Một số bài toán về số phức

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

Vũ Thị Hằng

Một số bài toán về số phức
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ
Đại số, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong trƣờng Đại học
Sƣ phạm Hà Nội 2 và các bạn sinh viên. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng
biết ơn chân thành nhất đến ThS. Nguyễn Thị Bình – Ngƣời đã tận tình
hƣớng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học,hơn nữa do
thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên em không tránh khỏi
những thiếu xót. Em kính mong nhận đƣợc sƣ đóng góp ý kiến của các
thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Vũ Thị Hằng


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập
và nghiên cứu. Bên cạnh đó, em nhận đƣợc sự quan tâm tạo điều kiện
của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là sự giúp đỡ tận tình của ThS.

Nguyễn Thị Bình.
Trong quá trình nghiên cứu khóa luận, em có tham khỏa một số tài
liệu có ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan, đề tài “ Một số bài toán về số phức” không có
sự trùng lặp cũng nhƣ sao chép kết quả của các đề tài khác.
Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Vũ Thị Hằng


MỤC LỤC
PHẦN I. LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................... 1
3. Đối tƣợng nghiên cứu ....................................................................... 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................ 1
5. Phƣơng pháp nghiên cứu................................................................... 2
PHẦN II. PHẦN NỘI DUNG ................................................................... 3
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ......................................................... 3
1. Khái niệm số phức ............................................................................ 3
2. Biểu diễn hình học số phức ............................................................... 3
3. Phép cộng và phép trừ số phức ......................................................... 4
4. Phép nhân số phức. ........................................................................... 4
5. Số phức liên hợp và môđun của số phức. ......................................... 5
6. Phép chia cho số phức khác 0. .......................................................... 5
7. Căn bậc hai của số phức. ................................................................... 6
8. Phƣơng trình bậc hai. ........................................................................ 6
9. Dạng lƣợng giác của số phức. ........................................................... 6

10. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác. .................................. 7
11. Công thức Moa-vro (Moivre) và ứng dụng. ................................... 7
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC. 8
1. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. ......................................... 8
2. Tính mô đun của số phức. ............................................................... 12
4. Giải phƣơng trình trong tập hợp số phức ........................................ 22
5. Dạng lƣợng giác của số phức .......................................................... 23
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN. ............. 27
1. Chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức. ....................................... 27


2. Tính tổng. ........................................................................................ 33
3. Số phức trong việc giải hệ phƣơng trình, phƣơng trình. ................. 35
4. Ứng dụng của số phức trong bài toán hình học phẳng ................... 40
KẾT LUẬN ............................................................................................. 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 44


PHẦN I. LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Trong trƣờng phổ thông, môn Toán giữ vai trò hết sức quan trọng.
Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành
khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế. Môn
toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí
tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tƣ duy.
Đại số là một bộ phận lớn của Toán học, trong đó “Một số bài
toán về số phức” là một dạng toán cơ bản và quan trọng đƣợc sử dụng
nhiều trong đại số cũng nhƣ trong thực tế.
Tuy nhiên cho đến nay, các bài toán về số phức mới chỉ đƣợc trình
bày sơ lƣợc, chƣa đƣợc phân loại, hệ thống một cách chi tiết. Tài liệu về

các bài toán về số phức còn ít nên việc nghiên cứu một số bài toán về số
phức còn gặp nhiều khó khăn.
Với lí do trên và đƣợc sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của ThS.
Nguyễn Thị Bình em đã mạnh dạn chọn đề tài: “Một số bài toán về số
phức” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm tìm hiểu kĩ hơn một số bài
toán về số phức trong môn toán ở nhà trƣờng phổ thông.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu về một số bài toán về số phức.
3. Đối tƣợng nghiên cứu.
Một số bài toán về số phức.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Khóa luận nghiên cứu các vấn đề:
● Chƣơng 1: Cơ sở lí thuyết.
● Chƣơng 2: Một số dạng toán thƣờng gặp về số phức.

1


● Chƣơng 3: Ứng dụng số phức trong giải toán.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu,phân tích các tài liệu.
- Hệ thống,khái quát các vấn đề.
- Sƣu tầm,giải quyết các bài toán.
- Tổng kết kinh nghiệm.

2


PHẦN II. PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Khái niệm số phức
Định nghĩa 1.
Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a và b là
những số thực và số i thỏa mãn i2 = -1.
Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.
i đƣợc gọi là đơn vị ảo, a đƣợc gọi là phần thực và b đƣợc gọi là phần ảo
của số phức z = a + bi.
Tập hợp các số phức đƣợc ký hiệu là

.

Chú ý. Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 đƣợc coi là số thực và viết
là a + 0i = a thuộc



.

Số phức có phần thực bằng 0 đƣợc gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo)
z = 0 + bi = bi ( b ); i = 0 + 1i = 1i
Số 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Định nghĩa 2.
Hai số phức z = a + bi ( a, b ), z’ = a’ + b’i ( a ', b '  ) gọi là
bằng nhau nếu a = a’, b = b’. Khi đó ta viết z = z’.
2. Biểu diễn hình học số phức
Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên một
trục số. Đối với các số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số
phức z = a + bi ( a, b ) đƣợc biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a,b).
Ngƣợc lại, rõ ràng mỗi điểm M(a,b) biểu diễn số phức là z = a + bi. Ta
còn viết M(a+bi) hay M(z).

Vì vậy, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức nhƣ thế đƣợc gọi là
mặt phẳng phức.

3


3. Phép cộng và phép trừ số phức
a) Tổng của hai số phức
Định nghĩa 3.
Tổng của hai số phức z = a + bi, z’ = a’+ b’i ( a, b, a ', b '  ) là số phức
z+ z’ = a + a’ + (b+b’)i.
b) Tính chất của phép cộng số phức
Từ định nghĩa 3, dễ thấy phép cộng các số phức có các tính chất
sau đây, tƣơng tự phép cộng các số thực.
 Tính chất kết hợp: (z + z’) + z” = z + (z’+ z”) với mọi z, z ', z "  .
 Tính chất giao hoán: z + z’ = z’ + z với mọi z, z '  .
 Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z với mọi z  .
 Với mỗi số phức z = a + bi ( a, b ) nếu ký hiệu số phức
–a –bi là –z thì ta có: z + (-z) = (-z) + z = 0
Số -z đƣợc gọi là số đối của số phức z.
c) Phép trừ hai số phức
Định nghĩa 4.
Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’.
tức là z - z’ = z + (-z’).
Nếu z = a + bi, z’ = a’ + b’i ( a, b, a ', b '  ) thì z - z’ = a-a’ + (b-b’)i.
4. Phép nhân số phức
a) Tích của hai số phức
Định nghĩa 5.
Tích của hai số phức z = a + bi và z’ = a’+ b’i ( a, b, a ', b '  ) là số phức
zz’= aa’ – bb’+(ab’+a’b)i.

b) Tính chất của phép nhân số phức
 Tính chất giao hoán: zz’=z’z với mọi z, z '  .

4


 Tính chất kết hợp: (zz’)z”= z(z’z”) với mọi z, z ', z "  .
 Nhân với 1: 1.z = z.1 với mọi z  .
 Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
z(z’ + z”) = zz’ + zz” với mọi z, z ', z "  .
5. Số phức liên hợp và môđun của số phức
a) Số phức liên hợp
Định nghĩa 6.
Số phức liên hợp của z = a + bi ( a, b ) là a – bi.
Ký hiệu là z .
Nhƣ vậy z  a  bi  a  bi .
Ta nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau (gọi tắt là hai số
phức liên hợp). Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn
của chúng đối xứng với nhau qua trục Ox.
b) Mô đun của số phức
Định nghĩa 7.
Mô đun của số phức z = a + bi ( a, b ) là số thực không âm

a 2  b 2 và đƣợc ký hiệu là z .
Nhƣ vậy, nếu z = a + bi ( a, b ) thì z  zz  a 2  b 2 .
6. Phép chia cho số phức khác 0
Định nghĩa 8.
Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số z 1 
Thƣơng

1
z
z2

z'
của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích
z

của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là

5

z'
 z ' z 1 .
z


Nhƣ vậy, nếu z  0 thì

z' z'z
 2 .
z
z

7. Căn bậc hai của số phức
Định nghĩa 9.
Cho số phức w, mỗi số phức z thỏa mãn z 2  w đƣợc gọi là một
căn bậc hai của w.
8. Phƣơng trình bậc hai
Nhờ tính đƣợc căn bậc hai của số phức, dễ thấy mọi phƣơng trình

bậc hai Az 2  Bz  C  0 1 . Trong đó A,B,C là những số phức, ( A  0 )
đều có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau). Việc giải phƣơng trình đó
đƣợc tiến hành tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp A, B, C là những số thực.
Cụ thể là
Xét biệt thức   b2  4ac
- Nếu   0 thì phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

z1 

B  
B  
trong đó  là một căn bậc hai của  .
; z2 
2A
2A

- Nếu   0 thì phƣơng trình (1) có nghiệm kép: z1  z2  

B
.
2A

9. Dạng lƣợng giác của số phức
Định nghĩa 10.
Cho số phức z  0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu
diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lƣợng giác tia đầu Ox, tia cuối OM
đƣợc gọi là acgument của z.
Định nghĩa 11.
Dạng z  r (cos  isin  ) trong đó r > 0 đƣợc gọi là dạng lƣợng
giác của số phức z  0 . Còn dạng z = a + bi ( a, b ) đƣợc gọi là dạng

đại số của số phức z.
6


10. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác
Định lý.
Nếu z  r (cos  isin  ) , z '  r '(cos ' isin  ')(r  0, r '  0) thì
zz’ = rr’ cos    '  isin(   ')] ,

z' r'
 cos  '    isin  '  
z r

(Khi r>0)
11. Công thức Moa-vro (Moivre) và ứng dụng
a) Công thức Moavro
Từ công thức nhân số phức dƣới dạng lƣợng giác, bằng quy nạp
toán học dễ dàng suy ra với mọi số nguyên dƣơng n.

[r (cos  isin  )]n  r n  cos n  isin n  và khi r = 1 ta có:

(cos  isin  )n  cos n  isin n
b) Căn bậc hai của số phức dƣới dạng lƣợng giác
Từ công thức Moavro dễ thấy số phức z  r (cos  isin  ) trong
đó r > 0 có hai căn bậc hai là:




r  cos +isin 

2
2




 




và - r  cos +isin   r  cos      isin      .
2
2


2

 2

7


CHƢƠNG 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP
VỀ SỐ PHỨC
1. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức
Ví dụ 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho

u

z  2  3i
là một số thuần ảo.
z i

Giải
Đặt z = x + yi ( x, y  ), khi đó

 x  2   y  3 i   x  2   y  3 i   x   y  1 i 
x   y  1 i
x   y  1
 x  y  2 x  2 y  3  2  2 x  y  1 i

x   y  1

u

2

2

2

2

2

2

u là số thuần ảo khi và chỉ khi
2

2
 x 2  y 2  2 x  2 y  3  0  x  1   y  1  5

 2
2
 x   y  1  0
 x; y    0;1

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đƣờng tròn tâm I(-1,-1), bán
kính

5 trừ điểm (0,1).

Ví dụ 2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn

z  2  3i
 1.
z 4i
Giải

z  2  3i
 1  x  2   y  3 i  x  4   y  1 i
z 4i
  x  2    y  3   x  4    y  1  3x  y  1  0
2

2

2

2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đƣờng thẳng có phƣơng
trình 3x-y-1 = 0.

8


Ví dụ 3. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn
a)

z
3
z i

b) z  z  3  4i
c) z  i  z  i  4
Giải
a) Đặt z = x + yi ( x, y  )
2

9
9

Ta có: z  3 z  i  x  y  9  x   y  1   x   y   
8  64

2

2

2

2

2

3
 9
Vậy tập hợp các điểm M là đƣờng tròn tâm I  0,  , bán kính R 
8
 8
b) Đặt z = x + yi ( x, y  )
Ta có z  z  3  4i  x2  y 2   x  3   4  y 
2

2

 6x  8 y  25
Vậy tập hợp các điểm M là đƣờng thẳng 6x+ 8y= 25.
c) Đặt z = x + yi ( x, y  )

z  i  z  i  4  x 2   y  1  x 2   y  1  4
2

2

 x 2   y  12  4



2
2
2
 x 2   y  1  16  8 x 2   y  1  x 2   y  1
 x 2   y  12  16
2
2
 x   y  1  16
 2

2
2


4 x  4 y  8 y  4  y  8 y  16
2
2
2 x   y  1  y  4  y  4


9


 x 2   y  12  16 1
 2
y2
x
   1
 2
3

4

 y  4
 3

Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và elip (2) và tung độ các điểm
nằm trên elip luôn thỏa mãn điều kiện y  4 .

x2 y 2
Vậy tập hợp các điểm M là elip có phƣơng trình
  1.
3 4









Ví dụ 4. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  1  i 3 z  2
biết rằng số phức z thỏa mãn z  1  2 .
Giải
Gọi z = a+ bi ( a, b ), w= x+ yi ( x, y  )
Ta có









w  1  i 3 z  2  x  yi  1  i 3  a  bi   2
 x  a  b 3  2  x  3  a  1  b 3


y

3
a

b

 y  3  3  a  1  b





2
2
Từ đó  x  3  y  3  4  a  1  b2   16
2

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn  x  3  y  3  16 có
2



2



tâm I 3, 3 , bán kính R = 4.
Ví dụ 5. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu
diễn số phức z sao cho số


z2
có acgumen bằng .
3
z2

Giải
Gọi z = x + yi ( x, y  )

10


z  2  x  2  yi  x  2  yi   x  2  yi 


2
z  2  x  2  yi
 x  2  y 2

Ta có



x 2  4  y 2  yi  x  2  x  2 

 x  2

Vì số phức

2

 y2

x2  y 2  4
4y


i
2
2
2
 x  2  y  x  2  y 2


z2
có acgumen bằng
nên ta có
3
z2

x2  y 2  4
4y




i

r
c
os

isin
2
2


3
3

 x  2  y 2  x  2  y 2

 r  0

 x2  y 2  4 r
 x  2 2  y2  2



4y

r 3


2
  x  2  y 2
2

Từ đó suy ra y>0 (1)
và

4y
4y
2
2

3

x

y

4

x2  y 2  4
3
2

2   4 

 x  y

 

3  3

2

2

 2

Từ (1) và (2) ta có tập hợp các điểm M là đƣờng tròn có tâm nằm trên
trục thực.
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức
z thỏa mãn điều kiện z   3  4i   2 .
Giải
Đặt z = x + yi ( x, y  R )  z  3  4i   x  3   y  4  i
Từ z   3  4i   2 ta có

 x  3   y  4
2

2

 2   x  3   y  4   4
2

2

Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đƣờng tròn tâm I(3; -4),
11

bán kính R=2.
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số

z  i  1  i  z .

phức z thỏa mãn
Giải

Đặt z = x + yi ( x, y  )
Ta có:

z  i  1  i  z  x   y  1 i   x  y    x  y  i
 x 2   y  1   x  y    x  y 
2

2

2

 x2  y 2  2xy  1  0  x2   y  1  2
2

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đƣờng tròn có
phƣơng trình x2   y  1  2 .
2

2. Tính môđun của số phức
Ví dụ 1. Giả sử z1; z2 là hai số phức thỏa mãn 6 z  i  2  3iz và

1
z1  z2  .
3
Tính mô đun z1  z2 .
Giải
Đặt z = x + yi ( x, y  )

 6 z  i  2  3iz  6 x   6 y  1 i   2  3 y   3xi
1
1
2
2
2
2
  6 x    6 y  1   2  3 y    3x   x 2  y 2   z 
9
3
Suy ra z1  z2 

1
3

Ta lại có

12












1
2
2
2
2
 z1  z2   z1  z2  z1  z2  z1  z2  z1 z2  z2 z1   z1 z2  z2 z1
9
9
Suy ra z1 z2  z2 z1 

1
9









Khi đó: z1  z2   z1  z2  z1  z2  z1  z2  z1 z2  z2 z1 

2

 z1  z2 

2

2

1
.
3

Ví dụ 2. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phƣơng trình

z 2  2 z  10  0 . Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 .
2

2

Giải
Ta có

z 2  2 z  10  0   z  1  9   z  1   3i 
2

2

2

 z  1  3i


 z  1  3i
z1  1  3i  z1 

 1

2

 32  10

z2  1  3i  z2  10
Vậy A  z1  z2  20 .
2

2

Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn z 2  6 z  13  0 . Tính z 

6
.
z i

Giải

z 2  6 z  13  0   z  3  4   z  3   2i 
2

2

2

 z  3  2i

 z  3  2i
Với z  3  2i ta có z 

6
6
 3  2i 
 4  i  17
z i
3  3i
13

1
3




Với z  3  2i ta có z 

6
6
1
 3  2i 
 24  7i  5 .
z i
3i 5

Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn z 



1  3i
1 i

.
3

Tìm mô đun của số phức z  iz .
Giải





3

Ta có 1  3  8
Do đó z  

8
 4  4i Suy ra z  4  4i
1 i

 z  iz  4  4i   4  4i  i  8  8i
Vậy z  iz  8 2 .
Ví dụ 5. Tính mô đun của số phức z, biết rằng

 2z  11  i    z  1 1  i   2  2i .
Giải
Gọi z = a + bi ( a, b )
Ta có

 2 z  11  i    z  1 1  i   2  2i
  2a  1  2bi  1  i    a  1  bi  1  i   2  2i
  2a  2b  1   2a  2b  1 i   a  b  1   a  b  1 i  2  2i
1

a


3a  3b  2
3
  3a  3b    a  b  2  i  2  2i  

a  b  2  2 b   1

3
Suy ra mô đun: z  a 2  b2 

2
.
3

14


 z1  2i  2 iz1  1

Ví dụ 6. Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn điều kiện 
 z2  2i  3 iz2  1
Tính P  z1  z2 , biết z1  z2  1 .
Giải
Đặt z = x + yi ( x, y  ).

z  2i  2 iz  1  x 2   y  2   2 1  y   2 x 2  x 2  y 2  2
2

2

 z1  z2  2
Đặt z1  a  bi; z2  c  di  a, b, c, d 

a

2

 b 2  2; c 2  d 2  2

Từ

z1  z2  1   a  c    b  d   1  2  ac  bd   3
2

2

P  z1  z2  P 2   a  c    b  d   a 2  b2  c 2  d 2  2  ac  bd   7
2

2

Vậy P  7 .
Ví dụ 7. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

1  i  z  2  1.
1 i

Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải
Đặt z = x + yi ( x, y  ) thì

1  i  z  2  1 
1 i

 2  y   xi  1

 x 2   2  y   1 1  x 2  y 2  4 y  3
2

 z  x2  y 2  4 y  3
Từ (1) ta có:  2  y   1  1  y  3  1  4 y  3  9
2

Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z=3i và số phức có mô đun nhỏ
nhất là z = i.
15






Ví dụ 8. Biết rằng số phức z thỏa mãn u   z  3  i  z  1  3i là một
số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
Giải
Đặt z = x + yi ( x, y  ), ta có

u   x  3   y  1 i   x  1   y  3 i 
 x2  y 2  4 x  4 y  6  2  x   y  4 i

Ta có: u 

 x y40

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đƣờng thẳng d: x-y-4=0,
M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì môđun của z nhỏ nhất khi và chỉ
khi độ dài OM nhỏ nhất  OM  d .
Tìm đƣợc M(-2;2) suy ra z = -2 + 2i.
Ví dụ 9. Biết rằng số phức z thỏa mãn

z  2i
 2.
z 1 i

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của z .
Giải
Gọi z = x + yi ( x, y  ) ta có

z  2i

 2  x  2   y  1 i  2 x  1   y  1 i
z 1 i

 x  2   y  1
2

2

2
2
2
 2  x  1   y  1   x 2   y  3  10

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đƣờng tròn tâm I(0;-3), bán
kính R  10 .
M là điểm biểu diễn của z thì z nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ
nhất, z lớn nhất khi và chỉ khi OM lớn nhất.





Tìm đƣợc Min z  3  10 khi z  3  10 i

16






và Max z  3  10 khi z   3  10 i .
Ví dụ 10. Cho ba số phức z1 , z2 , z3 đều có môđun bằng 1.
Chứng minh rằng z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .
Giải
Vì z1 z2 z3  1
Nên

z1 z2  z2 z3  z3 z1 

z1 z2  z2 z3  z3 z1
1 1 1
    z1  z2  z3  z1  z2  z3
z1 z2 z3
z1 z2 z3

Suy ra z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .
Ví dụ 11. Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãn z 3 

z

8
 9 thì
z3

2
 3.
z

Giải

Đặt a  z 

2
 a  0
z

Ta có
3

2
8
2


3
z


z


6
z





z
z3

z


3

2
8
2
 a  z   z 3  3  6 z   9  6a
z
z
z
3

Ta đƣợc a3  6a  9  0   a  3  a2  3a  3  0 vì a2  3a  3 >0
nên a  z 

2
 3.
z

3. Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trƣớc

17


Ví dụ 1. Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện

z  1  2i  z  3  4i và

z  2i
là một số thuần ảo.
zi

Giải
Đặt z = x + yi ( x, y  )
Theo bài ra ta có

x  1   y  2 i  x  3   4  y  i
  x  1   y  2    x  3   y  4   y  x  5
2

2

2

2

2
z  2i x   y  2  i x   y  2  y  1  x  2 y  3 i


Số phức w 
2
x  1  y  i
z i
x 2   y  1

12
 x 2   y  2  y  1  0 

x




2
7

w là một số ảo khi và chỉ khi  x 2   y  1  0
y  x  5
 y  23

7

Vậy z  

12 23
 i.
7 7

Ví dụ 2. Tìm tất cả các số phức z biết z 2  z  z .
2

Giải
Gọi z = a + bi ( a, b ) ta có

z 2  z  z   a  bi   a 2  b 2  a  bi
2

2

 a 2  b2  2abi  a 2  b2  a  bi

a  b  0
2

2
2
2
2
a  b  a  b  a a  2b
1
1


 a   ; b 
2
2
2ab  b
b  2a  1  0 

1
1
a   ; b 

2
2

18

1 1
1 1
Vậy z  0; z    i; z    i .
2 2
2 2
Ví dụ 3. Tìm số phức z biết z   2  3i  z  1  9i .
Giải
Gọi z = a + bi ( a, b ) ta có:

z   2  3i  z  1  9i  a  bi   2  3i  a  bi   1  9i
a  3b  1 a  2
 a  3b   3a  3b  i  1  9i  

3
a

3
b

9

b  1
Vậy z  2  i .
Ví dụ 4. Tìm phần ảo của số phức z biết z 



2 i

 1  2i  .
2

Giải







z  1  2 2i 1  2i  5  2i
Suy ra z  5  2i
Phần ảo của số phức z   2 .
Ví dụ 5. Tìm số phức z thỏa mãn z  2 và z2 là số thuần ảo.
Giải
Gọi z = a + bi ( a, b ) Ta có z  a 2  b2 và z 2  a 2  b2  2abi
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi

a 2  b2  2 a 2  1 a  1
 2

 2 2
a

b

0
b


1
b  1


Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i.
Ví dụ 6. Tìm số phức z biết z 

5i 3
1  0 .
z

Giải
Gọi z = a + bi ( a, b ) và a2  b2  0 ta có
19


5i 3
5i 3
 1  0  a  bi 
 1  0  a 2  b 2  5  i 3  a  bi  0
z
a  bi
2
2
a  b  a  5  0
2
2
  a  b  a  5  b  3 i  0  
b  3  0
z





a 2  a  2  0  a  1; b   3


b   3
 2  a  2; b   3
Vậy z  1  i 3 hoặc z  2  i 3 .
3

1 i 3 
Ví dụ 7. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z  
 .
1

i


Giải

1
3 



1  i 3  2 
i   2  cos  isin 

3
3

2 2 



1  i  2  cos  isin 
4
4

Suy ra z 

8  cos  isin  
3
3

2 2  cos  isin
4
4





 2 2  cos  isin   2  2i
4
4






Vậy số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là 2.
Ví dụ 8. Tìm số phức z thỏa mãn 2 z  i  2  z  z và
một acgumen là 

2
.
3

Giải

1
3    
  
1  3i  2  
i   2  cos     isin    
 3 
2 2    3
Giả sử z  r  cos  isin    r  0 

20

1  3i
có
z