0 thì:
h(n) = 0
h(n) = (-0.81)

với n lẻ
n/2

với n chẵn


Bài 3.4
 Xác định pt I/O đối với hệ thống LTI có đáp ứng xung
n
h(n) = (-0.6) u(n)
Giải
h(n) = [1 -0.6 (-0.6)

2

(-0.6)

3

…]

Áp dụng công thức tích chập:
y(n) = h(n)*x(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n – 1) + h(2)x(n – 2) + …

⇒ y(n) = x(n) + (-0.6)x(n – 1) + (-0.6)2x(n – 2) + …

= x(n) + (-0.6)[x(n – 1) + (-0.6)x(n – 2) +
(-0.6)2x(n – 3) + …]