giáo trình toán rạc phần 1

LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đảm bảo quyền tự chủ cho sinh viên trong quá trình học tập học phần
Toán rời rạc theo hệ thống tín chỉ với thời lượng 60 tiết. Chúng tôi biên soạn giáo
trình Toán rời rạc với khối lượng kiến thức tối thiểu, cập nhật, cô đọng, chính xác
và phù hợp với đối tượng là sinh viên các ngành Công nghệ Thông tin, Toán, ToánTin ứng dụng và một số ngành kỹ thuật khác của các trường đại học và cao đẳng
trong .
Chúng tôi mong muốn và hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo tốt cho
các giảng viên giảng dạy học phần Toán rời rạc và sinh viên, học viên các ngành
liên quan. Bên cạnh đó tài liệu này còn hữu ích đối với học sinh khối chuyên Tin của
các trường trung học phổ thông đồng thời cũng được coi là một trong những tài liệu
tham khảo dùng để ôn tập trong các kì thi tuyển sinh cao học ngành Công nghệ
thông tin.
Nội dung của tài liệu gồm 6 chương, cuối mỗi chương là phần bài tập dưới 3
hình thức: bài tập tính toán; bài tập thực hành trên máy tính và viết tiểu luận. Mỗi
thuật toán có phần cài đặt để minh họa
Chương I: Các kiến thức cơ sở
Chương II: Bài toán và thuật toán
Chương III: Bài toán đếm
Chương IV: Đồ thị
Chương V: Cây
Chương VI: Đại số boole
Tác giả xin chân thành cám ơn các đồng nghiệp trường Đại học Khoa học- ,
đã động viên và góp ý cho công việc viết giáo trình Toán rời rạc này và lời cám ơn
đặc biệt xin dành cho TS. Vũ Mạnh Xuân – Khoa Toán ĐHSP Thái Nguyên; TS. Vũ
Vinh Quang- Khoa Công nghệ Thông tin về sự giúp đỡ quý báu cho giáo trình.
Tác giả mong nhận được ý kiến phản hồi của các đồng nghiệp và độc giả về
những khiếm khuyết khó tránh khỏi trong giáo trình này.

1

MỤC LỤC
Lời nói đầu.......................................................................................................1
Mục lục............................................................................................................2
Chương I: Các kiến thức cơ sở
1.1. Mệnh đề.....................................................................................................4
1.2. Các phép toán logic và phép toán trên bit..................................................8
1.3. Sự tương đương của các mệnh đề..............................................................9
1.4. Lượng từ và vị từ......................................................................................10
1.5. Các phương pháp chứng minh..................................................................13
Bài tập Chương I.............................................................................................18
Chương II: Bài toán và thuật toán
2.1. Khái niện bài toán....................................................................................20
2.2. Khái niệm thuật toán................................................................................22
2.3. Thuật toán tìm kiếm.................................................................................24
2.4. Độ phức tạp của thuật toán.......................................................................25
2.5. Số nguyên và thuật toán...........................................................................31
2.6. Thuật toán đệ quy.....................................................................................35
Bài tập Chương II............................................................................................40
Chương III: Bài toán đếm
3.1. Cơ sở của phép đếm.................................................................................42
3.2. Nguyên lí Dirichlet...................................................................................46
3.3. Chỉnh hợp và tổ hợp suy rộng..................................................................50
3.4. Sinh các hoán vị và tổ hợp.......................................................................53
3.5. Hệ thức truy hồi.......................................................................................56
3.6. Quan hệ chia để trị...................................................................................59
Bài tập Chương III..........................................................................................62
Chương IV: Đồ thị
4.1. Các loại đồ thị..........................................................................................64
4.2. Các mô hình đồ thị...................................................................................66
4.3. Các khái niệm cơ bản...............................................................................67

4.4. Những đơn đồ thị đặc biệt........................................................................69


4.5. Biểu diễn đồ thị trên máy tính..................................................................71
4.6. Thuật toán tìm kiếm trên đồ thị................................................................73
4.7. Đường đi Euler và đồ thị Euler................................................................76
4.8. Đường đi Hamilton và đồ thị Hamilton....................................................82
4.9. Bài toán đường đi ngắn nhất....................................................................88
4.10.Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị....................................................94
Bài tập Chương IV........................................................................................101
Chương V: Cây
5.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản.........................................................104
5.2. Cây khung và bài toán tìm cây khung nhỏ nhất......................................106
5.3. Cây có gốc..............................................................................................112
5.4. Duyệt cây nhị phân.................................................................................114
5.5. Cây tìm kiếm nhị phân...........................................................................119
5.6. Cây cân bằng AVL.................................................................................122
5.7. Cây đỏ đen.............................................................................................125
5.8. Cây 2-3-4...............................................................................................127
5.9. Cây biểu dễn tập hợp..............................................................................131
Bài tập Chương V.........................................................................................134
Chương VI: Đại số boole
6.1. Khái niệm đại số boole...........................................................................137
6.2.Mạch logic..............................................................................................142
6.3. Cực tiểu hóa các mạch logic...................................................................149
Bài tập Chương VI........................................................................................158
Tài liệu tham khảo......................................................................................160

4

CHƯƠNG I

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. MỆNH ĐỀ
1.1.1. Định nghĩa mệnh đề
Một mệnh đề là một câu phản ánh một điều đúng hoặc sai, chứ không thể vừa
đúng vừa sai.
Ví dụ: Tất cả các câu sau đều là các mệnh đề
(1). 2 + 3 = 5
(2). 3 x 4 = 10
(3). Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau (4).
Thái Nguyên là thủ đô Kháng chiến
(5). Washington D.C. là thủ đô của Canada
Câu xác định "2 + 3 = 5", "Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau" và "Thái Nguyên
là thủ đô Kháng chiến" là các mệnh đề đúng. Các câu xác định "3 x 4
= 10" và "Washington D.C. là thủ đô của Canada" là các mệnh đề sai.
Như vậy, một mệnh đề có thể là mệnh đề đúng hoặc mệnh đề sai. Hay nói cách
khác, một mệnh đề chỉ có thể lựa chọn 1 trong 2 giá trị là đúng hoặc là sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Ví dụ: Xét các câu sau (1).
Hôm nay là thứ mấy ?
(2). Hãy đọc kỹ đọan văn này
(3). x + 1 = 2
(4). x + y = z
Câu "Hôm nay là thứ mấy ? " và " Hãy đọc kỹ đoạn văn này" không phải là
mệnh đề vì chúng không phải là câu khảng định. Còn các câu "x+1=2" và "x+y=z"
không phải là mệnh đề vì chúng chẳng đúng cũng chẳng sai bởi các biến trong những
câu đó chưa gán cho giá trị cụ thể nào.

Giá trị đúng, sai của một mệnh đề được gọi là giá trị chân lí của mệnh
đề đó. Giá trị chân lí của mệnh đề đúng ký hiệu là T (true), giá trị chân lí của

5


mệnh đề sai ký hiệu là F (false). Bảng giá trị chân lí gọi tắt là bảng chân trị (truth table)
của mệnh đề bao gồm các trường hợp đúng, sai có thể xảy ra của mệnh đề đó.
Mục đích của các họat động khoa học là phân biệt các mệnh đề để xác định
chân trị của nó. Sự xác định chân trị này dựa vào thực nghiệm và lý luận. Vì thế, chúng
ta cần nói đến "Đại số mệnh đề".
Bây giờ chúng ta xét các phương pháp tạo ra các mệnh đề mới từ các mệnh đề
đã có. Các phương pháp này được nghiên cứu bởi nhà toán học người Anh Geogre
Boole. Rất nhiều mệnh đề toán học được xây dựng bằng cách tổ hợp một hoặc nhiều
mệnh đề, khi đó các mệnh đề mới được gọi là mệnh đề phức hợp.

1.1.2. Mệnh đề phủ định
Giả sử P là một mệnh đề. Câu "không phải là P" là một mệnh đề khác
được gọi là phủ định của mệnh đề P, nhận giá trị sai khi P đúng và giá trị đúng khi P
sai. Kí hiệu : ¬P (hay P ).

Ví dụ:

P="2>0"
¬P = " 2 ≤ 0 "

Bảng chân trị

P

¬P

T

F

F

T

1.1.3. Hội của hai mệnh đề
Giả sử P và Q là hai mệnh đề. Mệnh đề "P và Q", được kí hiệu bởi P∧Q, là
đúng khi cả P và Q đều đúng, là sai trong các trường hợp còn lại. Mệnh đề P∧Q được
gọi là hội của P và Q.
Ví dụ: Cho 2 mệnh đề P và Q như sau P
= " 2 > 0 " là mệnh đề đúng
Q = " 2 = 0 " là mệnh đề sai
P ∧ Q = " 2> 0 và 2 = 0 " là mệnh đề sai.
Bảng chân trị


P

P∧ Q

Q

T
T

T
F

T
F

F

T

F

F

F

F

1.1.4. Tuyển của hai mệnh đề
Giả sử P và Q là hai mệnh đề. Mệnh đề "P hoặc Q" được kí hiệu P∨Q, là sai
khi cả P và Q đều sai, là đúng trong các trường hợp còn lại. Mệnh đề P∨Q được gọi là
tuyển của P và Q
Ví dụ : Cho 2 mệnh đề P và Q như sau P
= " 2 > 0 " là mệnh đề đúng
Q = " 2 = 0 " là mệnh đề sai
P ∨ Q = " 2 > 0 hoặc 2=0" là mệnh đề đúng. Bảng
chân trị

P

P∨ Q

Q

T

T

T

T

F

T

F

T

T

F

F

F

1.1.5. Tuyển loại của hai mệnh đề
Giả sử P và Q là hai mệnh đề. Mệnh đề tuyển loại của P và Q được kí hiệu là P

 Q, là đúng khi một trong hai mệnh đề P và Q là đúng, là sai trong các trường hợp
còn lại.
Bảng chân trị

P

Q

PQ

T
T

T
F

F
T

F

T

T

F

F

F

1.1.6. Mệnh đề kéo theo
Giả sử P và Q là hai mệnh đề. Mệnh đề kéo theo, được kí hiệu P → Q, là sai khi
P đúng và Q sai, là đúng trong các trường hợp còn lại. Trong phép kéo theo này P được
gọi là giả thiết còn Q được gọi là kết luận.
Trong các suy luận toán học phép kéo theo P → Q được dùng để diễn

đạt “Nếu P thì Q”
Ví dụ: Cho hai mệnh đề P và Q như sau P
= " tam giác T là đều "
0

Q = " tam giác T có một góc bằng 60 "
0

P → Q = " nếu tam giác T là đều thì tam giác T có một góc bằng 60 "

P

Q

P→Q

T
T

T
F

T
F

F

T

T

F

F

T

1.1.7. Mệnh đề tương đương
Giả sử P và Q là hai mệnh đề. Mệnh đề tương đương, được kí hiệu bởi PQ, là
đúng khi P và Q có cùng giá trị chân lí, là sai trong các trường hợp còn lại. Mệnh đề P
 Q còn được gọi là mệnh đề hai điều kiện.
Trong các suy luận toán học phép tương đương P  Q được dùng để

diễn đạt “P nếu và chỉ nếu Q” hay “P là cần và đủ đối với Q”
P

Q

PQ

T

T

T

T

F

F

F
F

T
F

F
T


1.2. CÁC PHÉP TOÁN LOGIC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BÍT
Các máy tính dùng các bit để biểu diễn thông tin. Một bit có 2 giá trị khả dĩ là 0
và 1. Bit cũng có thể được dùng để biểu diễn chân trị, vì giá trị chân lí của một mệnh
đề cũng chỉ có hai giá trị đúng hoặc sai. Thường người ta dùng bit 1 để biểu diễn chân
trị đúng (True) và bit 0 để biểu diễn chân trị sai (False).
Một biến được gọi là biến Boole nếu giá trị của nó hoặc đúng hoặc sai do đó
cũng có thể dùng bit để biểu diễn một biến Boole
Các phép toán trên bit trong máy tính tương ứng với các liên từ logic. Bằng cách
thay đúng bằng 1 và sai bằng 0 trong bảng chân trị đối với các toán tử phủ định, tuyển,
hội, tuyển loại ta sẽ nhận được bảng các phép toán bit tương ứng. Chúng ta sẽ dùng các

kí hiêu NOT, OR, AND và XOR thay cho các toán tử trên.
Thông tin thường được biển diễn bằng cách dùng các xâu bit, đó là các dãy số 0
và 1. Khi đó các phép toán trên xâu bit cũng có thể được dùng để thao tác thông tin
trên đó.
Định nghĩa: Một xâu bit (hoặc xâu nhị phân) là dẫy không hoặc nhiều bit. Độ
dài của xâu là số các bit trong xâu đó.
Ví dụ: 101011 là một xâu bit có độ dài là 6
Có thể mở rộng các phép toán trên bit tới các xâu bit. Ta định nghĩa các OR
bit, AND bit và XOR bit đối với 2 xâu bit có cùng độ dài là các xâu
có các bít của chúng là các OR, AND, XOR của các bit tương ứng trong 2 xâu
tương ứng. (đảo bit được thực hiện bởi NOT bit)
Ví dụ: Tìm OR bit, AND bit và XOR bit đối với 2 xâu sau đây 01
1011 0110
11 0001 1101
11 1011 1111 OR bit
01 0001 0100 AND bit
10 1010 1011 XOR bit


1.3. SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC MỆNH ĐỀ
Định nghĩa: Các mệnh đề P và Q được gọi là tương đương logic nếu PQ là
hằng đúng. Kí hiệu PQ để chỉ P và Q là tương đương logic.
Một các để xác định hai mệnh đề có tương đương logic không là lập bảng chân
trị. Dựa vào bảng nếu các cột cho giá trị của chúng phù hợp với nhau, từ đó kết luận
rằng các mệnh đề đó là tương đương logic. Sau đây là ví dụ minh họa
Ví dụ: Chứng minh rằng P Q và ¬Q ¬P là tương đương logic

P

Q

P Q

¬P

¬Q

¬Q ¬P

T
T

T
F

T
F

F
F

F
T

T
F

F

T

T

T

F

T

F

F

T

T

T

T

Dựa vào bảng ta thấy cột 3 và cột 6 có các giá trị tương ứng phù hợp với nhau.
Vậy P Q và ¬Q ¬P là tương đương logic.(đpcm)
Ta nhận thấy rằng đối với một mệnh đề phức hợp việc lập bảng gặp nhiều khó
n

khăn vì nếu có n mệnh đề phải cần ít nhất 2 hàng. Do vậy trong những trường hợp này
người ta sử dụng các luật để chứng minh các tương đương logic.

Các tương đương logic

Tương đương
pTp

Tên gọi
Luật đồng nhất

p˅Fp
pFF

Luật nuốt(luật trội)

p˅TT
ppp

Luật lũy đẳng

p˅pp
¬(¬p)p

Luật phủ định kép


pq qp p˅qq˅p

Luật giao hoán

(p˅q)˅rp˅(q˅r)

Luật kết hợp

(pq) rp(qr)
p˅(q  r) (p˅q) (p˅r)

Luật phân phối

p(q ˅ r) (pq) ˅(pr)
¬(pq) ¬p˅¬p

Luật De Morgan

¬(p˅q) ¬p¬q
p˅(p  q) p

Luật thu hút

p(p ˅ q) p
p˅¬p T

Luật phủ định(luật xóa)

p¬pF
Ví dụ: Chứng minh rằng ¬(p˅(¬pq)) và ¬p¬q là tương đương logic
Giải: Áp dụng các luật ta có các tương đương logic sau
¬(p˅(¬pq))  ¬p¬(¬pq)

theo luật De Morgan

 ¬p (¬(¬p)˅¬ q)

theo luật De Morgan

 ¬p (p˅¬ q)

theo luật phủ định kép

 (¬p p)˅(¬p¬q)

theo luật phân phối

 F˅(¬p¬q)

vì (¬p p)  F

 (¬p¬q) ˅F

theo luật giao hoán

 (¬p¬q)

theo luật dồng nhất

Vậy ¬p(p˅(¬pq)) và ¬p¬q là tương đương logic.(đpcm)

1.4. LƯỢNG TỪ VÀ VỊ TỪ
1.4.1. Hàm mệnh đề: Trong thực tế ta thường gặp các câu liên quan
đến các biến như “ x+y= 5”; “x lớn hơn 5”; “x-y<5”. Các câu này không đúng
cũng không sai chừng nào các biến còn chưa nhận những giá trị cụ thể.
Câu “ x lớn hơn 5” có hai bộ phận. Bộ phận thứ nhất biến x là chủ ngữ của câu.
Bộ phận thứ hai “lớn hơn 5” là vị từ nó cho biết một tính chất mà chủ ngữ có thể có.
Chúng ta gọi P(x) là câu “ x lớn hơn 5” với P là kí hiệu vị từ, x

là biến. Ta nói P(x) là giá trị của hàm mệnh đề P tại x. Biến x được gán cho một giá trị
cụ thể nào đó thì câu P(x) trở thành một mệnh đề và có một giá trị chân lí. Ví dụ với
x=3 thì giá trị chân lí của P(3) là sai (F)
Như vậy hàm mệnh đề là một câu có chứa biến (xét trong tập hợp D) và trở
thành mệnh đề khi thay biến đó bằng một hằng trong D. Tập hợp D gọi là miền xác
định (hay không gian thực) của hàm mệnh đề.

Ví dụ: Xét câu If (x>10) then x:=x-1;
Khi gặp câu này trong chương trình giá trị biến x tại thời điểm đó sẽ được đặt
vào P(x)=” x lớn hơn 10”, nếu P(x) là đúng với giá trị của x thì máy tính sẽ thực hiện
lệnh gán x:=x-1 tức là giá trị của x tại thời điểm đó sẽ giảm đi 1. Còn P(x) là sai thì
lệnh gán sẽ không thực hiện khi đó giá trị của x không thay đổi.

1.4.2. Lượng từ
Khi tất cả các biến của một hàm mệnh đề được gán cho giá trị xác định thì mệnh
đề tạo thành có giá trị chân lí. Tuy nhiên có một cách quan trọng khác để biến các hàm
mệnh đề thành các mệnh đề người ta gọi là sự lượng từ hóa (hay còn gọi là lượng từ),
bao gồm hai loại đó là lượng từ hóa phổ quát (với mọi) và lượng từ hóa tồn tại. Mối
liên hệ giữa vị từ và lượng từ gọi là phép tính vị từ
Định nghĩa: Lượng từ hóa phổ quát (với mọi) của P(x) là mệnh đề
“P(x) đúng, với mọi giá trị của x trong không gian thực”.
Lượng từ hóa “với mọi” của P(x) được kí hiệu x P(x), trong đó 
được gọi là lượng từ hóa phổ quát (với mọi)
Ví dụ: Giả sử P(x) là câu “x+2>x”. Ta thấy P(x) là đúng mới mọi số thực x, nên
lượng từ hóa x P(x) là đúng.
Ví dụ: Cho P(x) là câu “x>5”. Xác định giá trị chân lí của lượng từ hóa
x P(x), với không gian là tập hợp các số thực.
Ta thấy P(x) không đúng với x=3 do đó x P(x) là sai

Định nghĩa: Lượng từ hóa tồn tại của P(x) là mệnh đề “Tồn tại một phần tử x
trong không gian thực sao cho P(x) đúng ”.


Lượng từ hóa tồn tại của P(x) được kí hiệu xP(x), trong đó  được gọi là lượng
từ tồn tại
Ví dụ: Cho P(x) là câu “x>5”. Xác định giá trị chân lí của lượng từ hóa
xP(x), với không gian là tập hợp các số thực.
Ta thấy P(x) đúng với x=6 do đó xP(x) là đúng

1.4.3. Các biến bị ràng buộc
Khi một lượng từ được dùng với biến x hoặc khi gán giá trị cho biến đó. Ta nói
rằng thâm nhập của biến là bị ràng buộc. Thâm nhập của biến không bị ràng buộc gọi
là biến tự do.
Ví dụ: Trong câu xP(x,y), biến x là bị ràng buộc bởi lượng từ x, còn biến y là
tự do

1.4.4. Phủ định
Chúng ta lần lượt xét phép phủ định của một biểu thức chứa lượng từ.

Phủ định của lượng từ phổ quát
Ví dụ: Hãy xét phủ định của câu sau
“Tất cả các sinh viên đã học môn toán rời rạc”.
Đây là một lượng từ hóa phổ quát x P(x), trong đó P(x) là câu “ x đã học môn
toán rời rạc”. Phủ định của câu này là “ Không phải tất cả các sinh viên đã học môn
toán rời rạc”. Điều này tương đương với “ Có một sinh viên ở lớp này chưa học môn
toán rời rạc”.
Đây là lượng từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu P(x).
x¬P(x) điều này minh họa cho tương đương logic sau:
¬x P(x) x¬P(x)

Phủ định của lượng từ tồn tại
Ví dụ: Hãy xét phủ định của câu sau
“Có một sinh viên đã học môn toán rời rạc”.
Đây là lượng từ tồn tại x P(x), trong đó P(x) là câu “ x đã học môn toán rời
rạc”. Phủ định của câu này là “ Không có sinh viên nào đã học môn toán rời rạc”. Điều
này tương đương với “ Tất cả các sinh viên chưa học môn


toán rời rạc”. Đây là lượng từ hóa phổ quát của phủ định hàm mệnh đề ban
đầu P(x). x¬P(x) điều này minh họa cho tương đương logic sau :
¬xP(x) x ¬P(x)

1.5. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
Mỗi bài toán chứng minh thông thường đều có hai phần chính là giả thiết và kết
luận do vậy các phương pháp chứng minh dựa trên bảng chân trị của mệnh đề kéo theo
PQ (chỉ sai khi P đúng Q sai)

1.5.1. Một số khái niệm
Định lí là một phát biểu có thể chứng tỏ được là đúng. Việc chứng tỏ một phát
biểu là đúng bằng một dãy các mệnh đề tạo thành một suy luận gọi là sự chứng minh.
Những mệnh đề dùng chứng minh bao gồm tiên đề hoặc định đề là những giả thiết cơ
sở, các cấu trúc toán học và những định lí đã được chứng minh từ trước. Một định lí
đơn giản dùng để chứng minh một đinh lí khác gọi là bổ đề
Các qui tắc suy luận là các cách rút ra các kết luận từ những điều khảng định
khác. Một số dạng suy luận sai thường gặp được gọi là các ngụy biện. Mệnh đề được
suy ra trực tiếp từ định lí đã được chứng minh gọi là hệ quả. Mệnh đề mà giá trị chân
lí của nó chưa biết gọi là phỏng đoán. Khi tìm ra chứng minh của một phỏng đoán thì
phỏng đoán đó trở thành định lí.

1.5.2. Các qui tắc suy luận
Một hằng đúng “nếu P và Q thì R”
(PQ) R được viết theo cách sau P
Q
R
Kí hiêu  có nghĩa là “vậy thì”


Các qui tắc suy luận
Qui tắc
P

Hằng đúng
P(P˅Q)

Qui tắc cộng

(PQ)P

Qui tắc rút gọn

(PQ)(PQ)

Qui tắc kết hợp

(P(PQ))Q

Qui tắc Modus Ponens

(¬Q(PQ))¬P

Qui tắc Modus Tollens

P ˅Q
PQ

Tên gọi

P
P
Q
PQ
P
PQ
Q
¬Q
PQ
¬P
P Q
QR
PR
P˅Q
¬P

((PQ)(QR))(PR) Qui tắc tam đoạn luận
giả định
((P˅Q)¬P)Q

Qui tắc tam đoạn luận
tuyển

((P˅Q)(¬P˅R))(Q˅R)

Qui tắc phân giải

Q
P˅Q
¬P˅R
Q˅R
1.5.3. Chứng minh trực tiếp

Mệnh đề Q được chứng minh trực tiếp nếu Q là mệnh đề cuối cùng của
dãy

Q1, Q2,… Qn-1, Qn , Q


2

Ví dụ: Chứng minh rằng nếu n là số nguyên chẵn thì n cũng là số nguyên chẵn.
Giải: Thật vậy vì n là số nguyên chẵn nên tồn tại số nguyên k sao cho n=2.k. Từ
2

2

2

2

đó suy ra n = (2.k) = 2. (2.k ) =2. K (với số nguyên K=2.k ).

2

Vậy n là số nguyên chẵn

1.5.4. Chứng minh gián tiếp
Để chứng minh mệnh đề Q ta chứng minh mệnh đề phản đảo của Q hoặc bác
bỏ phủ định của Q
Ví dụ: Chứng minh rằng “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng
thứ ba thì song song với nhau”.
Mệnh đề phải chứng minh có dạng PQR là đúng. Ta đi chứng minh phủ định
của mệnh đề này có dạng PQ¬R là sai.
Giải: Thật vậy giả sử a và b cắt nhau tại điểm I. Qua I chỉ có thể dựng được một
đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước nên a và b trùng nhau mâu thuẫn
với giả thiết vậy PQ¬R là sai do đó PQR là đúng.

1.5.5. Chứng minh rỗng
Ta thấy PQ chỉ sai khi P đúng Q sai. Vậy để chứng minh mệnh đề
này đúng ta chứng minh P sai. Phương pháp này gọi là chứng minh rỗng
2

Ví dụ: Cho hàm mệnh đề P(x)= “Nếu x>1 thì x >x”, chứng minh rằng P(1) là
đúng
2

Giải : Ta có P(1)= {Nếu 1>1 thì 1 >1}. Ta biết 1>1 là sai vậy P(1) đúng

1.5.6. Chứng minh tầm thường
Tương tự vì PQ chỉ sai khi P đúng Q sai. Vậy để chứng minh mệnh đề này là
đúng ta chứng minh Q đúng. Phương pháp này gọi là chứng minh tầm thường

Ví dụ:
n

Cho hàm mệnh đề P(n)= “Nếu x và y là hai số nguyên dương và x ≥ y thì x ≥
n

y ”. Chứng minh rằng P(0) là đúng
0

0

0

0

Giải : Ta có a =b =1 vậy a ≥ b là đúng nên P(0) đúng


1.5.7. Chứng minh bằng phản chứng
Để chứng minh mệnh đề Q là đúng. Trước hết ta giả sử ngược lại rằng Q là sai
hay ¬Q là đúng. Từ đó dẫn đến một kết luận ¬QR mà R mâu thuẫn với P.
Ví dụ: Chứng minh rằng “

2 là số vô tỉ ”.

Giải : Giả sử

2 không là số vô tỉ . Vậy
2 là số hữu tỉ. Khi đó
a

2 2
a,bN ; (a,b)=1 sao cho
2 = . Bình phương 2 vế ta được 2b =a điều này
b
2

2

chứng tỏ rằng a là số chẵn đặt a=2d suy ra b =2d vậy b chẵn có nghĩa là (a,b)=2 mâu
thuẫn (a,b)=1. Vậy

2 phải là số vô tỉ.

1.5.8. Chứng minh tồn tại
Trong thực tế nhiều định lí được phát biểu như các mệnh đề có chứa lượng từ.
Một định lí loại này là mệnh đề có dạng xP(x),với P là vị từ. Chứng minh mệnh đề
xP(x) gọi là chứng minh tồn tại. Đôi khi chứng minh tồn tại được thực hiện bằng cách
chỉ ra một phần tử a sao cho P(a) đúng. Nhưng đôi khi không thể chỉ ra dược phần tử a
như vậy người ta thường sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng để từ đó chỉ ra
điều mâu thuẫn
2

2

2

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình x = y + z có nghiệm nguyên.
2

2

2

Giải: Sau khi tính toán ta được 5 =4 +3 vậy phương trình đã cho có nghiệm
nguyên. (đpcm)

1.5.9. Chứng minh tính duy nhất
Một định lí khảng định sự tồn tại duy nhất của một phần tử có tính chất cụ thể
nào đó. Như vậy chứng minh tính duy nhất có hai phần
Tồn tại: Chỉ ra rằng tồn tại phần tử a có tính mong muốn
Duy nhất: chứng minh rằng nếu b≠ a thì b không có tính mong muốn.
Ví dụ: Chứng minh rằng mọi số nguyên dương P đều tồn tại duy nhất một số
đối của nó.
Giải: (tồn tại) Với số nguyên dương P ta có P+Q =0 nên số đối Q=-P (duy
nhất) giả sử R≠Q và P+R=0 từ nhận xét trên ta có
P+Q = P+R=0 suy ra Q=R mâu thuẫn với giả thiết R≠Q. (đpcm)


1.5.10. Những sai lầm trong chứng minh
Những sai lầm trong chứng minh thường gặp biểu hiện ở các khía cạnh sau đây:

a.

Suy luận không hợp logic thường theo các sơ đồ sau

((PQ)¬P)¬Q
((PQ)P)P
((P˅Q)P)¬Q
Ví dụ: Các câu có dạng “bao giờ có P thì có Q”, ngầm hiểu “không bao giờ có
Q vậy thì không bao giờ có P”

b. Dựa vào tiên đề sai hoặc tiên đề chưa được chứng minh hoặc dựa
vào một điều không đúng với giả thiết.
Ví dụ: Tìm chỗ sai trong chứng minh sau: "Nếu x không dương thì x

2

không dương".
Chứng minh: Giả sử x là không dương. Vì mệnh đề kéo theo "Nếu x dương thì
2

2

x cũng dương" là đúng nên ta kết luận rằng x là không dương
2

Giải: Gọi P(x) là câu " x là dương" và Q(x) là câu "x là dương" mệnh đề
2

"Nếu x dương thì x cũng dương" chính là mệnh đề
x(P(x) Q(x)). Từ giả thiết "x là không dương" tức là ¬P(x) đúng. Từ hai
2

điều này ta không thể kết luận "x là không dương" hay ¬Q(x) là đúng. Đây là một
sai lầm trong suy luận không hợp thức.
Trong quá trình học tập việc mắc sai lầm trong chứng minh là không thể tránh
khỏi. Song khi mắc phải một sai lầm mà có ai đó chỉ ra thì bạn hãy nên phân tích kĩ
lưỡng mình đã sai ở điểm nào để đảm bảo chắc chắn rằng lần sau sẽ không mắc phải
chính sai lầm đó nữa có như vậy bạn mới thành công.

BÀI TẬP CHƯƠNG I
Bài tập tính toán
1.1.1. Lập bảng chân trị của mệnh đề (P˅Q)(Q˅¬R)
1.1.2. Chứng minh các mệnh đề sau đây là hằng đúng

a)(¬Q ((PQ))(¬Q¬P)
b) ((P˅Q)¬P)Q
1.1.3. Gọi P(x) là hàm mệnh đề “ x là số chẵn” với không gian là tập các số tự
nhiên. Hãy phát biểu các mệnh đề sau đây thành lời và xét giá trị chân lí của chúng : P(2) ;
P(7) ; P(20) ; P(125) ; xP(x) ; x P(x).
1.1.4. Gọi Q(x) là hàm mệnh đề “10+ x=2”. Hãy dùng kí hiệu đó để chỉ các mệnh
đề sau : “ 10+5=2”; “10-7=2 ”; “Có một x sao cho 10+x=2 ”; “Với mọi x,
10+x=2” ;“Không có x nào sao cho 10+x không bằng 2 ”.
1.1.5. Tìm chỗ sai trong chứng minh sau
Chứng minh rằng nếu 2 số a và b nguyên tố cùng nhau thì a+b và a.b cũng là
nguyên tố cùng nhau
Chứng minh: Giả sử a+b và a.b không nguyên tố cùng nhau, tức là (a+b,a.b)=d với
d≠1. Vì d là ước của a.b nên d phải là ước của a hoặc của b. Nếu d là ước của a thì do d là
ước a+b nên d cũng là ước của b. Cũng vì lí do đó nếu d là ước của b thì d cũng là ước của
a. Như vậy (a, b)=d mà d≠1. Điều này trái với giả thiết là a, b nguyên tố cùng nhau
1.1.6. Cho vị từ P(x,y) = {x đã học môn y} với không gian của x là tập hợp tất cả
các sinh viên lớp bạn và không gian của y là tập hợp tất cả các môn tin học của học kỳmà
bạn đang học.
Hãy diễn đạt các lượng từ sau thành các câu thông thường:
a) ∃x ∃y P(x,y) b) ∃x ∀y P(x,y) c) ∀x ∃y P(x,y)
d) ∃y ∀x P(x,y) e) ∀y ∃x P(x,y) f) ∀x ∀y P(x,y)
1.1.7. Cho vị từ:
P(x) = {x nói được tiếng Anh}
Q(x) = {x biết ngôn ngữ C++}

Cho không gian là tập hợp các sinh viên lớp bạn. Hãy diễn đạt các câu sau
bằng cách dùng P(x), Q(x), các lượng từ và các phép toán logic.
a) Có một sinh viên ở lớp bạn nói được tiếng Anh và biết C++
b) Có một sinh viên ở lớp bạn nói được tiếng Anh nhưng không biết C++
c) Mọi sinh viên ở lớp bạn đều nói được tiếng Anh hoặc biết C++
d) Không có một sinh viên nào ở lớp bạn nói được tiếng Anh hoặc biết C++


1.1.8. Một giải bóng đá có n đội tham dự. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt. Trong
mỗi trận đội thắng được 2 điểm hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm. Các đội có cùng số
điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó. Khi kết thúc giải đội vô địch được 8
điểm, đội xếp thứ nhì được 6 điểm và đội xếp thứ ba được 5 điểm. Các đội còn lại có số
điểm khác nhau. Hãy cho biết số đội đã tham dự giải và điểm của các đội còn lại.
1.1.9. Một vận động viên thi bắn súng. Vận động viên đã bắn hơn 11 viên và đều
bắn trúng vào các vòng 8,9,10 điểm. Kết quả tổng số điểm là 100. Hỏi vận động viên đó
bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?
1.1.10. Cho a và b là hai số nguyên dương. Biết rằng, trong 4 mệnh đề sau đây có 3
mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai. Hãy tìm mọi cặp số (a, b) có thể có.
1/ a+1 chia hết cho b
2/ a = 2b + 5
3/ a+b chia hết cho 3
4/ a+7b là số nguyên tố

Bài tập trên máy tính
1.2.1. Cho n bit dữ liệu. Hãy lập trình cho biết cần bao nhiêu byte để mã hóa n bit
dữ liệu trên
1.2.2. Chỉ sử dụng các câu trả lời có hoặc không. Lập trình đoán số tuổi của một
người với số lần trả lời là ít nhất (quy định tuổi tối đa là 120)
1.2.3. Cho hai xâu bít có độ dài n. Lập trình tìm AND bit, OR bít và XOR của hai
xâu bít đó (mở rông bài toán cho k xâu bit cùng độ dài n)

1.2.4. Liệt kê tất cả các xâu bít với độ dài n
1.2.5. Biết rằng trong 25 ngày được chọn thì ít nhất có 3 ngày cùng rơi vào một
tháng trong năm. Lập trình chỉ ra đó là những ngày nào?

Viết tiểu luận
1.3.1. Logic mờ là gì ? Hãy tham khảo logic mờ được áp dụng như thế nào trong
những ứng dụng thực tế.
1.3.2. Khái niệm hàm lần đầu tiên xuất hiện ở đâu và mô tả xem khái niệm này lần
đầu tiên được dùng như thế nào ?
1.3.3. Hãy sưu tầm các câu đố logic.
1.3.4. Hãy sưu tầm các bài toán ngụy biện
1.3.5. Tìm các số nguyên dương không là tổng các lập phương của chín số nguyên
dương khác nhau.

20


CHƯƠNG II

BÀI TOÁN VÀ THUẬT TOÁN
2.1. KHÁI NIỆM BÀI TOÁN
2.1.1. Bài toán
Trong phạm vi Tin học, ta có thể quan niệm bài toán là việc nào đó ta muốn
máy tính thực hiện.
Viết một dòng chữ ra màn hình, giải phương trình bậc hai, quản lí điểm trong
trường học v.v…
Khi dùng máy tính giải bài toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: đưa vào máy
thông tin gì (Input) và cần lấy ra thông tin gì (Output). Do đó để phát biểu một bài toán
ta cần phải chỉ rõ Input và Output của bài toán đó.
Ví dụ 1: Giải phương trình bậc nhất ax+b=0

Input: Các giá trị thực a,b
Output: Nghiệm là giá trị x hoặc thông báo không có nghiệm

Ví dụ 2: Quản lí điểm trong trường học
Input: Thông tin cá nhân của từng học sinh
Output: Thông tin cần khai thác về một học sinh, một lớp học sinh,
một khối hay toàn trường.

2.1.2. Các bước giải bài toán bằng máy tính điện tử
Học sử dụng máy tính thực chất là học cách giao cho máy tính việc mà ta muốn
nó làm. Khả năng khai thác máy tính phụ thuộc rất nhiều vào sự hiểu biết của người sử
dụng.Việc giải bài toán trên máy tính được tiến hành qua các bước sau:

Bước 1: Xác định bài toán
Như đã trình bày, mỗi bài toán được đặc tả bởi hai thành phần: Input và Output.
Việc xác định bài toán chính là xác định rõ hai thành phần này. Các thông tin đó cần
được nghiên cứu cẩn thận để có thể lựa chọn thuật toán, cách thể hiện các đại lượng đã
cho và các đại lượng phát sinh trong quá trình giải bài toán và ngôn ngữ lập trình thích
hợp.

21


Ví dụ, trong một bài toán Tin học khi đề cập đến một số nguyên dương N ta
phải biết rõ phạm vi giá trị của nó, để lựa chọn cách thể hiện N bằng kiểu dữ liệu thích
hợp.

Bước 2: Lựa chọn hoặc thiết kế thuật toán
Bước lựa chọn và thiết kế thuật toán là bước quan trọng nhất để giải một bài
toán.

Mỗi thuật toán chỉ giải một bài toán nào đó, nhưng có thể có nhiều thuật toán
khác nhau cùng giải một bài toán. Cần chọn một thuật toán phù hợp để giải bài toán đã
cho.
Khi lựa chọn thuật toán người ta thường quan tâm đến các tài nguyên như giờ
CPU, số lượng ô nhớ,... Trong các loại tài nguyên, người ta quan tâm nhiều nhất đến
thời gian vì đó là dạng tài nguyên không tái tạo được.
Trong thực tế, khi lựa chọn thuật toán người ta còn quan tâm tới việc viết
chương trình cho thuật toán đó được dễ dàng.
Việc thiết kế và lựa chọn thuật toán để giải một bài toán cụ thể cần căn cứ vào
lượng tài nguyên mà thuật toán đòi hỏi và lượng tài nguyên thực tế cho phép.

Bước 3: Viết chương trình
Việc viết chương trình là một tổng hợp hữu cơ giữa việc lựa chọn cấu trúc dữ
liệu và ngôn ngữ lập trình để diễn đạt đúng thuật toán.
Khi viết chương trình ta cần lựa chọn một ngôn ngữ bậc cao, hoặc hợp ngữ,
hoặc ngôn ngữ máy, hoặc một phần mềm chuyên dụng thích hợp cho thuật toán đã lựa
chọn. Viết chương trình trong ngôn ngữ nào ta cần phải tuân theo đúng quy định ngữ
pháp của ngôn ngữ đó. Chương trình dịch có thể giúp ta phát hiện và thông báo đầy đủ
các sai sót về mặt ngữ pháp.

Bước 4: Hiệu chỉnh
Sau khi được viết xong, chương trình vẫn còn có thể có nhiều lỗi khác chưa
phát hiện được nên chương trình có thể không cho kết quả đúng. Vì vậy, cần phải thử
chương trình bằng cách thực hiện nó với một số bộ Input tiêu biểu phụ thuộc vào đặc
thù của bài toán. Các bộ Input này gọi là các Test. Nếu


có sai sót, ta phải sửa chương trình rồi thử lại. Quá trình này được gọi là hiệu chỉnh.

Bước 5: Viết tài liệu

Tài liệu phải mô tả chi tiết bài toán, thuật toán, chương trình, kết quả thử
nghiệm và hướng dẫn sử dụng. Tài liệu này rất có ích cho người sử dụng chương trình
và cho việc đề xuất những khả năng hoàn thiện thêm.
Các bước trên có thể lặp đi lặp lại nhiều lần cho đến khi mà ta cho là chương
trình đã làm việc đúng đắn.

2.2. KHÁI NIỆM THUẬT TOÁN
2.2.1. Định nghĩa
Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp
theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác đó, từ Input của
bài toán, ta nhận được Output cần tìm.
Có nhiều cách trình bày thuật toán: dùng ngôn ngữ tự nhiên; sơ đồ
khối; ngôn ngữ lập trình(tựa Pascal).

2.2.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Mô tả thuật toán tìm phần tử lớn nhất trong một dãy hữu hạn các số
bất kì (nguyên hoặc thực).

a)

Dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả các bước cần phải thực hiện:
1.
Đặt giá trị cực đại tạm thời bằng số đầu tiên trong dãy.
2. So sánh số tiếp sau với giá trị cực đại tạm thời, nếu nó lớn hơn giá trị
cực đại tạm thời thì đặt cực đại tạm thời bằng số đó.
3. Lặp lại bước 2 nếu còn các số trong dãy.
4. Dừng khi không còn số nào nữa trong dãy. Cực đại tạm thời ở điểm
này chính là số lớn nhất của dãy.
b) Dùng ngôn ngữ tựa Pascal:
Procedure max (a1, a2, ..., an: Item);

Begin
max:= a1; for
i:= 2 to n
if max

{max là phần tử lớn nhất}
End;
{Item quy ước là một kiểu dữ liệu bất kì nào đó}
Ví dụ 2: Mô tả thuật toán tìm tổng các phần tử dương trong một dãy hữu hạn
các số bất kì.

a)

Dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả các bước cần phải thực hiện:
1.
Đặt giá trị tổng ban đầu bằng 0.
2. Đi từ đầu dãy tới cuối dãy, kiểm tra số hiện thời nếu dương thì cộng
giá trị đó vào tổng S.
3. Dừng khi không còn số nào nữa trong dãy. Giá trị S chính là tổng cần
tìm.

b) Dùng ngôn ngữ tựa Pascal:
Procedure max (a1, a2, ..., an: Item);
Begin
S:= 0;
for i:= 1 to n
if ai >0 then S:= S+ ai;
{S là tổng các phần tử dương}
End;

2.2.3. Các đặc trưng của thuật toán
Tính hữu hạn: Sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác thuật toán phải
kết thúc;
Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác, hoặc là thuật toán kết thúc hoặc
là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo;
Tính đúng đắn: Sau khi thuật toán kết thúc, ta phải nhận được Output cần tìm;
Tính chi tiết: Các thao tác trong thuật toán phải được xác định một cách chặt
chẽ theo nghĩa đủ chi tiết để đối tượng thực hiện thuật toán có thể làm được;
Tính phổ dụng: Thuật toán không chỉ cho phép giải một bài toán đơn lẻ mà áp
dụng cho cả một lớp bài toán có cùng cấu trúc.


2.3. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM
2.3.1. Bài toán tìm kiếm: Bài toán xác định vị trí của một phần tử
trong một tập hữu hạn các phần tử. Chẳng hạn chương trình kiểm tra chính tả
của các từ; tìm kiếm các từ trong một cuốn từ điển; tra cứu điểm thi đại học
v.v….Các bài toán thuộc loại này được gọi là các bài toán tìm kiếm.
Bài toán tìm kiếm tổng quát được mô tả như sau: xác định vị trí của phần tử x
trong một dãy các phần tử a1, a2, ..., an hoặc xác định rằng nó không có mặt trong dãy.
Input: dãy số a1, a2, ..., an và giá trị x
Output: Nghiệm là i nếu x=ai và là 0 nếu x không có mặt trong dãy.

2.3.2. Thuật toán tìm kiếm tuyến tính: Tìm kiếm tuyến tính hay tìm
kiếm tuần tự. Tư tưởng thuật toán là bắt đầu bằng việc so sánh x với a 1; khi
x=a1, nghiệm là vị trí a1, tức là 1; khi xa1, so sánh x với a2. Nếu x=a2, nghiệm
là vị trí của a2, tức là 2. Khi xa2, so sánh x với a3. Tiếp tục quá trình này bằng
cách tuần tự so sánh x với mỗi số hạng của dãy cho tới khi tìm được số hạng
bằng x hoặc là kết thúc dãy.
Dùng ngôn ngữ tựa Pascal:

Procedure tìm kiếm tuyến tính (x: Item, a1,a2,...,an: Item); Begin
i := 1;
while (i  n and x  ai)
if i  n then kq := i

i := i + 1;
else kq := 0;

End;
{kq là vị trí của số hạng bằng x hoặc là 0 nếu không tìm được x}

2.3.3. Thuật toán tìm kiếm nhị phân: Thuật toán này có thể được
dùng khi dãy số được sắp xếp đơn điệu theo thứ tự tăng hoặc giảm dần.Tư
tưởng thuật toán là chọn phần tử ở vị trí giữa làm chốt, chia dãy thành 2 phần
có kích thước nhỏ hơn. Sau đó so sánh phần tử cần tìm x với chốt, nếu x lớn
hơn chốt tìm ở nửa sau của dãy, nếu x nhỏ hơn chốt tìm ở nửa trước của
dãy(áp dụng với dãy tăng), quá trình trên tiếp tục cho tới khi tìm được x hoặc
dãy chia không còn phần tử nào.


Ví dụ: Cho dãy số: A={-6,1,3,5,8,10,14,16,19,21 }; x=5; dãy gồm 10 phần tử
Gọi phần tử chốt là k, ban đầu k=8
Bước 1: k=8, so sánh x với k,
6,1,3,5,8}

x
Bước 2: k=3, so sánh x với k, x>k ta tìm kiếm x ở nửa sau {3,5,8}
Bước 3: k=5, so sánh x với k, x=k ta tìm được x kết thúc.

Dùng ngôn ngữ tựa Pascal: {Thuật toán áp dụng với dãy tăng dần}
Procedure tìm kiếm nhị phân (x: Item, a1,a2,...,an: Item); Begin
d := 1 {d là điểm đầu của đoạn tìm kiếm}
c := n {c là điểm cuối của đoạn tìm kiếm}
while (d begin
m:= [(d+c)/2]
if x>am then d:=m+1 else
c := m-1
end
if x = ai then kq := i else
kq := 0
{kq là vị trí của số hạng bằng x hoặc 0 nếu không tìm thấy x} End;

2.4. ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN
2.4.1 Khái niệm về độ phức tạp của một thuật toán
Thước đo hiệu quả của một thuật toán là thời gian mà máy tính sử dụng để giải
bài toán theo thuật toán đang xét, khi các giá trị đầu vào có một kích thước xác định.
Một thước đo thứ hai là dung lượng bộ nhớ đòi hỏi để thực hiện thuật toán khi các giá
trị đầu vào có kích thước xác định. Các vấn đề như thế liên quan đến độ phức tạp tính
toán của một thuật toán. Sự phân tích thời gian cần thiết để giải một bài toán có kích
thước đặc biệt nào đó liên quan đến độ phức tạp thời gian của thuật toán. Sự phân tích
bộ nhớ cần thiết của máy